Svar och lösningar, Modul 1.

Relevanta dokument
KTH Matematik B.Ek Lösningar tentamen 5B1928 Logik för D (och IT), 29 augusti 2007

KTH Matematik Jan Kristoferson Problemsamling. till repetitionskurs i LOGIK (5B1928) för D och IT

:1) Vid ett besök på Knarrön (där ju var och en antingen är kung (och

Kompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

p /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

Lite om bevis i matematiken

Induktion och rekursion

Lektion 8: Konstruktion av semantiska tablåer för PTL-formler

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

MA2047 Algebra och diskret matematik

Induktion och rekursion

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.

Formell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet

Om semantisk följd och bevis

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19

7, Diskreta strukturer

Viktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas:

Logik och modaliteter

Logik: sanning, konsekvens, bevis

En introduktion till logik

FTEA12:2 Filosofisk Metod. Grundläggande argumentationsanalys II

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren

Robin Stenwall Lunds universitet

Sanning och lögnare. Rasmus Blanck VT2017. FT1200, LC1510 och LGFI52

1. Öppna frågans argument

Öppna frågans argument

7, Diskreta strukturer

Formell logik Kapitel 5 och 6. Robin Stenwall Lunds universitet

Kunskap. Evidens och argument. Kunskap. Goda skäl. Goda skäl. Två typer av argument a) deduktiva. b) induktiva

1 Duala problem vid linjär optimering

K3 Om andra ordningens predikatlogik

Satslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar)

Grundläggande logik och modellteori

Lösningar till udda övningsuppgifter

10. Moralisk fiktionalism och ickedeskriptiv

Sanningens paradoxer: om ändliga och oändliga lögnare

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del II

FTEA12:4 Vetenskapsteori. Realism och anti-realism

DD1350 Logik för dataloger

Semantik och pragmatik (Serie 3)

1.5 Vad är sannolikheten för att ett slumpvis draget spelkort ska vara femma eller lägre eller knekt, dam, kung eller äss?

Logik och bevisteknik lite extra teori

Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

Subjektivism & emotivism

Logik. Dr. Johan Hagelbäck.

Moralfilosofi. Föreläsning 4

INDUKTION OCH DEDUKTION

KRITISKT TÄNKANDE I VÄRDEFRÅGOR. 8: Repetition

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

KRITISKT TÄNKANDE I VÄRDEFRÅGOR. 5: Deduktion

Moralfilosofi. Föreläsning 4

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system

Kap. 7 Logik och boolesk algebra

file:///c:/users/engström/downloads/resultat.html

Logisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1.

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer

Solen gick upp idag Solen gick upp idag. Solen går alltid upp.

Semantik och pragmatik

Logik och kontrollstrukturer

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.

Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1

Kvalificeringstävling den 28 september 2010

Formell logik Föreläsning 1. Robin Stenwall

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl

HUME HANDOUT 1. Han erbjuder två argument för denna tes. Vi kan kalla dem "motivationsargumentet" respektive "representationsargumentet.

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl

Grafer och grannmatriser

SANNING eller fake 1

Lösningsförslag till övningsuppgifter, del V

Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet

KRITISKT TÄNKANDE I VÄRDEFRÅGOR. 8: Repetition

ARITMETIK 3. Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour

Antag att b är förgreningsfaktorn, d sökdjupet, T (d) tidskomplexiteten och M(d) minneskomplexiteten.

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

Naturalism. Föreläsning Naturalismen (tolkad som en rent värdesemantisk teori) är en form av kognitivism

KUNSKAP är målet med filosofiska argument, inte (i första hand) att övertyga.

Laborationer till kursen Livförsäkringsmatematik I

DD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik

TDP015: Lektion 5 - Svar

5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Metoder för problem utan bivillkor, forts.

Svar till vissa uppgifter från första veckan.

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer Domäner Tolkningar... 3

Öppna frågans argument. Avser visa a2 godhet inte kan definieras Anses o9a som den moderna metae:kens startpunkt

FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18: Svar: Ja, det gäller, vilket kan visas på flera sätt (se nedan).

7. Om argumentet är induktivt: Är premisserna relevanta/adekvata för slutsatsen?

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

2. Kulturrelativism. KR har flera problematiska konsekvenser:

Slide 1. Slide 2. Slide 3. Kunskapsteori. Propositionell kunskap. Vilka problem skall kunskapsteorin lösa?

Moralisk rela+vism. moraliska omdömen u2rycker trosföreställningar Kan vara bokstavligen sanna Sanningsvärde beroende av våra uppfa2ningar

( 2) Ellips 1 Funktioner och ekvationer Lösningar till uppgifterna sid. 23. Uttrycken har samma värde och då är. Uppgift 301. När x = 1 är ekvationens

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men

Formell logik Föreläsning 1. Robin Stenwall

Transkript:

Svar och lösningar, Modul. A Använd t.ex. följande lexikon: H : han hör vad som sägs, D : han är döv, O : han är ouppmärksam, M : han kommer att missa mötet. Vi får svar: H ((D O) & M) B Vi har Att E bara om inte K är ett nödvändigt villkor för att antingen K eller F (eller båda), men det är också så att inte F om och endast om E. Dvs E K är ett nödvändigt villkor för K F, men det är också så att F E. Dvs svar: ((K F ) (E K)) & ( F E). C a) Kalle skrattar om Lisa kittlar honom eller han inte fryser, men det är inte bara om Lisa kittlar honom som han skrattar dvs S om (K eller inte F ), men inte (S bara om K), så ((K F ) S) & (S K). b) I den givna tolkningen: (( K F ) S ) & ( S K ) 0 0 0 0 0 Så meningen är sann under de givna omständigheterna. D Båda är betingat sanna. E A B C (A B) C (A C) & (B C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sentenserna är logiskt ekvivalenta, se de inramade kolumnerna.

F Arom sade Brom och jag är av samma typ bara om det inte är så att någon av oss är kung dvs A B bara om inte A B, så sentensen: (A B) (A B) Sanningsvärdestabell: A B (A B) (A B) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Det Arom sade är sant om och endast om han är kung, så A ((A B) (A B)) är sann. Man ser att enda möjligheten är att Arom är kung och Brom är narr. G A och B är kungar, C narr. H Presidenten är narr. I Antag att Alef är kung, dvs att han talar sanning. Då svarade Belef verkligen ja, så han kan inte vara kung (då vore hans svar inte sant) eller narr (då vore hans svar sant). Alef är alltså narr och ljög om Belefs svar, så Belef svarade nej, vilket är sant (Alef är ju inte kung). Svaret blir således: Alef är narr och Belef är kung. Formellt, om man låter A betyda Alef är kung och B betyda Belef är kung, ser man att Belef svarade ja precis om B (A & B) är sann, så A (B (A & B)) är sann. Med tabell ser man att A är falsk och B sann. J Frågan Är B och C av samma typ? är ekvivalent med Är antalet kungar bland B och C jämnt?. Oberoende av om A är kung eller narr, kommer hans svar på frågan alltså att vara ja om totala antalet kungar bland A, B och C är udda och nej om det är jämnt [tänk efter]. I det aktuella fallet är det totala antalet kungar alltså udda och C kommer också att svara ja på motsvarande fråga om A och B. K Den är logiskt giltig. L Den enda möjligheten är A, C sanna, B, D, E falska. M p q r varje modell för p gör q r sann varje modell för p och för q gör r sann varje modell för q gör p r sann q p r Svaret är alltså ja.

N Nej, det gäller inte. Det nns nämligen sentenser p, q, r så att r & p är sann i alla tolkningar som gör q sann, samtidigt som det nns tolkningar med p q sann och r falsk. Exempelvis q : (eller A & A), p : A, r : B gör q falsk i alla tolkningar, så q r & p, medan tolkningen (A, B) = (0, ) gör p q sann och r falsk, så p q r. Således (q r & p) (p q r). O Vi har: α) p q eller p r (eller båda), β) (p q) (p r), γ) p q r. γ) är inte uppfyllt precis om det nns en tolkning som gör p sann och q r falsk, dvs q och r båda falska, dvs precis om det nns en tolkning som gör både p q och p r falska, dvs (p q) (p r) falsk, dvs precis om β) inte är uppfyllt. β) γ) gäller alltså. α) betyder att antingen är q sann i alla tolkningar som gör p sann, eller så är r sann i dem alla (eller båda). Men i så fall är q r sann i alla tolkningar som gör p sann, dvs γ) är uppfyllt. Således gäller α) γ) och därmed α) β). Om p är A, q är A & B och r är A & B är tydligen varken p q eller p r sanna, så α) är inte uppfyllt, men p q r, så γ) är uppfyllt. Således γ) α) och därmed β) α). Svaret blir alltså att α) β), α) γ), β) γ), γ) β) gäller, medan β) α), γ) α) inte gäller. P Vi har (för tydlighets skull använder vi här sann och falsk om utsagor i metaspråket och 0 och om sentensers sanningsvärden i en tolkning) α)(p r eller q r) är falsk precis om varken p r eller q r, dvs om det nns en modell för p som ger r värdet 0 och en (eventuellt annan) modell för q som ger r värdet 0 β)( (p r) (q r)) är falsk precis om det nns en tolkning som ger (p r) (q r) värdet 0, dvs p r och q r båda värdet 0, dvs p och q värdet och r värdet 0, dvs om det nns en gemensam modell för p och q som ger r värdet 0 γ)( (p & q) r) är falsk precis om det nns en tolkning som ger (p & q) r värdet 0, dvs p & q värdet och r värdet 0, dvs om det nns en gemensam modell för p och q som ger r värdet 0 Tydligen är β) och γ) sanna för precis samma sentenser p, q, r. Med p : A, q : B, r : A & B blir α) falsk och β), γ) sanna. Q Slutledningen är inte giltig. Visas av tolkningen A, B falska och C sann.

R Tablå för A (B & C), C A B : 3 T : A 3 T : B & C T : A (B & C) T : C F : A B F : C 2 F : A 2 F : B 4 F : B Öppen väg 3 2 3 F : A 3 F : B & C 4 4 F : C Öppen väg Tablån sluter sig inte, så slutledningen är inte giltig. På de öppna vägarna läser man av en tolkning som visar detta: A, B och C falska. S Tablå för (A & B) C, A (B C) A C : T : (A & B) C 2 T : A (B C) 4 F : A C T : A F : C 2 T : (A & B) 2 T : C 3 3 F : A & B 4 F : A 4 T : B C 6 5 F : A 5 F : B 5 6 T : B Tablån sluter sig, så slutledningen är giltig. 6 T : C U Sentensen är en tautologi.

X () A (B C) premiss 2 (2) (B & C) premiss 3 (3) C antagande 4 (4) A antagande,4 (5) B C,4 E 6 (6) B antagande 3,6 (7) B & C 6,3 &I 2,3,6 (8) 2,7 E 9 (9) C antagande 3,9 (0) 9,3 E,2,3,4 () 5,6,8,9,0 E,2,3 (2) A 4, I,2 (3) C A 3,2 I Eftersom den önskade sentensen på rad 3 bara beror av premisserna på raderna och 2 är beviset klart. Alternativt kan vi göra om B C på rad 5 till C B medelst SI-reglerna (Com) och (Imp), varefter önskad motsägelse erhålles snabbare. Å Att visa: A (B C), B A C. Utan SI-regler: () A (B C) premiss 2 (2) B premiss 3 (3) ( A C) antagande 4 (4) A antagande,4 (5) B C,4 E 6 (6) B antagande 2,6 (7) 2,6 E 8 (8) C antagande 8 (9) A C 8 I 3,8 (0) 3,9 E,2,3,4 () 5,6,7,8,0 E,2,3 (2) A 4, I,2,3 (3) A C 2 I,2,3 (4) 3,3 E,2 (5) ( A C) 3,4 I,2 (6) A C 5 DN Med SI-regler (kortare): () A (B C) premiss 2 (2) B premiss 3 (3) A antagande,3 (4) B C,3 E,2,3 (5) C 4,2 SI(DS),2 (6) A C 3,5 I,2 (7) A C 6 SI(Imp) Eftersom slutsatsen enligt sista raden i båda fallen bara beror av premisserna på raderna och 2, är härledningen klar.

Ö Att visa: A (A B) A & B. () A (A B) premiss (2) (A (A B)) & ((A B) A) Df 3 (3) A antagande (4) A (A B) 2 &E,3 (5) A B 4,3 E,3 (6) B 5,3 E (7) A B 3,6 I (8) (A B) A 2 &E (9) A 8,7 E (0) B 7,9 E () A & B 9,0 &I Eftersom slutsatsen enligt sista raden bara beror av premissen på rad, är härledningen klar.