Analys o Lektion 7 p1/65
Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade talpar av typen resp triplar av typen av reella tal p2/65
Punkt-vektor dualismen Ett ordnat talpar av typen kan tex representera en punkts position i ett plan, där oc är punktens koordinater i ett givet koordinat-system bestående av två (oberoende) koordinatriktningar, som tex vänster-öger oc ner-upp på ett papper, oftast representerade av två koordinataxlar motsvarande den reella tallinjen med ett gemensamt origo, se figur a = (a 1, a 2) a = (a 1, a 2) p3/65
Ett sådant talpar kan också tänkas representera samma punkts läge relativt origo, oc beskrivs då med fördel av en pil utgående från origo med orisontell utsträckning oc vertikal utsträckning Vi noterar att en sådan pil eller vektor ar sin spets i punkten I tillämpningar representerar punkter position oc vektorer förskjutningar (relativlägen), astigeter, accelerationer oc krafter, p4/65
Skalning oc addition av vektorer: Vektorer/pilar kan (till skillnad från punkter) på ett naturligt sätt skalas, dvs multipliceras med skalärer, dvs tal: oc adderas: p5/65
a 25 a b a+b 15a a Som vanligt skriver vi som oc som Vektorn kallas nollvektorn Notera de två olika typerna av nollor är! p6/65
öljande räknelagar kan nu verifieras: dvs additionen kommutativ! oc associativ #" $ " $ oc " " " distributiva lagarna #" $ " $,, % p7/65
( En vektors norm, dvs Euclidiska längd Längden av en vektor ges enligt Pytagoras av ' Notera att i Matlab ger lengt(a) antalet komponenter i, dvs 2 i detta fall, medan norm(a) ger (den Euclidiska/geometriska) längden Klart att för alla, med liket endast för nollvektorn p8/65
) ) ) Polär framställning av vektorer: Vektorer kan förstås även beskrivas med jälp av de polära koordinaterna oc (se figur) som sin där alltså a a = (a, a ) = a (( ), sin( )) 2 1 2 θ θ r θ a 1 p9/65
Vi noterar speciellt att riktning som med längd + +-,, dvs parallell med +, +, ger en vektor med samma, men normaliserad, dvs p10/65
Bas Vektorerna oc vektorerna i planet, dvs varje vektor som en linjärkombination av oc utgör (tills) en bas för kan skrivas som ty e 2 a a = 19 e + 14 e 1 2 e 1 a 1e 1 p11/65
Skalär produkt: Har tidigare definierat skalning av en vektor genom multiplikation med ett (reellt) tal, oc (i Matlab) ar vi stött på komponentvis multiplikation av vektorer betecknad Vi skall nu definiera en ny typ av produkt av två vektorer där resultatet är skalär, dvs ett tal, kallad skalära produkten av oc, oc definerad som / 0 10 p12/65
Har tidigare sett att signifikativt för denna produkt är att vektorerna oc är ortogonala, dvs vinkelräta mot varandra, om oc endast om Mera allmänt gäller: 10 10 där är vinkeln mellan oc b θ a p13/65
3 2 : p14/65 följer direkt av att 0 Sambandet b θ a α β 3 sin 3 sin 0 #2 sin #2 10 3 #2 sin 3 #2 7 6 4 5 98
' Skalärprodukt oc längd: Noterar speciellt att, dvs, dvs det finns en naturlig koppling mellan skalärprodukt oc längd 0 0 p15/65
Projektion av en vektor på en vektor : En vektor s komponent i riktning kallas projektionen av på, betecknas, oc definieras ;, 0 0 ;, 0 b P (b) a a p16/65
< < < < Motivet för denna konstruktion är bla att man vill kunna dela upp en vektor i en komponent parallell med oc en komponent ortogonal mot, så att Klart att det är räcker att bestämma eftersom sedan bestäms av Komponenten parallell med ges av projektionen ;, d b a c = P (b) a p17/65
< skall vara ;, motiveras av att ;,, dvs ormeln för parallel med ;, skall vara ortogonal mot ;,, oc att som ju ger 0 för något tal, dvs 0 10 dvs 0 ;, 10 p18/65
> =???? > = Rotation moturs: Givet vektorn kan vi bilda vektorn med egenskapen att, dvs är ortogonal mot Klart också att, dvs att ar samma längd som Inspektion visar att motsvarar vektorn roterad moturs? 0? a a p19/65
@ @ : @ genom vinkeln Mera allmänt kan vi definierar rotation av #2 sin #2 : ) oc sin (oc oc i Vi vill nu uttrycka oc utnyttjar att sin #2 sin #2 #2 Detta ger #2 oc motsvarande formel för sin sin sin : p20/65
@ @ p21/65 Speciellt ar vi sin : oc sin : Man kan också se att? sin @ : som ger samma formel som ovan!
Byte av koordinatsystem: Låt moturs eller eller var basvektorerna roterade vinkeln En given vektor kan då skrivas som alternativt som, dvs som Vilket är sambandet mellan koordinaterna oc koordinaterna? AB A A A AB A A A A A Vi ar att A A A A sin sin A sin sin A A A A A p22/65
Dvs oc Analogt kan A A A sin A A sin koordinaterna uttryckas i koordinaterna e 2 a θ ^ e 2 a ^ e 1 θ e 1 p23/65
Vektorprodukt av vektorer: Denna produkt avser egentligen 3d vektorer oc oc defineras då Vi noterar att i specialfallet med vektorer i planet, dvs med reduceras denna produkt till vilket vi tillåter oss att förkorta till p24/65
Vilka egenskaper ar då denna nya produkt? Vi noterar först att? 0 0 Speciellt ger detta att parallella! om oc endast om oc är p25/65
p26/65 Vidare följer (se figur) att sin =?? 0 b a a θ
Areaberäkningar ma vektorprodukt: Vidare visar sambandet sin att ger arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna oc?? 0 a θ b a area = (a x b) p27/65
Mera precist gäller detta om oc är inbördes orienterade som i figuren, annars gäller att arean ges av Allmänt gäller alltså Area Vi noterar att anti-kommutativ! Originellt!, dvs vektorprodukten är p28/65
D ör motsvarande triangelarea (se figur) gäller förstås Area a θ b a area = (a x b) / 2 p29/65
E Räta linjens ekvation: Ekvationen ortogonal mot E10 beskriver en rät linje genom origo, n x n p30/65
? @ G " E " G E " Eftersom lösningarna ges av, beskriva linjen: till ekvationen, ar vi nu två ekvivalenta sätt att E10 E10 respektive "? @ n = ( 1, 2) x = s ( 2, 1) = ( 2s, s), s = 18 n = ( 2, 1) p31/65
0 7 6 4 5 I H G " " J H G " "?? E " E E? " E Exempel: 7 6 4 5 oc @ " " 7 6 4 5 dvs " oc beskriver samma räta linje genom origo Notera att riktningsvektorn i kan bytas ut mot godtycklig vektor som är ortogonal mot, dvs parallell med, eftersom parametern antar alla reella värden K @ p32/65
< L E E +M H + < E E E På samma sätt definierar punkten, ortogonal mot ekvationen: A E 0 en rät linje genom, ty löser den givna A < E 0 liksom varje E 0 A sådant att ger att är ortogonalt mot A, ty < A E10 E 0 n x^ x p33/65
? E 7 4 6 5 I @ G E Notera att linjen alltså består av de för vilka oc att linjen även kan skrivas på parameterform som, ; H A A " där är en godtycklig punkt på linjen (dvs uppfyller ), oc är en godtycklig vektor parallel med sådana fås nämligen A < A E 0 ör < E 0 " A E 0 " A E10 Exempel: " ortogonal mot " är linjen genom punkten p34/65
< < E E E < E < < E p35/65 : E10 på linjen Projektion av en punkt är ;, sådan att ; Söker på linjen, dvs med parallel med, dvs insatt i ger ; E 0 vilket ;, dvs ; ; E10 < E10 dvs E10 ; E dvs E E 0 E 0 E10
p36/65 När är två linjer parallela? Betrakta linjerna med normaler oc Klart att dessa parallella precis då normalerna är parallella, dvs då, oc icke-parallella då K K Speciellt ar de två linjerna en entydigt bestämd skärningspunkt precis då
O 8 p37/65 är oc Exempel: Linjerna K N icke-parallella ty Ekvationssystemet ovan med två ekvationer kan även skrivas på vektorform som oc (från öger) ger där, Vektormultiplikation med 7 6 4 5 erålls K dvs om
O 8 p38/65 : genom multiplikation med Analogt fås 7 6 4 5 vilket ger
Q, M N Sats: Om oc så gäller M,,S Omvänt ger dessa formler en lösning, som därmed är entydigt bestämd Om å andra sidan så finns i allmänet ingen lösning, eller (eventuellt) oändligt många lösningar om de båda ekvationerna är ekvivalenta, dvs multipler av varandra PRQ, M, Q,S Notera att såväl kolonnerna linjerna (parvis) parallella P Q,S, Exempel: Ekvationerna saknar lösning för alla med som raderna oc K ), ) ) innebär att (oc därmed är ) oc utom för, för vilket alla är lösningar p39/65
7 6 4 5 7 4 6 5 T P I U Matris-vektor multiplikation Matrisformalism: Vi skriver nu ekvationssystemet symboliskt som 7 6 4 5 där eller är en sk -matris, oc oc sk -matriser, -kolonn-vektorer, dvs -långa kolonnvektorer p40/65
U U U Matris-vektor multiplikation Notera att matrisen i sin tur kan tänkas bestå av 2 stycken -kolonn-vektorer, eller, alternativt, 2 stycken -rad-vektorer, samt att produkten, dvs -kolonn-vektorn kan ses som skalärprodukterna genererade av med s rader p41/65
Matris-vektor multiplikation Notera att liket mellan två vektorer oc, dvs gäller om oc endast om dvs liket i båda komponenterna p42/65
U U Matris-vektor multiplikation Speciellt gäller alltså att, om oc endast om dvs p43/65
_ ] p44/65 Matris-vektor multiplikation Exempel: betyder O [\ V X [ Z Q VWYX oc [\ V X [_ Q X V^] med lösning
Komplexa tal p45/65
a g Komplexa tal Komplexa tal Ett komplext tal är ett ordnat par av reella tal oc, där kallas realdelen oc Im kallas imaginärdelen av Om vi identifierar de komplexa tal som ar Im med motsvarande realla tal, dvs Re med kan de reella talen ses som en delmängd av de komplexa, dvs mängden av komplexa tal @ c f c e c bdc p46/65
< < < Komplexa tal Addition av två komplexa tal oc definieras dvs realdelarna adderas för sig oc imaginärdelarna för sig, som vid vektoraddition Notera: Om om oc oc reella, dvs oc, fås, dvs samma summa som skulle betraktas som reella tal! p47/65
< 98 i i Komplexa tal Multiplikation av oc defineras < < Notera: Om oc reella (ar imaginärdel samma summa/produkt som för reella tal ) så fås Notera: 7 6 4 5, dvs vi ar konstruerat ett tal vars kvadrat (produkt med sig själv) är negativ!: Kan därmed lösa tex ekvationen vilket tidigare inte var möjligt! p48/65
l k j ) k k k k j ) 7 4 7 4 6 5 6 5 [ V [ V Komplexa tal Polär representation Im z b z = (a, b) r θ a Re z Användbar i samband med multiplikation: sin :mon sin sin sin k sin sin sin :mon p49/65
k k p50/65 Komplexa tal j ) Dvs sin j ) Arg Arg k dvs oc Arg w z w Im z 1 φ Re z θ z
i i i 7 P 8 8 i Komplexa tal ramställningen Har redan infört förkortningen för det komplexa talet, med den speciella egenskapen Det följer nu från regeln för multiplikation att i 7 6 4 5 4 5 6 dvs vi kan skriva i Analogt gäller skriva i, dvs vi kan lika gärna p51/65
Komplexa tal Exempel: Vi beräknar i i N = Kan också erållas i i N = i 4 5 6 7 ] i i i Exempel: dvs som för skalning av vektorer om en faktor är reell p52/65
' Komplexa tal Absolutbeloppet av ett komplext tal betecknas oc definieras, dvs som normen, eller längden, för vektorer Exempel: Konjugatet av ett komplext tal betecknas oc definieras teckenbyte på imaginärdelen p p, dvs genom p53/65
Komplexa tal Vi noterar att konjugering innebär spegling i real axeln : Im z z Re z _ z Vidare att p p oc p p p1p samt att p p dvs p54/65
D q r L P D q X s r < s p55/65 Komplexa tal oc mellan två komplexa tal, beräknas som Kvoten < [ L, P s ] m V, s [ L ] V s [ X P V, X [ P V, X [ L ] V s [ X L V-s X ML Mm [ L V-s X < ML Mm dvs p p dvs genom att förlänga med nämnarens konjugat _ [\ ] V X [ V X [ V X M\ Mm [\ V X Exampel:
+M r + 8 t Komplexa tal Motivet till definitionen är förstås att q r skall uppfylla Direkt kontroll visar att detta är fallet: p p 7 6 4 5 vilket skulle visas! Notera att vi är använt att multiplikation av komplexa tal är kommutativ oc associativ, dvs att oc, vilket lätt kontrolleras: #t p56/65
Komplexa tal < < < t < < u < < u < u < < u u < u < < u t Som för vanliga (reella) tal finns även en distributiv lag: t t vilket lätt verifieras p57/65
v v j v j +M r v D +M r Komplexa tal Division i polära koordinater: Har sett att multiplikation med sin geometrisk motsvarar vridning vinkeln oc längdskalning med faktorn Eftersom division med motsvarar multiplikation med blir den geometriska + p motsvarigeten till division med oc längdskalning med faktorn + en vridning vinkeln, dvs p p58/65
) H H E E Komplexa tal Vi multiplikation av komplexa tal adderas alltså argumenten, dvs vinklarna för de komplexa talen, medan beloppen multipliceras Speciellt följer att upprepning sin sin, oc genom z 4 z 3 Im z z 2 z Re z p59/65
H H w D w E D w E E Komplexa tal Denna observation ger oss en möjliget att lösa tex ekvationen v sin v j där vi finner att sin ' D v E D v yx yx E j p60/65
H z E E \ i \ i Komplexa tal Algebrans fundamentalsats säger att varje algebraisk ekvation på formen O H ] H ] H ] H ] dvs varje :te gradsekvation, ar precis distinkta, dvs alla olika) rötter (ej nödvändigtvis Exempel: Ekvationen ar rötterna (dubbelrot) oc oc p61/65
{ z z z E z g E z { H z z E Komplexa tal Resultatet följer av att varje sådan ekvation kan visas a minst en rot, ty om är en rot följer ju med jälp av division av med att, där är ett polynom av grad, ty division av med ger ju #{ g { för något polynom av grad ögst oc som dock måste vara eftersom resonemang nu tillämpas på ekvationen att en konstant, Om samma erålles med (komplexa) nollställen, dvs rötter till p62/65
i i i i Komplexa tal Exempel: Ekvationen ar lösningarna oc, oc kan även skrivas (med komplex faktoruppdelning) som Notera att de två lösningarna är varandras konjugat Detta är ingen slump: p63/65
z E z z l z t p t p t t t z Komplexa tal Om oc :te gradsekvationen är en lösning så är även ar reella koefficienter en lösning, ty p p p där vi utnyttjat att för komplexa tal oc gäller oc Detta tillämpat på summan i, oc sedan på produkterna i respektive term p p p64/65
Komplexa tal Exempel: Ekvationen i i kan (efter kvadratkomplettering) skrivas i i i = i, med lösning i } > D w > D sin > D w > D, w p65/65