LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 8-- kl 4-9 a) Triangelns area är en halv av parallellograms area som spänns upp av tex P P (,, ) och P P (,, ), således area av P P P (,, ) (,, ) (,, 6) 49 7 Cosinus av vinkeln α mellan OP och OP kan beräknas mha skalärprodukt cos α OP OP OP OP (,, ) (,, ) 8 Detta cosinusvärde för vinklar i [, π] motsvarar α π 4 b) Planet genom P, P och P har normalvektor tex P P P P (,, 6) (den har vi räknat i deluppgift a)) Planet π är parallellt med detta plan, alltså har samma normalvektor, och ekvationen blir x + 6z + D För att bestämma D sätter vi punkten (,, ) in + 6 + D D 4 Svar: x + 6z + 4 c) Ekvationen på parameterform för π kan omskrivas på an form t x, s z t + s x + x + z Skärningen mellan två icke-parallella plan är en linje som kan fås som lösningen till ekvationssstemet { { x + 6z 4, x + z x z x, x + z 4z 4 + z + t, z t Svar: (x,, z) (,, ) + t(,, ) Alternativlösning: Sätt x t, s, z t + s in i ekvationen för π t + s 6(t + s) + 4 t Sätt nu t i ekvationen för π (x,, z) (, s, + s) Det är samma linje (med en annan parameter s t )
a) För att bestämma egenvärdena löser vi λ λ + λ, λ Egenvektorerna får man som nollskillda lösningar till motsvarande ekvationssstem (λi A)X, X λ : [ ] [ ] x [ ] [ ] x [ ] t t [ ] (t ) λ : [ ] [ ] x [ ] x + [ ] x [ ] t t t [ ] (t ) Nu plockar vi ut egenvärdena till D och basegenvektorerna (t ) till S i samma ordning [ ] [ ] D, S Kontrollera att S är inverterbar: det S, OK! b) Egenvärdena till A är och a, alltså om a är matrisen garanterat diagonaliserbar enligt teorin (Sats, sid 55) För a kan saker hända, så vi måste räkna egenvektorer och kolla om vi får två stcken linjärt oberoende eller inte ] ] ] ] ] ( I A)X [ a [ ] [ x [ [ x [ t t [ (t ) Nej, egenvektorer bildar bara en linje, dvs det går inte att plocka ut två linjärt oberoende Alltså för a är A inte diagonaliserbar Svar: ja, a Alternativlösning: det går att göra liknande beräkningar till dessa i a), fast med parametern a λ ger exakt samma egenvektorer, och för λ a har vi ] ] ] [ ] ] ] [ x Matrisen [ (a )x S [ ] a är inte inverterbar det S a a) Vi eliminerar A till en trappform 4 [ x t (a )t t [ a
Här i steg bt vi den andra och den tredje raderna Trappformen har tre stcken pivåelementen och en övrig kolonn, således, rang och nolldim För att bestämma en bas till nollrummet bestämmer vi nollrummet först x x t, x + x + x 4, x t, AX x, x, x 4 x 4 En bas till nollrummet är tex X (,,, ) (dvs då t ) b) Vi provar att köra algoritmen på matrisform Om vi misslckas på vägen är matrisen inte inverterbar Första tre steg är i princip identitska med första tre steg i deluppgift a) Svar: A är inverterbar och inversen är A 4 4 a) Vi söker x,, z sådana att (,, ) xu + u + zu Det motsvarar ekvationssstemet (OBS att vektorerna är kolonner!) x x + + z 4 4 z Lös sstemet på din favoritsätt tex i matrisform med högerledet efter sträckan (se sid 5) 4 4 Svar: (,, ) u + u u 4 4 x ( ), ( ), z
b) Mha deluppgift a) och denitionen för en linjär avbildning (sid 6) kan man skriva F (,, ) F (u + u u ) F (u ) + F (u ) F (u ) + 4 c) Vid en linjär avbildning ändras volmer med faktorn det A, alltså V (M) det A ( ) 6 det A Tre givna vektorsambanden A, A, 4 4 A som denierar F kan skrivas som ett matrissamband A 4 {{ 4 {{ B C I princip kan man beräkna A CB och sedan beräkna det A, men det inte är tillåtet i uppgiften Vi behöver ju ingen A, utan bara det A, och det kan beräknas tex med produktregeln för determinanter det A det B det C det A det C det B Beräkna determinanterna med ert favoritsätt, tex Sarrus regel Här använder vi utveckling efter rad/kolonn och eliminering det C: utveckla efter den :a raden det C 4 8 det B: använd eliminering (:e rad:e rad :a rad) och sedan utveckla efter den :e raden det B 4 (4 ) Således, V (M) 8 6 4 Ekvivalent lösning är att notera att volmerna vid en linjär avbildning ändras med samma faktor, och ställa upp proportionen för parallellogramsvolmerna som V (F (u ), F (u ), F (u )) V (u, u, u ) V (M) 6
5 a) Enligt huvudsatsen är vektorerna linjärt beroende om och endast om determinanten nedan är noll, dvs a a 6 a a a + a 6 (a + )(a ) Svar: a och a b) Först skall vi bestämma avbildningsmatrisen för F och skall se hur den kan användas för att bilda matrisen för G Spegling i x z : normalvektor tex n (,, ) och speglingen ges av x n x n n A spegx där A speg I [ ] Projektion på x-planet (som har ekvation z ): det är bara att nollställa z-koordinaten eller e e, e e, e Avbildningsmatrisen för projektionen blir då A proj F är sammansättningen av dessa två, så blir A F en produkt (i rätt ordning!) A F A proj A speg 4 Avbildningen G fungerar så här [ ] x ˆx x G: F ŷ Vi redan vet hur F fungerar ˆx x ŷ A F Tag bort den sista nollraden för att få ] [ˆx [ ] [ ] x ŷ {{ A G ] [ˆx ŷ x [ ] x
6 a) Normera u för att få e u Här kan man ta "minus denna" som också blir rätt För att få e x-planet måste z koordinaten av e vara noll Dessutom måste e e, dvs e e En sådan vektor är tex e (eller igen "minus denna" rätt) Den sista vektor bestäms entdigt som e e e 6 6 b) Eftersom origo ligger i xz-planet kommer den att ligga även i bildplanet (linjära avbildningar avbildar origo på origo, se Exempel 6, sid 65) Alltså för att lösa uppgiften skall man bestämma vart en normaltvektor till xz-planet (tex (,, )) hamnar efter rotationen Bt den gamla HON-basen till den na HON-basen e, e, e från delupgift a) I den na basen är avbildningen en rotation kring (den na) x Avbildningsmatris är då A cos(π/) sin(π/) / / sin(π/) cos(π/) / / Sambandet mellan avbildningsmatriser i olika baser ges av A SA S (se Sats 6, sid 85) där S [e e e ] är basbtematrisen (kolonnerna är koordinaterna för de na basvektorerna i den gamla basen) Vidare är det ON till ON basbte, vilket är ekvivalent med att S är ortogonal matris, eller att S S T Vi skall nu räkna bilden på (,, ) som vi betecknar med n Eftersom n A SA S T beräknar vi den i tre steg (multiplicerar med S T, sedan resultatet med A, sedan resultatet med S) / ST / / 6 / / / 6 A Svar: x z S 6