Kvantbrunnslasrar och kvantstrukturer

Kvantbrunnslasrar och kvantstrukturer 5A1324 Kvantfysik Michael Litton Farid Bonawiede 830718-0276 831219-0195 litton@kth.se fabo02@kth.se 1

Sammanfattning I rapporten behandlas kvantstrukturer och numeriska experiment i sådana. Vi börjar med att titta på partikelövergångar och Schrödingerekvationen. Sedan tittar vi på olika typer av strukturer så som kvantbrunnar och multi-kvantbrunnar. En diskussion runt omkring dess egenskaper och tillämpningsområden först. Eftersom Schrödingerekvationen är en diffusionsekvation använder vi oss av Crank-Nicholsons algoritm vid den numeriska analysen. Det ger oss möjlighet att forska i om de mest karakteristiska egenskaperna uppvisas vid numeriska experiment vilket vi finner att det gör. Innehåll 1 Introduktion till kvantlaserfysik 3 2 Kvantstrukturer 4 2.1 Potentialgrop........................... 4 2.2 Multi-Brunnstrukturer...................... 5 3 Numeriska experiment och kvantstrukturer 6 3.1 Numerisk lösning av Schrödingerekvationen........... 6 3.2 Diskretisering av problemet................... 7 3.3 Beräkningsresultat........................ 7 A Appendix 10 A.1 Schrodinger.m........................... 10 2

1 Introduktion till kvantlaserfysik Vi börjar med att repetera några välkända begrepp. Inom fysik så gäller olika lagar beroende på om vi betraktar universum, vardagen eller elementarpartiklarna. För elementarpartiklar dominerar kvantfysikes lagar. Dessa börjar gälla då vi betraktar partiklar av de Broglie-storlek vilket innebär att partikelns utsträckning i rummet är proportionell mot de Broglievåglängden. På denna nivå är en elektrons olika energinivåer kvantiserade. En elektrons energinivå kan förändras på tre olika sätt, absorption, emission och stimulerad emission. För att absorption ska ske krävs att elektronen träffas av en foton med exakt rätt energi. Hoppet sker om fotonens energi hν svarar mot skillnaden mellan två energinivåer, alltså att hν = E 1 E 2. Då existeras elektronen till en nivå med större energi. Om de två nivåernas betecknas S 1 och S 2 kan vi beskriva detta som S 1 + γ S 2 Om en elektron övergår från en hög energinivå till en lägre nivå avges en foton vars energi är skillnaden mellan de två nivåerna, alltså S 2 S 1 + γ Stimulerad emission uppkommer då en elektron redan befinner sig i en högre energinivå och en foton, med precis rätt energi, träffar denna. Då avges två fotoner av samma energi istället för en enda. Det förkommer också, vilket är principen för laser, att det befinner sig många partiklar i en högre energinivå. Det för oss intressantaste fenomenet är stimulerad emission. Det beror på att vi försöker konstruera kvantstrukturer som utnyttjar den här typen av emission. För att kunna utnyttja detta fenomen måste vi kunna bestämma E 1 E 2. Detta görs genom att lösa Schrödingerekvationen analytiskt eller numeriskt. Låt oss titta på hur man kommer fram till denna. Inom kvantfysik så finns det intressanta egenskaper hos partiklar och speciellt en som kommer att utnyttjas vid kvantstrukturer. Det har visat sig att varje partikel dels har partikelegenskaper så som energi hν och rörelsemängd p och dessutom så har partikeln även vågegenskaper så som frekvens och vågtal. En partikels vågegenskaper vid läget x och tiden t beskrivs av dess vågfunktion ψ(x, t). Matematiskt relateras partikelegenskaperna och vågegenskaperna med hjälp av rörelsemängdsoperatorn pi x och energioperatorn Ẽ = i t. Den totala energin ges som summan av den kinetiska energin T = p 2 /2m plus den potentiella energin V, alltså ET + V = p2 2m + V 3

där rörelsemängden är pψ(x, t) och energin är E = insatta i energiuttrycket erhåller vi 2 2 Ẽψ(x, t). Med detta 2m x ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t) = i ψ(x, t) (1) 2 t vilken är den berömda Schrödingerekvationen. Denna kan skrivas som L(x, t)ψ(x, t) där L(x, t) är en linjär differentialoperator. De möjliga energinivåerna ges av egenvärdena till denna operator. Alltså, kan vi bestämma egenvärdena så kan vi hitta de intressanta energinivåerna E n. När man konstruerar en laser arbetar man mycket med halvledarmaterial. Den främsta egenskapen som man utnyttjar hos dessa material är energiskillnaden mellan valensbandet och elektronbandet. Detta brukar man kalla för bandgap. Om man i ett material med ett specifikt bandgap placerar ett skikt av ett annat material med ett lägre bandgap uppstår får vi ett energidiagram som innehåller en potentialsänka. I och med detta får vi en ansamling av energitillstånd på ett litet område, vilket är en önskvärd egenskap när man konstruerar lasrar. 2 Kvantstrukturer När man använder en laser vill man oftast ha en så hög effekt som möjligt på det utstrålande ljuset. Eftersom en enkel potentialbrunn är smal så är sannolikheten rätt hög att inget ljus emitteras då en elektron passerar den. Detta innebär att vi behöver ett stort flöde av elektroner förbi potentialbrunnen. Således behöver vi mycket ström för att driva lasern vilket också resulterar i en hög värmeutveckling. Detta är ett vanligt problem med dagens kvantbrunnslasrar som vanligtvis brukar lösas med att man bygger ihop lasern med en termoelektrisk kylare [1]. Slutprodukten blir en dyr, känslig och ineffektiv laser. Det finns flertalet olika sätt som man kan bygga upp en kvantbrunnslaser på för att den ska bli billigare, effektivare och få bättre egenskaper. 2.1 Potentialgrop Genom att placera vår kvantbrunn inuti en potentialgrop ökar vi sannolikheten för att elektronerna ska passera kvantbrunnen flera gånger. Se figur 1a. Detta leder till att vi får en högre uteffekt. Rent praktiskt handlar det om att lägga ett tunt lager av ett material med högre bandgap är barriärerna. Ett exempel på detta är att ha InP som detta ytskikt. Bredvid detta har man barriärer av InGaAsP. I mitten av lasern placerar man en brun av 4

Figur 1: Exempel på olika kvantbrunnsstrukturer InGaAsP men med ett mycket mindre bandgap. För att konstruera skillnaden i bandgap så ska materialet för barriären och potentialen ha olika koncentrationen av indium och gallium. Att öka kavitetens längd resulterar självklart i en högre uteffekt. Men tyvärr minskar effektiviteten hos lasern vilket i slutändan bara ger oss en massa värme. 2.2 Multi-Brunnstrukturer Även om vår tidigare struktur med ännu än potentialgrop är effektivare än en enkel kvantbrunn så är den inte optimal. Man kan istället tänka sig att vi har flera kvantbrunnar efter varandra. När elektronerna passerar denna struktur är sannolikheten att en elektron trillar i någon av de högre än om vi enbart har en brunn. Se figur 1b. Dessa brukar man kalla för multikvantbrunnslasrar(mqwl). Denna struktur leder till ökad uteffekt samtidigt som man bibehåller den termiska resistansen. Om man dessutom placerar denna laser inom en potentialgrop så ökar vi uteffekten lite ytterligare. Se figur 1c. Denna typ av laser brukar kallas för modifierad multikvantbrunnslaser. Egenskaper De stora fördelarna med denna typ av laser är dels att den har en mycket låg tröskelström. Det krävs således mindre ström för att lasern ska emittera ljus. Det kan räcka med så lite som 1 ma. Jämfört med en heterostrukturlaser, som brukar ha en tröskelström på ungefär 100-200 ma [2], så är detta ett väldigt bra värde. Den andra stora fördelen är att man enkelt kan ändra våglängden på det emitterade ljuset genom att justera antalet brunnar, brunnarnas bredd samt använda olika material. En smalare brunn resulterar i en högre energinivå. Om vi exempelvis har en laser med brunnar och barriärer av InGaAsP. Med fem brunnar med bredd 85 Å kommer lasern att emittera 5

ett ljus med våglängden 1350 nm. Ändrar vi till tio brunnar med 57 Å i bredd så blir våglängden istället 1400 nm [1]. Tillämpningar Användningsområdena för lasrar är nästintill oändliga. Telecom-industrin och laboratorier har dock varit några av de största konsumenterna av lasrar. Telecom-industrin använder lasrar för att kunna skicka och motta information över långa distanser, medan laboratorier använder lasrar i bland annat spektroskop. Att dessa två industrier är de som tidigare har varit de större användarna beror bland annat på att lasrar tidigare varit dyra, komplicerade och klumpiga. Eftersom en laser idag inte dras med dessa nackdelar i lika stor utsträckning faller det sig naturligt att de används i fler och fler applikationer. Med en billig, pålitlig och liten multikvantbrunnslaser är det inte omöjligt att hastigheten på var mans internetuppkoppling inte längre kommer att begränsas utav överföringshastigheten utan hos hastigheten på själva datorn. 3 Numeriska experiment och kvantstrukturer När vi nu har förstått fördelarna och egenskaperna hos multikvantbrunnslasrar vore det intressant och se om man numeriskt kan påvisa dessa effekter. Vi gör detta genom att lösa Schrödingerekvationen över två olika potentialer. Dels när vi har en enkelkvantbrunn och dels när vi har tre stycken kvantbrunnar. 3.1 Numerisk lösning av Schrödingerekvationen Vi undersöker våra påståenden genom att numeriskt lösa Schrödingerekvationen (1) med finita differensmetoder, FDM. Specifikt så kommer vi använda oss av Crank-Nicholsons algoritm som ger god noggrannhet och är stabil vid lösning av den här typen av differentialekvationer. Exempelvis är vi intresserade av att undersöka om det faktiskt är så att flera kvantbrunnar ger större sannolikhet för emission. Det svarar mot att sannolikheten att hitta en partikel i en enskild brunn blir större om flera brunnar placeras bredvid varandra. Genom att vi nu har möjlighet att konstruera strukturerna diskuterade i avsnitt 2 kan ta och jämföra dessa experimentellt. 6

3.2 Diskretisering av problemet För att kunna lösa (1) i en hyperkub [0, L] [0, L] R n behöver vi diskretisera differentialekvationen. För enkelhetens skull tar vi n = 1. Låt ψj n = ψ(x j, t n ) svara mot den diskreta lösningen där t n {t 0,..., t N } och x j {x 0,..., x N }. Eftersom vi har N +1 noder i intervallet [0, L] blir x j = jh där steget h = N/L. Vi använder oss av bakåtdifferensen i tiden med steget τ definierat av t n = nτ, n = 1, 2, 3,... ψ t (x j, t n+1 ) ψ(x j, t n+1 ) ψ(x j, t n ) τ och den symmetriska andradifferensen i rummet med steget h ψ xx (x j, t n ) ψ(x j+1, t n ) 2ψ(x j, t n ) + ψ(x j 1, t n ) h 2 så att x [0, L]. Detta ger att 2 2m ( ) ψ(xj+1, t n ) 2ψ(x j, t n ) + ψ(x j 1, t n ) + ψ(x j, t n+1 )V (x j ) = h 2 ( ) ψ(xj, t n+1 ) ψ(x j, t n ) = ih τ och detta taget med ett periodiskt randvillkor ψ(x + L, t) = ψ(x, t) och ett gaussiskt begynnelsevillkor ψ(x, 0) = ψ(x, 0) e ikx kan skrivas som (I + iτh)ψ(x j, t n+1 ) = ψ(x j, t n+1 ) där periodiciteten ger att H xn,t 0 = H xn 1,t N. Matrisen H blir en tridiagonal [N + 1] [N + 1]-matrisen med diagonalelementen 1/h 2 + V (x j ) och med super- och subdiagonalelementen 1/(2h 2 ). Crank-Nicholsons algoritm går ut på att faktorisera så att ψ(x j, t n+1 ) = (I + iτ2 H ) 1 (I iτ2 H ) ψ(x j, t n+1 ) vilket vi har implementerat i M AT LAB. Se appendix schrodinger.m för implementationsdetaljerna. Nedan följer våra experimentella resultat. 3.3 Beräkningsresultat Vi började med fallet då vi har en enkelbrunn. Sannolikhetsvågen faller över potentialbrunnen ifrån höger. I figur 2 kan vi studera vågens beteende runt potentialbrunnen. 7

Figur 2: Sannolokhetsfunktionens beteende kring en enkelbrunn På samma sätt gör vi detta för en multibrunnsstruktur, där vi har tre stycken brunnar. Se figur 3. För att kunna redogöra skillnaden mellan dessa två strukturer integrerar vi den sannolikhetsmassa som befunnits sig inuti brunnen över alla tidsstegen. Se figur 4. På skalan ser man direkt att dessa skiljer sig åt, men detta är inte så konstigt med tanke på att vi faktiskt låter vågen passera tre stycken potentialbrunnar istället för en. Om vi integrerar dessa funktioner så får vi följande värden, P enkel = 0.0107 och P multi = 0.0452. Man kan tänka sig att P multi borde vara 3 gånger så stor som P enkel. Detta gäller dock inte i vårt fall. Faktum är att P multi är mer än 4 gånger så stor som P enkel. 8

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 20 40 60 80 100 Figur 3: Sannolokhetsfunktionens beteende kring en multibrunn 0.035 0.12 0.03 0.1 Sannolikhetsmassa P(x brunn,t) 0.025 0.02 0.015 0.01 Sannolikhetsmassa P(x brunn,t) 0.08 0.06 0.04 0.005 0.02 0 0 20 40 60 80 100 120 140 Tidsteg t 0 0 20 40 60 80 100 120 140 Tidsteg t Figur 4: Sannolokhetsfunktionens beteende kring en multibrunn 9

A Appendix A.1 Schrodinger.m Nedan följer koden för beräkningarna och simuleringarna av vår numeriska lösningen till Schrödingerekvationen. clc, clear, close all % Parametrar L = 100; % Längden på rummet N = 400; % Antal rumssteg T = 120; % Antal tidssteg tau = 1; % Tisstegets storlek sigma = L/10; % Standardavvikelsen m = 75; % Väntevärdet k = 1; % Hastighetskomponenten Vnoll = 0; % Grundpotentialen j = 0:N; % Stegvektor h = L/N; % Rumsstegens storlek xj = j*h; % Rumsvektorn % Begynnelse fördelningen amplitude = (2*pi*sigma^2)^(-1/4)*exp(-(xj-m).^2/(4*sigma^2)); IC = amplitude.* exp(i*k*xj); % Fyller första raden i U - matrisen vilken just motsvarar hur % vågen ser ut vid t = 0; u = []; u(1,:) = IC; % Potentialens parametrar brunndjup = -10; brunn = brunndjup*ones(1,5); barr = ones(1,20); % Enkelbrunn V_brunn = [brunn]; V_temp = [ones(1,198), V_brunn]; rest = N-length(V_temp)+1; V = [V_temp ones(1,rest)]; 10

% Multibrunn % V_brunn = [brunn, barr, brunn, barr, brunn]; % V_temp = [ones(1,100), V_brunn]; % rest = N-length(V_temp)+1; % V = [V_temp ones(1,rest)]; % Beräknar index för brunnarna index_brunn = find(v<0); max_index_brunn = max(index_brunn); min_index_brunn = min(index_brunn)-2; brunn_xj = min_index_brunn:max_index_brunn; % Bygger upp matrisen H H = zeros(n+1); dia = 1/h^2+V; subsupdia = -ones(n,1)*1/(2*h^2); H = diag(dia) + diag(subsupdia,1) + diag(subsupdia,-1); %Periodiska Randvillkor H(end,1) = H(end-1,end); H(1,end) = H(1,1+1); % Crank Nicholsons Metod; M = inv(eye(n+1)+i*tau*h/2)*(eye(n+1)-i*tau*h/2); %Mov = moviein(n); for iter=1:t; u(iter+1,:)=(m*u(iter,:) ) ; plot(xj,abs(u(iter,:)).^2),hold on; plot(xj,v/100+0.25) plot(brunn_xj*h,[1 V_brunn 1]/100+0.25, r ) axis([-0.1,100,0,0.3]) %Mov(:,iter)=getframe; pause(10) hold off; end % Beräknar sannolikhetsmassan inuti potentialbrunnen I_part = h*trapz(abs(u(:,index_brunn)).^2,2); 11

% Beräknar den totala sannolikhetsmassan (Borde bli 1) I = h*trapz(abs(u).^2,2); % Beräknar den totala sannolikhetsmassan som befunnits sig % inuti potentialbrunnen I_tot = trapz(i_part)/trapz(i) figure plot(i_part) xlabel( Tidsteg - t ) ylabel( Sannolikhetsmassa - P(x_{brunn},t) ) % Skapar avi-fil % test = avifile( Multib.avi ); % test.quality = 100; % test.compression = none ; % test = addframe(test,mov); % test = close(test); Referenser [1] G. Liliesköld, Många kvantbrunnar ger bättre laser, OPTO 5/94 [2] S.M. SZE, Semiconductor Physics, 2nd ed. [3] Bhattacharya, Pallab, Properties of III-V Quantum Wells and Superlattices 12