Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 4 juni 2008 Tid:

Relevanta dokument
Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic

TENTAMEN 8 jan 2013 Tid: Kurs: Matematik 1 HF1901 (6H2901) 7.5p Lärare:Armin Halilovic

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

vinkelräta (1p) då a r = (0,1,0), b r =(0,1,2k) och c r =(1,0,1)? b) Beräkna arean av triangeln ABC då (2p) A= ( 3,2,1), B=(4,3,2) och C=(3,3,3)

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Uppgift Planen 2x + 4y + 2z 3=0 och x + 2y + z 1=0 är givna. b) Bestäm ( kortaste) avståndet mellan planen. (2p)

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2016 Skrivtid 9:00-13:00

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Uppgift 1. (3p) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( x) c) Bestäm inversen till funktionen h ( x)

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

Betygsgränser: För. Skriv endast på en. Denna. Uppgift. 1. (2p) 2. (2p) Uppgift. Uppgift 1) 4. Var god. vänd.

Tentamen i Linjär algebra, HF1904 exempel 3 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(1,0,3), B=(2,1,4 ), C=(3, 2,4).

a) Bestäm samtliga asymptoter (lodräta/vågräta/sneda). b) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/max/terrass). c) Rita grafen.

TENTAMEN HF1006 och HF1008

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

TENTAMEN HF1006 och HF1008

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Tentamen i Linjär algebra, HF1904 Datum: 17 dec 2018 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic

TENTAMEN HF1006 och HF1008

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08

Uppgift 1. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen. b) Lös olikheten. Rita följande andragradskurvor:

TENTAMEN HF1006 och HF1008

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

Betygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

TENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

b) (2p) Bestäm alla lösningar med avseende på z till ekvationen Uppgift 3. ( 4 poäng) a ) (2p) Lös följande differentialekvation ( y 4) y

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

===================================================

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

x 1 1/ maximum

Kontrollskrivning 25 nov 2013

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 26 okt 2016 Skrivtid 13:00-17:00

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

Betygsgränser: För betyg. Vem som har är. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) (2p) lim. (1p) cos( x 1) lim x 1. (1p) 2. (4p) Uppgift.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i Linjär algebra, HF1904 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 21 dec 2017 Skrivtid 8:00-12:00

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Hjälpmedel: Endast bifogade formelblad (miniräknare är inte tillåten) Inga toabesök eller andra raster under den här kontrollskrivningen.

= ( 1) ( 1) = 4 0.

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Torsdag 22 augusti Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

TENTAMEN HF1006 och HF1008

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 10 dec 2012

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2017, kl. 8:00-12:00

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 13 jan 2014

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Tips : Vertikala asymptoter kan finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetspunkter.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

MATEMATIK OCH MAT. STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6H3011 TEN

Kontrollskrivning i Linjär algebra ,

= ( 1) xy 1. x 2y. y e

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

Lösningsförslag. Högskolan i Skövde (JS, SK) Svensk version Tentamen i matematik

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Tentamensproblem i Matematik 1 β. Sammanställda av Tomas Claesson Utskrivna av Kjell Elfström

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Bengt Andersson, Elias Said, Jonas Stenholm

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

MATEMATIK 5 veckotimmar

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

Transkript:

Tentamen i Matematik HF9 (6H9) 4 juni 8 Tid: 85 5 Lärare: Agneta Ivarson, Armin Halilovic, Bengt Mattiasson, Taras Kentrschynskyj, Ulf Djupedal Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad) Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6,3 respektive 9 poäng (Gamlakurser: För betyg 5, 4, 3 krävs, 6 respektive 9 poäng ) Komplettering: 8 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR Komplettering sker c:a två veckor efter att tentamen är rättad Om komplettering är godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F Detta blad lämnar du in tillsammans med lösningar! Uppgift a) För vilka värden på k är vektorerna a + 3b och b + kc vinkelräta (p) då a = (,,), b =(,,) och c =(,,)? b) Beräkna arean av det parallellgram som uppspänns av vektorerna (p) a = (,,) och b =(,,) c) Bestäm det kortaste avståndet från punkten A= (3,3,) (p) till linjen ( x, y, z) = ( t, t, t) Uppgift a) Lös matrisekvationen med avseende på X (p) 5 4 XA +B= C då A =, B = och C = 3 4 b) Lös följande ekvation med avseende på x (p) 8 ( x ) = 4 ( x ) Uppgift 3 Beräkna följande integraler: a) dx (p) x 3x b) xe x dx c) x cos( x + 5) dx (p) (p)

Uppgift 4 För vilka värden på parametern a har systemet ( med avseende på x, y och z) x + y + z = x + y + z = 3x + 5y + az = 3 a) exakt en lösning (p) b) ingen lösning (p) c) oändligt många lösningar (p)? Uppgift 5 Betrakta funktionen + 5 y = x a) Bestäm eventuella asymptoter (p) b) Bestäm eventuella extrempunkter (p) c) Rita grafen till funktionen (p) Uppgift 6 Bestäm minsta värdet för f ( x) då t f ( x) = cos( t) xcos( ) + x dt Uppgift 7 En ljusstråle går genom punkten P=(,, 5) och har riktningen v = (,, 5) Strålen reflekteras mot planet Π : x + y + z = Därefter den reflekterande strålen skär den andra planet Π : x y z = 3 i punkten M (se bilden nedan) Bestäm koordinaterna till punkten M P n M Π Π + Uppgift 8 Låt y = a) Bestäm eventuella extrempunkter, asymptoter och rita grafen till funktionen (p) + b) Bestäm antalet lösningar till ekvationen = a för olika värden på a (p) Lycka till!

FACIT Uppgift a) För vilka värden på k är vektorerna a + 3b och b + kc vinkelräta (p) då a = (,,), b =(,,) och c =(,,)? b) Beräkna arean av det parallellgram som uppspänns av vektorerna (p) a = (,,) och b =(,,) c) Bestäm det kortaste avståndet från punkten A= (3,3,) (p) till linjen ( x, y, z) = ( t, t, t) a) (a + 3b ) ( b + kc) = (, 3, 3) (k,, + k) = k + 3 + 3 + 3k = 5k = 6 k = 6 / 5 Svar a) k = 6 / 5 i j k b) a b = = i + j 3k Arean = a b = + 4 + 9 = 4 areaenheter Svar b ) 4 areaenheter c) Vi utgår från en godtycklig punkt P = ( t, t, t) och bildar vektorn AP = ( t 3, t 3, t) Vi bestämmer parametervärde t så att AP och linjens riktningsvektor (,,) blir vinkelräta ( t 3, t 3, t) (,,) = t 3 + t 3 + 4t = t = Härav AP = (,,) och det kortaste avståndet är AP = = 3 Svar c ) Det kortaste avståndet är 3 Uppgift a) Lös matrisekvationen med avseende på X (p) 5 4 XA +B= C då A =, B = och C = 3 4 b) Lös följande ekvation med avseende på x (p) 8 ( x ) = 4 ( x ) a) Matrisen A är inverterbar eftersom 5 4 det A = =

4 Invers matris: A = 5 XA + B= C XA = C B Vi multiplicerar ekvationen från höger med A - och får XA A - = (C B )A - X= (C B )A - X = 3 Svar a) X= 4 = 5 5 7 5 7 b) x 8 ( x ) 4 =, ( x ) x = 3 =, x = ( x ) = 4 = ( x ) ( x ) 4 = x = ± Svar b) x 3 Uppgift 3 Beräkna följande integraler: a) dx (p) x 3x b) xe x dx c) x cos( x + 5) dx a) dx x 3x Först delar vi = i partiella bråk: x 3x x( x 3) A B = + x( x 3) x x 3 = A( x 3) + Bx = ( A + B) x 3A Identifiering mellan koefficienterna ger A + B = 3A = Härav A = / 3 och B = / 3 och därmed dx = + dx = x + x + C x 3x ( ) ln ln 3 3 x 3 x + 3 3 3 Svar a) ln 3 x 3 ln x + C 3 (p)

b) xe x dx t e = dt = x = t substitution dt xdx = dt xdx = t e + C = x e + C Svar b) e x + C c) x cos( x + 5) dx Partialintegration = x sin( x + 5) sin( x + 5) dx = x sin( x + 5) + cos( x + 5) + C f ( x) = x f ( x) = g ( x) = cos( x + 5) g( x) = sin( x + 5) Svar c) = x sin( x + 5) + cos( x + 5) + C Uppgift 4 För vilka värden på parametern a har systemet ( med avseende på x, y och z) x + y + z = x + y + z = 3x + 5y + az = 3 a) exakt en lösning (p) b) ingen lösning (p) c) oändligt många lösningar (p)? Koefficientmatrisen A = 3 5 a ger det A = = a 3 3 5 a det A = a = 3 i) Om a 3 har systemet exakt en lösning ii) Vi substituerar a = 3i systemet och får x + y + z = x + y + z = x + y + z = y = 3x + 5y + 3z = 3 y = Alltså är systemet olösbart om a = 3 x + y + z = y = = Svar: a) Exakt en lösning om a 3 b) Ingen lösning om a=3 c) Fallet oändligt många lösningar kan inte förekomma

+ 5 Uppgift 5 Betrakta funktionen y = x a) Bestäm eventuella asymptoter (p) b) Bestäm eventuella extrempunkter (p) c) Rita grafen till funktionen (p) (p) Funktionens definitionsmängd: x a)asymptoter: a) Vertikal (lodrät) asymptot: x = ( eftersom y ± då x ± ) a) Polynomdivision ger + 5 y = = x + x x Funktionen har en sned asymptot y = x b) Extrempunkter + 3 y =, y = 3 ( x ) ( x ) + 3 y = = x =, x = 3 ( x ) Två stationera punkter S (, ), maximum eftersom y ( ) < S (3,), minimum eftersom y ( 3) > c) Funktionens graf Skärningspunkter med x-axeln saknas eftersom ekvationen y= har ingen reell lösning Skärningspunkten med y-axeln är 5 y ( ) = Funktionens graf:

Uppgift 6 Bestäm minsta värdet för f ( x) då t f ( x) = cos( t) xcos( ) + x f ( x) t = cos( t) x cos( ) + x sin( t) = 4x = + x 4x t sin( ) + x t = t t = dt dt Härav f ( x) = 4 + x, och f ( x) = Stationär punkt: 4 f ( x) = + x = x = Substitutionen i f(x) ger 8 4 4 f ( ) = + = ( minimum eftersom f ( x) = > ) 4 Alltså f min = 4 Svar : f min = ( för x = ) Uppgift 7 En ljusstråle går genom punkten P=(,, 5) och har riktningen v = (,, 5) Strålen reflekteras mot planet Π : x + y + z = Därefter den reflekterande strålen skär den andra planet Π : x y z = 3 i punkten M (se bilden nedan) Bestäm koordinaterna till punkten M P n Q R M P P B Linjen L genom punkten P har ekvationen: ( x, y, z) = ( t, t, 5 5t) Skärningspunkten B mellan linjen L och planet Π : x + y + z = fås ur t + t + 5 5t = t = B = (,, ) Nu bestämmer vi projektionen Q av punkten P på normallinjen genom B ( se bilden) Eftersom BP =(-,-,5) och n =(,,) har vi

BP n + 5 BQ = proj n ( BP) = n = (,,) = (,,) n n 3 Härav punkten Q=(,,) Låt punkten R vara spegelbild av punkten P i normallinje genom B Då gäller PR = PQ = (,, 4) = (4,4, 8) och därför R=(4,4,-3) Den reflekterande strålen går genom B och R och därför har riktningsvektorn BR = ( 3,3, 3) Ekvationen för linjen L: ( x, y, z) = ( + 3t, + 3t, 3t) Skärningspunkten mellan L och planet Π : x y z = 3 är nu enkelt att bestämma ( + 3t ) ( + 3t) ( 3t) = 3 t = och M=(3, 3, 3) Svar: M=(3, 3, 3) + Uppgift 8 Låt y = a) Bestäm eventuella extrempunkter, asymptoter och rita grafen till funktionen (p) + b) Bestäm antalet lösningar till ekvationen = a för olika värden på a (p) Funktionens definitionsmängd: Villkor : x > Villkor : x e a) Asymptoter: Vertikal (lodrät) asymptot: x = e ( eftersom y ± då x ± ) + lim x x x Anmärkning = [L Hospital] = lim = + x+ Horisontell (vågrät) asymptot y = eftersom + lim = lim x = x + x+ x Funktionen har en horisontell asymptot y = Extrempunkter: y = x( ) Stationera punkter saknas Skärningspunkter med x-axeln : x = e

Funktionens graf + b) Ekvationen = a i) ingen lösning om a = ii) exakt en lösning om a har