Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 8, kl 8 5B6 Matematik, för E, I, M, Media och T För betyg godkänt, 4 och 5 krävs minst 6, respektive poäng inklusive bonuspoäng Samtliga behandlade uppgifter ska förses med utförlig lösning och motivering Lösningsförslag finns efter skrivningstidens slut på kurshemsidan Inga hjälpmedel! Bestäm a så att ekvationssystemet x + y + z x + y + z a x y z får oändligt många lösningar samt bestäm dessa p Låt f x, y, z x ln + y z a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten,, i riktningen av vektorn v, 4, p b Bestäm den maximala riktningsderivatan av f i punkten,, p c Bestäm någon riktning i vilken riktningsderivatan är i punkten,, p Planet P har ekvationen x + y + z och planet P är det plan som går genom punkterna,,, 6,, och 7,, Bestäm vinkeln mellan planen P och P p 4 Transformera uttrycket xz x + yz y genom att införa variablerna u och v enligt u xy och v x + y p 5 Bestäm ekvationen för tangentlinjen i parameterform till skärningskurvan mellan ytorna x + y + z och y xz + i punkten,, p Vg vänd!
6 Anpassa i minstakvadratmening en rät linje y ax + b till punkterna,,, och, 5 Bestäm också medelfelet 4p 7 Bestäm konstanterna b och c så att funktionen f x, y x + bxy + y + x + cy får en kritisk stationär punkt i x, y, Bestäm även den kritiska punktens karaktär 4p 8 Avgör vilken typ av kurva i planet som bestäms av ekvationen 9x + 4xy + 6y x + 7y 75 och skriv ekvationen i huvudaxelform 4p 9 En yta definieras av Fx, y, z, där F är en differentierbar funktion a Visa att en regulär parameterkurva som ligger på ytan alltid har en tangentvektor som är vinkelrät mot grad F p b Visa att grad FP är vinkelrät mot ytans tangentplan i punkten P p Matrisen C:s kolonner består av n stycken linjärt oberoende egenvektorer till n n matrisen A Härled utgående från definitionen av egenvärde/egenvektor att AC CD, där D är en diagonalmatris med A:s egenvärden som diagonalelement 4p
Lösningsförslag, Matematik, E, I, M, Media och T, 8 Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, a a - 4 4 a 7 7 4 a 4 7 7-7 a + a 4-7 a 4 För att detta system ska ha någon lösning måste ekvationen i den sista raden ha noll i högerledet, dvs a Med a får vi trappstegsformen x + y + z 7 a 4 Vi markerar den kolonn som inte innehåller en trappstegsetta,, och använder motsvarande variabel z som parameter när vi skriver lösningen x + t y t t parameter z t
Lösningsförslag, Matematik, E, I, M, Media och T, 8 Sida Funktionen f ges av ett elementärt uttryck och är därför differentierbar överallt där den är definierad Riktningsderivatan av f i punkten,, och i en riktning û enhetsvektor kan därmed beräknas med formeln f,, f,, û, û där f är gradienten av f och är lika med f f x, f y, f z ln + y z, ln + y z, x + y z y, x + y z z xy + y z, xz + y z, och speciellt är f,, ln +, +,,, + a Efter att ha normerat vektorn v, ˆv v v, 4,, 4, + 4 + 5 ger formeln för riktningsderivatan att, 4 5, 5, f ˆv,, f,, ˆv,,, 4, 5 5 + 4 + 5 5 5 b Riktningsderivatan f û f û blir maximal när enhetsvektorn û väljs i samma riktning som f, dvs och då är û f f f û f û f f f f f f Den maximala riktningsderivatan i punkten,, är alltså f û,, f,, + +
Lösningsförslag, Matematik, E, I, M, Media och T, 8 Sida c En riktning û u, u, u som ger riktningsderivata måste uppfylla f û,, f,, û,, u, u, u u u, vilket tex är uppfyllt om û,, Vinkeln mellan planen är lika med vinkeln mellan deras normaler n n θ P θ Från planet P :s ekvation kan vi direkt avläsa planets normal n som koefficienterna framför x, y och z, n,, Eftersom vi har tre punkter P,,, Q 6,, och R 7,, i planet P kan vi få en normal till planet genom att bilda två vektorer PQ och PR som är parallella med planet och kryssa dem n PQ PR P n PQ PR P Q R Med siffror får vi PQ Q P 6,,,,,,, PR R P 7,,,, 4,,, n PQ PR,, 4,,, 4, P
Lösningsförslag, Matematik, E, I, M, Media och T, 8 Sida 4 Vinkeln θ mellan normalvektorerna och därmed planen får vi nu genom att använda skalärprodukten n n n n cos θ, cos θ n n n n,,, 4, + + + 4 + + 4 + 9 8 9 vilket betyder att θ 4 π, dvs att vinkeln mellan planen är 4 π eller 4 π som är supplementvinkeln 4 Sambandet mellan z uttryckt i x och y, och z uttryckt i u och v kan skrivas som zx, y z ux, y, vx, y Vi ska nu transformera xz x + yz y i u och v så att uttrycket blir skrivet helt och hållet Genom att deriverar båda led i med avseende på x respektive y får vi med kedjeregeln ett samband mellan z:s partialderivator i x, y och u, v, Detta betyder att z x z x z u u x + z v z y z y z u u y + z v v x z u y + z v x, v y z u x + z v y xz x + yz y x z u y + z v x + y z u x + z v y xy z u + x + y z v Eftersom xy u och x + y v får vi att xz x + yz y u z u + v z v
Lösningsförslag, Matematik, E, I, M, Media och T, 8 Sida 5 5 För att bestämma en parameterekvation till tangentlinjen behöver vi en punkt P x, y, z på linjen och en nollskild vektor v α, β, γ som är parallell med linjen v P Då ges linjens ekvation av x x + αt, y y + βt, z z + γt, t parameter, eller i vektorform x, y, z x, y, z + tα, β, γ Vi väljer enklast punkten P som tangeringspunkten,, Tangentlinjens riktning v kan vi bestämma från det faktum att skärningskurvan tillhör båda ytorna Vi kan skriva de två ytorna som f x, y, z och gx, y, z, där f x, y, z x + y + z och gx, y, z y xz Eftersom skärningskurvan ligger på ytan f x, y, z måste kurvan i punkten P,, ha en tangentvektor som vinkelrät mot ytans normal f P På samma sätt måste tangentvektorn vara vinkelrät mot gp Detta betyder att vi får tangentlinjens riktning genom att ta kryssprodukten av ytornas normaler, v f,, g,,, där f f x, f y, f z x, y, z och g g x, g y, g z z,, x, dvs v,,,,,, Tangentlinjens ekvation är därmed x t, y + t, z t, eller x, y, z,, + t,,
Lösningsförslag, Matematik, E, I, M, Media och T, 8 Sida 6 6 Stoppar vi in punkterna,,, och, 5 i den räta linjens ekvation y ax + b får vi a + b a + b a + b 5 eller i matrisform a b Minstakvadratlösningen till detta ekvationssystem får vi genom att vänstermultiplicera båda led med transponatet av vänsterledets koefficientmatris a b 5 5 och lösa detta system den sk normalekvationen Multiplicerar vi ihop matriserna 5 och 5 4 så ser vi att systemet blir 5 a b 4 Gausseliminering ger oss lösningen 5 4 5 5 4-5 6 5 5 6 5 5-5 5 dvs a och b 5
Lösningsförslag, Matematik, E, I, M, Media och T, 8 Sida 7 Den linje som bäst anpassar till punkterna i minstakvadratmening är y x 5 y y x 5 x Medelfelet i approximationen får vi genom att stoppa in de framräknade värdena på a och b i ursprungsekvationerna 5 5, flytta över allt i vänsterledet 5 5 och räkna ut längden av vektorn i vänsterledet delat med roten ur antalet ekvationer dvs Vi får medelfel 4 5 5 5 4 + 4 + 5
Lösningsförslag, Matematik, E, I, M, Media och T, 8 Sida 8 7 Funktionen f har en kritisk punkt i x, y, om gradienten av f är noll i punkten Med andra ord, om f :s partialderivator är noll, f x, 4x + by + x y f y, bx + y + c x y 6 + b, 4 + b + c Detta är bara uppfyllt om b och c Den kritiska punktens karaktär avgörs av andraderivatorna METOD Direkt villkor Vi sätter A f xx, 4, B f xy, b, C f yy,, och då får vi att AC B 4 <, vilket betyder att den kritiska punkten är en sadelpunkt METOD Hessianens egenvärden Hessianen i punkten, blir f xx, f yx, H f, f xy, f yy, 4 och dess egenvärden ges av den karakteristiska ekvationen 4 λ λ λ 6λ λ ± Hessianen har alltså ett negativt och positivt egenvärde, vilket betyder att den kritiska punkten är en sadelpunkt 8 Se exempel 88 i Linjär geometri och algebra
Lösningsförslag, Matematik, E, I, M, Media och T, 8 Sida 9 9 a Låt kurvans parametrisering vara rt xt, yt, zt, där xt, yt och zt är kontinuerligt deriverbara funktioner Eftersom kurvan ligger på ytan uppfyller den ytans ekvation för alla t, Kedjeregeln ger då att F xt, yt, zt d dt F xt, yt, zt F x x t + F y y t + F z z t Detta uttryck kan vi se som en skalärprodukt F x, F y, F z x, y, z, vilket visar att parameterkurvans riktningsvektor r x, y, z alltid är vinkelrät mot grad F F x, F y, F z b Låt rt vara en godtycklig regulär parameterkurva som ligger på ytan och passerar genom punkten P när t Då vet vi enligt a-uppgiften att kurvans tangentvektor r är vinkelrät mot grad FP Eftersom rt är en godtycklig regulär kurva är r en godtycklig tangentvektor till ytan i punkten P Detta betyder att grad FP är vinkelrät mot alla tangenter till ytan i punkten P, dvs grad FP är vinkelrät mot ytans tangentplan i punkten P Antag att matrisen A har de linjärt oberoende egenvektorerna u, u,, u n och motsvarande egenvärden λ, λ,, λ n, Au λ u, Au λ u,, Au n λ n u n Vi kan sammanfatta alla dessa vektorsamband genom att rada upp vektorerna som kolonner i en matris, Au Au Au n λ u λ u λ n u n Detta matrissamband är i själva verket den likhet som vi ska visa, för om vi börjar med vänsterledet så kan det skrivas som A u u u n AC,
Lösningsförslag, Matematik, E, I, M, Media och T, 8 Sida där C är matrisen med egenvektorerna u, u,, u n Vektorerna i högerledet kan skrivas som λ u λ u + u + u + + u n λ u u + λ u + u + + u n osv som kolonner u u u n u u u n λ λ,, vilket betyder att högerledet är lika med u u u n λ λ λ n CD Detta visar att AC CD
Vg vänd! Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 6, kl 8 5B6 Matematik, för B, IT För betyg godkänt, 4 och 5 krävs minst 6, respektive poäng inklusive bonuspoäng Samtliga behandlade uppgifter ska förses med utförlig lösning och motivering Lösningsförslag finns efter skrivningstidens slut på kurshemsidan Inga hjälpmedel! Bestäm tangentvektorn till parameterkurvan rt t+t, t, t +t 5 i punkten,, 4 p Bestäm a och b så att ekvationssystemet x + y + z a x + 5y + z x + y + + az b får oändligt många lösningar samt bestäm dessa p Finn tangentplanet till nivåytan x +xy +y +z xz 9 i punkten,, p 4 Transformera uttrycket F y u 6v x + F y genom variabelbytet x u v, p 5 Låt A och B 5 7 4 Beräkna AB A + BA T p 6 Visa att funktionen fx, y x + 4xy + cy + x + y har en stationärkritisk punkt som är oberoende av cantag c 4 samt bestäm denna punkt Bestäm punktens karaktär för varje värde på c 4 4p
7 Vektorerna { f,,, f 4, 5, 8, f,, 5} bildar en bas i R Bestäm koordinaterna för vektorn,, med avseende på den basen 4p 8 Låt fx, y e x+y sinx siny cosx y a MacLaurinutveckla funktionen f till och med andra ordningens termer b Beräkna gränsvärdet p lim x,y, fx, y x + y till exempel genom att använda utvecklingen från del a p 9 Transformera ekvationen x + y + z xy xz 8 till huvudaxelformdiagonalform 4p a Visa att en uppsättning på n+-stycken vektorer i R n måste vara linjärt beroende b Visa att n--stycken vektorer i R n aldrig kan spänna upp hela rummet p p
Lösningsförslag, Matematik, B och IT, 8 Vid parametervärde t har parameterkurvan rt t + t, t, t + t 5 tangentvektor r t + t, t, t + 5t 4 Punkten,, 4 svarar mot parametervärdet t Vi har att t, så t ± och det följer då från t + t att t Den sökta tangentvektorn blir därmed r 4,, 7 Systemet på matrisform Gausseliminering ger a 5 + a b a 7 5 a + a b a Systemet har således oändligt många lösningar då a och b a, dvs då a och b 6 I det fallet har vi 7 5 9 och fortsatt Gausselimination leder till 9 7 5 7 9 7 7 Systemet är nu på trappstegsform och vi kan läsa av lösningarna { x 9t 7 y 9 5t 7 z t Låt F x, y x + xy + y + z xz Punkten,, ligger på nivåytan F x, y 9 Tangentplanet i punkten,, har normalvektor n grad F,,
Lösningsförslag, Matematik, B och IT, 8 Sida Vi har att grad F 6x + y z, x + y, 4y x, så n grad F,, 5, 7, 6 Tangentplanets ekvation är nu: n r n r, där r,, och r är en punkt på planet Vi får följdaktligen ekvationen 5x + 7y + 6z 5, 7, 6,, 5 + + 8 Svar: Tangentplanet är 5x+7y+6z8 4 Allmänt gäller att ux u F x, F y F u, F v y v x v y Då x u v och y u 6v har vi att ux u y xu x v v x Vi får så v y y u y v 6 6 F x F u u x + F v v x F u + F v och F y F u u y + F v v y F u F v Sätter vi in utvecklingarna i ekvationen får vi F x + F y F u + F v F u + F v 5 Vi är givna matriserna A och B 5 7 4
Lösningsförslag, Matematik, B och IT, 8 Sida Observera först att A både är en ON-matris och symmetrisk, det betyder att A A T A Dessutom gäller det allmänt att AB B A och BA T A T B T Alltså AB A + BA T B A A + A T B T B A A + B A AB T B + B B T Vi har att och B 4 4 7 5 7 5 B T 5 7 4 Det ger att 4 4 5 7 B + B B T + 7 5 7 5 4 4 6 5 + 7 5 9 7 4 6 För funktionen fx, y x + 4xy + cy + x + y gäller att f x x + 4y + och f y 4x + cy +, så grad f x + 4y +, 4x + cy + För en stationär punkt gäller att grad f,, dvs i vårt fall att x + 4y + och 4x + cy + Den första ekvationen ger oss x 4y, vilket insatt i den andra ekvationen ger 8y + cy +, dvs c 4y Nu antog vi att c 4 så vi får y Det ger sedan att x Punkten, är alltså en stationär punkt för f oberoende av c Den stationära punktens karaktär varierar däremot med c, för att se det så räknar vi ut andraderivatorna i punkten Vi har att f xx /,, f xy /, 4 och f yy /, c, så f xx /, f yy /, f xy /, c 4 4c 6 Vi ser att om c < 4 blir 4c 6 < och vi har en sadelpunkt medan om c > 4 blir 4c 6 >, då även f xx /, > är punkten i det fallet en lokal minpunkt
Lösningsförslag, Matematik, B och IT, 8 Sida 4 7 Vektorerna { f,,, f 4, 5, 8, f,, 5} är en bas i R Vi vill hitta koordinaterna med avseende på den basen för vektorn v, som i standardbasen har utseendet v e,, Regeln för basbyte säger att v e C v f, där C är transformationsmatrisen för basbytet, vilket betyder att C har f-vektorerna som kolonnvektorer Det återstår att lösa ekvationen Om v:s komponenter i f-systemet är v f r, s, t så har vi ekvationssystemet 4 r 5 s 8 5 t Vi löser systemet 4 5 5 5 4 6 8 5 8 5 7 5 4 6 7 5 5 Systemet är nu på trappstegsform och vi kan läsa av lösningen v f r, s, t 6,, 5 Ett annat sätt att få fram v f är att flytta över C, dvs v f C v e Vi måste alltså först räkna ut C t ex genom att använda adjunkter 5 8 5 4 8 5 4 5 C det C 5 5 9 4 7 5 8 4 8 4 7 4 6 5 Vilket ger 9 4 7 6 v f 7 4 6 5 8 a Vi ska MacLaurinutveckla funktionen fx, y e x+y sin x sin y cosx y
Lösningsförslag, Matematik, B och IT, 8 Sida 5 till ordning Vi kan använda kända envariabelutvecklingar e t + t + t + Ot, sin t t + Ot, Sätt ρ x + y fx, y + x + y + cos t t + Ot x + y x + y x y x y + Oρ x y + Oρ 4x + 4xy + y + x 4xy + 4y + Oρ 5 x + y + Oρ b lim x,y, fx, y x + y lim 5 x,y, + Oρ 5 9 Vi börjar med att skriva den kvadratiska formen på matrisform fx, y x, yk fx, y x + y + z xy xz x y x, y x y Diagonalisering av K sker med hjälp av egenvärden K kan ON-diagonaliseras eftersom K är symmetrisk λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λλ λ,
Lösningsförslag, Matematik, B och IT, 8 Sida 6 så vi får egenvärden λ, λ, λ ordningen godtycklig Med nya variabler ξ, η och ζ blir alltså ekvationen: ξ + η 8 a n + stycken vektorer v,, v n+ i R n är linjärt beroende om och endast om det linjära homogena systemet x v + + x n+ v n+ har icke-triviala lösningar Men detta system är liggande fler variabler än rader och har enligt sats [], sid 4 i Linjär geometri och algebra, alltid icke-triviala lösningar b För att n stycken vektorer u, u n i R n ska spänna upp hela R n måste varje system av typen x u + + x n u n a ha en lösning Men detta system är stående fler rader än variabler och stående system med allmänt högerled saknar, enligt sats [] i Linjär geometri och algebra, lösningar Anm sats följer direkt av Gauss-Jordans lösningsalgoritm Alternativuppgifter * dx x + 4x + 7 dx x + + dx x+ + [ ] x + arctan arctan arctan π π 9 7* x e x dx [ t e t ] e t [ ] x t xdx dt lim t t dt te t + e t [ t ] e t e t dt +
Institutionen för matematik, KTH Tentamensskrivning, 4, kl 8 5B6, Matematik, för B, E, I, IT, M, Media och T Preliminära gränser för betygen, 4 och 5 är 6, respektive poäng inklusive bonuspoäng Varje bonuspoäng ger poäng på tentamen Det maximala antalet poäng på varje uppgift är angivet inom parentes i anslutning till uppgiften Samtliga behandlade uppgifter bör förses med utförlig lösning och motivering Inga hjälpmedel är tillåtna A NGE GRUPPNUMMER ELLER LÄRARENS NAMN PÅ OMSLAGET! Bestäm ekvationen för tangentplanet till ytan xy + yz + zx 8 i punkten,, p Bestäm inversen till matrisen A A T då A p a Bestäm skärningspunkten mellan linjerna rt t, t, t och ps + s, + s, p b Bestäm ekvationen för det plan som innehåller de båda linjerna p 4 a Bestäm Taylorpolynomet av andra graden till funktionen fx,y x + cosx y kring punkten, b Beräkna, med hjälp av detta polynom, ett approximativt värde av f, p p 5 Bestäm konstanten a så att funktionen z x yf x + ay uppfyller differentialekvationen z x + z ý, då f är en godtycklig, deriverbar funktion av en variabel 6 a Beräkna riktningsderivatan f v till funktionen fx,y x + y x y riktning av vektorn v, i punkten, i b Ange den riktning u i vilken riktningsderivatan f ú, är så stor som möjligt och beräkna detta maximala värde p p p 7 Bestäm största och minsta värdet av funktionen fx,y x + y på kvartscirkeln x + y 5, x, y 4p 8 Undersök om det finns konstanter a och b för vilka ekvationssystemet ax + y + z 4a + b bx + y + z a + 4b ax + y + z a + 4b har precis en lösning x, y och z 4p 9 Undersök om det finns något tal a sådant att x + 4xy + ay + x y är ekvationen för en parabel? Visa att vektorerna v, v, v, v 4 är linjärt oberoende om och endast om vektorerna v, v + v, v + v, v + v 4 är linjärt oberoende 4p 4p LYCKA TILL!
Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Matematik, 5B6, 4 Ytan ges på formen fx,y,z 8 där fx,y,z xy + yz + zx I punkten,, fås f x y + 6xz, f ý xy + z 8, f ź 4yz + x 8, alltså grad f,,,8,8 och den sökta ekvationen är x, y, z,8,8, dvs Svar: x + 8y + 8z 4 Man har: A A T A T A A T A A A T A, A T Svar: a Skärningspunkten fås ur ekvationen rt ps t, t, t + s, + s, t + s t + s t Man får t, s, dvs punkten,, Svar:,, b Linjernas riktningsvektorer är n,, resp n,, Planets normalvektor är n n n e x e y e z e x + e y e z,, Planets ekvation kan skrivas på formen x + y z d Eftersom punkten,, uppfyller denna ekvation så måste d, alltså planets ekvation är x + y z x y + z Svar: x y + z 4a Det sökta Taylorpolynomet p ges av f, + f x,h + f ý,k + f xx,h + f xy,hk + f yy,k där h x, k y Vi har fx,y x + cosx y och i punkten, fås f,, f x x 4 sinx y, f ý sinx y, f xx 8 cosx y 6, f xy 4 cosx y 4, f yy cosx y Alltså px,y + x x + 4x y y Svar: px,y + x x + 4x y y 4b f, p, Svar: f, 5 Sätt t x + ay Vi har z x yf t, z x f t + x yf tt x f t + x yf t och z ý f t + x yf tt ý f t + ax yf t vilket ger z x + z ý 9 + ax yf t a 9/ Svar: a 9/ 6a Vi har fx,y x + y x y I punkten, får man f x grad f,, och f v, grad f, v v y x y och fý,, 5 x x y, Svar: f v, 5 5 6b Största värdet av f ú, fås då u har riktning av grad f, dvs u, Detta värde är grad f, Svar: u, Maximala värdet är 7 Funktionen fx,y x + y är kontinuerlig och den tillåtna mängden x + y 5, x, y är kompakt Detta medför att f antar ett största och ett minsta värdet i mängden Punkter där dessa värden antas är antingen ändpunkterna på kvartscirkeln eller kritiska punkter till Lagranges funktion gx,y,t x + y + tx + y 5 Ändpunkterna:, 5 och 5,
Kritiska punkter: g x + tx g ý + ty g t x + y 5 Aktuella punkter:, 5, 5, och, Vi har yg x xg ý y x, vilket insatt i g t ger 5x 5, dvs x eftersom x och y, dvs punkten, I dessa punkter antar f värdena f, 5 5, f 5, 5 och f, 5, alltså största värdet 5 och minsta värdet 5 Svar: Största värdet 5 och minsta värdet 5 8 Ekvationssytemet i obekanta x, y och z determinanten a b a in dessa värden i ekvationssystemet så skulle att 4a 4b ax + y + z 4a + b bx + y + z a + 4b ax + y + z a + 4b har precis en lösning 4a 4b Om x,y,z,, skulle vara en lösning sätt a + b 8 a + b 6 a 4b 4 9 Den kvadratiska delen x + 4xy + ay beskrivs av matrisen A a b, vilket strider mot Svar: Det finns inte några sådana konstanter Om den givna ek- a vationen skall vara en ekvation för en parabel så måste ett av egenvärdena till matrisen A vara lika med noll Egenvärdena fås ur ekvationen deta λe : λ a λ λa λ 4 För λ får vi a 4, vilket alltså är den enda tänkbara värdet för vilket den givna ekvationen beskriver en parabel Den ekvationen är då λ4 λ 4 och man får rötterna och 5 Egenvektorerna bestäms ur ekvationen A λev, v : För λ 5 får vi 4 b c karakteristiska b c En motsvarande egenvektor är v Egenvektorerna till det andra egenvärdet λ är vinkelräta mot v och en egenvektor är därför v De båda valda egenvektorerna har längden 5 Koordinatbytet med transformationen x u v 5 5 y u + v 5 5 ger ekvationen 5u 5v v 5u, alltså en parabel Svar: Parabeln a 4 Antag att av + bv + v + cv + v + dv + v 4 Då gäller efter omskrivning att a + b + c + dv + bv + cv + dv 4 Om v, v, v, v 4 är linjärt oberoende så måste det gälla att a + b + c + d b c d dvs a b c d Detta innebär att vektorerna v, v + v, v + v, v + v 4 är linjärt oberoende Antag att av + bv + cv + dv 4 Då gäller efter omskrivning att a b c dv + bv + v + cv + v + dv + v 4 Om v, v + v, v + v, v + v 4 är linjärt oberoende så måste a b c d b c d dvs a b c d Detta innebär att vektorerna v, v, v, v 4 är linjärt oberoende
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, -8-, kl 8 5B6 Matematik, för B, E, I, IT, M, Media och T För betyg godkänt, 4 och 5 krävs minst 6, respektive poäng inklusive bonuspoäng Samtliga behandlade uppgifter ska förses med utförlig lösning och motivering Lösningsförslag finns efter skrivningstidens slut på kurshemsidan Inga hjälpmedel! Beräkna determinanten 6 4 8 5 5 4 4 8 6 6 p Låt fx, y xy, y e x y a Bestäm Jacobimatrisen för f p b Visa att f har en differentierbar lokal invers kring punkten x, y, p c Bestäm den lokala inversens Jacobimatris i punkten som svarar mot x, y, p Givet vektorerna u, a,, u b,, och u,, a a För vilka värden på a och b bildar vektorerna en ON-bas? p b Bestäm den matris som transformerar en vektors koordinater i standardbasen till dess koordinater i denna ON-bas p 4 Bestäm alla kritiska stationära punkter till funktionen f x, y x x + y arctan x samt avgör deras karaktär p 5 Anpassa i minstakvadratmening kurvan y ax + bx a + b till punkterna, 8,,,, och, p 6 Bestäm det största och minsta värde som funktionen f x, y x+ y kan anta då y 4 och y x 4p 7 Bestäm genom att införa variablerna u x + ye z v x ye z w z den allmänna lösningen till differentialekvationen y f x + x f y + f z 4p Vg vänd!
8 Ett plan innehåller punkten P,, och linjen x, y, z,, + t4,, Bestäm den punkt i planet som ligger närmast punkten Q 7,, 8 4p 9 Bestäm en linje i parameterform som går genom punkten P,, och tangerar ytan z x + y 4p Två linjära avbildningar i rummet har matriserna A 8 5 7 respektive B 6 4 Bestäm en nollskild vektor v så att bildvektorerna Av och Bv är parallella 4p
Lösningsförslag, Matematik, B, E, I, IT, M, Media och T, -8- Den sista raden är nästan lika med den första raden med omvänt tecken Om vi därför adderar den första raden till den sista raden får vi en rad med många nollor som vi kan utveckla längs, 6 4 8 5 5 4 4 8 6 6 + 6 4 5 5 4 8 6 6 4 8 5 5 4 4 8 6 I denna -determinant är den andra kolonnen nästa lika med två gånger den första kolonnen Med en kolonnoperation kan vi få en kolonn med många nollor som vi utvecklar längs 6 4 5 5 4 8 6-4 6 4 5 4 6 6 4 a Jacobimatrisen är J f xy xy x y y e x y y e x y x y y xy y e x y x xy ye x y b Funktionen f har en lokal invers kring punkten x, y, om Jacobimatrisen J f är inverterbar i punkten, dvs om dess determinant är skild från noll Vi har att det J f c Den lokala inversens Jacobimatris är lika med inversen av f :s Jacobimatris i motsvarande punkt, J f J f
Lösningsförslag, Matematik, B, E, I, IT, M, Media och T, -8- Sida a Vektorerna bildar en ON-bas om de har längd och är parvis vinkelräta Villkoret att u och u är vinkelräta ger att u u + a a 4 9 a a Eftersom u och u ska vara vinkelräta måste gälla att u u b + 9 b b Med dessa värden på a och b kontrollerar vi sedan att de övriga villkoren är uppfyllda, u u,,,, u u u + + 4 9 + 4 9 + 9, u u u + + 9 + 4 9 + 4 9, u u u + + 4 9 + 9 + 4 9 9 + 9 4 9, b Den sökta transformationsmatrisen C ges som inversen av matrisen med u, u och u som kolonner, C Eftersom u, u och u är en ON-bas är matrisen som ska inverteras en ON-matris och därför är inversen lika med transponatet, C T 4 De kritiska punkterna fås genom att sätta f :s partialderivator lika med noll, Från får vi två fall f x x + x : Ekvation ger oss då att y y ± y : Ekvation ger att x x Totalt finns alltså tre kritiska punkter,,, och, y, + x f y y arctan x
Lösningsförslag, Matematik, B, E, I, IT, M, Media och T, -8- Sida De kritiska punkternas karaktär kan vi bestämma med andraderivatorna Hessianen är lika med f xx f yx H f f xy f yy y xy + x + x y + x arctan x och från dess egenvärden i de kritiska punkterna kan vi klassificera punkterna Punkten x, y, Hessianens värde är H f, och dess egenvärden ges av den karakteristiska ekvationen λ λ λ λ 4 λ ± 5 Hessianen har ett positivt och ett negativt egenvärde vilket betyder att punkten är en sadelpunkt Nästa punkt x, y, Hessianens värde är H f, och den karakteristiska ekvationen är λ λ λ λ 4 λ ± 5 Både ett positivt och negativt egenvärde betyder att punkten är en sadelpunkt Slutligen punkten x, y, Hessianen är H f, arctan och har egenvärdena och arctan Eftersom båda egenvärdena är postiva är punkten ett lokalt minimum 5 Vi stoppar in punkterna, 8,,,, och, i kurvans ekvation y ax + bx, a + b 8 a + b a + b a + b eller i matrisform a b 8
Lösningsförslag, Matematik, B, E, I, IT, M, Media och T, -8- Sida 4 Genom att vänstermultiplicera båda led med transponatet av vänsterledets koefficientmatris får vi systemets normalekvation a b 4 a 4 6 b y 8 Lösningen till detta system ger oss minstakvadratlösningen Cramers regel ger a b 4 6 4 / 4 4 6 5, / 4 4 6 7 y 5 x 7 x + x Den kurva som bäst anpassar punkterna i minstakvadratmening är y 5 x 7 x 5 x 7 x+ 6 Genom att rita upp de tillåtna punkterna ser vi att området är kompakt slutet och begränsat Detta tillsammans med att funktionen f är kontinuerlig ger att det finns ett största och minsta värde till f i området Funktionen antar detta största respektive minsta värde i någon av följande punkter inre kritiska punkter, punkter på randkurvorna, eller skärningspunkter mellan randkurvorna Vi undersöker dessa tre fall y y x y 4 x I en inre kritisk punkt måste gälla att f x f y, men eftersom f x saknas sådana punkter Vi har två randkurvor att undersöka På linjen y 4 är funktionen f x, 4 x + 4 strängt växande, vilket betyder att det inte finns lokala extrempunkter i det inre av linjen På parabeln y x är funktionen lika med f x, x x + x Om vi kallar detta uttryck för gx så måste g x +x x i en lokal extrempunkt på parabeln Detta svarar mot punkten x, y, som verkligen tillhör området eftersom punkten ligger mellan skärningspunkterna i x -led; se punkt Skärningspunkterna måste uppfylla båda randkurvornas ekvationer, y 4 y x x, y ±, 4
Lösningsförslag, Matematik, B, E, I, IT, M, Media och T, -8- Sida 5 Sammanfattningsvis har vi alltså tre punkter,,, 4 och, 4 bland vilka f antar sitt största och minsta värde Eftersom f,, f, 4 och f, 4 8 är funktionens största värde 8 och minsta värde 7 Se uppgift 455 i övningsboken till Analytiska metoder II 8 Först bestämmer vi en normalvektor till planet Vi väljer två punkter R och S på linjen och bildar vektorerna PR och PS Vektorerna PR och PS är då parallella med planet vilket gör att deras kryssprodukt n PR PS är en normalvektor till planet Tar vi två parametervärden fås R,,, svarar mot t, S 5,,, svarar mot t, n PR PS och då är PR R P,,,,,,, PS S P 5,,,,,,, n PR PS, 4, R P S Om vi kallar den sökta punkten, som ligger närmast Q, för T så är vektorn TQ parallell med normalen n och vi kan bestämma TQ genom att projicera vektorn PQ på n Punkten T:s koordinater får vi sedan genom att gå från origo via Q till T, Q Q P T T O PQ n TQ n { } 4,, 6, 4, PQ Q P 4,, 6, 4, n + 4 + 8 + 4 +, 4,, 4,, 4 + 6 + 4 T OT OQ + QT OQ TQ 7,, 8, 4, 5, 4, 6
Lösningsförslag, Matematik, B, E, I, IT, M, Media och T, -8- Sida 6 9 Eftersom den sökta linjen går genom punkten P,, kan vi parametrisera linjen som x, y, z,, + t α, β, γ, där v α, β, γ är linjens riktning Ytans ekvation kan vi skriva som f x, y, z z x y Om vi kallar tangeringspunkten för Q x, y, z så ska dels Q ligga på ytan och därför uppfylla ytans ekvation z x + y, dels ytans normalriktning f i punkten Q vara vinkelrät mot linjens riktning v, f Q v x,, α, β, γ αx β + γ f Q v P Punkten Q ska också ligga på linjen vilket betyder att för ett visst parametervärde t t ger linjens parameterekvation punkten Q, Ekvationer, 4 och 5 insatta i och ger + αt x, + βt y, 4 + γt z 5 + γt α t + βt, α t β + γ Eftersom vi egentligen bara är intresserade av att bestämma en linje kan vi prova om ekvationerna och har någon lösning för tex α och β Ekvationerna blir i detta fall Multiplicera med t och addera, Om exempelvis t blir och t γt +, t + γ t + t ± { γ + + γ γ Ett svar är alltså linjen x, y, z,, + t,, Anm Givetvis finns det många andra korrekta svar och allmänt kan man visa att en linje x, y, z,, + tα, β, γ tangerar ytan om och endast om 4α β + γ
Lösningsförslag, Matematik, B, E, I, IT, M, Media och T, -8- Sida 7 Vektorerna Av och Bv är parallella om det finns ett tal λ så att Av λ Bv Vi kan skriva om denna likhet genom att flytta över allt i ena ledet, A λb v Detta system har en icke-trivial lösning v om och endast om deta λb, dvs λ λ 8 + λ 5 + λ 7 λ λ 6λ + 4λ - λ λ 8 + λ 5 + λ 7 λ 6 { } utveckla längs den tredje raden λ 8 + λ 7 λ + 6 λ λ 5 + λ λ 6 λ + λ + 7 λ 8λ + 7 λ dubbelrot Med λ gausseliminerar vi systemet, 4 6 4 7 5 7 6 Från slutschemat kan vi avläsa lösningarna t v t t, t + - - -5 - t parameter Väljer vi tex t får vi svaret v,,
Alternativuppgifter för äldre teknologer Med en partialintegrering kan vi derivera bort logaritmfunktionen x lnx + dx [ x lnx + ] ln x + x + x dx ln x x + dx ln [ x x + arctan x ] x 4 x + dx ln + 4 9 6 π 7 a Vi börjar med att dela in intervallet [a, b] i n delintervall [x i, x i+ ] med lika längd b a/n x a x x x n b x n x Inom intervallet [x i, x i+ ] approximerar vi längden av kurvan y f x med längden av kordan mellan kurvstyckets ändpunkter Längd av kurvstycket mellan x x i och x x i+ Längd av linjestycket mellan x i, f x i och x i+, f x i+ x i+ x i + f x i f x i+ x i x i+ Om vi gör denna approximation i varje delintervall blir kurvans totala längd L ungefär lika med n L x i+ x i + f x i f x i+ i I detta uttryck är x i+ x i b a/n och differensen f x i+ f x i kan skrivas om med medelvärdessatsen till f x i+ f x i f ξ i x i+ x i, där x i < ξ i < x i+ Detta betyder att summaformeln kan skrivas som n L x i+ x i i + f ξ i b a n n i + f ξ i, och här känner vi igen summan som en Riemannsumma som konvergerar mot integralen b a + f x dx när n b Använder vi formeln i a-uppgiften fås att båglängden är + y dx { y x/ } 4 9 / t dt 4 9 [ ] / t t 8 7 + 9 4 x dx { t + 9 4 x; dt 9 4 dx; t : }