Projekt i Matematisk kommunikation: Projektförslag 205 27 februari 205 Inledning Projekten utförs i grupper om fyra personer. Projektförslagen presenteras på föreläsningen onsdag den 4 mars kl 0-2 i E:335 varpå man antecknar sig till det projekt man önskar på listar på Matematik LTHs anslagstavla. Den slutgiltiga gruppindelningen sker på övningen onsdag den 25 mars i MH:362B C. Har man inte möjlighet att närvara vid dessa tillfällen bör man omedelbart ta kontakt med mej. I samband med gruppindelningen tilldelas varje grupp en handledare. Projektarbetet utförs under andra läsperioden vt 205 och varje grupp skall kontakta sin handledaren under första läsveckan. Projekten ska presenteras skriftligt i rapporter, men också muntligt på ett seminarium med obligatorisk närvaro fredag den 22 maj i KC:D. Alla i gruppen ska då aktivt delta i presentationen. Alla grupper ska också vid detta tillfälle opponera på en annan grupps arbete. För att det ska möjligt att läsa in en annan grupps arbete måste de skriftliga rapporterna vara färdiga senast tisdag den 2 maj. Efter presentationen sammanställs en slutlig version av rapporten där påpekanden som framkommit i samband med presentationen åtgärdats. Denna slutversion måste lämnas in till mej senast fredag den 29 maj. Rapporterna kommer därefter att sammanställas och tryckas i ett häfte.
Handledarkollegiet SMS KJo FW JFr MS SD TP VU MA CF AG Sara Maad Sasane Kerstin Johnsson Frank Wikström Johan Fredriksson Mikael Sundqvist Stefan Diehl Tomas Persson Victor Ufnarovski Magnus Aspenberg Claus Führer Andrey Ghulchak Projektförslag. Ickestandard analys Under början av 700-talet gick biskop George Berkeley till attack mot infinitesimalkalkylens logiska grundvalar. Han inriktade sej huvudsakligen på frågan: Vad är en infinitesimal egentligen? Det är möjligen först under 900-talet som vi har kunnat ge ett, åtminstone för en matematisk logiker, tillfredsställande svar på denna fråga. I början av 60-talet skapades den så kallade ickestandard analysen, där man på ett logiskt korrekt sätt räknar med infinitesimaler. Handledare: Victor Ufnarovski (VU) Epost: ufn@maths.lth.se 2. Intervallaritmetik (Ny!) Att lösa matematiska problem numeriskt är alltid lite besvärligt. Hur kan man vara säker på att datorn har hittat alla lösningar till problemet, och hur noggranna är de numeriska lösningarna egentligen? Att göra rigorösa feluppskattningar för hand är tidsödande, krångligt, och oftast inte särskilt roligt. Vore det inte bättre om datorn själv fick hålla reda på hur noggrant den räknar? Intervallaritmetik är ett samlingsnamn för ett antal metoder som gör just detta. Grundidén är att låta datorn räkna med (små) intervall av tal som garanterat innehåller det rätta värde. Genom att vara försiktig och hålla koll på hur datorn avrundar i varje steg, så går det att garantera, med matematisk säkerhet, att det beräknade intervallet innehåller det rätta värde, och om man är beredd att lägga ner tillräckligt mycket datorkraft, så kan de beräknade intervallen fås i princip hur korta som helst. Projektet går ut på att sätta sig in i hur intervallaritmetik fungerar och att skriva ett par datorprogram som kan ge lösningar med rigorösa feluppskattningar till ett
par problem, till exempel ekvationslösning, grafritning eller integration. Handledare: Frank Wikström (FW) Epost: frankw@maths.lth.se 3. Euler Maclaurin s summationsformel (Ny!) Om f : [0, n] R har kontinuerlig derivata så är n f(k) = k= n f(x) dx + n (x [x])f (x) dx + f(), där [x] betecknar heltalsdelen av x det största heltal som inte är större än x. Denna formel kallas för Euler Maclaurin s summationsformel. Från kursen analys i en variabel torde studenterna vara bekanta med hur summor kan uppskattas med integraler och omvänt. Euler Maclaurins summationsformel ger alltså ett exakt uttryck för felet som uppkommer vid en sådan uppskattning. Detta projekt handlar om Euler Maclaurins summationsformel och dess tillämpningar. Handledare: Mickael P. Sundqvist (MS) och Tomas Persson (TP). Epost: {mickep,tomasp}@maths.lth.se 4. Hur väljer man sitt livs make? (Ny!) Det var en gång en prinsessa som tyckte att det var dags att gifta sig, och det kom tusen prinser från olika länder för att söka hennes hand (och kanske t.o.m. halva riket), men hon var en mycket kinkig och anspråksfull prinsessa och ville bara gifta sig med den som är bäst av alla. Då bildade alla friare en lång kö till prinsessans tronsal för att hon kunde prata med var och en i lugn och ro, jämföra med andra som hon redan pratat med och bestämma sig. Problemet är dock att för varje kandidat måste hon bestämma sig på en gång, d.v.s. antigen säga "ja", och då blir han hennes make, eller säga "nej", og så går lämnar den försmådda friaren riket omgående och kommer aldrig tillbaka (prinser är ju extremt sårbara i kärleksfrågor när de får avslag), och nästa kandidat får chans till förhör. Kön bildades helt slumpigmässigr utan någon som helst regel. Hur kan hon under dessa förutsättningar välja den med högsta sannolikhet är den bästa kandidaten? Problemet kan lösas matematiskt, och lösningen är både naturlig och snygg. Handledare: Andrey Ghulchak (AG) Epost. ghulchak@maths.lth.se. 5. Trafikflöde Trafikstockningar är ett stort problem i många städer i världen. Tät trafik belastar miljön, är en stressfaktor för individen och kostar varje år hundratusentals arbetstimmar. Stockholm har introducerat trängselavgifter i centrum, och i Köpenhamn har man ivrigt diskuterat införandet av en betalningsring. Det finns alltså ett stort samhällsintresse av att modellera trafik. Redan på 950-talet formulerades de
Figure : Bästa maken? första trafikflödesmodellerna, som utgör basen även för dagens modeller. Ett flertal modeller finns beroende på vilka antagande man gör och som mer eller mindre framgångsrikt efterliknar verkliga trafikflöden. Projektet går ut på att analysera och simulera enklare trafikflödesmodeller. Man kan även diskutera vilka modeller som samhällsplanerare använder sig av i dagens läge. Handledare: Stefan Diehl (SD) Epost: diehl@maths.lth.se 6. The oscillating pendulum, the rotating gyroscope and fast computation of elliptic integrals The equations of motion of mechanical systems are ordinary differential equations, which cannot be solved exactly in most cases. But for some very particular, conservative systems like the mathematical pendulum or a rotating unsymmetric gyroscope one can express the solution of these equations by so-called elliptic functions (sn, cn,...). They are related to elliptic integrals of the second kind F (ϕ k 2 ) = ϕ 0 dθ k2 sin 2 θ In this project we will experiment with extremely fast and easy-to-implement iterations to compute these integrals. We will make numerical studies of these mechanical systems and demonstrate the solution graphically. Handledare: Claus Führer (CF) Epost: claus@maths.lth.se
7. Banach-Tarskis paradox Låt oss säga att du har en apelsin. Föreställ dig att du har en speciell kniv som låter dig skära och dela upp apelsinskalet i mycket tunna bitar. Kan du skära upp apelsinskalet på ett sådant sätt att du får tillräckligt med skalmaterial för att bygga ihop två nya apelsiner? Detta är en förenklad förklaring av vad Banach-Tarskis paradox handlar om. Figure 2: Paradox? Målet med detta projekt är att ge en matematisk beskrivning av Banach-Tarskis paradox (Banach-Tarskis sats). Handledare: Magnus Aspenberg (MA) Epost: magnus.aspenberg@math.lth.se 8. Populationsmodeller Populationsbiologi kan studeras med diskreta dynamiska system. I det enklaste fallet beror populationens storlek vid tidpunkt n endast på populationens storlek vid en tidigare tidpunkt, n. Detta ger en talföljd, a n, n =, 2, 3,..., där a n är populationens storlek vid tidpunkt n, och a n beskrivs rekursivt av a n = f(a n ) för någon funktion f. I de flesta fall är denna modell alltför förenklad. En mer realistisk modell får man om man gör en åldersindelning av populationen. I en situation där det tar en viss tid (säg ett år) för ungarna att bli vuxna och kunna föröka sig, kan man göra en tvåårig åldersindelning. Låt Y n vara antalet ungar och A n antalet vuxna vid år n. Antalet vuxna år n antas vara en funktion av antalet ungar år n. Vidare antas antalet unga år n vara en funktion av antalet vuxna år n. Med en sådan modell kan man studera laxarter som har en tvåårig livscykel och förklara populationers synkronisering enligt ålder. För arter med längre livscykler behöver man dela in i fler åldersintervall. Vissa cikadearter har livscykler på 3 eller 7 år. För dessa arter kan man se stora utbrott vart 3:e respektive 7:e år. Resten av livscyklerna bor cikadorna under jorden. Här kan ni lyssna på ett radioprogram om cikador: http://sverigesradio.se/sida/artikel.aspx?programid=027&artikel=5770944 Enligt biologiforskarna undviker cikadorna att bli uppätna genom att de kommer fram alla på en gång snarare än varje år. De arter som har en livscykel på högst 7 år har dock ungefär lika stora utbrott varje år, så detta kan inte vara hela förklaringen.
Matematiskt kan fenomenet förklaras med en åldersindelad modell. Projektet går ut på att studera denna modell liksom modellen för tvååriga laxpopulationer som beskrivs ovan. Det ingår även simulering av modellerna i MATLAB. Handledare: Sara Maad Sasane (SMS) Epost: sara.maad_sasane@math.lth.se 9. Rankning av information på nätet Den första idén för att mäta relativt informationsvärde via länkar kom redan 976, i det fallet handlade det om rankning av vetenskapliga artiklar. 996 utvecklade Larry Page och Sergey Brin från Stanford PageRank. PageRank är en av algoritmerna som Google nu använder sig av för att ranka websidor vid Google sökningar. PageRank är en sannolikhetsfördelning som beskriver sannolikheten att en person slumpmässigt klickar på en länk till en given sida. PageRank teorin tar också hänsyn till att personen som surfar kan bli uttråkad. En hemsidas PageRank kan beräknas på flera sätt, t.ex. iterativt eller algebraiskt. Handledare: Johan Fredriksson (JFr) Epost: johanfredriksson23@gmail.com 0. Principalkomponentanalys Principalkomponentanalys (PCA) är en mycket användbar metod för att sammanfatta och visualisera data som har hög dimension. Högdimensionell data produceras idag inom fler och fler områden, t.ex. inom astronomi, biomedicin och ekonomi. Med PCA försöker man fånga de starkaste signalerna i en datamängd med hjälp av linjära projektioner. För att göra detta måste man kunna mäta hur mycket information en projektion innehåller. Lösningen visar sig vara mycket elegant och har flera intressanta matematiska egenskaper. Handledare: Kersin Johnsson (KJo) Epost: johnsson@maths.lth.se. Klassiska olikheter och deras tillämpningar (Ny!) Vi betrakta några klassiska olikheter som olikheten mellan aritmetisk, geometrisk och harmonisk medelvärde: a + a 2 +... + a n n n n a a 2 a n a + a 2 +... +, a n som gäller för varje naturligt tal n och alla positiva tal a, a 2,..., a n, samt Chebyshevs, Cauchy-Schwarz olikheter. Dessutom kommer vi att trägga på några mindre kända: Murihead, Karamata, rearrangement. Hur visar man dem, hur används dem? Vilka samband finns mellan dem? Handledare: Viktor Ufnarovski (VU) Epost: ufn@maths.lth.se 2. Matematisk spelteori med inriktning mot Poker.
95 bevisade John Nash att det finns en optimal strategi för alla spel med begränsat antal handlingar. Att strategin existerar betyder dock inte att den eller en bra approximationer är lätt att hitta. I poker har den optimala strategin visat sig vara extremt svårfunnen även för de minst komplexa varianterna. Till skillnad ifrån spel som Schack där du i en given situation endast behöver söka framåt måste du i poker även söka bakåt för att kunna fatta ett beslut. Inom pokerbranchen har det på den sista 0 åren skett explosionsartad förändring och det gamla gardet av road gamblers har tvingats ge vika till en ny generation, aggressivare matematiska spelare, som lämnar lite åt slumpen. Projektet kan tänkas behandla mindre spelmatriser, lösning av linjära olikheter, beslut vid enklare flergatorsspel, klassificering av likartade situationer. Matematiken berör bland annat sannolikhetslära, grafteori och kombinatorisk optimering. Handledare: Johan Fredriksson (JFr)