6. Stabilitet. 6. Stabilitet

6. Stabilitet 6. Stabilitet Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för aggressiv reglering. Å andra sidan existerar det också system som oreglerade är instabila och som kräver reglering för att stabiliseras. Vi kan konstatera att stabilitet är ett nödvändigt, men inte tillräckligt, villkor för en god reglering. Det är uppenbart att vi behöver systematiska metoder för att avgöra om ett system reglerat eller oreglerat är stabilt eller instabilt. Reglerteknik I Grundkurs (419300) 6 1

6. Stabilitet 6.1 Stabilitetsdefinitioner Stabilitet kan definieras på flera olika sätt. För alla praktiska ändamål är de olika definitionerna ekvivalenta för linjära system. En viss definition kan i en given situation vara behändigare att använda än en annan. Därför är det ändamålsenligt att här ta upp de vanligaste stabilitetsdefinitionerna. Följande två rätt konkreta stabilitetsdefinitioner är allmänna såtillvida, att de gäller både för linjära och olinjära system oberoende av typen av systembeskrivning (överföringsfunktion eller tillståndsmodell). Reglerteknik I Grundkurs (419300) 6 2

6.1 Stabilitetsdefinitioner 6.1.1 Asymptotisk stabilitet Ett system är asymptotiskt stabilt om det efter en övergående störning återgår till sitt begynnelsetillstånd. En typisk övergående störning är en puls och i praktiken blir eventuella beräkningar enklast om vi antar att pulsen är en impuls. En stegförändring är inte en övergående störning. Anmärkning 1. Asymptotisk stabilitet definieras ofta i mer matematiska termer än ovan, vilket medför att definitionerna ser annorlunda ut. De är dock ekvivalenta. 6.1.2 Insignal-utsignalstabilitet Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal. En typisk begränsad insignal är en stegförändring. Anmärkning 2. Av definitionen följer att ett insignal-utsignalstabilt system har ändlig förstärkning vid alla frekvenser (se kap. 7). 6. Stabilitet 6 3

6. Stabilitet 6.2 Poler och stabilitet För att vara användbara vid matematisk analys och design måste de verbala stabilitetsdefinitionerna formuleras i mer matematiska termer. Vi skall här betrakta tidssvaret (transientsvaret) för ett godtyckligt system (utan dödtid) när det utsätts för dels en övergående, dels eller bestående, insignalförändring. 6.2.1 Tidssvaret för ett system I enlighet med avsnitt 4.3 och ekvation (4.27) kan överföringsfunktionen för ett system utan dödtid allmänt skrivas där Gs () = är systemets karakteristiska polynom. m m 1 0 1 m 1 n n 1 1 n 1 bs + bs + + b s+ b s + as + + a s+ a n n 1 1 n 1 n m (6.1) A() s s + a s + + a s+ a (6.2) n Reglerteknik I Grundkurs (419300) 6 4

6.2.1 Tidssvaret för ett system Antag att det karakteristiska polynomet kan faktoriseras som där k A s = s p1 s p2 s p n () ( )( ) ( ) (6.3) p, k = 1,, n, är polynomets nollställen, som samtidigt är systemets poler. Om vi inledningsvis antar att polerna är reella och distinkta samt att systemet är strikt propert (dvs m< n), existerar partialbråksuppdelningen C1 C2 Cn Gs () = + + + (6.4) s p1 s p2 s pn där konstanterna C k, k = 1,, n, kan bestämmas såsom beskrivits i avsnitt 4.4.3. Systemets utsignal Y() s ges då av C1 C2 Cn Y() s = + + + U() s s p1 s p2 s pn där U() s är dess insignal. (6.5) 6.2 Poler och stabilitet 6 5

6.2.1 Tidssvaret för ett system Antag att insignalen är en impuls, dvs en övergående störning som i definitionen av asymptotisk stabilitet. Impulsens Laplacetransform är U() s pt 1 2 = I. Insättning i (6.5) och inverstransformering ger p t 1 2 yt () = CIe + CIe + + CI n e n, t 0 (6.6) Villkoret för asymptotisk stabilitet är att y() t 0när t. Vi ser att detta uppfylls om p <, k = 1,, n. och endast om alla 0 k Antag att insignalen i stället är en stegförändring, dvs en bestående störning som i definitionen av insignal-utsignalstabilitet. Om steget har storleken u steg, har insignalen Laplacetransformen U() s = usteg / s. Insättning i (6.5) samt inverstransformering ger pt p t 1 steg 2 steg n steg 1 2 n yt ( ) = Cu (1 e ) + Cu (1 e ) + + Cu (1 e ), t 0 (6.7) p Utsignalen är begränsad om och endast om alla e k t, k = 1,, n, är begränsade för t 0. Precis som ovan gäller detta om och endast om alla p < 0, k = 1,, n. p t k p t 6.2 Poler och stabilitet 6 6

6.2.1 Tidssvaret för ett system Komplexa nollställen för det karakteristiska polynomet uppträder som komplexkonjugerade par. Vid partialbråksuppdelningen kan man välja mellan att sammanslå dylika par till en faktor av andra ordningen (se avsn. 4.4.3) räkna med komplexa tal (se nedan) Antag att p1 = σ + jω och p2 = σ jω. De två första termerna på högra sidan i (6.6) ger ( σ + j ω) t ( σ j ω) t σt jωt jωt 1+ 2 = 1 + 2 = 1 + 2 y () t C Ie C Ie Ie ( Ce C e ) σt ( ω ω ) = Ie ( C + C )cos( t) + j( C C )sin( t) 1 2 1 2 (6.8) där den sista likheten följer av Eulers formel. Eftersom signalen y 1+ 2 () t måste vara reell, följer att C 1 och C 2 är komplexkonjugerade. Högra ledet i (6.8) är då också reellt. Eftersom de trigonometriska funktionerna i (6.8) är begränsade (ändliga), gäller att y 1+ 2 () t 0 då t om och endast om σ < 0, dvs Re( p k ) < 0. Samma villkor ger också en begränsad utsignal då insignalen är en bestående störning såsom en stegförändring. 6.2 Poler och stabilitet 6 7

6.2.1 Tidssvaret för ett system Ifall det karakteristiska polynomet innehåller multipla nollställen, fås en partialbråksuppdelning vars inverstransform förutom liknande termer som i uttrycken ovan, även innehåller produkter av exponentialfunktioner och tiden t upphöjd till en viss potens. p Eftersom exponentialfunktionen e k t med Re( p k ) < 0 avtar snabbare än vad t n växer, kommer sådana termer att gå mot noll när t. Härav följer att ovan givna stabilitetsvillkor även gäller när systemet har multipla poler. 6.2 Poler och stabilitet 6 8

6.2 Poler och stabilitet 6.2.2 Stabilitetsvillkor uttryckt med systemets poler Enligt analysen ovan kan stabilitetsvillkoret uttryckas med hjälp av systemets poler: Ett tidskontinuerligt system är stabilt om och endast om systemets alla poler p k, k = 1,, n, ligger i det komplexa talplanets vänstra halva, dvs om Re( p k ) < 0, k = 1,, n (6.9) Systemets poler är nollställen till den karakteristiska ekvationen A() s = 0. Anmärkning 3. För linjära system är stabilitet en systemegenskap, dvs om stabilitetsvillkoret uppfylls för någon övergående eller begränsad insignal så uppfylls det för alla dylika insignaler. Detta behöver inte vara fallet för olinjära system. 6. Stabilitet 6 9

6.2 Poler och stabilitet 6.2.3 Återkopplade system Resultaten ovan gäller givetvis även för återkopplade (reglerade) system. I ett enkelt reglersystem ingår komponenter med överföringsfunktionerna G p för processen som skall regleras G c för en regulator G m för ett mätinstrument Blockschemaalgebra ger Figur 6.1. Återkopplad reglerkrets. GG p c 1 Y = R+ V (6.10) 1+ GGG p c m 1+ GGG p c m där 1+ GGG = 0 (6.11) p c m efter hyfsning ger den karakteristiska ekvationen. Rs () + V() s + G c G p () s + G m () s Ys () 6. Stabilitet 6 10

6.2 Poler och stabilitet Övning 6.1. Visa att systemet regulator. G p 10 = är instabilt. Undersök om det kan stabiliseras med en P- s 1 Övning 6.2. 1 Är systemet Gp = stabilt eller instabilt? Undersök om den slutna kretsen är 2 s + 2s + 2 stabil då systemet regleras med en PI-regulator med (a) K c = 1, T i = 0,5; (b) K c = 15, T i = 0,5; (c) K c = 15, T i = 0,25. 6. Stabilitet 6 11

6. Stabilitet 6.3 Analysmetoder Användning av stabilitetsvillkoret definierat med hjälp av systemets poler kräver att man kan bestämma polerna. För system av högre ordning än 2 kan det vara svårt eller omöjligt att bestämma polerna analytiskt, men om alla parametrar är givna kan man beräkna dem numeriskt. Ofta har man dock intresse av att utreda stabilitetsgränserna som funktion av en eller flera obestämda parametrar (t.ex. regulatorparametrar), och gärna så att gränserna kan anges med analytiska uttryck. Då ger en hög systemordning problem. En annan komplikation uppstår om systemet innehåller dödtid så att den ingår i den karakteristiska ekvationen. Denna situation om ett system med dödtid återkopplas. Beräkning av systemets poler kräver då att dödtiden approximeras med ett rationellt uttryck, vilket innebär att polerna endast kan bestämmas approximativt. Av dessa orsaker har det utvecklats ett antal stabilitetsanalysmetoder, som ger analytiska uttryck eller i princip exakta (numeriska) lösningar för system med dödtid. Följande metoder behandlas i denna kurs: Reglerteknik I Grundkurs (419300) 6 12

6.3 Analysmetoder 1. Bodes stabilitetskriterium, som behandlas i avsnitt 7.4. Detta är en s.k. frekvensanalytisk metod, som klarar av dödtider utan approximation. Analysen kan göras grafiskt eller numeriskt. 2. Nyquists stabilitetskriterium, som behandlas i avsnitt 7.4, dock endast ytligt. Detta är en mera allmängiltig variant av Bodes stabilitetskriterium. Också i detta fall kan analysen göras grafiskt eller numeriskt. 3. Routh-Hurwitz stabilitetskriterium, som behandlas i avsnitt 6.3.1. Denna metod kan ge stabilitetsintervall med avseende på olika parametrar, t.ex. regulatorparametrar. Hög systemordning medför inga speciella problem, men dödtider kan inte behandlas exakt. 4. Stabilitetsanalys genom direkt substitution, som behandlas i avsnitt 6.3.2. I denna metod utnyttjas det faktum att systemets poler, dvs den karakteristiska ekvationens nollställen, måste ligga på det komplexa talplanets imaginära axel vid stabilitetsgränsen. Dödtider kan behandlas exakt, men för system av hög ordning tenderar beräkningarna bli besvärliga. 6. Stabilitet 6 13

6.3 Analysmetoder 6.3.1 Routh-Hurwitz stabilitetskriterium Användningen av Routh-Hurwitz stabilitetskriterium förutsätter att karakteristiska ekvationen kan skrivas som ett polynom, n n 1 0 1 n 1 As () = as + as + + a s+ a = 0 (6.12) där koefficienten a 0, även inkluderats. Såsom påpekats, bör en eventuell dödtid (e Ls ) approximeras med ett rationellt uttryck, t.ex. en Padé-approximation. Stabilitetskriteriet blir i detta fall givetvis approximativt. Beskrivningen nedan förutsätter att a 0 > 0 (om a 0 < 0 byter vi tecken på alla koefficienter); ofta har vi a 0 = 1. Systemets stabilitet avgörs på följande sätt: 1. Om någon koefficient är icke-positiv (dvs är noll eller negativ) kan man genast säga att systemet är instabilt. Detta beror på att den karakteristiska ekvationen då måste ha minst ett nollställe (och systemet därmed minst en pol) som har icke-negativ realdel. n 6. Stabilitet 6 14

6.3.1 Routh-Hurwitz stabilitetskriterium 2. Om alla koefficienter är positiva, kan systemet vara stabilt, men inga säkra slutsatser kan ännu dras. Ett tillräckligt och nödvändigt stabilitetsvillkor fås med hjälp av följande schema: a0 a2 a4 a1 a3 a5 c0 c1 c2 d0 d1 d2 aa aa aa aa aa aa c c c 1 2 0 3 1 4 0 5 1 2i+ 2 0 2i+ 3 0 =, 1 =,, i = a1 a1 a1 ca 0 3 ac 1 1 ca 0 5 ac 1 2 ca 0 2i+ 3 ac 1 i+ 1 0 =, 1 =,, i = c0 c0 c0 d d d 6.3 Analysmetoder 6 15 (6.13) Routh-Hurwitztablån till vänster i (6.13) bildas på följande sätt: Elementen i de två första raderna i tablån erhålles direkt från karakteristiska ekvationen. Ifall andra raden innehåller en koefficient mindre än den första, införs en nolla som sista element så att båda raderna har lika många element. Tredje och fjärde radens element erhålles enligt formlerna till höger i (6.13). I formlerna behövliga element som skulle finnas i en kolumn till höger om tablån sätts lika med noll. Beräknade element i tablåns sista kolumn blir då lika med noll.

6.3.1 Routh-Hurwitz stabilitetskriterium Element i efterföljande rader beräknas enligt samma princip som tredje och fjärde radens element. Vid beräkning av ett element i kolumn j fås täljarens termer då genom korsvisa multiplikationer av elementen i de två föregående radernas första kolumn och kolumn j + 1, medan nämnaren är lika med första kolumnens element i föregående rad. För ett n :te ordningens system erhålles en tablå med n + 1 rader (varav n 1 är beräknade). Ifall det första elementet i en rad blir noll när det finns andra element i raden som kan bli olika noll, ersätts det första elementet med ε (ett litet positivt tal), som sedan används i de fortsatta beräkningarna. När alla element i tablån är bestämda, får element innehållande ε det värde som uttrycket går mot när 0 ε. Stabilitetsvillkoret är att alla element i tablåns första kolumn skall vara strikt positiva. Ifall något element i första kolumnen är icke-positivt är systemet instabilt; antalet teckenväxlingar i först kolumnen är lika med antalet systempoler med positiv realdel. 6.3 Analysmetoder 6 16

6.3.1 Routh-Hurwitz stabilitetskriterium Anmärkning 1. I bland kan det under beräkningens gång framgå att alla oberäknade element måste bli lika med noll. Då kan man naturligtvis avbryta beräkningarna. Anmärkning 2. Om något element i första kolumnen är lika med noll motsvaras detta av en pol med realdelen noll. Anmärkning 3. Stabilitetsvillkoret att alla element i första kolumnen skall vara positiva kan givetvis användas för att beräkna stabilitetsgränser med avseende på obestämda parametrar som ingår i den karakteristiska ekvation, t.ex. regulatorparametrar om systemet är ett återkopplat system. 6.3 Analysmetoder 6 17

6.3.1 Routh-Hurwitz stabilitetskriterium Övning 6.3. Visa att följande stabilitetsvillkor gäller då karakteristiska ekvationen är av formen (6.12) med a 0 = 1. (a) Ett godtyckligt andra ordningens system är stabilt om och endast om a 1 > 0 och a >. 2 0 (b) Ett godtyckligt tredje ordningens system är stabilt omm a 1 > 0, a 3 > 0 och aa 1 2 > a3. Övning 6.4. Undersök om det återkopplade systemet till höger är stabilt samt, ifall det är instabilt, hur många poler det har i högra halvplanet. Rs () + 2 ss+ ( 1) 2 Y() s Övning 6.5. Lös övning 6.2 med hjälp av Routh-Hurwitz stabilitetskriterium. 4 s + 5 6.3 Analysmetoder 6 18

6.3.1 Routh-Hurwitz stabilitetskriterium Övning 6.6. För vilka värden på regulatorförstärkningen G p 1 1 =, Gv = 5s + 1 2s + 1 K c är nedanstående system stabilt? 1 Gm =, C = K s + 1 c Övning 6.7. Undersök med R-H kriteriet för vilka värden på regulatorförstärkningen återkopplat system med samma struktur som ovan är stabilt när 2s 4e G =, G = 0,5, G = 1, C = K 5s + 1 p v m c Ersätt dödtiden med en Padé-approximation av första ordningen. K c ett 6.3 Analysmetoder 6 19

6.3 Analysmetoder 6.3.2 Bestämning av stabilitetsgränsen genom direkt substitution När polerna för ett system avbildas på det komplexa talplanet utgör den imaginära axeln stabilitetsgränsen. När ett system befinner sig på gränsen till instabilitet måste därför åtminstone ett nollställe till den karakteristiska ekvationen ligga på den imaginära axeln. Dylika nollställen, som har formen s = ± jω (där ω även kan vara noll), måste satisfiera den karakteristiska ekvationen vid instabilitetsgränsen. Om den karakteristiska ekvationen innehåller okända parametrar, t.ex. regulatorparametrar, kan detta utnyttjas vid bestämning av stabilitetsgränsvärden för dessa parametrar. Som analysen nedan visar, kan dödtider behandlas exakt. 6. Stabilitet 6 20

6.3.2 Bestämning av stabilitetsgränsen genom direkt substitution ω Substitution av s = j i den karakteristiska ekvationen A() s = 0 ger efter hyfsning med 2 j = 1 ett uttryck av formen A(j ) = C( ) + j D( ) = 0 (6.14) ω ω ω där C och D är funktioner av ω och eventuella obekanta parametrar. Ekvationssystemet C( ω) = 0 D( ω) = 0 ger då ω samt ett uttryck för eventuella obekanta parametrar som definierar stabilitetsgränsen med avseende på dessa. (6.15) En dödtid e Ls medför inga principiella problem eftersom man kan utnyttja Eulers formel jωl e = cos( Lω) jsin( Lω) (6.16) 6.3 Analysmetoder 6 21

6.3.2 Bestämning av stabilitetsgränsen genom direkt substitution Övning 6.8. Lös övning 6.6 med direkt substitution av s = jω. Övning 6.9. Lös övning 6.7 med direkt substitution utan att approximera dödtiden. 6.3 Analysmetoder 6 22