Analys o Linjär algebra. p.1/106
Analys o Linjär algebra Lektion 1. p.2/106
Kurstema Tema: Hitta! vad menas? varför? hur?. p.3/106
Grundläggande begrepp: variabler samband modell funktion ekvation lösning beräkning. p./106
Vidare existens entydighet stabilitet residual - fel. p.5/106
Exempel För cirklar verkar gälla o r h a b där är en konstant.. p.6/106
Exempel För trianglar gäller där arean. Här variabler, där t.ex. resp. och kan betraktas som oberoende variabler, varvid resp. blir beroende variabler.. p.7/106
Exempel För en fjäder verkar gälla (Hooke) l 0 l x där spänningen/reaktionskraften, längdförändringen/töjningen, konstant.. p.8/106
# " $ # "! #! " $ Variabelsambandet är en matematisk modell av sambandet mellan töjning och spänning (Hookes lag). Exempel Vid fritt fall gäller där är tiden, är (fall)hastigheten, är sträckan, och är en konstant,.. p.9/106
# $! # # # # # # $ #! # # #. p.10/106. Kan uttryckas funktioner av och Här är # ( där (! resp. # ) där $ eller kortare, # ) # utgår alltså från ett -värde och ger motsv. resp. sträcka. resp. hastighet ( $ (!
Funktioner kan visualiseras med grafer: v s v = f 1(t) = 10 t s = f 2(t) = 5 t 2 20 20 10 1 2 t 5 1 2 t. p.11/106
#! " Sambandet kan åskådligas: σ σ = f(l) l 0 l Vilka samband är linjära? Vilket är icke-linjärt? Variablerna och är proportionella (med proportionalitetsfaktor ).. p.12/106
* En ekvation är en likheter som vill bli uppfylld : Exempel Bestäm den töjning om : som motsvarar spänningen * Att lösa en ekv. + att hitta det/de som passar i ekv. Här. p.13/106
# ) #, # " Exempel Bestäm den tid som motsvarar fallsträckan : Vilket/vilka passar i denna ekv.? Finns lösning? Finns flera? Är den/de felkänsliga ( )? y y = t 2 2?? t. p.1/106
- # # " # # Felkällor Exempel Hur lång tid tar ett fritt fall på meter? Modell:., dvs. Lösning: / Modelleringfel: Friktion försummad, och 21 0. Beräkningsfel:. / 3 0 / löser inte ekv. exakt, ty. p.15/106
# # # # # # # Residual: Idealt gäller residualen. / / uppfyller. För vårt, som kallas residualfelet, eller bara Vad säger residualen om felet i -värdet?, dvs vad säger -felet om -felet? Finns samband? /. p.16/106
8 5 76 ; : 9 Omskrivning av ekvation Ekvationer med samma lösningar kallas ekvivalenta. Exempel,? <>= Speciellt: En ekv. kan alltid skrivas på formen.. p.17/106
@. p.18/106 Omvänt gäller t.ex.:,, 3 med 2@ " där " Kommer att utnyttjas vid s.k. fixpunktsiteration senare.
1 1 Notera: Vid oförsiktig kan lösningar tillkomma:, A B 3 eller eller försvinna:, A C 3 Vad är problemet här?. p.19/106
F G G Funktioner av flera variabler Exempel DE ger arean av. Exempel resistans ger effektutv. i ett motstånd med vid ström G G replacements. p.20/106
H I L N M N M I Q O # Q # O Exempel och volym H Exempel Tempen, dvs ( ger trycket i en gas med temp., mol, gaskonstant.) J K varierar med lägeskoord.. och tiden. p.21/106
R R ; U Definitionsmängd Tillåtna/avsedda input till, eller. betecknas Exempel Funktionen kan sägas ha definitionsmängd, dvs mängden av alla rationella tal utom talet, eftersom divition med inte kan definieras på ett naturligt sätt. T S VXW Y 3. p.22/106
I I I I H I I L Exempel Betrakta tryckfunktionen. Av matematiska skäl kan inte variabelkombinationer med ingå i definitionsmängden. Men dessutom måste man ju här tänka sig att både och är positiva tal. Varför? Vidare kan man tänkas vilja inskränka definitionsmängden ytterligare (ganska mycket) för att skall kunna ge ett någorlunda rimligt/noggrannt värde på trycket. H H Det är alltså upp till konstruktören av en funktion att bestämma dess definitionsmängd, dvs vilka argument den kan matas med. I matematisk mening brukar man annars tänka sig att definitionsmängden är den störsrta möjliga, som för funktionen S ovan. H J K H. p.23/106
N N N ; [/ [ Y Z R ^ N _ Värdemängd Resulterande output. Värdemängden för en funktion betecknas, eller ( för range. Exempel Funktionen T W 1 med definitionsmängden är helt enkelt. Exempel Lösningarna till ekvationen brukar ju betecknas och, dvs betecknar det positiva tal för vilket. Man skulle förstås lika gärna kunna ha bestämt sig för att låta beteckna motsvarande negativa tal. Men för gäller alltså speciellt. ]\. p.2/106
` + W Monom, polynom och rationella funktione De enklaste funktionerna: y y = x y y = x 2 x x y y = x 3 y y = x x x kan (tillsammans med ) användas till att konstruera mer komplicerade fknr, monom, polynom och rationella fknr:. p.25/106
+ + + W Monom: a, olynom: a,... dvs summor av multipler, s.k. linjärkombinationer, av,,,,... p.26/106
M M + * M 8 5 76 år kapitalet Exempel Insatskapital, årsränta, ger efter. Kapitaltillväxten ges av b b För : * * + : rta på rta där sista resp. de två sista termerna utgörs av ränta på ränta.. p.27/106
+ 8 5 76 ; 9 Exempel Om insatskapitalet lyfts efter ett år, men räntan kvarstår ytterligare år erhålls. För vilket erhålls?, dvs? <>= x f(x) 2 1 0 1 2 0 0 2 1 1 2? 1 x. p.28/106
Linjära polynom/fknr Egentligen funktioner där och är proportionella, dvs y=k x men i dagligt tal även: y=k x+m : y = k x y = k x + m y y = 2 x y 1 y = x + 2 2 m 1 y = x 2 x x y = 3 x. p.29/106
c c c. p.30/106 motsvaras av linje i planet. Om och en punkt på linjen kända, dvs ett och motsvarande, så kan beräknas: 2c c på linjen givna så kan Om två punkter och både och beräknas: c c ger 2c c dvs
c 2 1 y y 1 2 x x 1 2 varefter fås som ovan.. p.31/106
c * * c. p.32/106. och gäller c Exempel För : och Bestäm c c ger dvs varav ) * dvs Kontrollera!!! ) *
olynom av grad 2 kan skrivas på formen Underlättar visualisering/plottning bl.a.. p.33/106
Exempel ) konstruerad i tre steg: y y = (x+1) 2 y 1 x 1 x y = 0.5 (x+1) 2 y 2 y = 0.5 (x+1) + 2 2 1 x. p.3/106
) ) * * 8 5 76 ) * * * / Omskrivningen bygger på kvadratkomplettering: Exempel Kvadratkomplettering ligger till grund för lösn. proceduren för 2:a gradsekv.:. p.35/106
Exempel ), * * ), * * ), * d * ), * d * ). p.36/106
M ` + * Har mött polynom-funktioner b b (av grad om ) där är givna tal/konstanter, dvs linjärkombinationer av de enklaste funktionerna av hela polynom ger nya polynom. Exempel b 3 b. Linjärkombinationer + * + * *. p.37/106
Även multiplikation av polynom ger nya polynom. Kvoter mellan polynom ger däremot en ny typ av fkn, s.k. rationella fknr. Exempel y x. p.38/106
+ + " ` + " ;? e ; Y " R U. p.39/106 Dvs polynom kan i sin tur adderas (allmännare linjärkombineras), multipliceras o. divideras. Division ger s.k. rationella fknr. ger * ", Exempel W " W * " = gf W j hi= + =? e <>= ; <>= eär Den naturliga definitionsmängden för funktionen. 3 " lk R W T förstås
artialbråksuppdelning: Exempel: m n där m S * och n ) S *, ty m n m n 9 7 8 5 6 m n f 7 8 5 6 m n vilket ger m och n.. p.0/106
o Generellt: Allmänt följer man schemat om täljarens gradtal polynomdivision nämnaren faktoruppdelas lämplig ansats ställs upp koefficienterna identifieras nämnaren utförs först. p.1/106
p m + m p n Exempel: n varefter, och beräknas som förut. Observera att linjär täljare måste ansättas om nämnaren av grad 2!. p.2/106
m p R n + + m R Exempel: varefter.. beräknas som förut. Observera att multipla nämnarfaktorer kräver speciell ansats!. p.3/106
M c 1 M + 5 8 8 5 76 76. p./106, så finns. av grad q av grad och sådana att L olynomdivision Givet polynom och polynom q L. har grad och där restpolynomet Exempel:? <>= s? < = r beräknas som följer: och olynomen
Kommer även att jobba mkt med funktioner som styckvis är polynom, s.k. styckvis polynom. Exempel y y y = x x x. p.5/106
t " u " Sammansättning av fknr " t Den sammansatta funktionen betecknas även.. p.6/106
/ " ". p.7/106 ger, Exempel / / " i allmänhet. (Vad u " 3 " u dvs observera speciellt att betyder i allmänhet här?).
w v y x 8 5 76 Hur lösa? Har mött ekv. I * motsv given spänning 2 och styvhet 3, och och sökt töjning, II motsv fritt fall I har lösning (m) med sökt falltid. * vad menas?. p.8/106
M 8 5 76 b 8 5 76 { z * S M Lättare greppa ändliga decimalutvecklingar: 6:or Har att + hurdå b. Jo, b f Z b * dvs kan få hur nära som helst! (genom att välja tillräckligt stort för aktuellt behov). b. p.9/106
T 9. p.50/106 Säger att följden, vilket +, konvergerar mot Y} b b betecknad kortfattat skrivs * b ~} b lim eller ibland _ t M då * t b Notera likhetstecknet i limesvarianten!
eriodiska decimalutvecklingar Rationella tal som och decimalutvecklingar (AM:BS sid. 58). Exempel: + har periodiska Omvänt, (AM:BS sid. 59-61) eriodiska decimalutvecklingar motsvarar rationalla tal! Men, det finns ju... p.51/106
Icke-periodiska decimalutvecklingar Exempel Detta måste alltså vara ett icke rationellt, eller irrationellt, tal.. p.52/106
q L q L L L q / q Talet antag, om det nu finns, måste också vara irrationellt, ty med och heltal, och att vi förkortat så att r s ej båda jämna. Då gäller dvs måste vara jämnt, dvs för ngt heltal, dvs varav följer att även måste vara jämnt. Kommer alltså till en motsägelse som visar att ej kan vara rationellt. r s, dvs. p.53/106
/ A * A ) ` ) [) ^ ) `? och. p.5/106 Hur beräkna /. dvs hitta decimalerna i Bisektion, eller intervallhalvering. Finner att. Söker mellan och. Kollar. Finner att. Koncentrarar oss på och kollar nya mittpunkten :, osv... 1 Söker s.a. att mittpunkten ) ` + intervallet 1
G ƒ a ) * * a ) * / a ) * / a ) * / ) / ) ƒ ƒ. p.55/106 ƒ ) ) ) ) Ser att skillnaden blir mindre o. mindre, och att fler och fler decimaler överensstämmer i och. ƒ ƒ
) a ) ) ƒ Uppgift: Skriv ett matlab program som succesivt beräknar talen (och ), här ekvation med givna och sådana att och har olika tecken. ƒ * /, för godtycklig. p.56/106
function int = MyBisect(f, int, tol) Solves f(x) = 0, that is, given f = f(x) and an interval int = [a,b] on which f changes sign, and a tolerance tol, the solver uses succesive bisection of the given interval int to finds a subinterval int of length at most tol, containing a solution x.. p.57/106
input arguments: f a string (such as sin(x) ) representing f(x) int an interval [a,b] such that f(a)*f(b)<0, that is, on which f(x) changes sign tol a given (positive) tolerance (such as 0.001) while diff(int) > tol. p.58/106
while diff(int) > tol x = int(1); leftvalue = eval(f); x = int(2);... x = sum(int)/2; midpointvalue = eval(f); if leftvalue * midpointvalue < 0 int(2) = x; elseif... int(1) = x; else... p.59/106
while diff(int) > tol.. if leftvalue * midpointvalue < 0 int(2) = x; elseif... int(1) = x; else disp( Check that f changes sign on given interval! ) return end end. p.60/106
komplettera koden enligt angivna specifikationer kör ett antal testexempel komplettera med data-check komplettera med auto-stop vid icke-konvergens skriv variant som levererar en approximtiv rot som utdata. p.61/106
Y} 9 ƒ a * Konvergens Noterar att följden vad? Jo, mot T ƒ försöker konvergera, men mot * ) * / / roblemet är nu: Hur räknar man med sådana tal? Multiplicerar med t.ex.? Återkommer till detta!. p.62/106
@ 8 5 76 e : 9 " " " " " f Fixpunktsiteration Skriver om ekv som @ med ngt 3? <>= Söker s.a. ", dvs lämnar fixt! Idé: Tag godtyckligt och mata in i. Kalla resultatet, dvs. Om är allt klart; är en fixpunkt, eller hur? Annars, mata in i och kalla resultatet, osv, dvs sätt ƒ ƒ. p.63/106
W " t f f Dvs, iterationen ƒ ƒ ƒ ger följd Om följden mindre skiljer sig åt, ger detta fler och fler decimaler i en lösning till. ƒ ƒ f ƒ + h. konvergerar, dvs talen i följden allt ". p.6/106
" " Q Z " Q " Q När konvergens? Frågar oss först: Ligger?: ger " närmare och än vad ligger nära " " Om nu är en fkn sådan att för alla möjliga till konvergens! med 1 så blir svaret ja, vilket leder. p.65/106
" h @ Har sökt lösn till med bisektion, och till med fixpunktsiteration, dvs " Har också noterat att kan skrivas med, och omvänt att, t.ex. med, " " " " @. 3, t.ex. kan skrivas Ekvationen " uppkommer ofta naturligt:. p.66/106
) ) * * Exempel Du säljer jultidningar för (tusen) kr. Förlaget tar, plus i fast avgift. Hur mycket måste du sälja för att nå break even? Jo, så att ŠW inkomsten / / kostnaderna dvs + * (tusen) kr.. p.67/106
Vad ger fixpunktsiteration i detta fall? Tar som exempel. Får " ` ` ` " ` ` ` + " ` ` ` ` ` ` + ` ` ` ` f ` ` S.k. geometrisk summa eller dito serie.. p.68/106
Allmänt: $ + f beräknas genom multiplikation med : $ + h h dvs $ h för 3 Analogt: $ ƒ ƒ h Œ f Ž gf. p.69/106
/ S / S * 9 * S * S. p.70/106 För fixpunktiteration ovan gäller alltså : h * t / * * / S / S _ t. då Y} T konvergent med gränsvärdet Säger att följden : * S ~} lim löser den och har redan noterat att gränsvärdet givna ekvationen. "
Geometriskt har följande hänt: y y = x g(x 1 ) g(x ) 0 y = x + 1 g(x) _ 1 x 0 x 1 x. p.71/106
function x = MyFixed(g, x, tol)... while abs(dx) > tol... dx =... x = x + dx;... end dx x x + dx x. p.72/106
Supply comments data checks non-convergence auto-stop system version g as sting/eval or as function testing, double root applications. p.73/106
* S Y} f Z A o Z Följden T konvergent med gränsvärdet 9 ty / * dvs kan fås att överensstämma med med godtyckligt många decimaler, genom att ta tillräckligt stort. Brukar uttryckas: Till godtyckligt litet finns s.a. om bara. p.7/106
Y} A o G Z Kan man veta om en följd är konvergent utan att känna dvs dess ev. gränsvärde? Defintion En följd litet finns s.a. T är en Cauchy följd om till godt. 9, ƒ om bara. p.75/106
A Z Z o G En konvergent följd måste vara Cauchy, ty givet då hitta s.a. kan vi ƒ ƒ för tal).. Har här utnyttjat triangelolikheten (för rationella. p.76/106
o G o G Omvänt definierar en Cauchyföljd en entydigt bestämd decimalutveckling, ty om t.ex. vi tar så finns s.a. alla talen och med skiljer sig åt först i 7:e decimalen, och om vi tar så finns (gissningsvis större än det förra) s.a., med alla överensstämmer i de 50 första decimalerna, osv. ƒ ƒ f f. p.77/106
[ [ \ h Y} 9 [ o G U f Z A o G Z Y} 9 Åter till bisektionsalg. applicerad på ekv. vilken med, genererar följd av intervall mer och ( delmängd av/innehållet i). Följden för gäller ju och därmed f ƒ ^ ^ T h [ \ ^ ^ bildar då en Cauchyföljd, ty, ƒ dvs givet finns s.a. ƒ om bara tillr. stora Men då måste följden (rationellt eller irrationellt) gränsvärde T vara konvergent och ha ett.. p.78/106
~} ~} T ~} T Men vet vi nu att detta löser den givna ekvationen, dvs att Notera att vi inte kan beräkna t.ex. för irrationalla löser problemet genom att helt enkelt definiera. Vi lim lim om detta är möjligt, dvs om följden konvergent så att den har ett gränsvärde Y} 9 visar sig lim Noterar att är väldefinierat rationellt tal. Alltså gäller det nu bara att visa att Y} 9 är en Cauchyföljd.. p.79/106
/ Z Y G. p.80/106 Z Z med V U Men för funktionen och alla gäller Z, ty med / Z högst. Men härav följer att dvs (L) gäller med / ƒ Z ƒ T om bara tillr. stora, dvs Cauchyföljd ty Cauchyföljd Lipschitskontinuerlig (uppfyller (L)). Y T
Y Sats Om Lipschitzkontinuerlig på så konvergerar följden bisektionsalgoritmen mot en rot till. 1 ^ [ T och i, dvs s.a.. p.81/106
Y} 9 Y} T 9 Y} T Y} 9 ~} Har sett hur bisektion tillämpad på ekv (med t.ex. och ) ger en följd följd, s.a. T 9 och en 1 1 Följden (liksom ) är en Cauchy följd, vilken definierar ett entydigt bestämt (rationellt eller irrationallt) reellt tal med T lim. p.82/106
~} [ ^ [ ^ Z T / ~} ~} Ställde frågan: Löser detta den givna ekv., dvs gäller lim Eftersom funk. fanns vara Lipschitz kontinuerlig i det aktuella intervallet, dvs s.a. för alla med, följer att även följden funktionsvärden är Cauchy. Vi kan därför definiera Y} i 9 av motsvarande lim lim dvs vi har lyckats ge mening åt, dvs att. Nu återstår att kolla att. p.83/106
Z A ~} lim? Men enl. (*) har vi Z / f / Z tillr. stort, dvs, om bara för godtyckligt litet _ t då t eller QED ~} lim. p.8/106
Lipschitz kontinuitet Exempel Linjära funktioner är Lipschitz kontinuerliga: y y = g(x) = 2 x g(b) g(a) y = f(x) = _ 1 x 2 a b x. p.85/106
I exemplet: Z S " " Z Mera allmänt: Lipschitz kont. med.. p.86/106
[ ^ / ^ [ * + Z är Lipschitz kont. Exempel Har redan visat att på med., med är Lipschitz kont. på + Exempel ty + * Z. p.87/106
Exempel olynom b b är Lipschitz kont. på begränsade intervall ^ [ (för givna rationella coefficienter ). Exempel Funktionen är Lipschitz med : Z T.ex. gäller om 1 : Z Z dvs Z. p.88/106
+ š [/ ^ ) š š Enl. ovan har vi för Lipschitz kontinuerliga funktioner kunnat ge mening åt även för irrationella. Speciellt kan vi då ge mening åt sånt som och, eftersom är Lipschitz, liksom på begränsade intervall, som t.ex. innehållande det irrantionella talet (som figurerar i vårt allra första exempel i formen ). / * 0 + ". p.89/106
š Men hur beräknar man då sådant som involverar mer än ett irrationellt tal, som t.ex.? Det visar sig att nyckeln till ett svar på sådana frågor är att betrakta funktioner av flera variabler, i det aktuella fallet vill vi för irrationella tal och kunna beräkna lim lim lim lim. p.90/106
T Vi definerar som för en Lipschitz kontinuerlig funktion av en variabel: lim lim ~} lim Som tidigare är detta ok om bildar en Cauchyföljd. Vi undersöker därför om Lipschitz, dvs om Y Z. och för alla aktuella. p.91/106
8 5 76 9 Z 8 5 76 œ finner vi att För max Z Z : 9 d (b, b ) 1 2 (a, a ) 1 2 d c c. p.92/106
ƒ Z ƒ Z ƒ Y G A Byt nu följer att mot ƒ och mot, och det ƒ ƒ för godtyckligt litet är en Cauchyföljd. om bara tillr. stora, dvs T x y x y j j j j 3.1 3.1 3.11 3.115 1. 1.1 1.1 1.12.3.27.137.27093 π x 2 π 2. p.93/106
x S o A q L q L " o o " ", Z " o Funktionen w vž Vill här för. Ÿ rationellt med och definera Exempel. Definierar som den entydigt bestämda lösningen till (eller ). Har sett att sådan lösning finns för. Analogt för andra rationella. Entydigheten följer av att är strängt växande med växande, dvs, dvs två olika -värden kan ej ha samma kvadrat. 1 1 o l. p.9/106
A 8 5 8 5 76 76. p.95/106 Implikationen följer av att 1 Z för 2 y 2 2 y 1 y y 2 y 1
s r S Ÿ L q L s h N t h V h N t h N. p.96/106 som definieras A q, till A l För allmänt lösningen r vilken sedan kan genom Ÿ W Ÿ W Detta definierar utvidgas till ~} lim som tidigare!
otenslagarna: Har för A, A och rationella L S q och O $ S # (som för heltalspotenser) att Ÿ Ÿ h Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ. p.97/106
Ÿ Ÿ s r s r r s Ÿ Ÿ! r s r r s s! 8 5 5 8 76 76. p.98/106 Bevis av potenslagarna: Ÿ och och, dvs. Ledvis multiplikation ger att! Sätt?? <>= 9 <> 9 dvs Ÿ! QED.
! - r s Ÿ!! s s - s!!. p.99/106 Bevis av potenslagarna: Ÿ Ÿ. Härav och, dvs och! Sätt r r s - s! dvs Ÿ «ª QED. Övning: Bevisa den återstående potenslagen.
f f f Invers funktion Om till varje finns ett entydigt bestämt sådant att så betecknas detta även, dvs om entydigt bestäms ax på detta sätt kan kan ses som värdet av en funktion av betecknad, dvs. y y = f(x) y 1 x = f (y) x. p.100/106
" " " " vara en kontraktion, dvs en funktion sådan att När funkar fixpunktsiteration? Låt Z. 1, för något och för alla. sådant att Söker Genererar följd h ƒ ƒ f ƒ h f. Visar att följden är en Cauchy följd. h W " sådan att. p.101/106
" " f f Z Z f f f ƒ Z f ƒ Z Har att Z h Z Analogt h Z h h o.s.v. Dvs ƒ ƒ h Z ƒ h h h. p.102/106
Y " " " " h Alltså är följden T konvergent med ett gränsvärde. Återstår att visa att. Men lim lim lim QED. p.103/106
" " Z " " Kan det finnas flera fixpunkter? Nej, ty antag att både och. Då och är fixpunkter, dvs att vilket endast är möjligt om finnas två (olika) fixpunkter! ty 1. Dvs det kan inte. p.10/106
N t N "W " h Har nu bevisat följande: En kontraktion har en entydigt bestämd fixpunkt, vilken kan beräknas med iterationsmetoden W.. p.105/106
" [ ^ [ ^ " " Resultatet kan generaliseras till det fall är en kontraktion på ett givet intervall, dvs avbildar alla i på -värden i samma intervall, och sådan att är Lipschitzkontinuerlig med på intervallet. Då finns ett entydigt bestämt i intervallet sådant att. " y 1 b y = g(x) a a b x. p.106/106