5. Enkla dynamiska system

5. Enkla dynamiska system I kapitel 3 härleddes modeller för ett antal dynamiska system från olika teknikområden. Gemensamt för systemen var att de kunde beskrivas med ordinära differentialekvationer av låg ordning. I flera fall var differentialekvationerna olinjära, men dessa kan linjäriseras kring ett referenstillstånd, vanligtvis ett jämviktsläge, såsom visats i avsnitt 3.3. I detta kapitel skall vi studera egenskaperna hos vissa typer av enkla, linjära, dynamiska system. Speciellt härleds tidssvaret för systemens utsignaler för väldefinierade insignalförändringar såsom impulser och steg. Analys av systemegenskaper med hjälp av dylika insignaler kallas transientanalys. Enkla grafiska metoder för experimentell bestämning av en modell utgående från systemets stegsvar genomgås också. Bestämning av systemegenskaper, t.ex. överföringsfunktionen, utgående från mätningar av in- och utsignalerna kallas systemidentifiering. 5. Integrerande system Vi skall inleda med att studera integrerande system, som är den enklaste typen av dynamiskt system som kan beskrivas med en differentialekvation. Det förmodligen mest typiska processexemplet på ett integrerande system är en vätskebehållare. 4 Exempel 5.. Vätskebehållare. Betrakta vätskebehållaren i figur 5.. Volymen vätska i behållaren betecknas V, volymströmmen vätska som tillförs behållaren betecknas F och volymströmmen vätska som strömmar ut ur behållaren betecknas F. Märk att V är att betrakta som systemets utsignal, medan F och F är insignaler (se avsnitt.3). En massbalans kring behållaren ger under antagande av konstant densitet (som kan förkortas bort) modellen dv dt F F () Denna ekvation är linjär och vi kan direkt ersätta variablerna med Δ-variabler så att vi får dδv dt ΔF ΔF Laplacetransformering med beaktande av att begynnelstillstånden är noll ger s Δ V ( s) ΔF ( s) ΔF ( s) eller Δ V ( s) ΔF ( s) ΔF ( s) (3) s s Systemets två överföringsfunktioner är ΔV ( s) ΔV ( s) och (4) ΔF ( s) s ΔF ( s) s som enligt Laplacetransformen motsvaras av integraler i tidsplanet. 3 F V Figur 5.. Vätskebehållare. F () 5

5. Enkla dynamiska system 5. Integrerande system Allmänt kan ett linjärt integrerande system med insignalen u och utsignalen y beskrivas med differentialekvationen d y d y Ku eller u (5.) dt dt Systemets överföringsfunktion är Y ( s) K G( s) (5.) U ( s) s s Övning 5.. Härled och skissera upp (a) impulssvaret, (b) stegsvaret och (c) rampsvaret för Δ V (t) vid en förändring i inströmmen F till vätskebehållaren i figur 5.. 5. System av första ordningen Såsom framgått i avsnitt 4.4. kan ett linjärt system av första ordningen beskrivas med differentialekvationen d y + y Ku (5.3) dt där K är systemets förstärkning och dess tidskonstant. Systemet har överföringsfunktionen Y ( s) K G ( s) (5.4) U ( s) s + 5.. ransientsvar Systemets tidssvar y (t) för en given insignal u (t) kan enkelt bestämmas genom invers Laplacetransformering med hjälp av en Laplacetransformtabell. vå ofta betraktade insignalfunktioner är impulsfunktionen och stegfunktionen (se avsnitt 4..). Om systemets insignal är en impuls med tidsintegralen ( arean ) I, dvs u( t) Iδ ( t), där δ (t) är enhetsimpulsen (Diracs deltafunktion), gäller enligt Laplacetransformtabellen U ( s) I. Invers Laplacetransformering av KI Y ( s) G( s) U ( s) s + ger då impulssvaret K I t / y( t) e (5.5) Om insignalen är en stegförändring av storleken u steg, dvs u( t) ustegσ ( t), där σ (t) är enhetssteget, gäller U s) u / s. Invers Laplacetransformering av ( steg ger då stegsvaret Kusteg Y ( s) G( s) U ( s) ( s + )s t / ( e ) y( t) Ku (5.6) steg 5

5. Enkla dynamiska system 5. System av första ordningen KI/ y Ku steg y.63.37 3 4 t Figur 5.. Impulssvaret för ett system av första ordningen. 3 4 t Figur 5.3. Stegsvaret för ett system av första ordningen. Figur 5. avbildar impulssvaret och figur 5.3 stegsvaret för ett system av första ordningen. En detalj som kan vara till nytta vid uppritandet av dessa transientsvar är att kurvans begynnelseriktning (dvs dess derivata) fås genom att dra en hjälplinje mot punkten t på slutvärdesasymptoten (det nya jämviktsläget). Dessutom gäller att svarets avstånd till denna asymptot vid tiden t är / e. 368 av totala utsignalförändringen. I teorin tar det oändligt lång tid innan det nya jämviktsläget nås, men i praktiken brukar man ofta ange att det nåtts vid tiden t 4. Härvid är utsignalens förändring ca 98 % av totala förändringen. 5.. Identifiering från stegsvar Av ovanstående är det uppenbart att systemets förstärkning och tidskonstant kan identifieras (dvs bestämmas) från transientsvaret, som kan genereras experimentellt genom en lämplig förändring av insignalen. Härvid använder man sig vanligtvis av stegförändringar, bl.a. för att en väldefinierad impuls är svår att åstadkomma. Vid identifiering genom stegförsök fås systemets förstärkning enligt K y / u steg (5.7) där u steg är storleken av insignalens stegförändring och y är den totala utsignalförändringen när t. Olika metoder existerar för bestämning av systemets tidskonstant och en ev. dödtid (se avsnitt 5.4). I det följande genomgås några enkla grafiska metoder. 63 % av totala förändringen Såsom framgår av figur 5.3 kan systemets tidskonstant bestämmas utgående från skärningspunkten mellan slutvärdesasymptoten och tangenten till stegsvaret i den punkt där förändringen börjar. Eftersom det i praktiken är svårt att bestämma tangentens riktning (dvs stegsvarets begynnelsederivata) med god noggrannhet är denna metod dock mindre lämplig. Bättre är att utnyttja den punkt där stegsvaret nått 63, % av totala förändringen. Man kan enkelt visa att stegsvaret för ett första ordningens system når denna punkt när en tid lika med systemets tidskonstant har förflutit sedan stegsvarets början. idskonstanten ges med andra ord av tidskoordinaten för den punkt där 63, % av totala förändringen nås. Allmänt kan man kalla tidskonstanten som fås från 63, % av totala förändringen för ekvivalent tidskonstant även om systemet inte är av första ordningen. I praktiken innehåller ett system ofta en dödtid, t.ex. på grund av en transportfördröjning. Detta innebär att stegsvaret fördröjs med motsvarande tid, vilket bör beaktas vid identifieringen. Ett första ordningens system med en dödtid L har överföringsfunktionen 5 3

5. Enkla dynamiska system 5. System av första ordningen y/y y/y.63 y i /y L L+ t Figur 5.4. Identifiering av första ordningens system via 63 % av totala förändringen. L t i L+ t Figur 5.5. Identifiering av första ordningens system med tangentmetoden. och stegsvaret Y ( s) G( s) U ( s) Ke s + t / ( e ) (5.8) y( t + L) K u (5.9) steg En stegförändring vid t ger således ett stegsvar som startar vid tidpunkten L och når 63, % av totala förändringen vid tidpunkten L+. Båda parametrarna fås följaktligen enkelt från stegsvaret. Se illustrationen i figur 5.4, där stegsvaret normerats genom division med y. angentmetoden I praktiken har man knappast någonsin ett perfekt första ordningens system (med eller utan dödtid). Ofta har stegsvaret inte sin brantaste lutning genast i början, vilket ett system av första ordningen skulle ha, utan något senare. Det betyder att systemet är av högre ordning än första ordningen. Ibland vill man ändå approximera systemet som ett första ordningens system med dödtid. Figur 5.5 illustrerar en metod för bestämning av en sådan modell. Systemets förstärkning beräknas på normalt sätt enligt ekvation (5.7). För att bestämma dödtiden och tidskonstanten drar man en tangent genom stegsvarets inflektionspunkt ( t i, yi ), dvs den punkt där lutningen är brantast. angentens skärningspunkt med tidsaxeln ger dödtiden L och dess skärningspunkt med slutvärdesasymptoten har tidskoordinaten L +. Både Ziegler-Nichols och Cohen-Coons stegsvarsbaserade rekommendationer för inställning av PID-regulatorer (se avsnitt 8.4) utgår ifrån att modellens parametrar bestämts enligt tangentmetoden. Såsom figur 5.5 visar kan modellens stegsvar (den streckade linjen) dock avvika avsevärt från det verkliga stegsvaret. Eftersom stegsvaret för ett första ordningens system har sin brantaste lutning i början, där den är lika med den uppdragna tangentens lutning, och därefter avtar, är det lätt att inse att modellens stegsvar kommer att ligga under det verkliga stegsvaret. Den på detta sätt bestämda tidskonstanten är med andra ord för stor. Modifikation av tangentmetoden En beaktansvärd modifikation av ovannämnda två metoder erhålles om man kombinerar dem. Dödtiden bestäms då enligt tangentmetoden och tidskonstanten utgående från den ekvivalenta tidskonstanten, dvs den tid det tar för det verkliga stegsvaret att nå 63, % av totala förändringen. Såsom figur 5.6 visar ger detta förfarande en modell vars stegsvar (den streckade linjen) 5 4

5. Enkla dynamiska system 5. System av första ordningen y/y.63 y i /y.85 y/y.35 L t i L+ t Figur 5.6. Identifiering av första ordningens system genom modifierade tangentmetoden. t 35 t 85 t Figur 5.7. Identifiering av första ordningens system utgående från 35 % och 85 % av totala förändringen. överensstämmer betydligt bättre med det verkliga stegsvaret. Denna metod är också mindre störningskänslig än den ordinarie tangentmetoden eftersom man utnyttjar två punkter av stegsvaret för att bestämma modellens parametrar. Förutom ovan diskuterade brist har tangentmetoden nämligen också den nackdelen att man försöker bestämma både dödtiden och tidskonstanten utgående från stegsvarets egenskaper i en enda punkt, inflektionspunkten, som dessutom är svår att lokalisera i praktiken. Sundaresan-Krishnaswamys metod Inflektionspunkten och den punkt där stegsvaret når 63, % av totala förändringen ligger ofta relativt nära varandra. En bättre anpassning av modellens stegsvar till det verkliga stegsvaret kan förväntas om man använder två punkter som ligger något längre ifrån varandra. Sundaresan och Krishnaswamy (977) har föreslagit att man skall välja modellens parametrar så att dess stegsvar går genom de två punkter där det verkliga stegsvaret når 35 % resp. 85 % av den totala förändringen. Enligt dem minimerar detta approximativt integralen av det kvadratriska felet mellan det uppmätta stegsvaret och modellens stegsvar; se figur 5.7. Om tidskoordinaten för de två punkterna betecknas t 35 resp. t 85, kan man med hjälp av ekvation (5.9) visa att tidskonstanten och dödtiden ges av uttrycken,68( t 85 t ) (5.) 35 L t35, 43 (5.) Förstärkningen K beräknas enligt ekvation (5.7). Logaritmmetoden Det finns ett enkelt sätt att kontrollera hur väl ett experimentellt stegsvar överensstämmer med stegsvaret för ett första ordningens system (med eller utan dödtid) utan att egentligen bestämma modellens parametrar. Från ekvation (5.9) kan man härleda sambandet y y t t L ( ) ln y (5.) där y Kusteg. Om uttrycket till vänster i ekvationen, dvs naturliga logaritmen av den relativa återstående förändringen, uppritas som funktion av t, fås för ett system av första ordningen en rät linje som har lutningskoefficienten / och som skär tidsaxeln (dvs har värdet noll) i punkten t L. Samma uttryck kan enkelt beräknas och uppritas för ett godtyckligt experi- 5 5

5. Enkla dynamiska system 5. System av första ordningen z z ln( y/y ) y/y L L+ t Figur 5.8. Identifiering av första ordningens system med logaritmmetoden. t Figur 5.9. Stegsvaret för första ordningens system identifierat med logaritmmetoden. mentellt stegsvar. Om det erhållna sambandet är linjärt är systemet av första ordningen. Samtidigt erhåller man systemets tidskonstant utgående från den räta linjens lutningskoefficient och dess eventuella dödtid från linjens skärningspunkt med tidsaxeln. Om sambandet är måttligt olinjärt kan man tänka sig att bestämma en approximativ modell av första ordningen genom att anpassa en rät linje till sambandet. Det ligger då nära till hands att såsom i figur 5.8 dra linjen så att den asymptotiskt sammanfaller med det uppritade sambandet när t går mot oändligheten. Detta leder dock till en för stor dödtid och för liten tidskonstant, vilket framgår av figur 5.9, där stegsvaret för den approximativa modellen (streckad linje) jämförs med det verkliga stegsvaret (heldragen linje). Sammanfattningsvis kan man säga att den modifierade tangentmetoden och metoden föreslagen av Sundaresan och Krishnaswamy säkerligen är de bästa av de här presenterade enkla grafiska metoderna för identifiering av ett första ordningens system med dödtid. 5.3 System av andra ordningen Ett strikt propert linjärt system av andra ordningen kan beskrivas med differentialekvationen och överföringsfunktionen d y d y du + a + a y b + b u (5.3) dt dt dt Y ( s) b s + b G( s) (5.4) U ( s) s + a s + a Vi skall endast behandla system med b och i detta avsnitt endast fall där b, dvs system med överföringsfunktioner som saknar nollställe. I avsnitt 5.5 behandlas fall med b. För att framhäva systemets generella egenskaper skrivs överföringsfunktionen ofta på formen Gs () s Kωn + ζωns+ ωn (5.5) där K är systemets förstärkning, ζ benämnes relativ dämpning och ω n odämpad egenfrekvens eller naturlig frekvens. Systemet sägs vara underdämpat om ζ <, kritiskt dämpat om ζ och överdämpat om ζ >. Om ζ < är systemet instabilt. Ibland används också formen 5 6

Gs () s n K + ζ s+ n (5.6) där n / ωn. Någon allmänt vedertagen benämning på n finns inte, både naturlig period och andra ordningens tidskonstant förekommer. 5.3. ransientsvar ransientsvaret till en given insignalförändring kan på normalt sätt bestämmas genom invers Laplacetransformering. Härvid bör man beakta att lösningens form är olika beroende på om systemet är underdämpat, överdämpat eller kritiskt dämpat. Ett underdämpat system ( ζ < ) har nämligen komplexa poler (dvs rötterna till den karakteristiska ekvationen är komplexa), ett överdämpat system ( ζ > ) har reella poler och ett kritiskt dämpat system ( ζ ) har en reell dubbelpol. Kritiskt dämpat system Överföringsfunktionen för ett kritiskt dämpat system skrivs ofta på formen Gs () ( s+ ) n K (5.7) där n / ωn. Impuls- och stegsvaret fås genom invers Laplacetransformering av uttrycket Y ( s) G( s) U ( s). För en impuls av storleken I är U ( s) I, vilket ger impulssvaret KIt yt () e t / n (5.8) n För en stegförändring av storleken u steg gäller U ( s) usteg / s, vilket ger stegsvaret steg Svaren finns avbildade i figur 5. och 5. ( ζ ). / n ( n ) yt () Ku ( + t/ )e t (5.9) Överdämpat system Överföringsfunktionen för ett överdämpat andra ordningens system skrivs vanligtvis i formen n K G ( s) (5.) ( s + )( s ) + där och, är relaterade till ω och ζ enligt (vi antar att > ) Omvänt gäller Systemet har impulssvaret ζ + ζ, ω n ω n, n ζ ζ (5.) ω + ζ (5.) t / ( t / e e ) K I y( t) (5.3) 5 7

och stegsvaret t / ( t / e e ) y ( t) Kusteg (5.4) Svaren finns avbildade i figur 5. och 5. ( ζ > ). Underdämpat system Det faktum att karakteristiska ekvationen för ett underdämpat system har komplexa rötter gör att de analytiska uttrycken för systemets transientsvar innehåller trigonometriska funktioner. För impulssvaret fås där Stegsvaret blir där ζω () n t ωnβ e sin( βωn ) y t KI t (5.5) β ζ, ζ < (5.6) steg ζωnt ( β βωn ϕ ) yt () Ku e sin( t+ ) (5.7) ϕ arccos( ζ ), ζ < (5.8) Alternativt kan stegsvaret med hjälp av trigonometriska samband (eller en annan form av Laplacetransformen) uttryckas med sin( βω nt) och cos( βω nt). Svaren ses i figur 5. och 5. ( ζ < ). Normerade transientsvar Figur 5. visar impulssvaret och figur 5. stegsvaret för olika system av andra ordningen utan nollställe. När svaret och tiden normeras såsom i figurerna bestäms svaren entydigt av dämpningsfaktorn ζ. Märk att detta även gäller för kritiskt dämpade och överdämpade system. Man kan notera att transientsvaren för ett underdämpat system är oscillerande, medan transientsvaren för ett kritiskt dämpat och ett överdämpat system är mera monotona. För dessa system har impulssvaret visserligen en vändpunkt annars kunde ju inte utsignalen återgå till sitt initialvärde men stegsvaret saknar översläng. I det avseendet liknar stegsvaret för ett kritiskt dämpat eller överdämpat andra ordningens system stegsvaret för ett första ordningens system. En väsentlig skillnad är dock att stegsvaret för ett första ordningens system har sin brantaste lutning genast i början av svaret medan ett andra ordningens system inte har det. Med ledning av detta kan man avgöra om ett givet stegsvar kan vara svaret för ett första ordningens system eller inte. y KIω n ζ..3.6..5.5 5. y Ku steg ζ..3.6..5.5 5. 5 ω n t Figur 5.. Impulssvar för system av andra ordningen utan nollställe. 5 ω n t Figur 5.. Stegsvar för system av andra ordningen utan nollställe. 5 8

5.3. Identifiering av överdämpat system I detta avsnitt beskrivs en enkel metod för identifiering av ett överdämpat andra ordningens system utan nollställe utgående från dess stegsvar. Systemets överföringsfunktion ges av ekvation (5.), eller ifall en dödtid L inkluderas, G( s) Ke ( s + )( s ) + (5.9) Liksom tidigare bestäms systemets förstärkning K enligt ekvation (5.7). En eventuell dödtid ges av den tid som stegsvarets initialrespons är fördröjd i förhållande till stegförändringen. Huvudproblemet är således att bestämma systemets tidskonstanter och. I det följande antas att. Som gränsfall kan systemet vara kritiskt dämpat ( ) eller av första ordningen ( ). Modifierad Harriotts metod Harriott (964) har utvecklat en relativt enkel grafisk metod för bestämning av överföringsfunktioner av typen (5.9) utgående från stegsvar. Metoden används fortfarande rätt allmänt, men eftersom numeriska beräkningar av den typ som ligger till grund för metoden inte utgör något problem nuförtiden, skall vi här presentera en modifiering av Harriotts metod. Denna modifikation ger i allmänhet något noggrannare estimat än originalmetoden och den kan dessutom kombineras med enkla beräkningar så att resultatet ytterligare förbättras. Principiell beskrivning Alla system av typen (5.9) har ett stegsvar som når 7 % av slutliga totala förändringen vid en tidpunkt t L +,5( + ). Om man först uppskattar dödtiden L erhåller man enkelt summan av tidskonstanterna på basen stegsvaret vid denna tidpunkt. Vidare gäller att stegsvaren för system med olika värden på parametern z ( + ) är väl separerade vid tidpunkten t L +,5( + ). Parametern z ger en god karakteristik av systemets egenskaper eftersom ett första ordningens system har z, ett kritiskt dämpat system har z, 5, och för ett överdämpat system gäller,5 < z <. Figur 5. visar stegsvaret för ett första ordningens system, ett kritiskt dämpat andra ordningens system samt ett överdämpat andra ordningens system med z, 8. Stegsvaren är normerade så att utsignalen y dividerats med den slutliga förändringen y och tiden uttrycks med variabeln τ ( t L) ( + ). Såsom framgår av figuren, når stegsvaren 7 % av totala förändringen vid tiden τ τ 7, 5 och de är väl separerade vid tiden τ τ, 5. z y/y.7 y z /y z.8.5 τ (t L)/( + ).5.5 τ Figur 5.. Stegsvar för överdämpade system med olika värden på z. 5 9

idskonstanternas summa Σ i kan uppskattas utgående från tidpunkten τ 7 och stegsvarets värde vid τ z kan användas för en uppskattning av parametern z enligt diagrammet i figur 5.3. När Σ i och z är kända kan man enkelt beräkna tidskonstanterna och. Det är tack vare tidsaxelns normering i figur 5. som stegsvaren når 7 % vid samma normerade tidpunkt τ 7 samt har den goda separeringen vid en annan normerad tidpunkt τ z. Denna normering förutsätter att man känner tidskonstanternas summa samt den eventuella dödtiden, vilket man dock inte gör när man skall identifiera systemet. Lyckligtvis kan ovan beskrivna procedur även användas med den verkliga tidsvariabeln t. Konkret arbetsgång Beteckna tidpunkten när stegsvaret når 7 % av totala förändringen enligt den verkliga tidsskalan med t 7. idskonstanternas summa Σ i kan då uppskattas enligt Σ,8( t7 L) (5.3) i där L är dödtiden, som uppskattas separat. Vanligtvis kan man (inledningsvis) anta att L, såvoda det inte är uppenbart av stegsvaret att något annat värde borde användas. Låt t z beteckna den tidpunkt i den verkliga tidsskalan som motsvarar τ z,4τ 7, där stegsvaren för olika typers system avviker mest ifrån varandra. Denna tidpunkt ges då av t, 4t +,6L (5.3) z 7 Beteckna utsignalens värde vid tidpunkten t z med y z. Beräkna förhållandet yz / y, där den slutliga förändringen y, liksom y z, kan avläsas från stegsvaret och avläs parametern z ur diagrammet i figur 5.3. Beräkna därefter systemets tidskonstanter enligt z Σ i, Σi (5.3) Märk att parametern z inte kan bestämmas ur figur 5.3 om det avlästa värdet på y z är så lågt att yz / y <,7. Man bör då välja en större dödtid L och upprepa beräkningarna..4 y z /y y z stegsvar vid t.4t 7 +.6L.35.3 z /( + ).5.5.6.7.8.9 z Figur 5.3. y z för olika värden på z. 5

En iterativ förbättring Ovan beskrivna procedur ger i allmänhet tillräckligt noggranna estimat av och. Man kan dock inte förvänta sig exakta resultat, bl.a. för att den exakta tidpunkten τ 7 i själva verket varierar något med z, såsom illustreras i figur 5.4. I intervallet,6 z, 96 avviker τ 7 med mindre än % från,5 och den maximala avvikelsen är,8 % för ett första ordningens system ( z ). Om parametern z bestämd enligt metoden ovan har ett sådant värde, att τ 7 enligt figur 5.4 avviker mer än önskvärt från värdet,5, kan man förbättra estimaten av tidskonstanterna. Man bestämmer först ett nytt värde på τ 7 i enlighet med figur 5.4 för det redan beräknade värdet på z. Därefter beräknar man ett nytt estimat av tidskonstanternas summa enligt Σ ( t L τ (5.33) i 7 ) / varefter ekvation (5.3) ger nya estimat av de enskilda tidskonstanterna. Märk att estimatet av z enligt figur 5.3 inte påverkas eftersom y z inte förändras. 7.8 τ 7 τ 7 (t 7 L)/( + ).7.6.5 z /( + ).4.5.6.7.8.9 z Figur 5.4. τ 7 för olika värden på z. 4 Exempel 5.. Approximativ identifiering med första och andra ordningens system. Vi skall utgående från enhetsstegsvaret för ett system som beskrivs av överföringsfunktionen G ( s) () ( 6s + )( 4s + )( s + ) bestämma a) en approximativ modell av första ordningen med dödtid enligt modifierade tangentmetoden; b) en approximativ modell av andra ordningen med ev. dödtid enligt Harriotts modifierade metod. För jämförelsens skull skall vi också bestämma optimalt anpassade modeller av första och andra ordningen samt jämföra de olika modellernas stegsvar med det exakta stegsvaret. För enkelhets skull räknar vi med dimensionslösa tider. 5

Insignalen u är ett enhetssteg, dvs U ( s) / s. Vi får då enhetsstegsvaret Y ( s) G( s) U ( s) () (6s + )(4s + )(s + ) s Detta uttryck finns inte i vår Laplacetransformtabell, vilket innebär att vi behöver göra en partialbråksuppdelning. Vi förbigår detaljerna och konstaterar att inverstransformering av det allmänna uttrycket F( s) ( s + )( s + )( 3s + )s (3) ger tidsfunktionen 3 t / t / 3 t / e e 3 ( )( 3 ) ( 3 )( 3 ) f ( t) e (4) ( )( ) I vårt fall får vi med 6, 4 och stegsvaret 3 9 t / 6 t / 4 t / y( t) e + 4e e (5) som finns uppritat i figur 5.5. y(t) Enhetsstegsvar för systemet.95.9.85.8.75.7.65.6.55.5.45.4.35.3.5..5..5 4 6 8 4 6 8 4 6 8 3 3 34 36 38 4 4 44 46 48 5 t Figur 5.5. Enhetsstegsvaret för systemet G (s). För både a)- och b)-fallet behövs systemets förstärkning K. För ett enhetssteg är u och enligt figur 5.5 är y. Ekvation (5.7) ger då förstärkningen K. steg 5

a) Vi skall bestämma en modell av första ordningen med dödtid enligt modifierade tangentmetoden. Figur 5.5 kan med fördel användas för de grafiska konstruktioner som behövs. Vi börjar med att dra en tangent genom den punkt där stegsvaret har sin brantaste lutning och avläser var tangenten skär tidsaxeln. Skärningspunkten har tidskoordinaten t, 5, vilket ger dödtiden L, 5. Vid 63 % av totala förändringen y är y y63,63y, 63. Detta värde uppnås vid t, 5 (mycket approximativt), vilket betyder att L+,5. Vi har därmed bestämt ett system av första ordningen med K, och L, 5, dvs ett system med överföringsfunktionen,5s G ( s) e (6) s + Enhetssteget U ( s) / s samt inverstransformering av Y s) G ( s) U ( ) ger enhetsstegsvaret y t / ( t,5) e ( s + (7) Detta stegsvar finns uppritat i figur 5.6 tillsammans med det verkliga systemets stegsvar. a) Anpassat första ordningens system.9.8.7.6 y(t).5.4.3.. 5 5 5 3 35 4 45 5 t Figur 5.6. Enhetsstegsvaren för G (s) (heldragen linje) och G ( ) (streckad linje). s Man kan även bestämma modellparametrarna numeriskt genom minimering av kvadratsumman av skillnaden mellan modellens och det verkliga systemets stegsvar i ett antal punkter. En sådan optimering ger K,, 9, 5 och L 3, 83. Modellens stegsvar finns uppritat i figur 5.7 tillsammans med det verkliga stegsvaret. Felkvadratsumman blir mindre än för G ( ), men det är klart att dödtiden är för stor och även försärkningen är aningen för hög. s 5 3

Optimerat första ordningens system.9.8.7.6 y(t).5.4.3.. 5 5 5 3 35 4 45 5 t 5 4 Figur 5.7. Enhetsstegsvaren för G (s) (heldragen linje) och optimerat första ordningens system (streckad linje). b) Vi skall bestämma en modell av andra ordningen med Harriotts modifierade metod. Vi börjar med att bestämma den tidpunkt då systemet nått 7 % av den totala förändringen. Enligt figur 5.5 får vi t 7 5. Enligt stegsvaret ser det ut som om det skulle behövas en dödtid ungefär av storleken. I allmänhet får man dock som helhet en bättre anpassning genom att välja en dödtid som är aningen större än den verkliga, vilket även framgår av a)-fallet. Låt oss därför välja L, 5. Enligt ekvation (5.3) får vi då, 8. Nästa steg är att bestämma t z enligt ekvation (5.3), vilket här ger t z 6, 9. Enligt stegsvaret i figur 5.5 är vid denna tidpunkt y y z. 75, vilket då y ger z, 6 (mycket approximativt). Ur figur 5.4 kan vi då avläsa ett korrigerat τ 7, 64, som enligt ekvation (5.33) ger en korrigerad tidskonstantsumma Σ i, 68. Ekvation (5.3) ger slutligen tidskonstanterna z Σi 6, 4 och Σi 4, 7. Vi har därmed bestämt ett system av andra ordningen med överföringsfunktionen,5s G ( s) e (6,4s + )(4,7s + ) (8) som har enhetsstegsvaret t / 6,4 t / 4,7 y ( t +,5) ( 6,4e 4,7e ) (9),4 Detta stegsvar finns avbildat i figur 5.8 tillsammans med det verkliga systemets stegsvar. Enligt figuren förefaller anpassningen mycket god. En optimering av parametrarna för ett andra ordningens system med dödtid genom anpassning till det verkliga stegsvaret såsom i fall a) ger K,, 5, 35 och L, 38. Figur Σ i

5.9 visar stegsvaret för detta system tillsammans med stegsvaret för det verkliga systemet. Anpassningen är endast marginellt bättre än den som erhölls med Harriotts modifierade metod. b) Anpassat andra ordningens system.9.8.7.6 y(t).5.4.3.. 5 5 5 3 35 4 45 5 t Figur 5.8. Enhetsstegsvaren för G (s) (heldragen linje) och G ( ) (streckad linje). s Optimerat andra ordningens system.9.8.7.6 y(t).5.4.3.. 5 5 5 3 35 4 45 5 t Figur 5.9. Enhetsstegsvaren för G (s) (heldragen linje) och optimerat andra ordningens system (streckad linje). 3 5 5

5.3.3 Identifiering av underdämpat system Såsom framgår av figur 5. karakteriseras ett stegsvar av ett underdämpat system ( ζ < ) av oscillation. Uppenbarligen kan svängningarnas amplitud och frekvens utnyttjas för identifiering av ett andra ordningens underdämpat system. y max P y ( δ) y y ( δ) t r t δ Figur 5.. Stegsvaret för ett underdämpat system. System med oscillerande stegsvar kan karakteriseras med hjälp av olika parametrar som kan utläsas ur stegsvaret. Ett antal dylika parametrar finns utmärkta i figur 5.. För att underlätta de verbala parameterdefinitionerna nedan antar vi att utsignalens initialvärde är noll (dvs vi använder avvikelsevariabler) samt att stegsvarets slutvärde är positivt. Vi definierar: y Utsignalens slutliga värde (>). y max Utsignalens största värde, som är lika med första överslängens maximivärde. M Maximal relativ översläng, M ( y max y ) / y. P Svängningarnas periodtid (speciellt den första mätbara perioden). t r t δ Stigtid, som är den tid det tar innan utsignalen för första gången passerar y. Ibland definierar man stigtiden som den tid det tar att för första gången komma från % till 9 % av y. Insvängningstid, som är den tid det tar tills utsignalen i fortsättningen hålls mellan ( δ ) y och ( + δ ) y, dvs tills ( δ ) y y( t) ( + δ ) y, t tδ, gäller. Vanligtvis används δ,5 5% eller δ, %. Utgående från den analytiska lösningen av systemets stegsvar kan man härleda uttryck som relaterar dessa parametrar till parametrarna i systemets överföringsfunktion Gs () s Med användning av beteckningen Kωn + ζωns+ ωn, ζ < (5.34) β ζ (5.35) 5 6

fås för maximala relativa överslängen ymax y π ζ / β M e (5.36) y för periodtiden π P (5.37) βωn och för stigtiden tills utsignalen passerar y max, n t r π arctan( β / ζ) (5.38) βω Dessa uttryck är exakt härledda. För insvängningstiden kan ett exakt allmängiltigt uttryck inte härledas, men approximativt gäller lnδ t δ, M > δ (5.39) ζωn För identifiering av systemet är det enklast, och i princip tillräckligt, att mäta M och P. Systemets relativa dämpning ζ kan då bestämmas ur ekvationerna (5.35) och (5.36), varefter den odämpade egenfrekvensen ω n fås ur ekvation (5.37). Stigtiden och ekvation (5.38) kan även användas i stället för (5.36) eller (5.37). Systemets förstärkning K bestäms på normalt sätt enligt ekvation (5.7). Stegsvaret för ett kraftigt underdämpat system är i allmänhet känsligt för störningar, parametervariationer och avvikelser från ideala systemantaganden. I praktiken är t.ex. en stegförändring inte perfekt, såvida den inte är en börvärdesförändring, och systemet är inte exakt av andra ordningen. Sådana avvikelser påverkar främst systemets initialrespons och därmed den första överslängen. Man därför få bättre resultat om man baserar en identifiering på flera svängningar. Vi betecknar den n:te överslängens maximivärde med y max, n och den n:te underslängens minimivärde med y min, n. Dessa är med andra ord stegsvarets n:te lokala maximivärde resp. minimivärde. Utgående från ekvation (5.7) kan man då härleda ymax, n+ k y y ymin, n+ k π kζ / β e (5.4) y y y y n min, n 4Exempel 5.3. Identifiering av underdämpat andra ordningens system. Vi skall identifiera ett underdämpat andra ordningens system utgående från stegsvaret i figur 5.. idsaxeln i figuren går från till sekunder och utsignalaxeln från till,5. Ur figuren erhåller vi ymax y,7,5 M,447 och P 9,75 3,5 6, 5 y,5 Ekvation (5.35) och (5.36) kan lösas med avseende på ζ, vilket ger ln M ζ () π + (ln M ) Numeriskt får vi ζ, 485. För den odämpade egenfrekvensen ger ekv. (5.37) ω n,998. Förstärkningen K kan inte bestämmas, eftersom insignalens stegstorlek inte är given. De korrekta värdena, som använts vid uppritandet av stegsvaret, är ζ, 5 och ω n. 3 5 7

5. Enkla dynamiska system 5.4 System med dödtid 5.4 System med dödtid Med dödtid avses en fördröjning. Utsignalen från ett system bestående enbart av en dödtid L ser exakt ut som insignalen, men den är fördröjd med L tidsenheter. Om utsignalen betecknas y (t) och insignalen u (t) gäller således för en ren dödtid 5 8 y ( t + L) u( t) (5.4) I praktiken beror en dödtid ofta på transportfördröjning. Ett typiskt exempel är ett transportband. Även vid vätske- och gasströmning i en rörledning uppstår dödtider beträffande det strömmande mediets egenskaper såsom temperatur och koncentration. Mätinstrument kan ibland medföra en dödtid, t.ex. vid analys av mätsampel. Överföringsfunktionen för en dödtid av storleken L är G( s) e (5.4) Denna funktion är i princip enkel, men som bekant medför dödtider reglertekniska problem. Detta antyds också av att dödtider tillhör gruppen icke-minimumfassystem (se kapitel 7). Därtill ger dödtider ofta, speciellt i kombination med andra systemelement, analys- och beräkningsmässiga problem. Orsaken är att överföringsfunktionerna för andra typer av systemelement är rationella funktioner, medan dödtidens överföringsfunktion är en irrationell funktion. Därför har man ofta anledning att använda rationella approximationer av (5.4). Enkla rationella approximationer kan härledas från aylorserieutvecklingen av 3 e, dvs ( Ls) ( Ls) e Ls + + (5.43)! 3! Om endast de två första termerna medtas erhålles den enkla men relativt onoggranna approximationen e Ls (5.44) Om fler termer medtas fås en bättre approximation, men hanteringen av uttrycket blir i praktiken också besvärligare när polynomets gradtal stiger. En annan möjlighet är att utnyttja omskrivningen och serieutvecklingen e (5.45) Ls 3 e ( Ls) ( Ls) + Ls + + +! 3! Om endast de två första termerna i nämnaren beaktas fås approximationen e (5.46) + Ls vilket innebär att dödtiden L approximeras som ett första ordningens system med tidskonstanten L. Om fler termer medtas fås approximationer med system av högre ordning. Man kan kombinera dessa två metoder på olika sätt. Ett sätt är att utnyttja omskrivningen e Ls Ls e (5.47) e

5. Enkla dynamiska system 5.4 System med dödtid samt aylorserieutvecklingarna av täljaren och nämnaren. Om endast de två första termerna av aylorseriutvecklingarna medtas fås Ls e + (5.48) + Ls + Ls dvs ett propert, men inte strikt propert, första ordningens system, som har ganska speciella egenskaper, vilket framgår av ledet längst till höger. Padé-approximationer är en annan typ approximationer, som är härledda under vissa optimerande betingelser. Första ordningens Padé-approximation är identisk med (5.48) medan andra ordningens Padé-approximation är e + Ls + Ls + ( Ls) ( Ls) (5.49) Observera att (5.49) inte erhålls utgående från avklippta aylorserier. Padé-approximationerna det finns också approximationer av högre ordning är härledda så, att deras frekvenssvar (se kapitel 7) liknar dödtidens frekvenssvar (båda har förstärkningen vid alla frekvenser), medan tidssvaren avviker mer. Ytterligare en approximationsmöjlighet ligger nära till hands. Exponentialfunktionen nämligen definieras med hjälp av gränsvärdet Om man utnyttjar omskrivningen n x e kan x x e lim + (5.5) n n e / e e Ls fås då approximationen ( + Ls) n n (5.5) dvs ett n:te ordningens system där man själv kan välja ordningen. Ordningen n ger samma approximation som (5.46). Högre ordning ger givetvis bättre approximation. 5.5 System med inverssvar System med inverssvar uppvisar stegsvar vars riktning ändrar en eller flera gånger i början av stegsvaret. Detta skall inte förväxlas med svängningar för underdämpade system, vars stegsvar svänger kring det värde utsignalen närmar sig med tiden. System med inverssvar tillhör den grupp av system som kallas icke-minimumfassystem (se kapitel 7). Dylika system är inte ovanliga. Ett enkelt exempel är kvicksilvertermometern. Vid höjning av omgivningens temperatur utvidgar sig först glasröret, vilket får kvicksilverpelaren att sjunka. Inom kort börjar även kvicksilvret att utvidga sig (densiteten avtar) så att nivåförändringen börjar gå i rätt riktning. Ett annat exempel på samma typ av beteende är vätskenivån i en ångpanna vid ökning av matarvattentillförseln. System med inverssvar är besvärliga att reglera, eftersom man ibland får vilseledande information. Sådana system karakteriseras av en överföringsfunktion med (ett eller flera) positiva nollställen, vilket är ekvivalent med negativa tidskonstaner i dess täljare. Figur 5. illustrerar stegsvaret för en överföringsfunktion med noll, en eller två negativa täljartidkonstanter. 5 9

5. Enkla dynamiska system 5.5 System med inverssvar G(t).8.6.4.. G G G G G G ( s + )( s + ) ( s + )( s + )( s + ),5,5 ( s + )( s + ) ( s + )( s + )( s + ),5,5 ( s + )( s + ) ( s + )( s + )( s + ),5 3 3,5 3 Såsom de nämnda exemplen antyder kan system med inverssvar uppstå när man parallellkopplar två delsystem vars förstärkningar har olika tecken. Övning 5.. vå system med överföringsfunktionerna 5.4 3 4 5 t/ Figur 5.. Stegsvar med olika antal negativa täljartidkonstanter. K G och ( s + ) K G parallellkopplas så ( s + ) att ett system med överföringsfunktionen G G + G erhålles. Antag att > > och visa K att G är ett icke-minimumfassystem om > >. K 5.6 System i serie Vid analys av seriekopplade system är det viktigt att veta om systemen är interfererande eller icke-interfererande. I det förra fallet påverkas ett delsystem av efterföljande delsystem i serien, i det senare fallet påverkas varje delsystem endast av tidigare delsystem i serien. Om man t.ex. seriekopplar två exemplar av lågpassfiltret i exempel 3., så kommer de att interferera, eftersom den efterföljande kretsen belastar den förra. Om man däremot förser det första filtret med en förstärkare på utgångssidan, så att dess utspänning inte påverkas av belastningen, kommer de inte att interferera med varandra. En analog situation kan erhållas om man seriekopplar två vätskebehållare, där utströmningen sker med självtryck (jfr exempel 3.5). Om utströmmen från den första behållaren rinner fritt in i den andra existerar ingen interferens, men om behållarna är kopplade så, att utströmmen från den första behållaren strömmar genom ett rör till nedre delen av den andra behållaren, uppstår interferens pga det mottryck som vätskenivån i den andra behållaren utövar på inströmmen. Icke-interfererande delsystem i serie är enkla att hantera. Deras överföringsfunktioner kan härledas var för sig och sammanslås genom multiplikation såsom visats i avsnitt 4.3.3. Interfererande delsystem är besvärligare att hantera, eftersom de enskilda delsystemens egenskaper modifieras av interferensen. I dylika fall måste man ofta modellera och behandla delsystemen som en helhet.