Projekt i Matematisk kommunikation: Projektförslag 2017

Transkript

1 Projekt i Matematisk kommunikation: Projektförslag mars 2017 Inledning Projekten utförs i grupper om fyra personer. Projektförslagen presenteras på föreläsningen onsdag den 1 mars kl i MH:362D varpå man antecknar sig till det projekt man önskar på listar på Matematik LTHs anslagstavla. Den slutgiltiga gruppindelningen sker på övningen måndagen den 20 mars i MH:309A. Har man inte möjlighet att närvara vid dessa tillfällen bör man omedelbart ta kontakt med mej. I samband med gruppindelningen tilldelas varje grupp en handledare. Projektarbetet utförs under andra läsperioden vt 2017 och varje grupp skall kontakta sin handledaren under första läsveckan. Projekten ska presenteras skriftligt i rapporter, men också muntligt på ett seminarium med obligatorisk närvaro torsdag den 18 maj i KC:C (preliminärt). Alla i gruppen ska då aktivt delta i presentationen. Alla grupper ska också vid detta tillfälle opponera på en annan grupps arbete. För att det ska möjligt att läsa in en annan grupps arbete måste de skriftliga rapporterna vara färdiga senast måndag den 8 maj. Efter presentationen sammanställs en slutlig version av rapporten där påpekanden som framkommit i samband med presentationen åtgärdats. Denna slutversion måste lämnas in till mej senast onsdag den 24 maj. Rapporterna kommer därefter att sammanställas och tryckas i ett häfte. 1

2 Handledarkollegiet SMS MVÖ FW MPS TP VU MA PP Sara Maad Sasane Marcus Waltonen-Örnhag Frank Wikström Mikael Sundqvist Tomas Persson Victor Ufnarovski Magnus Aspenberg Pelle Pettersson Projektförslag 1. LLL - Lenstra-Lenstra-Lovász (Ny!) Talet är en god decimalapproximation ett rationellt tal, och det är inte så svårt att hitta det talet (1/13). Lite besvärligare är att hitta bra rationella approximationer till , men det finns förhållandevis enkla metoder för att hitta t.ex. 22/7, 355/113 eller / Ytterligare lite svårare är att identifiera med (1+sqrt(7))/3. På talet upptäckes effektiva algoritmer för så kallad?gitterbasreduktion?, som kan användas för att lösa alla de ovanstående problemen, och många andra. Algoritmen ligger till exempel till grund för websidan?inverse Symbolic Calculator? ( ) där man kan knappa in ett decimaltal och få olika förslag på vad det kan vara för ett tal. Testa till exempel att knappa in Projektet går ut på att förstå och implementera denna algoritm och att undersöka intressanta tillämpningar av den. Handledare: Frank Wikström (FW) Epost: frankw@maths.lth.se 2. The oscillating pendulum, the rotating gyroscope and fast computation of elliptic integrals The equations of motion of mechanical systems are ordinary differential equations, which cannot be solved exactly in most cases. But for some very particular, conservative systems like the mathematical pendulum or a rotating unsymmetric gyroscope one can express the solution of these equations by so-called elliptic functions (sn, cn,...). They are related to elliptic integrals of the second kind F (ϕ k 2 ) = ϕ 0 dθ 1 k2 sin 2 θ In this project we will experiment with extremely fast and easy-to-implement itera-

3 tions to compute these integrals. We will make numerical studies of these mechanical systems and demonstrate the solution graphically. Handledare: Claus Führer (CF) 3. Matematiska sagor (Favorit i repris!) Ofta är det svårt att presentera en intressant matematisk frågeställning på ett sätt som väcker åhörarens intresse. En möjlighet är att man väver in problemet i en trevlig historia som väcker nyfikenheten på hur ett problem ska lösas. Här ges det möjlighet att kombinera den matematiska och språkliga begåvningen. Handledare: Viktor Ufnarovski (VU) Epost: ufn@maths.lth.se 4. Bertrands postulat (Ny!) Chebyshev said it and I say it again, there is always a prime between n and 2n. Året 1850 gav Tschebyscheff ett ganska komplicerat bevis för att det för varje heltal n > 1, finns ett primtal p sådant att n < p < 2n. Erdős fann 1932 ett enkelt bevis för denna sats, varom dikten ovan berättar. Det är välkänt att det finns hur många primtal som helst, vilket bland annat följer av ovan nämnda sats. Den berömda primtalssatsen ger mer detaljerad information: Antalet primtal mellan 0 och n är ungefär n ln n. Denna sats har visats många gånger, först av Hadamard och de la Vallée-Poussin. I detta projekt bekantar vi oss närmare med dessa och andra liknande satser. Handledare: Tomas Persson (TP). Epost: tomasp@maths.lth.se 5. Automatisk detektion av smuts på en kameralins? (Ny!) Inom digitalkameraindustrin ställs man inför problemet att montera en sensor och tillhörande lins. Ofta limmas dessa komponenter tillsammans för hållbarhetens skull, men detta medför vanligtvis att någon eller båda komponenterna måste skrotas om något går fel. Ett fel skulle kunna vara att där kommer in damm eller annan smuts på sensorn som inte går att få bort efter limningsprocessen. Det är därför önskvärt att ha en automatiserad process som detekterar smuts innan komponenterna limmas samman, så att man kan avbryta och rengöra komponenterna. En vanligt förekommande metod är att ta en bild på ett ljusbord med jämn belysning och analysera bilden efter smuts. Idealt kommer smuts att vara mörkare än de vita områdena, men på grund av optiska fenomen såsom vignettering, gäller inte detta globalt i bilden.

4 Projektförslag 2016 Figure 1: Fläck! I detta projekt får ni tillgång till bilder med och utan smuts tagna på ett ljusbord från en verklig produktionssajt. Er uppgift är att skapa ett script som kan urskilja de smutsiga bilderna från de rena. Projektet lämpar sig för de som är intresserade av programmering. Handledare: Marcus Valtonen Örnhag (MVÖ) Epost: marcus.valtonen ornhag@math.lth.se. 6. Några (geometriska) minimeringsproblem (Ny!) Vi studerar problem av typen "Låt A, B och C vara hörn i en triangel i planet. Bestäm punkten X så att summan av avstånden X A + X B + X C blir så liten som möjligt". Problemet kan lösas med analys, men det kan även diskuteras geometriskt och fysikaliskt (experiment kan utföras!). Vi diskuterar även problemet då vi låter avstånden vara kvadrerade. Blir det lättare eller svårare att lösa problemet? Hur blir det om vi har fler än tre punkter? Kan vi lösa motsvarande problem då? Handledare: Mikael Persson Sundqvist (MPS) Epost: mickep@maths.lth.se 7. Eulers polyedersats och platoniska kroppar (Ny!) En polyeder där samtliga sidor består av regelbundna m-hörningar för ett visst m kallas en platonsk kropp. Man kan visa att det bara finns fem platonska kroppar: tetraeder, kub, oktaeder, dodekaeder och ikosaeder. Detta kan bevisas på ett förvånansvärt enkelt sätt med hjälp av något som kallas Eulers polyedersats. I detta projekt skall vi beskriva Eulers polyedersats och hur den kan användas för att finna alla platonska kroppar. Beroende på vad ni är intresserade av kan vi också knyta an till matematikhistoria (de platonska kropparna var kända redan av Euklides för 2300 år sedan), filosofi (i Platons filosofi var de olika elementen uppbyggda av olika platonska kroppar) eller konst (de platonska kropparna har inspirerat en mängd konstnärer genom historien). Handledare: Pelle Pettersson (PP) Epost: pelle@maths.lth.se

5 8. Banach Tarskis paradox Låt oss säga att du har en apelsin. Föreställ dig att du har en speciell kniv som låter dig skära och dela upp apelsinskalet i mycket tunna bitar. Kan du skära upp apelsinskalet på ett sådant sätt att du får tillräckligt med skalmaterial för att bygga ihop två nya apelsiner? Detta är en förenklad förklaring av vad Banach-Tarskis paradox handlar om. Figure 2: Paradox? Målet med detta projekt är att ge en matematisk beskrivning av Banach-Tarskis paradox (Banach-Tarskis sats). Handledare: Magnus Aspenberg (MA) Epost: magnus.aspenberg@math.lth.se 9. Rumtidsgeometrin och Einsteins speciella relativitetsteori (Ny!) Utforska Minkowskigeometri med hjälp av euklidisk geometri, förstå egentid (proper time), och använd detta för att förklara några fenomen i relativitetsteori, t.ex. tidsdilation och tvillingparadoxen. Handledare: Sara Maad Sasane (SMS) Epost: sara.maad_sasane@math.lth.se 10. Klassisk geometri presenterad med komplexa tal (Ny!) Vi härledar klassiska geometriska satser med hjälp av beräkningar i komplexa talplanet. Handledare: Viktor Ufnarovski (VU) Epost: ufn@maths.lth.se