6 Derivata och grafer

6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000 -00000 Figur 6.1: Ett alldeles för stort intervall -150-00 -50-1 -0.5 0.5 1 Figur 6.: Här ett för litet Ett bättre sätt att få en uppfattning om kurvans utseende är att först derivera f 0 (x) = x + 4x 99

Derivata och grafer För att ta reda på i vilka punkter f(x) har tangenter med k-värdet = 0, som är liktydigt med en extrempunkt sätter vi f (x) = 0 och löser den uppkomna andragradsekvationen x + 4x 99 = 0 x + 8x = 0 x = 4 ± 16 + x = 4 ± 7 x 1 = 11 x = Med vetskapen att extrempunkterna har x-värden x = 11 och x = blir det enklare att bestämma vilket intervall vi ska använda 1000 500-0 -15-10 -5 5-500 -1000-1500 Figur 6.: Så där ja! Genom att sätta in x-koordinaterna för extrempunkterna kan vi bestämma deras placering i koordinatsystemet: f( 11) = ( 11) + 1( 11) 99( 11) 8 = 97 och f() = + 1 99 8 = 400 Vad kan vi mera ta reda på om funktionen? Klarar vi att ta reda på funktionens nollställen? Egentligen inte eftersom ekvationen är av tredje graden: x + 1x 99x + 8 = 0 En ledtråd är att alla tre rötterna är heltal. Förstorar man intervallet kring var och en av rötterna hittar man kanske att de är x 1 = 17, x =, x = 7 Observera att den är en bedrift att finna ett tredjegradspolynom där alla nollställen är heltal, samtidigt som max- och minpunkterna också hamnar i heltalskoordinater! Detta är en del av resultatet av våra undersökningar av f(x) som vi presenterar på detta sätt x x < 11 x = 11 11 < x < x = x > f (x) + 0 0 + f(x) max min

6. Lösta problem 6. Lösta problem Övning 6.1 Vi har funktionen f(x) = x 00x 1000 Vad kan man säga om och om lim f(x) x lim f(x) x När x går också f(x). Detta gäller även då x då också f(x). I långa loppet är det här x -termen som vinner över x-termen och den konstanta termen. När man ska bilda sig en uppfattning om grafens utseende är det alltid bra att betrakta dessa stora värden på x. Övning 6. Vi har funktionen Vad kan man den här gången säga om f(x) = x 100x lim f(x) x och om lim f(x) x När x går också f(x), x -termen vinner över x -termen. När x går f(x) eftersom ett x < 0 ger x < 0. Grafen kommer nerifrån till vänster och försvinner uppåt höger! Övning 6. Om vi påstår att skissen av ett andragradspolynom bara kan se ut på två sätt, nämligen: Figur 6.4: Vilka möjliga skisser har då ett tredjegradspolynom? Det finns sex olika skisser. Två där derivatan saknar nollställen, två där det finns en

4 Derivata och grafer terrasspunkt och två skisser med en max och en minpunkt. Figur 6.5: Övning 6.4 Om denna graf visar f (x) av en polynomfunktion f(x). Vad kan vi då säga om f(x)? 6 4 - - -1 1 4 - -4-6 Figur 6.6: Av allt att döma verkar f (x) vara ett andragradspolynom. Då måste f(x) vara av tredje graden. När f ( ) = 0, derivatan är 0 då x =, betyder att tangenten till f(x) då x = är 0. f(x) har alltså en extrempunkt för f( ). Samma resonemang för x =. Då x <, till exempel x = 1000 är derivatan f ( 1000) > 0. f(x) måste då vara växande. Då < x < är f (x) < 0. På samma sätt kan vi då påstå att f(x) måste vara avtagande. Om någonting växer, planar ut, för att sedan avta måste detta något ha haft ett maximum. Då x > är f (x) > 0, det vill säga kurvan har en positiv lutning är växande. Här har vi en situation då någonting avtar, för att sedan plana ut och därefter börja växa. Då måste vi ha stött på ett minimum. Vi fick fram en hel del och sammanfattar det med följande tabell x x < x = < x < x = x > f (x) + 0 0 + f(x) max min Däremot kan vi inte klara av allt. Här är till exempel två av oändligt många möjliga f(x), figur 6.7

6. Lösta problem 5 15 10 5 - - -1 1 4-5 -10 Figur 6.7: 9 8 7 6 5 4 1 1 1 4 1 4 5 Figur 6.8: Övning 6.5 Bestäm ekvationerna till de räta linjerna i detta diagrammet 6.8 De tre ekvationerna är y = x + 1 y = x y = x Övning 6.6 Bestäm f (x) = 0 då f(x) = x + 1 x Vi skriver om funktionen innan vi deriverar och får derivatan f(x) = x + x 1 f (x) = 1 x = 1 1 x

6 Derivata och grafer Återstår att lösa ekvationen 1 1 = 0 x 1 = 1 x x = 1 x 1 = 1 x = 1 Så när vi plottar kurvan kan vi förvänta oss att f(x) har extrempunkter då x = ±1. 15 10 5 - -1 1-5 -10-15 Figur 6.9: Visst kan vi se ett maximum och ett minimum i grafen. Vad kan vi säga om f(0)? Funktionen är inte definierad för f(0). Vad kan vi säga om och lim x + 1 x +0 x = + lim x 0 x + 1 x = När x närmar sig 0 från positiva sidan sticker f(x) iväg uppåt mot stora värden. Omvänt när x närmar sig 0 från negativa sidan. Övning 6.7 Jag mötte en gång en elev som påstod att kurvan till funktionen f(x) = x + är konstant lika med 4 överallt på kurvan. Hade han rätt? Självklart inte, eftersom derivatan är f (x) = 4x förstår vi att kurvan antar alla lutningar från... +.

6. Lösta problem 7 Övning 6.8 Vi har två funktioner f(x) = x + 1 och g(x) = x + 4x Lös ekvationen f (x) = g (x) och tolka resultatet Vi deriverar de två funktionerna och f (x) = x g (x) = x + 4 När vi sätter dem lika får vi ekvationen x = x + 4 x = x + 4 6x = x + 1 4x = 1 x = Då x = har de två kurvorna samma lutning. Då x = är f (x) = g (x). 50 40 0 0 10-15 -10-5 5-10 Figur 6.10: Kan man se det i figuren? Övning 6.9 Här är grafen till funktionen f(x) = x 5 ritad. Bestäm f (0.6) grafiskt, genom att rita en tangent och bestämma dess k-värde genom att räkna rutor. Bestäm också f (0.6) på matematisk väg. Vi ritar in en tangent så gott det går, figur 6.1. Ur figuren får vi sedan för två godtyckligt valda punkter på tangenten: x 0.88 0.5 = 0.5 och y = 0.6 0.0 = 0.6 ger y x = 0.6 0.5 1.1

Derivata och grafer 8 1 0.8 0.6 0.4 0. 0. 0.4 0.6 0.8 1 Figur 6.11: Figur 6.1: Återstår att bestämma f 0 (0.6) på ett betydligt säkrare sätt. f 0 (x) = Nu kan vi bestämma 5x 5 0.6 f(0.6) = 1.16 Övning 6.10 I uppgift skissade vi all tänkbara varianter av ett tredjegradspolynom. Gör en liknande utredning för fjärdegradspolynom

6. Lösta problem 9 Övning 6.11 Derivera funktionen f(x) = e x + e x f (x) = e x + e x Övning 6.1 Derivera funktionen f(x) = x 4 + 4 x Först sedan f(x) = x 4 + e ln(4)x f (x) = 4x + ln(4)e ln(4)x Övning 6.1 Bestäm f(f ()) då f(x) = x + x + 10 Vi behöver derivatan och får sedan Till sist f (x) = x + f () = + = 14 f(14) = 14 + 14 + 10 = 78 Övning 6.14 Bestäm a hos så att f (1) = 4 f(x) = x + ax Vi deriverar f (1) = 4 ger ekvationen f (x) = x + a 1 + a = 4 a =

10 Derivata och grafer Övning 6.15 En raket skjuts uppåt och höjden h i meter över marken är en funktion av tiden t enligt: h(t) = 150t 5t a) Efter vilken tid når raketen sin högsta höjd? b) Bestäm raketens medelhastighet under tiden från start tills den når högsta höjden. c) Vilken är raketens hastighet då den nått halvvägs till högsta höjden? Om höjden ges av h(t), så får vi hastigheten från h (t). När raketen vänder är hastigheten förstås 0, med andra ord h (t) = 0. Vi deriverar och löser ekvationen h (t) = 150 10t h (t) = 0 ger alltså 150 10t = 0 som har lösningen t = 15. Efter 15 sekunder har raketen nått sin högsta punkt som är h(15) = 150 15 5 15 = 115 meter. Medelhastigheten får vi genom 115 meter på 15 sekunder. V medel = 115 15 = 75 m/s Halvvägs till högsta punkten är 115 = 56.5 meter. Hur lång tid tar det att komma dit? Genom ekvationen h(t) = 56.5 får vi 150t 5t = 56.5 t 1 = 4.4 t = 5.6 Den första tiden gäller på uppfärden och den andra på nedfärden. Nu kan vi bestämma den efterfrågade hastigheten genom h (4.4) 106 m/s Övning 6.16 Lös ekvationen f (x) = 0 då f(x) = x x 4x + 1 TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen f(x) = x x 4x+1 och man frågar efter f (x) = 0. Jag vet att den här funktionen leder fram till att jag ska lösa en andragradsekvation. f(x) = x x 4x + 1 f (x) = x 6x 4 f (x) = 0 då x 6x 4 = 0 x x 8 = 0 x = 1 ± 1 + 8 x 1 = 4 x =

6. Lösta problem 11 Det frågas inte om det, men jag vill gärna fortsätta att berätta om den här funktionen. Den har två extrempunkter en i (, f( )) och en i (4, f(4)) eller bättre (, 41) och (4, 67). Jag ska nu rita ett schema över hur derivatans tecken varierar f (x) + 0 0 + x 4 Derivatan är alltså f (x) > 0 när x < och f (x) < 0 när < x < 4. Med hjälp av den här tabellen kan man rita en skiss av kurvan. Figur 6.1: Det här är en skiss av funktionen. Visst finns det många, framför allt polynom av tredje graden, funktioner som passar in på denna skiss. Men den är ändå till en viss nytta när man ska plotta kurvan. Vi avslutar med den korrekta grafen: -6-4 - 4 6-50 -100-150 Figur 6.14: Funktionens nollställen kan vi normalt inte bestämma. Kan du det? KTH: Inte utan att använda en handbok eller ett matematikprogram. Här har du rötterna: 9 x 1 = 1 + + 1 + i 747 6.4196 1 + i 747 ( 1 + i ) 1 + i 747 ( 9i i + ) x = 1 + ( 4 1 + i 747) 0.51474 x = 1 + i ( i + ) 1 + i 747 ( 9 1 + i ) 4 1 + i 747.96

1 Derivata och grafer TB: Skojar du! KTH: Jag hoppas att jag inte gör det. Det är en helt annan teknik att bestämma de exakta uttrycken för rötterna och att hitta numeriska värden. Övning 6.17 Om funktionen y = f(x) vet man att f() = 16 och att f( ) = 4. Grafen till derivatan, f (x), ser ut som i figuren Bestäm maximipunktens och minimipunktens koordinater hos f(x). TB: Jag behöver inte bestämma funktionen helt och hållet. Vi har grafen för f (x) och ser att den har nollställena f ( ) = 0 och f () = 0. Av allt att döma är f (x) ett polynom av andra graden. Det betyder att f(x) är av tredje graden. Jag ska rita ett schema igen Skissen ser nu ut så här: f (x) 0 + 0 x Figur 6.15: Det finns bara sex olika skisser för polynom av tredje graden. Figur 6.16: A och B har vi sett ovan. Exempel på C är f C (x) = x med en terrasspunkt och på D,

6. Lösta problem 1 f D (x) = x också med en terrasspunkt. f E (x) = x + 10x och f F (x) = x 10x har inte ens en terrasspunkt. TB: Jag har glömt vart jag var på väg... Egentligen är denna uppgift verkligen enkel Vi har ett minimum i (, 4) och ett maximum i (, 16). Kan man bestämma f(x):s koefficienter? KTH: Nej det finns oändligt många tredjegradspolynom med dessa extrempunkter och vi vet inte vilken av dessa som beskrivs här. Övning 6.18 Undersök funktionen f(x) = x 18x 4x + och ange alla lokala extremvärden TB: En liknande uppgift igen, det handlar verkligen om exercis. Vi har funktionen f(x) = x 18x 4x + vars extrempunkter vi ska bestämma. Funktionens nollställen kan vi dock inte bestämma. f(x) = x 18x 4x + f (x) = 6x 6x 4 f (x) = 0 då 6x 6x 4 = 0 x 6x 7 = 0 x = ± 9 + 7 x 1 = 7 x = 1 Åter till schemat: f (x) + 0 0 + x 1 7 Vi bestämmer sedan f( 1) = 5 och får maximipunkten ( 1, 5) och f(7) = 487 och får minimipunkten (7, 487). KTH: Du är verkligen på alerten idag. Övning 6.19 Hur kan du veta att funktionen y = 5 x 8x är avtagande för alla x? TB: Vad menar man med här? Avtagande för alla x KTH: Hur är det med de kurvor du hittills skissat är de avtagande för alla x? Vilken kategori, av de sex du skissade på nyss, kan det vara frågan om? TB: Där ligger ju lösningen, förstås. Det måste handla om kategori F! Nu ska jag visa det:

14 Derivata och grafer f(x) = 5 x 8x f (x) = 1 4x f (0) = då 1 4x = 0 x = 1/4 Det finns inga reella rötter och därmed inga extrempunkter. Derivatan är negativ för alla x, f (x) < 0. Övning 6.0 För vilka tal a gäller att kurvan a) saknar extrempunkter? b) har terrasspunkt? c) har två extrempunkter? y = x + ax + x TB: Det känns som en svår uppgift. Vad är a? KTH: En konstant vars värde man inte bestämt. Hantera det som ett tal vilket som helst. f(x) = x + ax + x f (x) = x + ax + 1 f (x) = 0 då x + ax + 1 = 0 x + ax + 1/ = 0 x = a ± a 9 9 Hur ska man hantera det här... Om a = blir resultat 0 under rottecknet. Vi får en dubbelrot, som leder till en terrasspunkt. Om a < blir värdet under rottecknet negativt och det finns inga reella rötter och därmed saknas också extrempunkter. Till sist om a > finns det två extrempunkter.