Att man bara kan konstruera fem platonska kroppar hänger samman med vinkelsumman som bildas då sidorna möts i kroppens hörn.

Transkript

1 Geometri Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: förstå vad volym är för något kunna ge namn på och känna igen olika rymdgeometriska kroppar såsom rätblock, kub, cylinder, prisma, klot, kon och pyramid kunna använda olika enheter för volym kunna räkna ut volymen för rätblock, cylinder, prisma, kon och pyramid Ingressen Resonera gärna kring vad som menas med olika dimensioner. Många elever är bekanta med D-bilder, bilder som är konstruerade så att man kan se ett djup i bilden. Dock kan inte alla se sådana bilder. Vissa ögonfel kan göra att det inte är möjligt. För att kunna se djupet i bilden på sidan 0 kan man göra så här: Håll bilden alldeles intill näsan. Låt ögonen slappna av och stirra tomt ut i luften som om du tittade på något på långt avstånd. Flytta bilden långsamt bort från ansiktet, titta hela tiden som om bilden var på långt avstånd. När bilden är på lagom avstånd dyker djupet i bilden upp. ilden visar en kub och en pyramid. De platonska kropparna är regelbundna polyedrar, kroppar där alla sidor består av samma regelbundna månghörningar. De regelbundna polyedrarna symboliserade för pythagoreerna de fyra elementen, eld, luft, jord och vatten. Dodekaedern var symbol för universum. De platonska kropparna har fått sitt namn efter Platon. Platon (0 9 f.r) var en grekisk filosof och lärjunge till Aristoteles. Han ansåg att de styrande skulle ägna sig åt matematikstudier. Genom att lära sig att tänka logiskt skulle de bli bättre ledare. Platon grundade en akademi som blev ett grekiskt matematikcentrum (87 f.r. 59 e.r.). Ovanför Platons Akademia stod skrivet: ΑΤΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΜΗΔΕΙΣ ΕΙΣΙΤΩ Må ingen som är okunnig i geometri här inträda (Olsson, Nedslag i matematikens värld). Fotbollen är alltså inte en platonsk kropp eftersom den består av både sexhörningar och femhörningar. Att man bara kan konstruera fem platonska kroppar hänger samman med vinkelsumman som bildas då sidorna möts i kroppens hörn. Dodekaeder Dodeka = 1 Ikosaeder Ikosa = 0 OS! I bokens första upplaga, 1:a och :a tryckningen har dessa textrader kastats om. ropp Sidor som möts i ett hörn Vinkelsumma Tetraeder Tre liksidiga trianglar 60 = 180 Hexaeder Tre kvadrater 90 = 70 Oktaeder Fyra liksidiga trianglar 60 = 0 Geometri

2 Dodekaeder Tre femhörningar 108 = Ikosaeder Fem liksidiga trianglar 5 60 = 00 Om sex liksidiga trianglar möts blir vinkelsumman 60 och då bildas inget hörn utan en plan yta. Samma sak inträffar när fyra kvadrater möts i ett hörn. Om fyra femhörningar möts blir vinkelsumman vilket t.o.m. är mer än 60 och då bildas inget vanligt hörn. Det blir hörn vänt åt fel håll (konkavt). Går det att göra en platonsk kropp bestående av månghörningar med fler än 5 hörn? I en sexhörning är vinkelsumman 70 och varje hörn är 10. Om tre sexhörningar möts blir vinkelsumman 60 och då bildas inget hörn. På Arbetsblad :1 finns ett klippark till de platonska kropparna. Förstora gärna bilderna och låt eleverna färglägga, klippa ut och klistra ihop de olika platonska kropparna. Låt eleverna hänga upp figurerna i klassrummet. Grunddel Sidorna. För de allra flesta elever är det första gången som de möter begreppen rymdgeometri och kroppar (i ett matematiskt sammanhang ). Avdramatisera dem genom att diskutera vad som menas med begreppen. Gör gärna första uppgiften tillsammans. Låt eleverna komma med förslag på andra förpackningar som passar in på de olika kropparna. Uppgift kan vara svår för många elever. Om man vill arbeta grundligt med uppgiften kan eleverna rita figurerna, klippa ut dem och rent praktiskt testa vilka som går att vika till en kub. På Arbetsblad :1 finns figurerna om eleverna har svårt att rita dem korrekt. Där finns också några extra övningar. I bokens första tryckning är bild E felritad. Ska se ut så här Sidan. Vi börjar med de volymenheter som utgår från liter, enheter som eleverna redan bör kunna. Volymenheterna som utgår från kubikmeter är säkert nya för de flesta av eleverna. ygg gärna upp en kubikmeter, finns att köpa som byggsats med rör som kanter, och visa en kubikdecimeter både som en modell i form av en kub och som en liter mjölk. Alltså koppla det matematiska till det vardagliga. Visa också på en kubikcentimeter, t ex i form av centikuber. Centikuber är mycket användbara och bör finnas på alla skolor. yte av enheter spar vi till s8 9 då eleverna arbetat mer med volymbegreppet. Sidan 5. Gå igenom hur man ritar ett rätblock så att ögat uppfattar det på ett riktigt sätt. Lär dem utnyttja räknehäftets rutsystem. Det är viktigt att eleverna får känna att de kan rita fina figurer! Sidorna 6 7 visar på hur man räknar ut prismats volym, med början med specialfallet rätblock. Sidorna 8 9. yte av volymenheter brukar vara svårt. Lär eleverna att de själva kan ta reda på hur man omvandlar mellan dm och cm genom att rita en kubikdecimeter, skriva måtten på sidorna både i decimeter och centimeter och räkna ut volymen i dm och cm. Naturligtvis måste de lära sig att 1 liter = 1 dm och gärna att 1 ml = 1cm även om det går att härleda ur det första sambandet. Uppgift och är markerade med stjärna, men kan gärna lyftas fram som uppgifter som hela klassen gör tillsammans eller som gruppuppgift. Sidorna Cylinderns volym. Poängtera likheten mellan hur man räknar ut prismats volym. Skillnaden är att cylinderns bottenyta är en cirkel. Sidorna 5 5. landade övningar på volym, en del är riktigt svåra så alla elever bör inte ha kravet på sig att göra alla uppgifter. Sidan 5. Låt eleverna undersöka att det verkligen är tre gånger så stor volym i en cylinder jämfört med en kon med lika stor bottenarea och höjd. Använd plast- Geometri 5

3 modeller av de rymdgeometriska kropparna. Fyll en kon med t.ex. vatten, ris eller popcorn och fråga eleverna hur många koner som behövs för att fylla cylindern. Visa sedan att det behövs exakt tre stycken koner, vilket brukar förvåna många elever. Gör likadant med pyramiden och kuben. Uppgift 57 är stjärnmarkerad och är en riktig utmaning, nämligen att troliggöra att volymen av den lilla konen endast är en åttondel av den stora. ottenarean glas A = πr, bottenarean glas = π(r/) = πr /. Volym glas A = x πr, volym glas = x/ πr /= x πr /8. Arbeta tillsammans Sidan 55. Två uppgifter som båda handlar om A-papper och volym. A-uppgiften brukar ge eleverna en aha-upplevelse. De allra flesta brukar tycka att det är självklart att volymerna är lika stora innan de börjar räkna. Övningen ger också bra repetition på cirkelns omkrets och area. En fortsättning på -uppgiften kan vara att låta eleverna göra ett diagram där volymen är en funktion av lådans höjd. Första gången eleverna får se ett max-minproblem! Facit till diagnosen 1 A klot rätblock C pyramid Arbetsblad : D prisma E kon F cylinder a) b) a) cm s 60 b) 15 dm s60 c) 1 15 m (1 177,5 m ) s 6 d) 6 dm Arbetsblad : a) 5 dm b) 000 dm c) 0,5 dm s 59 5 a) 000 cm b) 5 cm c) 000 cm s 59 6,6 liter s 59 7 a) 576 cm (60 cm ) b) 600 m s hinkar s 59, 60 Facit till kluringar lockaritmetik Lasse påstår = 1 om man räknar med klockaritmetik. Titta på klockan Gropen En grop innehåller ingen jord alls. 6 Geometri

4 Engelska kluringen Susan ska hälla exakt 6 liter vatten i sin guldfiskskål. Hon har tre hinkar fyllda med vatten. En innehåller 7 liter, en 5 liter och en liter. Hur kan hon genom att använda vattnet från dessa hinkar hälla exakt 6 liter i guldfiskskålen? Hon har inga andra hinkar. Hon får inte fylla på hinkarna från en kran. Hon får inte hälla bort något vatten. Lösning: Hon häller vattnet från -litershinken i skålen. Vattnet från 7-litershinken häller hon i -litershinken. Då finns det liter kvar i 7-litershinken. Hon häller vattnet från 5-litershinken i 7-litershinken. Då blir det 1 liter kvar i 5-litershinken. Det häller hon i skålen. Nu finns det 5 liter i skålen. Hon häller vatten från 7-litershinken i 5-litershinken och därefter vattnet från 5-litershinken i -litershinken. Då blir det 1 liter kvar i 5-litershinken. Det vattnet tömmer hon i skålen som nu har 6 liter! lå kurs Enkla övningar på enhetsomvandlingar, beräkningar på volymer hos rätblock, cylindrar, pyramider och koner. Låt gärna eleverna bygga olika rätblock med centikuber. Uppgiften kan t.ex. vara att göra tre olika rätblock som alla har volymen 1 cm. Låt också elever, som har svårt med enhetsomvandlingarna, börja fylla en kubikdecimeter med centikuber för att verkligen känna att det är många centikubiker som får plats. För en översikt av de rymdgeometriska kropparna hänvisar vi till Grundkursen sidan, sammanfattningen sidan 7 eller Arbetsblad :. Röd kurs Sidan 65. Eleverna ska på egen hand komma fram till vilket samband det finns mellan längdskala, areaskala och volymskala. Lärarstöd kan behövas. Sidorna Att räkna ut begränsningsarean är repetition från röd kurs år 8. När kropparna blir sammansatta behöver eleverna ha ordning på sina uträkningar för att lyckas nå fram till korrekt svar. Sidorna lotets volym och area är nyheter för eleverna. Sidorna Pythagoras sats används för att räkna ut rymddiagonaler i rätblock och höjder i koner och pyramider. Uppgift är en verklig utmaning. Det blir enklare om eleverna själva får tillverka de olika utvecklingarna A D av rummet. Utmaning ant- Antal målade Antal längd sidoytor småcm 0 1 kuber x (x ) 6 (x ) 1 (x ) 8 x Geometri 7

5 Arbetsblad Förteckning över arbetsblad och koppling till motsvarande sidor i boken. Namn Sid Nivå :1 Platonska kroppar 1 blå grön röd : Vika kuber blå grön : Repetition av area blå grön : ropparnas namn och volym 6 7, 50, 5 blå :5 roppars volym 6 7, 50, 5 blå grön :6 Enhetsbyten volym A 58 blå grön :7 Enhetsbyten volym 8, 59 blå grön :8 Sammansatta volymer och begränsningsareor röd :9 Gradera och avläs röd 8 Geometri

6 Arbetsblad :1 De platonska kropparna För att det ska vara lättare att klippa och klistra kan du förstora bilderna i kopiatorn. Du kan också hitta kropparna i större storlek på cd:n. Filen heter Platon. Oktaeder Hexaeder Dodekaeder Tetraeder Ikosaaeder Geometri 9

7 Arbetsblad : Vika kuber 1 a) Figuren ska vikas till en kub. b) Vilken av figurerna kan vikas till Vilken av kuberna blir det? den här kuben? lipp ut figurerna. Vik efter kanterna. Vilka av figurerna kan du vika till en kub? A C D E 0 Geometri

8 Arbetsblad : Repetition av area Sidan 8 Räkna ut arean av figurerna. Använd π. 1 (cm) (cm),5 Arean: Arean: (cm),5 (cm) Arean: Arean: 5 (m) 6 1 (m) Arean: Area: 7 8 (dm) (m),5 1 1,5 1 Area: Area: (m) 5 (dm) 10 Area: Area: Geometri 1

9 Arbetsblad : roppars namn och volym Sätt namn på kropparna och räkna ut volymen. 1 Namn: h h = dm = 16 dm Namn: h =,5 dm h = 1 dm Namn: h h = 6 cm = 5 cm Namn: h h = 5 cm = 0 cm 5 Namn: h h = m = 15 m 6 Namn: h h = 9 dm = 50 dm Geometri

10 Arbetsblad :5 roppars volym 1 (m),5 (m) (dm) 6 5 (dm) 5 (cm) 6 (cm) (cm) 8 (cm) Geometri

11 Arbetsblad :6 Enhetsomvandlingar volym A 1 Skriv som liter liter liter liter Skriv som deciliter dl dl dl Skriv som liter dl = liter 8 cl = liter 9 ml = liter,5 dl = liter 15 cl = liter 50 ml = liter 18 dl = liter 0 cl = liter 15 ml = liter Skriv som centiliter 8 liter = cl 1 dl = cl 50 ml = cl 0,5 liter = cl 8 dl = cl 60 ml = cl 0,01 liter = cl 0,5 dl = cl 5 ml = cl 5 Skriv som milliliter liter = ml 8 dl = ml 5 cl = ml 0, liter = ml 0, dl = ml 5 cl = ml 0,05 liter = ml 0,5 dl = ml 0,5 cl = ml Geometri

12 Arbetsblad :7 Enhetsbyten volym 1 Skriv som kubikdecimeter. 000 cm = dm cm = dm 500 cm = dm 0,75 liter = dm 1 dm = 1 liter V = 1 dm 1 dm 1 dm = 1 dm V = 10 cm 10 cm 10 cm = cm 1 dm 10 cm, liter = dm 1,5 liter = dm 1 dm 10 cm 1 dm 10 cm Skriv som kubikcentimeter. 1 dm = cm liter = cm,5 dm = cm,5 liter = cm 0, dm = cm 0, liter = cm Skriv som kubikcentimeter. ml = cm 8 liter = cm 5 ml = cm 1,5 liter = cm 5 ml = cm 0, liter = cm 1 m = dm = liter Skriv som kubikdecimeter. m = dm,6 m = dm 0,1 m = dm,75 m = dm 5 Skriv som kubikmeter dm = m 50 liter = m 0 dm = m 5 liter = m Geometri 5

13 Arbetsblad :8 Sammansatta volymer och begränsningsareor Räkna i ditt räknehäfte Räkna ut kropparnas begränsningsarea och volym Geometri

14 Arbetsblad :9 Gradera och avläs A a) Gradera mätglaset och bägaren. Markera var 10:e milliliter. Använd π,1. ilderna är i skala 1:1. b) Hur mycket vatten är det i mätglaset? c) Hur mycket vatten är det i bägaren? Hur mycket olja finns det i tanken? 0 10 Geometri 7