Att synliggöra matematikens språkliga och sociala karaktär Ann Ahlberg Varför ändras nybörjares nyfikenhet och lust att lära matematik till ointresse och bristande tillit till sin egen förmåga efter några år i skolan? Kan en orsak vara att undervisning och arbetssätt bidrar till att göra matematiken till en privat angelägenhet för eleverna? I artikeln beskrivs utgångspunkter för ett erfarenhetsbaserat lärande och problemlösning, där matematikens språkliga och sociala karaktär görs synlig. Hur stimulera barns intresse? Hur ska undervisningen i matematik stimulera elevernas nyfikenhet och lust att lära? Kanske ska läraren ge eleverna nya, utmanande problem att lösa eller ligger lösningen i att läraren använder en ny undervisningsmetod? Om en lärare på ett mer genomgripande sätt vill utveckla sin undervisning, räcker det emellertid inte med att använda nya uppgifter. Det blir ofta en punktinsats som inte leder till någon bestående förändring. Detsamma kan sägas om nya undervisningsmetoder. Ingen har ännu lyckats beskriva en generell undervisningsmetod som passar alla elever. Elever är olika och den undervisning som är lämplig för en elev behöver inte vara bra för en annan. Svaret på frågan om hur läraren kan stimulera barnens intresse för matematik måste därför formuleras i mer allmängiltiga ordalag. Läraren bör i ökad utsträckning synliggöra matematikens språkliga och sociala karaktär. Uppgiften blir då att organisera undervisningssituationer, där eleverna får tillfälle att samtala och arbeta tillsammans. Då matematiken införlivas i ett socialt sammanhang stimu- Ann Ahlberg är univeristetslektor i pedagogik och har lång erfarenhet som lågstadie- och speciallärare. Hon forskar om undervisning och barns lärande av matematik i förskola och skola. leras elevernas nyfikenhet och kreativitet och de kan utveckla sitt matematiska tänkande genom att lära av varandra (Ahlberg, 1992; 1995). Problemlösning som utgångspunkt för lärande Hur kan en undervisning som betonar matematikens kommunikativa karaktär utformas? För att studera detta genomförde jag en undersökning i årskurs tre i grundskolan. I tre klasser integrerades matematiken med svenska och bild. Det övergripande syftet var att eleverna skulle utveckla sin taluppfattning och sin kunskap om de fyra räknesätten genom att arbeta med problemlösning. Den teoretiska ansatsen var en fenomenografiskt inspirerad didaktik, där den centrala tanken är att undervisningen bör utgå från hur elever erfar, förstår och uppfattar sin omvärld. Som grund för undervisningens innehåll och organisation formulerade jag fyra teser: 1 Målen för undervisningen ska beskrivas i termer av vad eleverna ska förstå av undervisningsinnehållet. 2 Elevernas erfarenheter och föreställningsvärld ska införlivas i undervisningsinnehållet. 3
3 Eleverna ska ges utrymme för att lära och göra nya erfarenheter. 4 Eleverna ska bli medvetna om att de lär och få tillfälle att reflektera över sitt lärande. Här följer nu en diskussion av teserna. 1 Elevernas förståelse som undervisningsmål Matematikundervisningen i skolan karakteriseras ofta av att eleverna arbetar i sin räknebok. En del lärare låter eleverna planera hur många sidor de ska räkna, medan andra själva bestämmer vilka moment i läroboken som ska gås igenom under en viss tidsperiod. Läroboken styr planering och uppläggning av undervisningen. När eleverna löser uppgifterna i boken tränar de i stor utsträckning procedurer och färdigheter. De elever som inte klarar av de diagnoser som följer på ett moment får oftast träna mer och lösa fler uppgifter av samma sort. Det är emellertid inte självklart att mer träning leder till att eleven utvecklar sitt matematiska tänkande. Följden kan bli att elever ihärdigt övar tekniker som inte är kopplade till förståelse för innebörden i uppgiften, och att de trots träningen inte utvecklar sitt matematiska tänkande. Istället för att uttrycka vad eleverna ska göra och vilka moment som ska behandlas, borde målen för undervisningen beskriva vad eleverna ska förstå. Som ett exempel kan vi se följande delmål som formulerades i den tidigare nämnda undervisningen i problemlösning på lågstadiet. För att utveckla elevernas intresse och kunnande ska eleverna förstå att: det finns olika sätt att lösa ett problem och en jämförelse av olika lösningssätt bidrar till förståelsen, matematiska problem är en del av vardagslivets problem, det vardagliga språket kan förbindas med det matematiska symbolspråket, skriva, rita och tala är betydelsefulla verktyg vid problemlösning, det tar tid att lösa problem. När målen är formulerade är lärarens uppgift att skapa undervisningssituationer där eleverna ges förutsättningar att utveckla den förståelse man strävar mot. Vilka erfarenheter behöver eleverna ha och hur kan undervisningen bidra till att ge dem dessa erfarenheter? I den studerade undervisningen ska arbetssättet och problemens innehåll bidra till att delmålen uppnås. Arbetsättet innebär att eleverna först arbetar fram en egen lösning på det aktuella problemet. Därefter redovisas de olika lösningsförslagen i smågrupper. Gruppmedlemmarna diskuterar och väljer till sammans ut en av lösningarna, som ska presenteras för de andra klasskamraterna. En elev från varje grupp redovisar därefter gruppens lösningsförslag. Läraren skriver efterhand upp förslagen på tavlan. När samtliga grupper presenterat en lösning, jämför man och samtalar i klassen om de olika förslagen. Lärarens intention är att stärka elevernas tillit till det egna tänkandet och intresset vid samtalet fokuseras inte på det rätta svaret. Istället samtalar man om hur eleverna tänkt när de löst problemen, och läraren inriktar medvetet elevernas uppmärksamhet mot olika sätt att lösa problemen. I klassen diskuteras exempelvis hur eleverna på olika sätt tecknat uträkningar, använt uppställningar och deloperationer för att förenkla beräkningarna. Problemen är avsiktligt mycket öppet formulerade. Det finns möjligheter till alternativa lösningar. För att eleverna ska förstå att det finns olika sätt att lösa ett problem, ska de ta del av kamraternas lösningsförslag, reflektera över och resonera om dem. Eleverna möter olika typer av problem som anknyter till deras vardag och föreställningsvärld för att de ska inse att matematiska problem är en del av vardagslivets problem. I de problem som ges i början ska de inte utföra några numeriska beräkningar. Efterhand följer problem där det matematiska innehållet blir allt mer tydligt. Vid varje problemlösningstillfälle skriver eleverna en berättelse, ritar en bild och samtalar med varandra om problemet. När eleverna använder dessa olika uttryckssätt får de tillfälle att upptäcka att 4
skriva, rita och tala är betydelsefulla verktyg vid problemlösning. De får också rika tillfällen att förbinda sitt vardagliga språk med det matematiska symbolspråket, då de skriver, ritar och talar om matematik. För att eleverna ska inse att det tar tid att lösa problem får de tid att fördjupa sig i problemens innehåll. De möter endast ett problem varje lektion och skriver ner varje lösning i ett särskilt häfte. Istället för att omedelbart skynda vidare och lösa ett nytt problem, ska de vidareutveckla sina lösningsförslag eller formulera egna problem. 2 Elevernas erfarenheter Lärare anknyter i varierande utsträckning sin undervisning till elevernas erfarenheter. Några lärare låter läroböckerna styra undervisningen helt. Då kan elevernas erfarenheter enbart utnyttjas som en illustration till läroboken för att motivera och väcka elevernas intresse vid gemensamma genomgångar i klassen. När eleverna enbart arbetar med bokens uppgifter, finns en risk att undervisningen i ringa utsträckning anknyter till den enskilde elevens erfarenheter och förståelse av sin omvärld. Följden kan bli att elever inte uppfattar att de ska lära matematik för att de kan ha nytta och glädje av den i många olika situationer i vardagslivet, utan erfar att den verkliga meningen med undervisningen är att de ska lösa uppgifterna i räkneboken. Förståelsen av ett problem uppkommer emellertid i mötet mellan elevens föreställningsvärld, situationen och problemets innehåll. Lärarens intention bör därför vara att införliva elevernas erfarenheter och föreställningsvärld i undervisningsinnehållet. I den studerade undervisningen är den grundläggande tanken att eleverna ska upptäcka matematiken genom en problematiserande och tematiserad undervisning. Eleverna möter olika typer av problem som på skilda sätt anknyter till deras omvärld, erfarenheter och föreställningsvärld. De får då en förförståelse av undervisningsinnehållet och känner igen sig i probleminnehållet, vilket medför att matematiken blir levande och verklighetsnära. Frågor ska väckas hos eleverna och de ska använda sin kreativitet och fantasi för att göra personliga tolkningar och lösningar av problemet. Att utgå från elevernas erfarenhetsvärld handlar emellertid inte enbart om att eleverna ska känna igen sig i problemens innehåll, utan också om att de ska få nya erfarenheter, som bidrar till att de skapar innebörd och mening i problemlösningssituationen. När eleverna använder olika uttrycksformer och samtalar om lösningsförslagen i klassen framträder mångfalden idéer. Elevernas tankar blir synliga i undervisningen. Deras olika sätt att förstå ett problem bildar på så sätt ett innehåll i undervisningen som används för att ge dem möjlighet att reflektera och utveckla sin förståelse av probleminnehållet. 3 Utrymme för att lära När eleverna huvudsakligen tränar uppställningar och procedurer på lektionerna skapas ett mönster som ständigt upprepas. Detta leder till att eleverna i ringa utsträckning får tillfälle att reflektera och göra nya erfarenheter och deras utrymme för lärande blir begränsat. För att utöka elevernas handlingsutrymme i de studerade klasserna, finns inte något mönster eller lösningsschema som de ska använda. När de löser problemen ska de utgå från sina egna funderingar och tankar. Utrymmet för lärandet utvidgas genom att eleverna förutom att räkna även använder uttrycksformerna rita, tala och skriva. Eleverna ställs inför uppgifter där en problemsituation beskrivs och ska i ord och bild berätta om den situation och de händelser som presenteras. De ska på egen hand arbeta fram en lösning, som de sedan samtalar med sina kamrater om. Eleverna väljer själva vilka aspekter av problemets innehåll som de vill behandla i sina bilder och berättelser och de får fritt uttrycka sina idéer och tankar om problemen. Eleverna avgör också hur de vill disponera den tillgängliga tiden under lektionen och bestämmer hur mycket tid de vill använda på sin bild och hur omfattande den skriftliga framställning ska vara. De väljer också i samråd med medlemmarna i 5
gruppen ut den lösning som de vill presentera för kamraterna. Undervisningen ger eleverna utrymme för att lära genom att de får möjligheter att bearbeta sin tidigare erfarenheter, göra nya erfarenheter och i samspel med lärare och klasskamrater utifrån sina egna föreställningar forma relationer och upptäcka matematiska strukturer. 4 Elevernas reflektion Det är inte ovanligt att nybörjare har en föreställning om att det endast finns ett sätt att förstå ett problem. Det är det sätt som de själva kommer på. Upptäckten att man kan tänka på olika sätt när man löser problem är för vissa barn en ny insikt. När eleverna blir äldre betraktas ofta den lösningsmetod som läraren presenterar som den enda rätta. Föräldrars eller andras sätt att lösa ett problem accepteras inte gärna. Eleverna har ofta ett förgivettaget förhållningssätt till problemlösning, som innebär att deras uppfattningar till stor del är osynliga (ej formulerade) och oreflekterade. Att se ett problem i olika perspektiv För att eleverna ska inse att man kan lösa ett problem på olika sätt måste de få möjlighet att se ett problem i olika perspektiv. Detta kan möjliggöras genom att elevernas skilda uppfattningar blir synliga och diskuteras (konfronteras) i undervisningen. När eleverna använder olika uttrycksmedel som att tala, rita och skriva får de utökade möjligheter att se problemet i olika perspektiv och reflektera över innehållet. Att tala När eleverna tar del av sina kamraters lösningsmetoder och samtalar om dem, får de möjlighet att uppfatta problemet i olika perspektiv. De diskuterar och jämför sin egen lösning med kamraternas och möter gensvar och reaktioner på sina egna lösningsförslag vilket medför att de får tillfälle att reflektera över både sitt och kamraternas tänkande. Att rita När eleverna ritar en bild av ett probleminnehåll, kan de se problemet i ett annat perspektiv och denna visuella upplevelse kan underlätta förståelsen och medföra att de inser hur det kan lösas. Eleverna kan i samband med att de använder bilder som uttrycksform även upptäcka bildens symbolfunktion och inse att bilden kan representera något annat än det som är direkt avbildat. Bilden blir på detta sätt ett översättningsled mellan det vardagliga språket och det formella symbolspråket och kan fungera som ett verktyg vid problemlösning i vitt skilda sammanhang. Att skriva När eleverna skriver berättelser utökas möjligheterna till reflektion eftersom det skrivna språket, till skillnad från det talade språket ger tid till eftertanke. Orden finns kvar, tankarna blir synliga, och vi har möjlighet att gå tillbaka och reflektera över vad vi tänkt. Dessa egenskaper hos det skrivna ordet gynnar medvetenheten om det egna tänkandet hos eleverna och underlättar för dem att reflektera över problemets innehåll. Utbyte av erfarenheter Som en illustration till hur elevernas erfarenheter kan införlivas i matematikundervisningen kan vi se på hur barnen löser ett av problemen i den sista fasen med benämnda uppgifter. I en klass med 19 barn delar fröken ut två skrivböcker och en räknebok till varje barn. Hur många böcker delar hon ut? Liksom tidigare skriver eleverna även vid problemlösningen en berättelse. De ritar en bild, utför beräkningar och samtalar i smågrupper. Gruppledaren presenterar som förut gruppens lösningsförslag inför klassen och läraren skriver en kort sammanfattning av lösningarna på tavlan. Grupp 1 har valt en berättelse som heter I skolan. Lena har använt addition. Hon visar denna på två sätt, genom en tecknad uträkning, och med en uppställning: 19 + 19 + 19 = 57 19 19 +19 57 6
Grupp 2 läser berättelsen Utdelning av böcker. Även Martin har använt addition. Han har tecknat en lång uträkning där klassen delats i grupper om 10 och 9 barn. Han ställer också upp additionen. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 30 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 27 27 +30 57 Grupp 3 berättar om Räkneapparaten. Lena har valt räknesättet multiplikation och genomfört två beräkningar. 19 2 = 38 19 3 = 57 Grupp 4 har en berättelse som handlar om Böcker i skåpet. Sofia använder addition. Hon tecknar uträkningen och ställer upp additionen i två steg. 19 + 19 = 38 38 + 19 = 57 19 38 +19 +19 38 57 Grupp 5 har valt Pers berättelse som heter Böcker till barnen. Per tecknar en multiplikation 19 3 = 57. När förslagen är uppskrivna på tavlan har man en sammanfattande diskussion. Intresset vid klassrumssamtalen fokuseras inte på det rätta svaret. Istället samtalar man om hur eleverna har tänkt när de löser problemen. Två olika sätt synliggörs. Ett sätt är att varje barn ska ha tre böcker som i lösningarna från grupp ett och fem. Ett annat sätt är att barnen först får de två skrivböckerna och därefter en räknebok. Liksom vid tidigare tillfällen inriktar läraren elevernas uppmärksamhet mot olika sätt att teckna uträkningarna, ställa upp tal och använda olika deloperationer för att förenkla beräkningarna. Sambandet mellanoperationerna addition och multiplikation diskuteras. Effektiviteten i olika tänkande diskuteras och eleverna samtalar om vilka förfaringssätt som är tidsbesparande och funktionella. Erfarenhetsorienterat lärande Den undersökning som genomfördes på lågstadiet visar att en undervisning som tar sin utgångspunkt i ovanstående teser utvecklar elevernas matematiska förståelse. De undervisningsmål som beskrivits har behandlat problemlösning där det övergripande målet var att eleverna skulle utveckla sin taluppfattning och sitt kunnande i aritmetik. Detta ska emellertid enbart ses som ett exempel eftersom teserna kan ligga till grund för undervisningen inom de flesta matematikmoment. Om det exempelvis handlar om tiotalsövergång, bråk eller area är det första som läraren behöver göra att fundera över vilken förståelse som eleverna ska uppnå inom området. Nästa fråga blir hur eleverna ska få sådana erfarenheter som gör att de bygger upp den förståelse som eftersträvas. Man behöver inte inleda med att undervisa om formella regler, procedurer och färdigheter. Istället kan läraren organisera undervisningssituationer där eleverna löser problem och deras olika tankar och uppfattningar om undervisningsinnehållet synliggörs och konfronteras. I ett erfarenhetsbaserat lärande får läraren möjlighet att lyfta fram mångfalden och variationen i eleverna tänkande vilket synliggör den språkliga och sociala dimensionen i matematiken. Då kan olikheter mellan eleverna, istället för att vara ett hinder i undervisningen, bli en tillgång och bidra till att väcka elevernas nyfikenhet och intresse för matematik. Referenser Ahlberg, A. (1992). Att möta matematiska problem. En belysning av barns lärande. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Ahlberg, A. (1995). Barn och matematik. Lund: Studentlitteratur. Ann Ahlbergs doktorsavhandling i pedagogik (1992) anmäldes i Nämnaren, nr 4, 1992, s 17-18. Boken Barn och matematik (1995), som bygger på avhandlingen, anmäldes i Nämnaren, nr 2, 1995, s 46. Redaktionen 7