Matematik och Kemi på Chalmers

Transkript

1 Matematik och Kemi på Chalmers Karin Kraft och Stig Larsson Christoffer Cromvik och Christoffer Thomée Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola Göteborgs universitet 1 November 2004 p. 1/1

2 Moderniserade kurser i matematik och kemi Tre civilingenjörsprogram Kemiteknik K (70 studenter) Bioteknik Bt (60) Kemiteknik med fysik Kf (30) samläser i årskurs 1 Matematik: Analys och linjär algebra, 15 poäng och Kemi: Kemi med biokemi, 15 poäng Höstterminen och halva vårterminen, 30 av 40 poäng. 1 November 2004 p. 2/1

3 Integration på flera sätt Matematik: analys, algebra, numerisk analys, programmering Kemi: oorganisk, organisk, fysikalisk, biokemi Matematik och kemi 1 November 2004 p. 3/1

4 Datorn ett beräkningsverktyg nya möjligheter att använda matematik behov av att reformera undervisningen i matematik och teknik 1 November 2004 p. 4/1

5 Moderniserad matematikkurs inte bara formler konstruktiv matematik: konstruera lösning till ekvation med hjälp av algoritm datorberäkning med samma algoritm använda matematiken på problem från tekniken 1 November 2004 p. 5/1

6 Algebraisk ekvation Enkelt exempel: x 2 + ax + b = 0 Lösningsformel: 1 November 2004 p. 6/1

7 Algebraisk ekvation Enkelt exempel: x 2 + ax + b = 0 Lösningsformel: x = a 2 ± (a 2 ) 2 b 1 November 2004 p. 6/1

8 Algebraisk ekvation Enkelt exempel: x 2 + ax + b = 0 Lösningsformel: x = a 2 ± (a 2 ) 2 b Annat exempel: x 5 + ax 4 + b = 0 Lösningsformel: 1 November 2004 p. 6/1

9 Algebraisk ekvation Enkelt exempel: x 2 + ax + b = 0 Lösningsformel: x = a 2 ± (a 2 ) 2 b Annat exempel: x 5 + ax 4 + b = 0 Lösningsformel: ingen. 1 November 2004 p. 6/1

10 Algebraisk ekvation Enkelt exempel: x 2 + ax + b = 0 Lösningsformel: x = a 2 ± (a 2 ) 2 b Annat exempel: x 5 + ax 4 + b = 0 Lösningsformel: ingen. Generell form: f(x) = 0 Lösningsformel: ingen. 1 November 2004 p. 6/1

11 Algebraisk ekvation Enkelt exempel: x 2 + ax + b = 0 Lösningsformel: x = a 2 ± (a 2 ) 2 b Annat exempel: x 5 + ax 4 + b = 0 Lösningsformel: ingen. Generell form: f(x) = 0 Lösningsformel: ingen. Intervallhalveringsmetoden. Successiv approximation. Newtons metod. Konvergens. Datorberäkning. 1 November 2004 p. 6/1

12 Algebraisk ekvation Enkelt exempel: x 2 + ax + b = 0 Lösningsformel: x = a 2 ± (a 2 ) 2 b Annat exempel: x 5 + ax 4 + b = 0 Lösningsformel: ingen. Generell form: f(x) = 0 Lösningsformel: ingen. Intervallhalveringsmetoden. Successiv approximation. Newtons metod. Konvergens. Datorberäkning. Kemitillämpning: kemisk jämvikt 1 November 2004 p. 6/1

13 Tillämpad matematik tillämpning datorberäkning matematik generella ekvationer, inte bara förenklade specialfall intressanta tekniska tillämpningar från början når mer avancerade tillämpningar till slut 1 November 2004 p. 7/1

14 Matlab Matlab = Matrix laboratory 1 November 2004 p. 8/1

15 Matlab Matlab = Matrix laboratory numeriska matrisberäkningar 1 November 2004 p. 8/1

16 Matlab Matlab = Matrix laboratory numeriska matrisberäkningar från kalkylator till programmeringsmiljö 1 November 2004 p. 8/1

17 Matlab Matlab = Matrix laboratory numeriska matrisberäkningar från kalkylator till programmeringsmiljö har toolboxes för olika teknikområden 1 November 2004 p. 8/1

18 Matlab Matlab = Matrix laboratory numeriska matrisberäkningar från kalkylator till programmeringsmiljö har toolboxes för olika teknikområden har avancerade verktyg för grafik och användargränssnitt 1 November 2004 p. 8/1

19 Matlab Matlab = Matrix laboratory numeriska matrisberäkningar från kalkylator till programmeringsmiljö har toolboxes för olika teknikområden har avancerade verktyg för grafik och användargränssnitt illustrera matematiska begrepp med interaktiva program 1 November 2004 p. 8/1

20 Matlab Matlab = Matrix laboratory numeriska matrisberäkningar från kalkylator till programmeringsmiljö har toolboxes för olika teknikområden har avancerade verktyg för grafik och användargränssnitt illustrera matematiska begrepp med interaktiva program studenterna skriver sina egna program 1 November 2004 p. 8/1

21 Matlab ger skicklighet i programmering 1 November 2004 p. 9/1

22 Matlab ger skicklighet i programmering tvingar till förståelse av matematiken och algoritmerna 1 November 2004 p. 9/1

23 Matlab ger skicklighet i programmering tvingar till förståelse av matematiken och algoritmerna stark koppling till den matematiska teorin 1 November 2004 p. 9/1

24 Matlab ger skicklighet i programmering tvingar till förståelse av matematiken och algoritmerna stark koppling till den matematiska teorin fullt integrerad i kurserna: 4 timmar per vecka i datorstudio 1 November 2004 p. 9/1

25 Matlab ger skicklighet i programmering tvingar till förståelse av matematiken och algoritmerna stark koppling till den matematiska teorin fullt integrerad i kurserna: 4 timmar per vecka i datorstudio GNU Octave är ett icke-kommersiellt alternativ 1 November 2004 p. 9/1

26 Matlab ger skicklighet i programmering tvingar till förståelse av matematiken och algoritmerna stark koppling till den matematiska teorin fullt integrerad i kurserna: 4 timmar per vecka i datorstudio GNU Octave är ett icke-kommersiellt alternativ vi använder inte symbolisk datorberäkning (Mathematica, Maple,...) 1 November 2004 p. 9/1

27 Funktion, derivata Funktion: y y = f(x) Taylors formel: PSfrag replacements f(x) = f(a) + f (a)(x a) + R f(a) y = f(x) Tangenten i punkten a: y = f(a) + f (a)(x a) a x 1 November 2004 p. 10/1

28 Linjärisering y y = f(x) f(a) ents y = f(a) + f (a)(x a) a x 1 November 2004 p. 11/1

29 Linjärisering y y = f(x) ents f(a) a y = f(a) + f (a)(x a) x i+1 a = x i x 1 November 2004 p. 11/1

30 Algebraisk ekvation, Newtons metod Lös ekvationen: f(x) = 0 Antag att x i är en approximativ lösning. Lös den linjäriserade ekvationen f(x i ) + f (x i )(x i+1 x i ) = 0 Vi får x i+1 x i = f(x i) f (x i ) = f (x i ) 1 f(x i ) och en bättre approximation x i+1 = x i f (x i ) 1 f(x i ) 1 November 2004 p. 12/1

31 System av ekvationer, Newtons metod Ett system av n ekvationer i n obekanta: f 1 (x 1,..., x n ) = 0,. f n (x 1,..., x n ) = 0. Vi definierar: x = x 1.. x n, f = f 1.. f n, 0 = 0. 0 och systemet kan skrivas på kompakt form: f(x) = 0 1 November 2004 p. 13/1

32 System av ekvationer, Newtons metod System av ekvationer: f(x) = 0 Den linjäriserade ekvationen: f(x i ) + f (x i )(x i+1 x i ) = 0 Här är nu derivatan f (x i ) en matris. Vi får x i+1 x i = f (x i ) 1 f(x i ) och en bättre approximation x i+1 = x i f (x i ) 1 f(x i ) Dessa beräkningar görs enkelt i Matlab. 1 November 2004 p. 14/1

33 Kemisk jämvikt A + B C + D Jämviktsekvation: [C][D] [A][B] = K Koncentrationer: x 1 = [A], x 2 = [B], x 3 = [C], x 4 = [D] Ekvationen blir: f 1 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) := x 3x 4 x 1 x 2 K = 0 Fler ekvationer behövs. 1 November 2004 p. 15/1

34 Arsenik på lekplatser Det har diskuterats i Göteborgsposten om farhågor för höga halter av arsenik i stadens lekplatser. Den höga arsenikhalten kan bero på att man har använt tryckimpregnerat trä till lekredskap och sandlådor. Tryckimpregnering av virke görs bland annat med lösningar av Na 3 AsO 4 och dikromat varpå det antagligen bildas svårlösligt Cr(AsO 4 ) inuti virket. Uppgiften är att bestämma om halten av löst arsenik kommer att överskrida det tillåtna gränsvärdet som är mg/m 3. 1 November 2004 p. 16/1

35 Jämvikter Reaktionen när Cr(AsO 4 ) löses i vatten är Cr(AsO 4 )(s) H 2 O Cr3+(aq) + AsO3 4 (aq) Arsenatjonens hydrolys: H 3 AsO 4 (aq) H 2 AsO 4 (aq) HAsO 2 4 (aq) H 2 AsO 4 (aq) + H+ (aq) HAsO2 AsO3 4 (aq) + H+ (aq) 4 (aq) + H+ (aq) I dagens övning får du se hur man ställer upp jämviktsekvationer, löser dem med Matlab, och drar slutsats om arsenikens farlighet. 1 November 2004 p. 17/1