5. Enkla dynamiska system

Transkript

1 I kapitel 3 härleddes modeller för ett antal dynamiska system från olika teknikområden. Gemensamt för systemen var att de kunde beskrivas med ordinära differentialekvationer av låg ordning. I flera fall var differentialekvationerna olinjära, men dessa kan linjäriseras kring ett referenstillstånd, vanligtvis ett jämviktsläge. I detta kapitel skall vi studera egenskaperna hos vissa typer av enkla, linjära, dynamiska system. Speciellt härleds tidssvaret för systemens utsignaler för väldefinierade insignalförändringar såsom impulser och steg. Analys av systemegenskaper med hjälp av dylika insignaler kallas transientanalys. Enkla grafiska metoder för experimentell bestämning av en modell utgående från systemets stegsvar genomgås också. Bestämning av systemegenskaper, t.ex. överföringsfunktionen, utgående från mätningar av in- och utsignalerna kallas systemidentifiering, eller helt enkelt identifiering. 5. Integrerande system Ett integrerande system är den enklaste typen av dynamiskt system som kan beskrivas med en differentialekvation. Det förmodligen mest typiska processexemplet på ett integrerande system är en vätskebehållare. 4Exempel 5.. Vätskebehållare. Betrakta vätskebehållaren i figur 5.. V = volymen vätska i behållaren F = volymströmmen vätska som tillförs F = volymströmmen vätska som strömmar ut Märk att V är systemets utsignal (beroende variabel), medan F och F är insignaler (oberoende variabler). Se avsnitt.3. F V Figur 5.. Vätskebehållare. F Reglerteknik I Grundkurs (493) 5 Reglerteknik I Grundkurs (493) 5 5. Integrerande system 5. Integrerande system En massbalans kring behållaren ger under antagande av konstant densitet (som kan förkortas bort) modellen dv = F F () dt Denna ekvation är linjär och vi kan direkt ersätta variablerna med Δ-variabler så att vi får d Δ V =Δ F Δ F () dt Laplacetransformering med beaktande av att begynnelstillstånden är noll ger s Δ V() s = ΔF() s Δ F() s eller Δ V() s = F() s F() s s Δ s Δ (3) Systemets två överföringsfunktioner är ΔV() s ΔV() s = och = (4) ΔF () s s ΔF () s s som enligt Laplacetransformen motsvaras av integraler i tidsplanet Allmänt kan ett linjärt integrerande system med insignalen u och utsignalen y beskrivas med differentialekvationen dy Ku dt = dy eller T u dt = (5.) Systemets överföringsfunktion är Y() s K Gs () = = = (5.) U() s s Ts Övning 5.. Härled och skissera upp (a) impulssvaret (b) stegsvaret (c) rampsvaret för Δ Vt () vid en förändring i inströmmen F till vätskebehållaren i figur

2 5.. Transientsvar 5. System av första ordningen Ett linjärt system av första ordningen kan beskrivas med differentialekvationen dy T y Ku dt + = (5.3) där K är systemets förstärkning och T dess tidskonstant. Systemet har överföringsfunktionen Y() s K Gs () = = (5.4) U() s Ts+ 5.. Transientsvar Systemets tidssvar yt () för en given insignal ut () kan enkelt bestämmas genom invers Laplacetransformering med hjälp av en Laplacetransformtabell. Två ofta betraktade insignalfunktioner är (se avsnitt 4.) impulsfunktionen stegfunktionen Impulssvaret Om systemets insignal är en impuls med tidsintegralen ( arean ) I, dvs ut () = Iδ () t där δ () t är enhetsimpulsen (Diracs deltafunktion) gäller enligt Laplacetransformtabellen U() s = I Invers Laplacetransformering av KI Y() s = G() s U() s = Ts + ger då impulssvaret KI / yt () = e t T (5.5) T Reglerteknik I Grundkurs (493) System av första ordningen Transientsvar 5.. Transientsvar Stegsvaret Om insignalen är en stegförändring av storleken u steg, dvs ut () = u σ () t där σ () t är enhetssteget, gäller Invers Laplacetransformering av ger då stegsvaret steg U() s = u / s steg Y() s = G() s U() s = ( Ts + ) 5. System av första ordningen 5 7 Ku steg / ( ) yt () e t T s = Kusteg (5.6) KI/T y.37 T T 3T 4T t Figur 5.. Impulssvaret för ett system av första ordningen. Ku steg T T 3T 4T t 5. System av första ordningen 5 8 y.63 Figur 5.3. Stegsvaret för ett system av första ordningen. Kurvornas begynnelseriktning (dvs deras derivata) fås genom att dra en hjälplinje mot punkten t = T på slutvärdesasymptoten (det nya jämviktsläget). Svarens avstånd till slutvärdesasymptoten vid tiden t = T är / e =.368 av totala utsignalförändringen. I praktiken nås nytt jämviktsläge (inom %) vid tiden t 4T ( i teorin dock lång tid).

3 5. System av första ordningen 5.. Identifiering från stegsvar 5.. Identifiering från stegsvar Av ovanstående är det uppenbart att systemets förstärkning och tidskonstant kan identifieras (dvs bestämmas) från transientsvaret, som kan genereras experimentellt genom en lämplig förändring av insignalen. Härvid använder man sig vanligtvis av stegförändringar, bl.a. för att en väldefinierad impuls är svår att åstadkomma. Vid identifiering genom stegförsök fås systemets förstärkning enligt K = y / usteg (5.7) u steg är storleken av insignalens stegförändring y = den totala utsignalförändringen när t. Olika metoder existerar för bestämning av systemets tidskonstant och en ev. dödtid (se avsnitt 5.4). I det följande genomgås några enkla grafiska metoder. 63 % av totala förändringen För ett första ordningens systemet kan tidskonstanten bestämmas utgående från skärningspunkten mellan slutvärdesasymptoten ( y = Kusteg) och tangenten (dvs derivatan) till stegsvaret i den punkt där förändringen börjar (se figur 5.3). Tidskoordinaten för denna skärningspunkt är lika med systemets tidskonstant. I praktiken är det dock svårt att bestämma tangentens riktning (dvs stegsvarets begynnelsederivata) med god noggrannhet. Bättre är att utnyttja den punkt där stegsvaret nått 63, % av totala förändringen. Man kan enkelt visa att stegsvaret för ett första ordningens system når denna punkt när en tid lika med systemets tidskonstant har förflutit sedan stegsvarets början. Tidskonstanten ges med andra ord av tidskoordinaten för den punkt där 63, % av totala förändringen nås. Allmänt kan man kalla tidskonstanten som fås från 63, % av totala förändringen för ekvivalent tidskonstant även om systemet inte är av första ordningen System av första ordningen Identifiering från stegsvar 5.. Identifiering från stegsvar I praktiken innehåller ett system ofta en dödtid, t.ex. på grund av en transportfördröjning. Stegsvaret fördröjs då med motsvarande tid, vilket bör beaktas vid identifieringen. Ett första ordningens system med en dödtid L har överföringsfunktionen y/y Y() s Ke Gs () = = (5.8) U() s Ts+.63 och stegsvaret / yt ( + L) = Kusteg e t T (5.9) L L+T t Figur 5.4. Identifiering av :a ordningens system via 63 % av totala förändringen. ( ) En stegförändring vid t = ger ett stegsvar som startar vid tidpunkten L och når 63, % av totala förändringen vid tiden L+ T. Båda parametrarna fås således från samma stegsvar. I figur 5.4 har stegsvaret normerats genom division med y. 5. System av första ordningen 5 Tangentmetoden I praktiken har man knappast någonsin ett perfekt första ordningens system (med eller utan dödtid). Ofta har stegsvaret inte sin brantaste lutning genast i början, vilket ett system av första ordningen skulle ha. Det betyder att systemet är av högre ordning än första ordningen. Ibland vill man ändå approximera systemet som ett :a ordningens system med dödtid. y/y L t L+T t i Figur 5.5 illustrerar en sådan metod. Systemets förstärkning beräknas på normalt sätt enligt ekvation (5.7). För dödtiden och tidskonstanten dras en tangent genom stegsvarets inflektionspunkt ( ti, y i), dvs där lutningen är brantast. Tangentens skärningspunkt med tidsaxeln ger dödtiden L, skärningspunkten med slutvärdesasymptoten har tidskoordinaten L T 5. System av första ordningen 5 y i /y Figur 5.5. Identifiering av :a ordningens system med tangentmetoden. +.

4 5.. Identifiering från stegsvar 5.. Identifiering från stegsvar Både Ziegler-Nichols och Cohen-Coons stegsvarsbaserade rekommendationer för inställning av PID-regulatorer (se avsnitt 8.4) utgår ifrån att modellens parametrar bestämts enligt tangentmetoden. Såsom figur 5.5 visar kan modellens stegsvar (den streckade linjen) dock avvika avsevärt från det verkliga stegsvaret. Eftersom stegsvaret för ett första ordningens system har sin brantaste lutning i början, där den är lika med den uppdragna tangentens lutning, och därefter avtar, är det lätt att inse att modellens stegsvar alltid kommer att ligga under det verkliga stegsvaret. Den med tangentmetoden bestämda tidskonstanten är med andra ord för stor. Detta hindrar inte att metoden kan var ok för regulatorinställning, men den är relativt dålig för modellidentifiering. 5. System av första ordningen 5 3 Modifikation av tangentmetoden En beaktansvärd modifikation av ovannämnda två metoder erhålles om man kombinerar dem. Man bestämmer då dödtiden enligt tangentmetoden tidskonstanten = den ekvivalenta tidskonstanten, dvs tiden det tar för stegsvaret att nå 63, % av hela förändringen. Detta förfarande ger en modell vars stegsvar (den streckade linjen i figur 5.6) överensstämmer betydligt bättre med det verkliga stegsvaret. y/y L t L+T t i Denna metod är också mindre störningskänslig eftersom man utnyttjar två punkter av stegsvaret för att bestämma modellens parametrar. Enligt ordinarie tangentmetoden försöker bestämma både dödtiden och tidskonstanten utgående från stegsvarets egenskaper i en enda punkt, inflektionspunkten, som dessutom är svår att hantera i praktiken. 5. System av första ordningen y i /y Figur 5.6. Identifiering av :a ordningens system med modifierade tangentmetoden. 5.. Identifiering från stegsvar 5.. Identifiering från stegsvar Sundaresan-Krishnaswamys metod Inflektionspunkten och den punkt där stegsvaret når 63, % av totala.85 förändringen ligger ofta nära varandra. En bättre anpassning kan förväntas om man använder två punkter som ligger något längre ifrån varandra. y/y.35 Enligt Sundaresan och Krishnaswamy (977) skall man använda de två punkter där det verkliga stegsvaret når 35 % resp. t 35 t 85 t 85 % av den totala förändringen. Om tidskoordinaten för de två punkterna Figur 5.7. Identifiering av :a ordningens system från 35% och 85% av förändringen. betecknas t 35 resp. t 85, kan man med hjälp av ekvation (5.9) härleda T =,68( t85 t35) (5.) L = t35,43t (5.) Förstärkningen K beräknas enligt ekvation (5.7). 5. System av första ordningen 5 5 Logaritmmetoden Det finns ett enkelt sätt att kontrollera hur väl ett experimentellt stegsvar stämmer överens med stegsvaret för ett första ordningens system (med eller utan dödtid) utan att egentligen bestämma modellens parametrar. Från ekvation (5.9) kan man härleda sambandet () ln y y t t L y =, y Kusteg T = (5.) Om uttrycket till vänster i ekvationen uppritas som funktion av t, fås för ett system av första ordningen en rät linje som har lutningskoefficienten /T och som skär tidsaxeln (dvs har värdet noll) i punkten t = L. Samma uttryck kan beräknas och uppritas för ett godtyckligt experimentellt stegsvar. Om det erhållna sambandet är tillräckligt linjärt är systemet av första ordningen. Samtidigt får man systemets tidskonstant utgående från den räta linjens lutningskoefficient och dess eventuella dödtid från linjens skärningspunkt med tidsaxeln. 5. System av första ordningen 5 6

5 5.. Identifiering från stegsvar 5.. Identifiering från stegsvar Om sambandet är måttligt olinjärt kan man tänka sig att bestämma en approximativ modell av första ordningen genom att anpassa en rät linje till sambandet. Det ligger nära till hands att dra linjen så att den asymptotiskt sammanfaller med det uppritade experimentella sambandet när t går mot oändligheten. Detta ger dock en för stor dödtid och för liten tidskonstant. Bör välja mindre lutning. z = ln( y/y ) y/y Sammanfattningsvis kan man säga att den modifierade tangentmetoden metoden föreslagen av Sundaresan och Krishnaswamy (punkterna 35% och 85%) är säkerligen de bästa av de här presenterade enkla grafiska metoderna för identifiering av ett första ordningens system med dödtid. z L L+T t Figur 5.8. Identifiering av :a ordningens system med logaritmmetoden. t Figur 5.9. Stegsvaret för :a ordningens system identifierat med logaritmmetoden. 5. System av första ordningen System av första ordningen System av andra ordningen 5.3 System av andra ordningen Ett strikt propert linjärt system av andra ordningen kan beskrivas med differentialekvationen d y dy du + a + ay = b + bu (5.3) dt dt dt och överföringsfunktionen Y() s bs + b Gs () = = (5.4) U() s s + as + a Vi skall endast behandla system med b och i detta avsnitt endast fall där b =, dvs system med överföringsfunktioner som saknar nollställe. I avsnitt 5.5 behandlas fall med b. För att framhäva systemets generella egenskaper skrivs överföringsfunktionen ofta på formen Kωn Gs () = (5.5) s + ζωns+ ωn där K är systemets förstärkning, ζ benämnes relativ dämpning och ω n odämpad egenfrekvens eller naturlig frekvens. Ibland används också formen K Gs () = (5.6) Tn s + ζ Tns+ där Tn = / ωn. Någon allmänt vedertagen benämning på T n finns inte, både naturlig period och andra ordningens tidskonstant förekommer. Systemet sägs vara underdämpat om ζ <, kritiskt dämpat om ζ = och överdämpat om ζ >. Om ζ < är systemet instabilt. Reglerteknik I Grundkurs (493) 5 9 5

6 5.3 System av andra ordningen 5.3. Transientsvar 5.3. Transientsvar Transientsvaret till en given insignalförändring kan på normalt sätt bestämmas genom invers Laplacetransformering. Härvid bör man beakta att lösningens form är olika beroende på om systemet är underdämpat överdämpat kritiskt dämpat Orsaken är att ett underdämpat system ( ζ < ) har komplexa poler (dvs rötterna till den karakteristiska ekvationen är komplexa) ett överdämpat system ( ζ > ) har reella poler ett kritiskt dämpat system ( ζ = ) har en reell dubbelpol Kritiskt dämpat system Överföringsfunktionen för ett kritiskt dämpat system skrivs ofta på formen K Gs () = Ts+ ( ) n (5.7) där Tn = / ωn. Impuls- och stegsvaret fås genom invers Laplacetransformering av uttrycket Y() s = G() s U() s. För en impuls av storleken I är U() s = I, vilket ger impulssvaret KIt t/ Tn yt () = e (5.8) Tn För en stegförändring av storleken u steg gäller U() s = usteg / s, vilket ger stegsvaret t/ Tn yt () = Kusteg ( + t/ T n )e (5.9) ( ) Svaren finns avbildade i figur 5. och 5. ( ζ = ) System av andra ordningen Transientsvar 5.3. Transientsvar Överdämpat system Överföringsfunktionen för ett överdämpat andra ordningens system skrivs oftast i formen K Gs () = (5.) ( Ts + )( Ts+ ) där T och T är relaterade till ω n och ζ enligt (antages T > T ) ζ + ζ ζ ζ T+ T T =, T = (5.) ω n =, ζ = (5.) ωn ωn TT TT Systemet har impulssvaret KI t ( / T t () e e / T yt = ) (5.3) T T och stegsvaret t ( / T t () / T yt = Kusteg T e T e ) (5.4) T T Svaren finns avbildade i figur 5. och 5. ( ζ > ). 5.3 System av andra ordningen 5 3 Underdämpat system Det faktum att karakteristiska ekvationen för ett underdämpat system har komplexa rötter gör att de analytiska uttrycken för systemets transientsvar innehåller trigonometriska funktioner. För impulssvaret fås ζ ωn yt () = KIω e t nβ sin( βωnt) (5.5) där β = ζ, ζ < (5.6) Stegsvaret blir ζωn yt () = Kusteg ( β e t sin( βωnt+ φ) ) (5.7) där φ = arccos( ζ), ζ < (5.8) Alternativt kan stegsvaret med hjälp av trigonometriska samband (eller en annan form av Laplacetransformen) uttryckas med sin( βω n t ) och cos( βω n t ). Svaren ses i figur 5. och 5. ( ζ < ). 5.3 System av andra ordningen 5 4

7 5.3. Transientsvar 5.3 System av andra ordningen Normerade transientsvar Figur 5. visar impulssvaret och figur 5. stegsvaret för olika system av andra ordningen utan nollställe. När svaret och tiden normeras såsom i figurerna bestäms svaren entydigt av dämpningsfaktorn ζ. Transientsvaren för ett underdämpat system är oscillerande, medan de för ett kritiskt dämpat och ett överdämpat system är monotona. ζ =. ζ =. y.3 y KIω Ku n steg ω n t Figur 5.. Impulssvar för system av andra ordningen utan nollställe. 5 ω n t 5.3 System av andra ordningen Figur 5.. Stegsvar för system av andra ordningen utan nollställe Identifiering av överdämpat system Här beskrivs en enkel metod för identifiering av ett överdämpat andra ordningens system utan nollställe utgående från dess stegsvar. Systemets överföringsfunktion ges av ekvation (5.), eller ifall en dödtid L inkluderas, Ke Gs () = (5.9) ( Ts + )( Ts+ ) Liksom tidigare bestäms systemets förstärkning K enligt ekvation (5.7). En eventuell dödtid ges av den tid som stegsvarets initialrespons är fördröjd i förhållande till stegförändringen. Huvudproblemet är således att bestämma systemets tidskonstanter T och T. I det följande antas att T T. Som gränsfall kan systemet vara kritiskt dämpat ( T = T ), av första ordningen ( T = ) Identifiering av överdämpat system 5.3. Identifiering av överdämpat system Modifierad Harriotts metod Harriott (964) har utvecklat en relativt enkel grafisk metod för bestämning av överföringsfunktioner av typen (5.9) utgående från stegsvar. Eftersom numeriska beräkningar av den typ som ligger till grund för metoden inte utgör något problem nuförtiden, skall vi här presentera en något förbättrad version av Harriotts metod. Principiell beskrivning Alla system av typen (5.9) har ett stegsvar som når 7 % av slutliga totala förändringen vid en tidpunkt t L+, 5( T+ T). Om man först uppskattar dödtiden L får man enkelt summan av tidskonstanterna från stegsvaret vid denna tidpunkt. Stegsvaren för system med olika värden på parametern z = T ( T+ T) är väl separerade vid tidpunkten t = L+,5( T+ T). Parametern z ger en god karakteristik av systemets egenskaper eftersom ett första ordningens system har z =, ett kritiskt dämpat :a ordningens system har z =,5, för ett överdämpat :a ordningens system gäller,5 < z <. 5.3 System av andra ordningen 5 7 Figur 5. visar stegsvaret för ett första ordningens system, ett kritiskt dämpat andra ordningens system samt ett överdämpat andra ordningens system med z =,8. Stegsvaren är normerade så att utsignalen y dividerats med slutliga y/y förändringen y och tiden anges.7 med variabeln τ = ( t L) ( T+ T). Stegsvaren når 7 % av totala förändringen vid τ = τ 7, 5 och de är väl separerade vid τ = τ y z /y z, 5. Tidskonstanternas summa Σ Ti kan uppskattas utgående från tidpunkten τ 7 och stegsvarets värde vid τ z kan.5.5 τ användas för en uppskattning av Figur 5.. Stegsvar för överdämpade :a parametern z enligt diagrammet i ordningens system med olika värden på z. figur 5.3. När Σ Ti = T+ T och z = Ti / Σ Ti är kända kan tidskonstanterna T och T beräknas. z =.8.5 τ = (t L)/(T +T ) 5.3 System av andra ordningen 5 8

8 5.3. Identifiering av överdämpat system 5.3. Identifiering av överdämpat system Det är tack vare tidsaxelns normering i figur 5. som stegsvaren når 7 % vid samma normerade tidpunkt τ 7 samt har den goda separeringen vid en annan normerad tidpunkt τ z. Denna normering förutsätter att man känner tidskonstanternas summa samt den eventuella dödtiden, vilket man dock inte gör när man skall identifiera systemet. Konkret arbetsgång Lyckligtvis kan proceduren omformas så att den kan användas med den verkliga tidsvariabeln t. Beteckna tidpunkten när stegsvaret når 7 % av totala förändringen enligt den verkliga tidsskalan med t 7. Uppskatta tidskonstanternas summa Σ Ti enligt Σ Ti =,8( t7 L) (5.3) där L är dödtiden, som uppskattas separat. Ofta kan man (inledningsvis) anta att L =, såvida det inte är uppenbart av stegsvaret att något annat värde vore bättre. 5.3 System av andra ordningen 5 9 Låt t z beteckna den tidpunkt i den verkliga tidsskalan som motsvarar τ z =, 4τ 7, där stegsvaren för olika typers system avviker mest ifrån varandra. Denna tidpunkt ges av tz =, 4t7 +,6L (5.3).4 y = stegsvar vid t =.4t +.6L Beteckna utsignalens värde vid z 7 y /y z denna tidpunkt med y z. Beräkna förhållandet y.35 z / y, där den slutliga förändringen y, liksom y z, kan avläsas från stegsvaret..3 Avläs ur diagrammet i figur 5.3 det z som motsvarar yz / y. Om z = T /(T +T ) yz / y <,7, kan z dock inte.5 bestämmas. Proceduren ovan upprepas då med en större dödtid L z Figur 5.3. y Beräkna systemets tidskonstanter z för olika värden på z. T = zσ Ti, T =ΣTi T (5.3) 5.3 System av andra ordningen Identifiering av överdämpat system 5.3. Identifiering av överdämpat system Iterativ förbättring Ovan beskrivna procedur ger i allmänhet tillräckligt noggranna estimat av T och T. Metoden baserar sig på antagandet τ 7 =, 5, men såsom figur 5.4 visar varierar dock τ 7 något med z..8 τ Om τ 7 enligt figur 5.4 avviker mer 7 τ 7 = (t 7 L)/(T +T ) än önskvärt från värdet, 5, kan.7 estimaten av tidskonstanterna förbättras på följande sätt:.6 Avläs τ 7 ur figur 5.4 för det redan beräknade värdet på z..5 Beräkna nytt estimat av Σ Ti enligt z = T /(T +T ) Σ Ti = ( t7 L)/ τ 7 (5.33).4 Beräkna nya estimat av tidskonstanterna enligt (5.3). Figur 5.4. τ 7 för olika värden på z z Märk att estimatet av z enligt figur 5.3 inte påverkas eftersom y z inte förändras. 5.3 System av andra ordningen 5 3 4Exempel 5.. Approximativ identifiering med :a och :a ordningens system. Vi skall utgående från enhetsstegsvaret för ett system som beskrivs av överföringsfunktionen Gs () = () ( 6s+ )( 4s+ )( s+ ) bestämma a) en approximativ modell av första ordningen med dödtid enligt modifierade tangentmetoden; b) en approximativ modell av andra ordningen med ev. dödtid enligt Harriotts modifierade metod. För jämförelsens skull skall vi också bestämma optimalt anpassade modeller av första och andra ordningen samt jämföra de olika modellernas stegsvar med det exakta stegsvaret. För enkelhets skull räknar vi med dimensionslösa tider (dvs vi använder ingen enhet). 5.3 System av andra ordningen 5 3

9 5.3. Identifiering av överdämpat system 5.3. Identifiering av överdämpat system Insignalen u är ett enhetssteg, dvs U() s = / s. Vi får då enhetsstegsvaret Y() s = G() s U() s = () (6s + )(4s+ )(s+ ) s Detta uttryck finns inte i vår Laplacetransformtabell, vilket innebär att vi behöver göra en partialbråksuppdelning. Vi förbigår detaljerna och konstaterar att inverstransformering av det allmänna uttrycket Fs () = (3) ( Ts + )( Ts + )( Ts 3 + ) s ger tidsfunktionen T t/ T T t/ T T f() t = e e e ( T T )( T T ) ( T T )( T T ) ( T T )( T T ) t/ T3 I vårt fall får vi med T = 6, T = 4 och T 3 = stegsvaret 9 t/6 t/4 t/ yt () = e + 4e e (5) som finns uppritat i figur 5.5. (4) För både a)- och b)-fallet behövs systemets förstärkning K. För ett enhetssteg är u steg = och enligt figur 5.5 är y =. Ekvation (5.7) ger då förstärkningen K =. Figur 5.5. Enhetsstegsvaret för systemet Gs. () y(t) Enhetsstegsvar för systemet t 5.3 System av andra ordningen System av andra ordningen Identifiering av överdämpat system 5.3. Identifiering av överdämpat system a) Vi skall bestämma en modell av första ordningen med dödtid enligt modifierade tangentmetoden. Vi börjar med att dra en tangent genom den punkt där stegsvaret har sin brantaste lutning och avläser var tangenten skär tidsaxeln. Skärningspunkten har tidskoordinaten t, 5, vilket ger dödtiden L,5. Vid 63 % av totala förändringen y är y = y63 =,63y =,63. Detta värde uppnås vid t,5 (mycket approximativt), vilket betyder att L+ T,5. Vi har bestämt ett system av första ordningen med K =, T = och L =,5, dvs ett system med överföringsfunktionen,5s G () s = e (6) s + Enhetssteget U() s = / s samt inverstransformering av Y () s = G () s U() s ger enhetsstegsvaret / (,5) e y t+ = t (7) Figur 5.6 visar detta stegsvar tillsammans med det verkliga systemets stegsvar. 5.3 System av andra ordningen 5 35 Man kan även bestämma modellparametrarna numeriskt genom minimering av kvadratsumman av skillnaden mellan modellens och det verkliga systemets stegsvar i ett antal punkter. En sådan optimering ger K =,, T = 9,5 och L = 3,83. y(t) a) Anpassat första ordningens system t t 5.3 System av andra ordningen 5 36 y(t) Optimerat första ordningens system Figur 5.6. Enhetsstegsvaren för Gs () Figur 5.7. Enhetsstegsvaren för Gs () (heldragen linje) och () och optimerad anpassning (streckad linje).

10 5.3. Identifiering av överdämpat system 5.3. Identifiering av överdämpat system b) Vi skall bestämma en modell av andra ordningen med Harriotts modifierade metod. Vi börjar med att bestämma den tidpunkt då systemet nått 7 % av den totala förändringen. Enligt figur 5.5 får vi t 7 5. På basen av stegsvaret ser det ut som om det skulle behövas en dödtid L. I allmänhet får man dock som helhet en bättre anpassning genom att välja en dödtid som är aningen större än den verkliga, vilket även framgår av a)-fallet. Låt oss därför välja L =, 5. Enligt ekvation (5.3) får vi då ΣT i,8. Nästa steg är att bestämma t z enligt ekvation (5.3), vilket här ger tz 6, 9. Enligt stegsvaret i figur 5.5 är vid denna tidpunkt y = y z.75, vilket då y = ger z,6 (mycket approximativt). Ur figur 5.4 kan vi då avläsa ett korrigerat τ 7, 64, som enligt ekvation (5.33) ger en korrigerad tidskonstantsumma ΣT i,68. Ekvation (5.3) ger tidskonstanterna T = zσt i 6, 4 och T =ΣTi T 4, 7. Vi har bestämt ett system av andra ordningen med överföringsfunktionen,5s G () s = e (8) (6,4s+ )(4,7 s+ ) som har enhetsstegsvaret t/6,4 t/4,7 y ( t+,5) = ( 6,4e 4,7e ) (9),4 Detta stegsvar finns avbildat i figur 5.8 tillsammans med det verkliga systemets stegsvar. Enligt figuren förefaller anpassningen mycket god. En optimering av parametrarna för ett andra ordningens system med dödtid genom anpassning till det verkliga stegsvaret ger K =,, T = T = 5,35 och L =, 38. Figur 5.9 visar stegsvaret för detta system och stegsvaret för det verkliga systemet. Anpassningen är endast marginellt bättre än den som erhölls med Harriotts modifierade metod. 5.3 System av andra ordningen System av andra ordningen Identifiering av överdämpat system 5.3 System av andra ordningen y(t) b) Anpassat andra ordningens system t y(t) Optimerat andra ordningens system t Identifiering av underdämpat system Såsom framgår av figur 5. karakteriseras ett stegsvar av ett underdämpat system ( ζ < ) av oscillation. Uppenbarligen kan svängningarnas amplitud och frekvens utnyttjas för identifiering av ett andra ordningens underdämpat system. System med oscillerande stegsvar kan karakteriseras med hjälp av olika parametrar som kan utläsas ur stegsvaret. Ett antal dylika parametrar finns utmärkta i figur 5.. För att underlätta de verbala parameterdefinitionerna antar vi att utsignalens initialvärde är noll (dvs vi använder avvikelsevariabler) stegsvarets slutvärde är positivt (dvs en insignalförändring så att utsignalen ökar) Figur 5.8. Enhetsstegsvaren för Gs () Figur 5.9. Enhetsstegsvaren för Gs () (heldragen linje) och G () s (streckad). och optimerad anpassning (streckad linje) System av andra ordningen

11 5.3.3 Identifiering av underdämpat system Identifiering av underdämpat system y Utsignalens slutliga värde (>). y max Utsignalens största värde, dvs första överslängens max-värde. M Maximal relativ översläng, M = ( ymax y )/ y. P t r t δ Svängningarnas periodtid (speciellt den första perioden). Stigtid = tiden tills utsignalen första gången passerar y. Ibland def. stigtiden som den tid det tar att första gången komma från % till 9 % av y. y max y ( δ) y y ( δ) Insvängningstid, som är den tid det tar tills utsignalen i fortsättningen hålls mellan ( δ ) y och ( + δ ) y, dvs tills ( δ ) y y( t) ( + δ ) y, t t δ, gäller. Vanligtvis används δ =,5 = 5% eller δ =, = %. t r P Figur 5.. Stegsvar för ett underdämpat system. t δ Utgående från den analytiska lösningen av systemets stegsvar kan man härleda uttryck som relaterar dessa parametrar till parametrarna i systemets överföringsfunktion Gs () = s Kωn + ζωns+ ωn, ζ < (5.34) = (5.35) Med användning av beteckningen β ζ fås för maximala relativa överslängen: ymax y π ζ / β M = = e y (5.36) för periodtiden: π P = βωn (5.37) för stigtiden tills utsignalen passerar y : π arctan( β / ζ ) tr = βωn (5.38) Dessa uttryck är exakt härledda. För insvängningstiden gäller approximativt ln( δ ) t δ, M > δ ζω (5.39) n 5.3 System av andra ordningen System av andra ordningen Identifiering av underdämpat system Identifiering av underdämpat system Identifiering Det är enklast, och i princip tillräckligt, att mäta M och P. Systemets relativa dämpning ζ kan bestämmas ur ekvationerna (5.35) och (5.36). Den odämpade egenfrekvensen ω n fås ur ekvation (5.37). Stigtiden och ekvation (5.38) kan även användas i stället för (5.36) eller (5.37). Systemets förstärkning K bestäms på normalt sätt enligt ekvation (5.7). Stegsvaret för ett kraftigt underdämpat system är i allmänhet känsligt för störningar, parametervariationer och avvikelser från ideala systemantaganden. påverkar främst systemets initialrespons och därmed den första överslängen bättre resultat om man baserar en identifiering på flera svängningar Vi betecknar den n:te överslängens maximivärde med y max,n och den n:te underslängens minimivärde med y min,n. Utgående från ekvation (5.7) kan man härleda ymax, n+ k y y ymin, n+ k π kζ / β = = e (5.4) y y y y max, n min, n 5.3 System av andra ordningen Exempel 5.3. Identifiering av underdämpat andra ordningens system. Vi skall identifiera ett underdämpat andra ordningens system på basen av stegsvaret i figur 5.. Tidsaxeln i figuren går från till sekunder och utsignalaxeln från till,5. Ur figuren erhåller vi ymax y,7, 5 M = =, 447 och P 9,75 3,5 = 6,5 y, 5 Ekvation (5.35) och (5.36) kan lösas med avseende på ζ, vilket ger ln( M ) ζ = () π + ln ( M ) Numeriskt fås ζ =,485. För den odämpade egenfrekvensen ger ekvation (5.37) ω n =,998. Förstärkningen K kan inte bestämmas, eftersom insignalens stegstorlek inte är given. De korrekta är ζ =, 5 och ω n = System av andra ordningen 5 44

12 5.4 System med dödtid 5.4 System med dödtid Med dödtid avses en fördröjning. Utsignalen från ett system bestående enbart av en dödtid L ser exakt ut som insignalen, men den är fördröjd med L tidsenheter. Om utsignalen betecknas yt () och insignalen ut () gäller således för en ren dödtid yt ( + L) = ut ( ) (5.4) I praktiken beror en dödtid ofta på transportfördröjning. Ett typiskt exempel är ett transportband. Även vid vätske- och gasströmning i en rörledning uppstår dödtider beträffande det strömmande mediets egenskaper såsom temperatur och koncentration. Mätinstrument kan ibland medföra en dödtid, t.ex. vid analys av mätsampel. Överföringsfunktionen för en dödtid av storleken L är Gs () = e Ls (5.4) Denna funktion är i princip enkel, men som bekant medför dödtider reglertekniska problem. Reglerteknik I Grundkurs (493) 5 45 Detta antyds av att dödtider tillhör gruppen icke-minimumfassystem (se kapitel 7). Därtill ger dödtider ofta, speciellt i kombination med andra systemelement, analysoch beräkningsmässiga problem. Orsaken är att överföringsfunktionerna för andra typer av systemelement är rationella funktioner, medan dödtidens överföringsfunktion är en irrationell funktion. Därför har man ofta anledning att använda rationella approximationer av (5.4). Enkla rationella approximationer kan härledas från Taylorserieutvecklingen av e Ls, dvs 3 ( Ls) ( Ls) e = Ls + + (5.43)! 3! De två första termerna ger den enkla men relativt onoggranna approximationen e Ls (5.44) Om fler termer medtas fås en bättre approximation, men hanteringen av uttrycket blir i praktiken också besvärligare när polynomets gradtal stiger System med dödtid 5.4 System med dödtid En annan möjlighet är att utnyttja omskrivningen och serieutvecklingen e = = Ls 3 e ( Ls) ( Ls) + Ls + + +! 3! (5.45) Om endast de två första termerna i nämnaren beaktas fås approximationen e (5.46) + Ls vilket innebär att dödtiden L approximeras som ett första ordningens system med tidskonstanten L. Om fler termer medtas fås approximationer med system av högre ordning. Man kan kombinera metoderna på olika sätt. Ett sätt är att utnyttja omskrivningen Ls e e = (5.47) Ls e och Taylorserieutvecklingarna av täljaren och nämnaren. Om endast de två första termerna av Taylorseriutvecklingarna medtas fås Ls e = + (5.48) + Ls + Ls dvs ett propert, men inte strikt propert, första ordningens system, som har ganska speciella egenskaper, vilket framgår av ledet längst till höger

13 5.4 System med dödtid 5.4 System med dödtid Padé-approximationer är en annan typ approximationer, som är härledda under vissa optimerande betingelser. Första ordningens Padé-approximation är identisk med (5.48) medan andra ordningens Padé-approximation är Ls + ( Ls) e (5.49) + Ls ( Ls) + Observera att (5.49) inte erhålls utgående från avklippta Taylorserier. Padé-approximationerna det finns också approximationer av högre ordning är härledda så, att deras frekvenssvar (se kapitel 7) liknar dödtidens frekvenssvar (båda har förstärkningen vid alla frekvenser), medan tidssvaren avviker mer. Ytterligare en approximationsmöjlighet ligger nära till hands. Exponentialfunktionen e x kan nämligen definieras med hjälp av gränsvärdet n x x e = lim + n n (5.5) Ls Om man utnyttjar omskrivningen e = /e fås då approximationen e (5.5) n ( + n Ls ) dvs ett n:te ordningens system där man själv kan välja ordningen. Ordningen n = ger samma approximation som (5.46). Högre ordning ger givetvis bättre approximation System med inverssvar 5.5 System med inverssvar System med inverssvar uppvisar stegsvar vars riktning ändrar en eller flera gånger i början av stegsvaret. Detta skall inte förväxlas med svängningar för underdämpade system, vars stegsvar svänger kring det värde utsignalen närmar sig med tiden. System med inverssvar tillhör den grupp av system som kallas icke-minimumfassystem (se kapitel 7). System med inverssvar är inte ovanliga. Ett enkelt exempel är kvicksilvertermometern. Vid höjning av omgivningens temperatur utvidgar sig först glasröret, vilket får kvicksilverpelaren att sjunka. Inom kort börjar även kvicksilvret att utvidga sig (densiteten avtar) så att nivåförändringen börjar gå i rätt riktning. Ett annat exempel på samma typ av beteende är vätskenivån i en ångpanna vid ökning av matarvattentillförseln. Reglerteknik I Grundkurs (493) 5 5 System med inverssvar är besvärliga att reglera, eftersom man ibland får vilseledande information. Dylika system karakteriseras av en överföringsfunktion med (ett eller flera) positiva nollställen, vilket är ekvivalent med negativa tidskonstanter i dess täljare. G(t) G t/t G G T T ( s+,5 )( s+,5 ) T T T ( s+ )( s+ )( s+ ) 5 5 G G G = = = 3 T T ( s+,5 )( s+,5 ) T T T ( s+ )( s+ )( s+ ) 3 T T ( s+,5 )( s+,5 ) T T T ( s+ )( s+ )( s+ ) 3 Figur 5.. Stegsvar med olika antal negativa täljartidkonstanter.

14 5.5 System med inverssvar Såsom de nämnda exemplen antyder kan system med inverssvar uppstå när man parallellkopplar två delsystem vars förstärkningar har olika tecken. Övning 5.. Två system med överföringsfunktionerna G = och G = ( Ts + ) ( Ts + ) parallellkopplas så att ett system med överföringsfunktionen G = G+ G erhålles. T K Antag att T > T > och visa att G är ett icke-minimumfassystem om T K K K > >. 5.6 System i serie Vid analys av seriekopplade system är det viktigt att veta om systemen är interfererande eller icke-interfererande: vid interfererande system påverkas ett delsystem av efterföljande delsystem i serien vid icke-interfererande system påverkas varje delsystem endast av tidigare delsystem i serien Om man t.ex. seriekopplar två exemplar av lågpassfiltret i Ex. 3., så kommer de att interferera, eftersom den efterföljande kretsen belastar den förra. Om man däremot förser det första filtret med en förstärkare på utgångssidan, kommer de inte att interferera med varandra Reglerteknik I Grundkurs (493) System i serie En liknande situation kan erhållas om man seriekopplar två vätskebehållare, där utströmningen sker med självtryck (jfr exempel 3.5). Om utströmmen från den första behållaren rinner fritt in i den andra existerar ingen interferens. Om behållarna är kopplade så, att utströmmen från den första behållaren strömmar genom ett rör till nedre delen av den andra behållaren, uppstår interferens pga det mottryck som vätskenivån i den andra behållaren utövar på inströmmen. Sammanfattningsvis kan sägas om system i serie: Icke-interfererande delsystem i serie är enkla att hantera. Deras överföringsfunktioner kan härledas skilt för sig och sammanslås genom multiplikation såsom visats i avsnitt Interfererande delsystem är besvärligare att hantera, eftersom de enskilda delsystemens egenskaper modifieras av interferensen. I dylika fall måste man ofta modellera och behandla delsystemen som en helhet. 5 55