Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller allt beroende på vad formeln ska användas till. t = s v När man i tillämpad matematik, som till exempel fysik, står inför att beräkna ett värde på med hjälp av en formel har man två vägar att gå. Vi tar ett exempel: Volymen av materialet i röret bestäms med formeln V = π h(r r ) Låt säga att vi känner V = dm 3, h = dm och r = dm. Vilken är då ytterdiametern r? Vi får ekvationen = π(r ) = πr π πr = +π r = +π π r = r = r.5 +π π +π π Håkan Strömberg KTH STH
Ett alternativ kan vara att lösa ut r innan man sätter in de olika värdena. V = π h(r r ) V π h = r r r = V r = π h +r V π h +r Vi har nu en formel där man direkt kan räkna ut ytterdiametern när andra storheter är kända V r = π h +r som ger r = π +.5 Det är detta denna föreläsning handlar om. Metod passar bra, om man ska bestämma flera ytterradier, med olika indata. Problem. Lös ut α ur Lösning: v v 0 = αs v v 0 = αs α = v v 0 s Svar: α = v v 0 s Problem. Lös ut b ur Lösning: Svar: b = af a f Problem 3. Lös ut v ur Lösning: Svar: v = RF m a + b RF m a + b = f b = f = f a b = f a b = a f af b = af a f F = mv R F = mv R v = = v RF m Håkan Strömberg KTH STH
Problem 4. Lös ut m ur Lösning: Svar: m = W gh+v W = mgh+ mv W = mgh+ mv ( ) W = m gh+ v m = m = W gh+ v W gh+v Problem 5. Lös ut C > 0 ur formeln Z = R + ( ωl ) ωc Lösning: Svar: C = ω(ωl± Z R ) Z = R + ( ωl Z = R + ( ωl Z R = ( ωl ωc ± Z R = ωl ωc ωc ) ωc = ωl± Z R C = ω(ωl± Z R ) ωc ) ) Läxa. Lös ut a ur s = v 0 t+ at Läxa. Lös ut h ur v = gh Läxa 3. Lös ut h ur F = G Mm (R+h) Håkan Strömberg 3 KTH STH
Läxa 4. Bestäm en ekvation för linjen i figuren ovan Genom punkten (5,0) dras en linje L som är vinkelrät mot linjen i figuren. Bestäm en ekvation för L. Läxa 5. Förenkla så långt möjligt x + x Läxa 6. Lös ut den positiva storheten g ur formeln L T = π g Läxa 7. Lös ekvationen 4+ x = x Läxa 8. I den rätvinkliga triangeln ABC har man dragit en linje DE parallell med AC. Sträckan EC = 6 cm, sträckan AC = 7 cm och CBA = 35. Beräkna längden av DE. Läxa 9. Funktionen f(x) = x +3x är given. Förenkla f(+h) f() så långt möjligt Läxa 0. Den räta linjen 3x + y 6 = 0 bildar tillsammans med koordinataxlarna en triangel. Rita linjen i ett koordinatsystem och beräkna triangelns minsta vinkel. Läxa Lösning. s = v 0 t+ at s v 0 t = at (s v 0 t) = at a = (s v 0t) t Håkan Strömberg 4 KTH STH
Svar: a = (s v 0t) t Läxa Lösning. v v = gh = gh Svar: h = v g Läxa Lösning 3. h = v g F = G Mm (R+h) F(R+h) = GMm (R+h) = GMm F R+h = h = GMm F GMm F Läxa Lösning 4. a) Linjen i figuren går genom punkterna (,0) och (0,). Linjen har lutningen k = 0 0 Vi har då y = x +m. Vi sätter in punkten (,0) och får ekvationen 0 = +m, ger m =, vilket vi bör kunna se direkt i diagrammet. Linjens ekvation blir då y = x + b) Vi är på jakt efter en linje med k-värdet k. Sambandet k k = gäller för två linjer som skär varandra under rät vinkel. Vi får k ( ) = ger k =. Vi har då y = x+m. Vi vet dessutom att denna linje går genom punkten (5,0) och sätter in den i ekvationen och får 0 = 5+m, ger m = 0. Linjens ekvation är y = x. Svar: Den första linjen y = x +. Den andra linjen y = x. Läxa Lösning 5. R x + x x x x+ x x x x x+ (x )(x+) x x+ x x Svar: x x Läxa Lösning 6. ( L g L g T = π = T π ) = ( T π L g ) L T g = π g = L T 4π g = 4Lπ T Svar: g = 4Lπ T Håkan Strömberg 5 KTH STH
Läxa Lösning 7. Vi måste testa rötterna Svar: x = 6 Läxa Lösning 8. BE = BC 6 = 0 6 4 Likformighet ger nu Svar:.8 cm 4+ x = x ( x ) = (x 4) x = x 8x+6 x 9x+8 = 0 x = 9 ± 8 4 7 4 x = 9 ± 3 x = 3 x = 6 V.L. 4+ 6 6 H.L. 6 V.L. = H.L. V.L. 4+ 3 5 H.L. 3 V.L. H.L. tan35 = 7 BC BC = 7 tan35 BC = 0 DE 7 = 4 0 DE = 4 7 0 DE =.8 Läxa Lösning 9. f(+h) f() (+h) +3(+h) ( +3 ) 4+4h+h +6+3h 0 h +7h Svar: h +7h Läxa Lösning 0. Vi bestämmer skärningarna med axlarna. Först x-axeln 3x + 0 6 = 0 ger x =. Sedan y-axeln 3 0+y 6 = 0 ger y = 3. Triangeln är rätvinklig med kateterna och 3. Den minsta vinkeln, v, finns vid skärningen med y-axeln. Vi får Svar: Den minsta vinkeln är 33.7 tanv = 3 v = arctan 3 v 33.69 Håkan Strömberg 6 KTH STH
Sammanfattning: Andragradsfunktioner Vi har funktionen f(x) = ax +bx+c Funktionens nollställen får vi genom att lösa ekvationen f(x) = 0 Funktionens symmetrilinje får vi genom ax +bx+c = 0 x + bx a + c a = 0 x = b a ± b 4a c a x = b a ± b 4ac 4a x = b a ± b 4ac a x = b+ b 4ac a x = b b 4ac a x = x +x Ett alternativ är x = b a Då a > 0 har funktionen en minpunkt Då a < 0 har funktionen en maxpunkt Ett samlingsnamn för minpunkt och maxpunkt är extrempunkt. Extrempunktens y-värde får vi genom Vilket leder till extrempunkten y = b 4a +c ( b ) a, b 4a +c Funktionens skärning med y-axeln får man genom att bestämma f(0) f(0) = c Håkan Strömberg 7 KTH STH
Läxa. Funktionen y(x) = x + ax+a är given. Bestäm konstanten a så att funktionens minsta värde är 0. Läxa. Polynomet p(x) definieras som p(x) = q(x) r(x) där q(x) = x 3 7x 4 4 och r(x) = 5x 8 x 8 a) Beräkna p( ) exakt b) Bestäm x exakt så att p(x) = 4 Läxa 3. Andragradskurvan y = ax + bx + c har minimum för x =. Man vet att x = är ett nollställe och att punkten (0, ) ligger på kurvan. Bestäm värdet på konstanterna a,b och c. Läxa 4. Låt f(x) = x+. Bestäm de x-värden för vilka gäller att f(f(x)) = f(x ) Läxa 5. Om en andragradsfunktion f(x) vet man följande Symmetrilinjen är x = f(0) = 6 f(x) har ett nollställe för x = 4. Avgör om f(x) har ett minimum eller maximum och bestäm koordinaterna för denna punkt. Läxa 6. Funktionen f(x) = ax +bx+5 är given. Bestäm a och b då man vet att f( ) = och f() = 3 Läxa 7. Andragradsfunktionen f(x) = ax + bx har ett maximivärde för a < 0. Bestäm maximipunktens koordinater. Läxa Lösning. Vi vet direkt att funktionen har ett minimum efter som koefficenten framför x är > 0. Vi löser ekvationen x +ax+a = 0 med avseende på x och får x = a ± a 4 a Då minpunkten ligger på x-axeln har ekvationen en dubbelrot. Dubbelrötter förekommer då uttrycket under rottecknet. Alltså då a 4 a = 0 a ( a 4 ) = 0 a = 0 a = 4 Svar: a = 0 eller a = 4 Läxa Lösning. Vi tecknar Första a) Svar: p( ) = 8 3 p(x) = x 3 7x 4 4 ( 5x 8 x 8 p( ) = 96 39( ) 7( ) 4 Sedan b) som innebär att vi ska lösa ekvationen Svar: x = 0 och x = 39 7 96 39x 7x 4 = 4 96+39x+7x = 96 x(39 7x) = 0 x = 0 x = 39 7 ) 96 39x 7x 4 = 8 3 Håkan Strömberg KTH STH
Läxa Lösning 3. Vad vi känner till: Symmetrilijen är x =. Då nollställena ligger lika långt från symmetrilinjen och på ömse sidor. Vi får ett ekvationsystem: f( ) = 0 a b+c = 0 f(3) = 0 9a+3b+c = 0 f(0) = c = 3 (a b) = 3 9a+3b = a = 4 ger a = 3 Till sist 3 b = 0 ger b = 3 Svar: f(x) = x 3 x 3 Läxa Lösning 4. Vänstra ledet ger f(f(x)) = f(x + ) = (x + ) +. Högra ledet ger f(x ) = (x +) Ekvationen blir (x+)+ = x + 4x+3 = x + x 4x = 0 x x = 0 x = ± + x = + x = Svar: x = +,x = Läxa Lösning 5. Då symmetrilinjen är x = och ett nollställe ligger i (4, 0) måste det andra ligga i (,0). Antag att funktionen är f(x) = ax +bx+c. Då f(0) = 6 får vi att a 0 +b 0+c = 6, c = 6. Vi får följande ekvationssystem { f( ) = 0 4a b 6 = 0 f(4) = 0 6a+4b 6 = 0 med lösningen a = och b = 4. Funktionen är då f(x) = x 4x 6. Då > 0 har funktionen ett minimum som ligger i punkten (, f()) = (, 8). Svar: Minpunkt i (, 8). Läxa Lösning 6. Vi får ekvationssystemet { f( ) = a b+5 = f() = 3 4a+b+5 = 3 som i sin tur ger 4 +b = 8, b = 6 Svar: Den sökta funktionen är f(x) = x 6x+5 (a b) = 7 4a+b = 8 6a = 6 ger a = Håkan Strömberg KTH STH
Läxa Lösning 7. Vi löser ekvationen f(x) = 0 som ger Symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena Maxpunktens y-värde är då Svar: ( b ) a, b 4a ax +bx = 0 x(ax+b) = 0 x = 0 x = b a 0+( b a ) = b a ( f b ) ( = a b ) +b( b ) b a a a 4a Håkan Strömberg 3 KTH STH