Technology Management Mapleövning 1 och 2

Technology Management Mapleövning 1 och 2 Namn: Personnummer: Allmänt Maple är ett kraftfullt program för både symboliska och numeriska beräkningar Att det kan räkna symboliskt betyder i korthet att det kan räkna med bokstäver och kan hantera formler Det går att programmera i Maple men vi kommer bara att använda programmet som en kvalificerad räknedosa Avsikten med dessa två första laborationer är att, efter en allmän introduktion, kasta nytt ljus över optimeringskursen Maple visar sig kunna göra en hel del av det tidsödande rutinjobbet Grafiken gör det dessutom möjligt att visualisera och förtydliga många begrepp Maple är ett mycket potent programpaket som innehåller rutiner från många grenar av matematiken Ur datorns minnessynvinkel är det bra att inte alla paket är omedelbart tillgängliga Vid behov kan extra kunskaper dock lätt tillfogas Även ekonomiska områden finns företrädda I denna handledning finns många frågor Examinationen består i att du med Maples hjälp tar fram svaren och redovisar dem i därför avsedda rutor I vissa fall kommer du att uppmanas att trycka en sida med tex en bild Se då till att även dylika lösa blad är försedda med namn Senast torsdagen den 54 vill jag ha båda rapporterna Start Starta datorn genom att trycka på strömbrytaren Efter en stund kommer ett fönster upp där du uppmanas att starta inloggningen genom att samtidigt trycka på tre tangenter: När du gjort det får du ett nytt fönster där du skall fylla i Användarnamn Om din dator heter tex Euler08 så fyll i användarnamnet och tryck på -knappen (tangenten med tecknet) Något lösenord behövs ej Datorn är nu igång och arbetar under operativsystemet WINDOWS NT Efter en stund får du på skärmen se ett flertal ikoner till vänster Dubbelklicka på Mapleikonen Maple startar och du får ett särskilt Maplefönster I dess övre högra hörn finns tre knappar Genom att klicka på får du Maplefönstret att fylla hela skärmen Du kan nu börja arbeta med Maple Den version du nu arbetar med är Maple 6 Behöver du lämna datorn innan alla frågor är avklarade så spara det du gjort på en egen diskett Det finns bland ikonerna överst och till vänster en som ser ut som en diskett Tryck på den! Placera din fil på a: och välj själv ett namn (Nästa gång sätter du i disketten, öppnar filen genom att klicka på den andra ikonen från vänster När filen!& öppnats klickar du i tur och ordning på Maple kör då 1

automatiskt igenom det du sparat och du kan fortsätta där du slutade) Innan du lämnar maskinen ska du lära dig hur du loggar ut Se sist nedan under rubriken Slut! Grundläggande egenskaper och några exempel på möjligheter Help Klicka på till höger på den övre raden Klicka där på Effekten av ditt val blir att varje gång du pekar på en knapp visas en pratbubbla med hjälptext, som kort beskriver knappens funktion Om du tröttnar på dessa bubblor så väljer du bort &! (dvs du klickar en gång till på samma ställe) Semikolon ; För att få Maple att fungera som en räknedosa behöver du utforma dina kommandon så att Maple förstår dem Om du exempelvis vill att Maple skall räkna ut 7 3 5 så skriver du (efter prompten [> ) och trycker därefter på -knappen Notera att kommandot skall avslutas med semikolon Resultatet 8 visas (vanligen i annan färg) på skärmen Vill du få Maple att utföra räkningen men inte visa resultatet så skriv i stället Du avslutar alltså med kolon Maple klarar även av att räkna exakt med bråk För att beräkna 3 2 På skärmen kommer då resultatet 24 31 upp & 5 6 3 4 så skriv! *! Närmevärden och mera hjälp Maple kan även bestämma närmevärden Vi vet att 2 1 414 Om du skriver! & ( får du ett närmevärde med 10 siffror Men Maple kan räkna med nästan hur många siffror som helst Enda begränsningen är datorns minneskapacitet Pröva! & ) Hur många siffror fick du Svara i rutan! Du kan läsa mera om! i den omfattande hjälp som Maple tillhandahåller Klicka på! och sedan på Välj där andra raden Du behöver inte läsa allt om! Men notera att i slutet av hjälptexten finns röda exempel på hur! fungerar Pröva det första av dem Markera kommandot med musen Tryck sedan på Gå tillbaka till ditt ursprungliga fönster Dit hittar du antingen genom att döda hjälpfönstret via (,( (alternativt klicka på krysset uppe till höger i fönstret som ska bort) eller genom att överst klicka på - och sedan välja! 0 fönstret När du är tillbaka i ditt gamla fönster så klistra in med 1 Skriv upp ett närmevärde till π med 15 siffror Du kan också komma till hjälpen via frågetecken Pröva 2 och 2 2

Några grundläggande konstanter och begrepp Du har redan lärt dig att π i Maple skrivs som Upphöjt till skrivs eller som ( Vad blir Basen för de naturliga logaritmerna, talet e, skrivs som Exponentialfunktionen e x skrivs och logaritmfunktionen lnx skrivs Vad blir Vad blir! (( Uttrycket x 4 5x 3 7 skrivs in som Gör det! Maple noterar vad som händer Närmast föregående resultat hittar du genom att skriva Om du vill skriva in x 4 5x 3 7 3x 2 så kan du nu skriva in Man kan backa två steg med eller 1 tre steg (av det man utfört, inte av det som syns på skärmen) med Anm: Det finns inte många konstanter i stil med, skriv 2 Enkel formelhantering och förenklingar Skriv in Vad blir resultatet Som du ser utför Maple automatiskt någon form av förenkling Testa att mata in a 2ab 3a a 2 2a a b Vilket blir resultat i Maple Du kan anmoda Maple att anstränga sig litet extra i förenklingshänseende Vad blir resultatet av Studera 2 Ibland kan! innebära en förenkling Vad som är en enkel form bestäms ofta av vad användningen är Vad blir Kan Maple potenslagarna Vad blir ( Kommandot antyder också att Maple behärskar binomialsatsen Vad blir ( Pröva också ((! Resultat Jämför ovan! I andra lägen kan en förenkling via!! vara effektiv Studera 2 Om du 1 skall arbeta med exempelvis x lnx så kan en inledande förenkling visa sig effektfull Vad leder! till Vad blir resultatet av Vissa rotuttryck verkar immuna mot - även med optionen Betrakta 1 3 Du ser att om du förlänger med konjugatkvantiteten 3 2 får du en 2 rationell nämnare Du kan åstadkomma detta via (( 0 & ( Vad blir resultatet 3

Tilldelningsoperatorn Med tilldelningsoperatorn kan tex ett tal eller ett uttryck tilldelas en variabel Om & vi skriver så förblir a 2 till dess att du aktivt nollställer (Detta sker med ) Vad blir Nu kan du pröva med ett uttryck Lagra 4x 3 7x 2 2x π i variabeln Vad blir ( Derivator Sätt och () 0 Vad verkar du ha lagrat i ( Läs 2 Som du ser klarar Maple även partiella derivator Beräkna g y, där g x 2 2y 3 xy 2 Ekvationer Flera gånger i Optimeringskursen kommer du att få anledning att söka nollställen till derivator Om du vill finna när ovan blir 0 så skriv! Svar: Mera om!! kommer senare och i 2 Grafik Tredjegradspolynomet ovan kan lätt illustreras grafiskt i Maple Kommandot ritar upp grafen på intervallet 1 x 2 När kurvan är klar så klicka med musen på bilden Den ramas då in och du får automatiskt tillgång till nya knappar Pröva dem! Du kan även rita derivatan samtidigt Pröva Vilka egenheter har där & Grafen kan även tillverkas i etapper Lagra undan grafen av i tex via kommandot Observera avslutningen med kolon! På samma sätt kan du lagra undan derivatans graf Det går att rita dessa båda bilder samtidigt på ytterligare ett sätt Men då behöver Maple lära sig något nytt Det sker i detta fall med kommandot & * Du ser nu vilka 0 nya kommandon Maple plötsligt har fått tillgång till Bland dessa hittar du Utför 0 4

, Om du jämför med den tidigare bilden ser du att enda skillnaden i detta fall är att båda kurvorna har fått samma färg Du kan då gå tillbaka till ritningen av exempelvis derivatan och tvinga på Maple en annan färg Klicka med musen efter 2 i -definitionen ovan och ändra så att du får kommandot tryck sedan på och på -kommandot igen Till -kommandot finns flera optioner Studera 2 För senare bruk behöver du studera ytterligare ett fall Vi vill rita en polygon genom punkterna 1 2 3 & 4 4 & 2 och 5 ) 2 Bilda i Maple en lista med ) Med kommandot ritar du polygonen på intervallet 1 x 5 De olika punkterna binds samman av räta linjer Om du i stället har till uppgift att bara rita ut de enskilda punkterna i blå färg kan du tex pröva med kommandot Senare skall vi rita även grafen till funktioner av två variabler Worksheets Det du gör nu kan sparas som ett arbetsblad Det innebär att du kan återvända till samma läge senare eller att du kan distribuera det du gjort i ett körbart skick Läs om diskett nederst sid 1 Pröva nu att läsa in en färdig kommandosvit wankelmws, som du hämtar via nätet Ikonisera Maple (tryck på knappen ) Starta sedan Netscape genom att dubbelklicka på en ikon på skrivbordet Väl inne i Netscape går du till adressen & ( & & (! & &!!!!! Spara filen wankelmws på Stäng Netscape Återgå till Maple Gå upp till Klicka på Välj och där filen wankelmws När en bild har kommit fram så tryck på play Du stoppar rörelsen genom att trycka på den svarta kvadraten Printa ut din figur och lämna in (skriv namn!) Du går tillbaka till ditt gamla fönster via - Exempel från optimeringskursen och vissa utvidgningar Mera förenkling och ekvationslösning Har du inte sparat ditt gamla arbete på diskett så gör det nu Öppna sedan ett nytt arbetsblad (ikonen längst upp till vänster - ett tomt blad) Om man vill visa att två uttryck är lika kan man visa att deras skillnad kan förenklas till 0 Om du skall visa att x 2y 3 x 3 6x 2 y 12xy 2 8y 3 så skriv 5

! ( Nollställ genom och gör övning 13:2 a i boken! Då du löser ekvationer är det viktigt att tala om vilken variabel som skall lösas ut Om du vill lösa ut y ur ekvationen px qy m så skriv! ( Vad skriver du för att lösa problem 13:3e Även linjära ekvationssystem kan lösas med Maple Problem 13:6 löser du med kommandot! 0 Vilken lösning får du om du löser ut p och q i stället Lös y 2 x 2 m a p y Märker Maple att det blir problem då y x Även olikheter kan hanteras med! Olikheten 3 8x 5 i problem 14:8 d löser du med kommandot! Vilket kommando löser uppgift 14:8 f När är derivatan ovan positiv Jämför svaret med din tidigare graf av Substitution Maple kan räkna ut värdet av ett uttryck via kommandot Om du vill veta värdet av 3x 7 243x 5 3x 2 då x 9 så skriv Värdet blir Vilket kommando behövs för att bestämma värdet av 2x 7 2x 7 då x 4 Blev det inte bra så titta på! på sid 2 (och på sid 3) Funktioner Betrakta en funktion f som ges av f x x 2 1 Se sidan 44 i optimeringsboken! I Maple definieras funktionen via (Pilen åstadkommer du med minustecknet följt av olikhetstecknet ) Du kan nu utföra en mängd olika operationer Funktionsvärdet då x 7 får du via Vad blir funktionsvärdet för x 23456 Du kan lösa ekvationen f 2x 2 f x med! & Vad blir svaret Jämför övning 22:1 b Om funktionen g definieras via så kan du bilda sammansättningar Värdet f g t räknar vi ut via ) Kanske behövs Vad blir g f x Maple kan även beräkna gränsvärden Betrakta funktionen given via 6

Du vet att f x h lim f x h f x 0 h Låt Maple först beräkna differenskvoten via & (& och sedan gränsvärdet & () Blir det samma som Maple klarar även gränsvärden i oändligheten I uppgift 61:2 b hittar du lim x 1 Med kommandot & ( får du Maple att ta fram gränsvärdet Vad blir det x Nollställ nu och genom kommandona () Då du vill derivera en funktion kan du använda den gamla bekantingen eller ett nytt sätt just för funktioner Det nya ligger i operatorn Sambandet metoderna emellan är att () ( verkar på funktioner medan verkar på uttryck Exempelvis får du f x via då f x är bekant för datorn Du kan nu kontrollera om Maple kan derivera en produkt Kommandot ( 2 3x ger oss svaret Hur deriverar Maple kvoten f g Får derivatan samma form som på sidan 137 i optimeringsboken Pröva Se på 2 Har Maple räknat rätt Betrakta uppgift 52:3a Säg att och Testa nu kedjeregeln genom att derivera den sammansatta funktionen Skriv Stämmer svaret med boken Vissa funktioner är definierade av olika regler på olika intervall Betrakta exempelvis funktionerna f och g i uppgift 62:3 Dessa kan med fördel matas in i Maple med kommandot Funktionen f ges av & Hur skriver du in funktionen g Rita med kommandot Högergränsvärdet lim x 0 f x beräknas i Maple via grafen funktionen f då 2 x 2 & Gränsvärdet blir Hur beräknar du vänstergränsvärdet 7

! Är f kontinuerlig då x 0 Maple kan hjälpa till med att hitta en funktions diskontinuiteter Dock krävs ett ögonblicks fortbildning Det sker med kommandot Prova sedan För vilka x är f diskontinuerlig Maple kan också rita vackrare grafer om programmet anmodas att ta hänsyn till funktionens diskontinuiteter Rita om f :s graf med Notera att nu ritas inget lodrät streck då x 0 Gå nu i Maple upp till övre knappraden och klicka på Klicka sedan 0 Välj där - Rita sedan grafen för g x då 1 x 4 Som du ser hamnar kurvan i ett eget fönster För att få ditt namn på bilden kan du använda kommandot! (! Apostroferna skall luta åt nordväst Denna separata kurva kan du nu trycka Gå till, och klicka där Välj sedan! Hämta din tryckta kurva Gå via - tillbaka till ditt gamla fönster Om du inte fortsättningsvis vill rita kurvorna i separat fönster så välj i följd Är funktionen g x kontinuerlig då x 2 Undersök ( & & & (& & & 0 Vad blir detta högergränsvärde resp motsvarande vänstergränsvärde Är g x deriverbar då x 2 Vad blir & Har Maple räknat rätt Jämför med din tryckta kurva Konvexitet kan du i många fall avgöra med andraderivatans tecken På vilka intervall är funktionen f x x 4 2x 3 12x 2 7x 5 konvex Vilka är inflexionspunkterna I Maple utför du kommandosviten (!! Du känner nu andraderivatans nollställen och dess teckenväxlingar Vilka blir inflexionspunkterna och i vilka intervall är f konvex Det skadar inte att som en kontroll skissera grafen exempelvis då 3 x 5 I uppgift 53:2 har du sysslat med implicit derivering Utför kommandona 8

& & * ) ) ) ( Du ser hur den blå punkten 1 2 ligger på den röda punktmängden, som definieras genom ekvationen 2x 2 6xy y 2 18 Den röda punktmängden är ingen funktionsgraf men om du bara håller dig i närheten av 1 2 så kan du i det området uppfatta y som en funktion av xför att beräkna derivatan y så använd kommandot ( ( För att speciellt få derivatan då x 1 y 2 så skriv Vad blev derivatan Du känner nu tangentens lutning i 1 2 och kan nu även rita in tangenten i den förra figuren Gör så här: Välj 0 -! Tryck nu ut dina kurvor och lämna in bladet Gå tillbaka till ditt gamla fönster Linjära olikheter Områden i planet som begränsas av räta linjer har du stött på exempelvis i uppgift 25:17 Låt ett område bestämmas av olikheterna 3x 4y 12 x y 1 3x y 3 Mängden kan åskådliggöras genom & * * & & Vilken färg får de flesta punkterna i mängden Får du problem med ovanstående så skriv 2, flytta med dig det du vill ha (nederst sid 2) och ändra texten ( som den ska vara Placera prompten efter kolonet och tryck enter Avslutande uppgifter Uppgift 1 Dina räkningar skall lämnas in Starta därför i ett nytt fönster genom att klicka på, På den övre knappraden finns en knapp märkt med Tryck på 9

den så kan du skriva in vanlig text Skriv in ditt namn Återgå till matematisk mod genom att trycka på knappen till höger om den -märkta Märkningen är Välj också 0 På sidan 222 hittar du medelvärdessatsen enligt vilken D f ξ f b a b a Betrakta nu funktionen f x x 3 2x 2 5x 3 (I Maple skriver du in funktionen via Som a och b använder du a 2 och b 4 Den grekiska bokstaven ξ skrivs i Maplespråk som ) Bestäm möjliga ξ i medelvärdessatsen I Maple skriver du! ) ( Du kommer att få två möjliga värden på ξ Välj tex det första genom kommandot Vill du i stället ha det andra värdet så skriv Rita samtidigt upp tre kurvor Grafen till f, tangenten i någon av punkterna ξ f ξ och linjen, som förbinder punkterna a f a och b f b Tangenten har ekvationen y f ξ f ξ x ξ Tryck ut allt i ditt fönster genom att gå till, Du kan också gå via printerikonen och där välja och slutligen Uppgift 2 Välj nytt fönster Betrakta funktionen f x x 2p e x p, där du på p:s plats skall sätta in de fyra sista siffrorna i ditt personnummer I Maple skriver du, där du ersätter med de fyra sista siffrorna i ditt personnummer Funktionen för du sedan in i Maple via Bestäm derivatan (med siffror i stället för p) Var är derivatan positiv Lös i Maple! Bestäm gränsvärdena lim f x och lim x x f x Rita funktionens graf då 2 2p x 3p Har f något största värde Bestäm det i så fall exakt och som ett närmevärde Svaret ska du skriva in i textmod Har f något minsta värde Bestäm det i så fall exakt och som ett närmevärde Svaret ska du skriva in i textmod När du räknat och ritat färdigt så tryck ut dina alster Skriv dit ditt namn och lämna in alla bladen Slut 10

Innan du stänger av Maple bör du spara det du gjort Stäng sedan Maple genom att trycka på knappen längst upp till höger Nedkopplingen av datorn fortsätter genom att du trycker på I det fönster som då kommer upp klickar du på alternativet Avsluta Välj slutligen Avsluta Windows NT När du får tillstånd så bryter du strömmen JG 20000120 (GM 010314) 11