Luleå tekniska universitet Avd för signalbehandling Magnus Sandell (reviderad av Frank Sjöberg) Flerdimensionell signalbehandling SMS033 Laboration 1 Flerdimensionella signaler och system Syfte: Den här laborationen är en dels introduktion till MATLAB, som kommer att användas till alla laborationer i kursen, och dels en introduktion till flerdimensionella signaler, system och Fouriertransform. Grundläggande egenskaper hos och operationer på flerdimensionella signaler gås igenom. För alla övningar som innefattar MATLAB så ska de kommandon och parametrar ni använder redovisas. För mer information om MATLAB-kommandon, skriv help <kommando>. Till laborationerna i den här kursen behövs några specialla filer. Dessa filer finns att hämta på hemsidan. Bilda grupper om max två personerochlämna in laborationsredovisningen innan 030417.
1. Flerdimensionell faltning Betrakta det 2-dimensionella linjära, skiftinvarianta systemet H med impulssvaret h [m, n] där h [0, 0] = 2 h [0, 1] = 4 h [1, 0] = 1 h [1, 1] = 2 h [2, 0] = 2 h [2, 1] = 4 och 0 för övrigt. Insignalen till systemet är f [m, n], och 0 för övrigt. f [0, 0] = 1 f [0, 1] = 1 f [1, 0] = 1 f [1, 1] = 2 Uppgift 1. Bestäm stödområdet för impulssvaret, insignalen och utsignalen. Uppgift 2. Bestäm utsignalen g [m, n] =h [m, n] f [m, n] i MATLAB genom att använda kommandot conv2. Om man studerar impulssvaret litet noggrannare ser man att det är separabelt. Uppgift 3. Bestäm utsignalen genom att formulera den separabla faltningen som två 1-dimensionella faltningsmatriser. Verifiera i MATLAB att detta ger korrekt utsignal (använd conv2). 2. Flerdimensionell Fouriertransform Uppgift 4. Bestäm frekvenssvaret H (ξ 1,ξ 2 ) till systemet, dvs den 2-dimensionella Fouriertransformen av impulssvaret h [m, n]. Plotta H (ξ 1,ξ 2 ) in 100 100 punkter mha MATLABs kommando mesh. Verkar systemet ha högpass eller lågpass karraktär i x- respektive y-led? Uppgift 5. Bestäm den 2-dimensionella DFT:n av impulssvaret h [m, n] mha MAT- LABs kommando ( fft2. ) Verfieraföregående uppgift genom att bestämma H (ξ 1,ξ 2 ) k i punkterna 1 N 1, k 2 N 2,k 1 =0,,N 1 1, k 2 =0,,N 2 1, där N 1 och N 2 är storleken på systemets stödområde. Uppgift 6. Eftersom den flerdimensionella DFT:n är separabel kan man transformera varje dimension för sig. Visa detta genom att använda 1-dimensionell DFT i MATLAB (fft). Det går också att beskriva den 1-dimensionella DFT:n som en matrismultiplikation och via den bestämma den 2-dimensionella DFT:n. För den sistnämnda metoden, beskriv hur man gör det (i MATLAB) och ange även hur DFT-matriserna ser ut. Tänk på att transponering i MATLAB ( ) även konjugerar! 2
Som bekant från den 1-dimensionella signalbehandlingen kan DFT användas för faltning, dvs DFT {h [n] f [n]} =DFT{h [n]} DFT {f [n]} där är cirkulär faltning. Detta innebär att signalen betraktas som periodisk. För att göra om cirkulär faltning till linjär faltning kan man använda sig av zero padding, dvs man fyller på signalen med nollor så vikning inte sker. Uppgift 7. Bestäm utsignalen g [m, n] i MATLAB genom att använda 2-dimensionell DFT. Bestäm hur många nollor som måste läggas in. Zero padding kan utföras mha kommandot fft2. Verifiera att detta stämmer resultatet från de tidigare uppgifterna. När man tittar på frekvenssvaret för ett system brukar man oftast studera amplituden. Fasen kan dock i många fall vara väl så intressant och viktig. Ladda bilden baboon256 i MATLAB genom att använda kommandot imread. För att visa den på skärmen, använd t.ex kommandot imview. Uppgift 8. Bestäm DFT:n av bilden i MATLAB och presentera dess amplitud (abs) och fas (angle) itvå figurer. Amplituden har en väldigt stor dynamik så här bör man använda logaritmisk skala (plotta t.ex log (1 + x ) ). Uppgift 9. Modifiera bilden genom att ta bort fasen, dvs sätt den till 0. Inverstransformera och plotta bilden mha imview. Kommentarer? Uppgift 10. Modifiera bilden genom att ta bort amplituden, dvs sätt den till 1. Inverstransformera och plotta bilden mha imview. Kommentarer? Vad är viktigast hos en bild; amplituden eller fasen? Uppgift 11. *Extrauppgift: Prova att filtrera bilden med filtret med systemet H. Var resultet det väntade? 3
3. Tvådimensionella filter Ett enkelt sätt att göra 2-dimensionella filter är att använda 1-dimensionella filter och sedan antingen göra ett separabelt eller ett rotationssymmetriskt filter. Antag att man vill göra ett 2-dimensionellt filter enligt nedanstående specifikation. Uppgift 12. Konstruera ett separabelt 2-dimensionellt filter med storleken 15 15. Skapa det 1-dimensionella filtret genom att använda antingen least squarekriteriet (kommandot firls) eller minimax-kriteriet (kommandot remez). Plotta i logaritmisk skala det 1-dimensionella filter du valt (med specifikationen inlagt) och gör en tre-dimensionell plot (kommandot mesh) samt en konturplot (kommandot contour) med 1 db steg (med specifikationen inlagt) för det 2-dimensionella filtret. Uppgift 13. Ladda bilden baboon256 och filtrera den med det separabla filter. Ser bilden ut som du hade förväntat dig? Uppgift 14. *Extrauppgift: Konstruera ett högpassfilter enligt samma specifikation, men med omkastade dämpningar (0 db i ljusgrått område och 30 db i det mörka området). Hur gör du? Prova filtret på baboon256. 4
4. Invers- och Wienerfilter Uppgift 15. Laddababoon256-bilden och filtrera den med det separabla lågpassfilter du skapade i förra uppgiften. Hur stort är stödområdet för den filtrerade bilden? För att i fortsättningen få en bild som är en två-potens stor (detta snabbar upp FFT:n), beskär orginalbilden så att den faltade bilden får storleken 256 256. Addera vitt Gaussiskt brus till den filtrerade bilden så att signal-to-noise (SNR) blir 50 db. SNR definieras som SNR E {f 2 [n 1,n 2 ]} E {v 2 [n 1,n 2 ]} där f är signalen och v är bruset. Effekten hos signalen kan skattas mha kommandot mean. Bruset v kan genereras med kommandot randn. Uppgift 16. Bestäm invers- och pseudoinversfiltren (pröva er fram till ett bra ε- värde) till systemet och försök återskapa bilden. Implementera filtren i frekvensplanet och tänk på storleken! Eftersom distorsionsfiltret är separabelt kan man försöka att rekonstruera signalen en dimension i taget. Uppgift 17. Bestäm Wienerfiltret W i frekvensplanet. Den (endimensionella) korrelationen för signalen kan estimeras mha kommandot xcorr. Man kan medelvärdesbilda över alla rader (och kolonner) när man skattar korrelationen. Återskapa bilden med det separabla filtret. Tänk på storlekarna på vektorerna och matriserna samt normaliseringskonstanter (t.ex. effekten hos orginalbilden)! Uppgift 18. Jämför de olika rekonstruerade bilderna. Vilken blev bäst? Uppgift 19. *Extrauppgift: Prova att rekonstruera bilden om man har beskurit det efter filtrering istället för före. Hur blir resultatet? Uppgift 20. **Extrauppgift: Designa ett ändligt separabelt Wienerfilter (ca 15 15) i spatialplanet, dvs gör det inte i frekvensdomänen. 5
5. Matlabkommandon Här är en lista på några MATLAB-kommandon som kan vara användbara: image imagesc imshow imread imwrite mesh surf contour shading colorbar colormap fftshift meshgrid title xlabel ylabel legend axis subplot 6