4.3. Den kvantmekaniska fria elektronmodellen

4.3. Den kvantmekaniska fria elektronmodellen [Understanding Physics: 20.3-20.8] I kvantmekaniken behandlas ledningselektronerna som ett enda fermionsystem, på ett liknande sätt som elektronerna i flerelektronatomer. Systemet begränsas endast av den fasta kroppens yttre dimensioner, och kommer därför att innehålla ett oerhört antal fermioner (ca 10 28 m 3 ). Systemet kan alltså behandlas som atomer med flere elektroner, om vi gör följande antaganden: 1. Elektronernas energinivåer är kvantiserade, eftersom de befinner sig i ett bundet system. 2. Dessutom måste de uppfylla Pauliprincipen, dvs två elektroner kan inte ha samma uppsättning kvanttal, och energinivåerna fylls i den ordning, som energin växer. Dessa nya principer kommer att förändra den statistiska fördelningen av elektronenergierna i en ledare. En klassisk elektrongas följer Maxwell Boltzmanns statistik, enligt vilken alla elektroner kan ha samma energi vid 0 K, i strid med Pauliprincipen. Därför behöver vi en ny statistik, som stämmer överens med de kvantmekaniska lagar, som bestämmer hur ett system av identiska fermioner beter sig. Detta kommer att påverka det sätt, på vilket en fermiongas upptar energi, och således också deras värmekapacitet. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 1

Eftersom elektronerna kan uppfattas som vågor, kommer också detta att inverka på deras rörelse genom kristallgittret, och därmed deras elektriska ledningsförmåga. I övrigt görs samma antaganden som i den klassiska modellen. Vid kroppens ytterkanter kommer elektronerna att stöta på en stor potentialbarriär, som approximativt kan beskrivas med en tredimensionell oändlig potentialbrunn, en tredimensionell låda. Vi skall nu studera detta problem kvantmekaniskt. På s. 386 visade vi, att lösningen till Schrödingerekvationen för en endimensionell potentialbrunn kan skrivas ψ(x) = B sin kx, där k = 2mE/. Gränsvillkoren leder till kvantisering (stående vågor), så att vågtalet k endast kan anta värdena k n = nπ, n = 1, 2, 3,.... Energierna är därför kvantiserade enligt ekvation (13.42): E n = n 2 E 0 ; E 0 = 2 π 2 2ma 2. Detta resultat kan lätt generaliseras till tre dimensioner (x, y, z). Den tredimensionella Schrödingerekvationen för en partikel som rör sig i en potential V = 0 (fri partikel) är 2 2m! 2 ψ x + 2 ψ 2 y + 2 ψ 2 z 2 = Eψ För att lösa denna ekvation separeras variablerna på ett liknande sätt som tidigare. Vi utgår alltså från ansatsen ψ(x, y, z) = ψ 1 (x)ψ 2 (y)ψ 3 (z), Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 2

som substitueras i Schrödingerekvationen. Vi får då 2 2m Genom division med ψ 1 ψ 2 ψ 3 får vi då " d 2 ψ 1 ψ 2 ψ 3 dx + ψ d 2 ψ 2 1ψ 2 3 dy + ψ d 2 ψ 3 1ψ 2 2 dz 2 2 2m " 1 d 2 ψ 1 ψ 1 dx + 1 d 2 ψ 2 2 ψ 2 dy + 1 d 2 ψ 3 2 ψ 3 dz 2 # # = Eψ 1 ψ 2 ψ 3 = E som kan skrivas 1 d 2 ψ 1 2m ψ 1 dx 2 2 = E + 2 2m " # 1 d 2 ψ 2 ψ 2 dy + 1 d 2 ψ 3 2 ψ 3 dz 2 Vänstra membrum beror alltså enbart av x, och högra membrum inte alls av x. Alltså är vartdera membrum en konstant (C), och vi kan uttrycka den x beroende ekvationen i formen 2 d 2 ψ 1 2m dx = Cψ 1, 2 som är Schrödingerekvationen för en endimensionell oändlig potentialbrunn. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 3

Dess lösning är, som redan vet, ψ 1 (x) = A sin k 1 x. Ekvationerna i avseende på y och z kan sedan konstrueras genom att upprepa separationen, och vi finner alltså att ψ 2 (y) = B sin k 2 y, och ψ 3 (z) = D sin k 3 z. Vi kan alltså slutligen skriva den fullständiga lösningen till den tredimensionella Schrödingerekvationen i formen (med beteckningen A = ABD) ψ(x, y, z) = A sin k 1 x sin k 2 y sin k 3 z. Om lådan är en kub med kantlängden a, så följer av gränsvillkoren k 1 = n 1 π/a, (n 1 = 1, 2, 3...), k 2 = n 2 π/a, (n 2 = 1, 2, 3...), och k 3 = n 3 π/a, (n 3 = 1, 2, 3...). Egenvärdena, dvs de kvantiserade energierna, är E n1 n 2 n 3 = E 0 (n 2 1 + n2 2 + n2 3 ). Observera, att vi som förr har ett kvanttal för varje frihetsgrad. Vi skall studera energinivåernas besättning vid absoluta nollpunkten. Av uttrycket för energin följer omedelbart, att grundtillståndet nås då n 1 = n 2 = n 3 = 1. Vi skall beteckna energitillstånden med (n 1, n 2, n 3 ), så att det lägsta tillståndet alltså är (111). Dess energi är 3E 0. Om vi beaktar, att varje elektron har två spinnriktningar, så kan vi alltså ha två elektroner i detta tillstånd. Det följande tillståndet (211) har energin 6E 0. Det är tredubbelt degenererat, eftersom tillstånden (121) och (112) också har samma energi. Genom att beakta elektronspinnet finner vi, att besättningstalet är 6 (sexfaldig degeneration). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 4

Det följande energitillståndet är (221) med energin 9E 0. Det har samma energi som (122) och (212), varför degenerationen också här är sexfaldig, då spinnet beaktas. På detta sätt kan vi fortsätta att fylla upp energitillstånden. Om vi t.ex. antar, att vi har en elektrongas med 40 elektroner, så kan vi fylla alla energinivåer mellan 3E 0 och 17E 0 enligt tabellen nedan: Tillstånd Energi Besättning Återstod (1 1 1) 3E 0 2 38 (2 1 1) 6E 0 6 32 (2 2 1) 9E 0 6 26 (3 1 1) 11E 0 6 20 (2 2 2) 12E 0 2 18 (3 2 1) 14E 0 12 6 (3 2 2) 17E 0 6 0 Detta resultat är mycket olika det klassiska resultatet för T = 0. I detta fall är medelenergin för en elektron 3 2kT = 0, så att alla 40 elektroner har energin 0. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 5

Energin för det högsta besatta tillståndet (17E 0 ) för en gas med 40 elektroner kallas Fermienergin E F för gasen vid 0 K. Energifördelningsfunktionen F (E) anger sannolikheten för att en energinivå är fylld, som funktion av energin. Om E < E F, så är F (E) = 1, och då E > E F, så är F (E) = 0 (se fig. 20.10, se nedan). Denna funktion, som kallas för Fermi Diracs fördelningsfunktion vid 0 K, kan tillämpas på alla fermionsystem och skiljer sig betydligt från Maxwell Boltzmanns fördelningsfunktion. En elektrongas med 40 elektroner visar hur Pauliprincipen bestämmer energifördelningen för ett system av elektroner i en tredimensionell låda (en Fermigas). Denna metod är givetvis inte särskilt användbar för en verklig ledare som innehåller omkring 10 28 elektroner per m 3. I nästa avsnitt skall vi se, hur Fermienergin beräknas i detta fall. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 6

4.4. Energifördelningen vid 0 K Vi skall först hitta på ett sätt att beräkna antalet energitillstånd för ett fermionsystem som funktion av energin. Vi kan göra detta genom att uttrycka tillstånden i avseende på ett tredimensionellt koordinatsystem, där kvanttalen n 1, n 2 och n 3 prickas in på koordinataxlarna (ett sådant fiktivt rum kallas n rum). Varje punkt i n rummet motsvarar då en viss kombination av de tre kvanttalen, dvs ett bestämt tillstånd (se fig. 20.11). Genom att rita in energitillstånden för den tredimensionella lådan i n rummet får vi ett tredimensionellt gitter med ett tillstånd per enhetsvolym. Energin för ett bestämt tillstånd (n 1, n 2, n 3 ) är då E n1,n 2,n 3 = E 0 (n 2 1 + n2 2 + n2 3 ) = E 0n 2, där n 2 = n 2 1 + n2 2 + n2 3 ; n är alltså avståndet från origo i n rummet. För tillståndet (111) t.ex. är detta avstånd n = 3. Kvadraten på avståndet n 2 är proportionell mot tillståndets energi. Degenererade tillstånd har därför samma avstånd från origo. Energitillstånden fylls ända till Ferminivån, E F, som är det högsta besatta tillståndet vid absoluta nollpunkten. I n rummet svarar detta mot ett visst värde n F, som beräknas ur ekvationen E F (0) = E 0 n 2 F. n F är alltså avståndet till origo från de yttersta besatta punkterna i n rummet, som därför alla ligger på ytan av en sfär med radien n F. Eftersom alla kvanttalen är positiva, så betraktar vi endast den positiva oktanten av sfären (se fig. 20.12, eller figuren nedan). Volymen av denna oktant är alltså 1 8 4 3 πn3 F = 1 6 πn3 F. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 7

Totala antalet elektroner i systemet (N) är därför lika med oktantens volym multiplicerad med antalet tillstånd per enhetsvolym av n rummet multiplicerat med antalet spinntillstånd i varje punkt. Eftersom det finns två spinntillstånd i varje punkt, och ett tillstånd per enhetsvolym, så blir totala antalet elektroner lika med N = 2 1 6 πn3 F = 1 3 πn3 F. Å andra sidan finns det N = n ea 3 elektroner i en tredimensionell låda med kantlängden a (n e är antalet elektroner per enhetsvolym i det kartesiska rummet). Vi finner således att N = n e a 3 = 1 3 πn3 F, eller alltså n F = 1/3. 3n ea 3 π Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 8

Om detta uttryck för n F substitueras i uttrycket för Fermienergin fås " 3ne a 3 # 2/3 E F (0) = E 0 n 2 F = E 0 π Om vi substituerar uttrycket för E 0 får vi E F (0) = 2 2m (3n eπ 2 ) 2/3 Trots att vi bara studerat elektroner i en lådpotential, är detta resultat mycket allmänt. Det kan tillämpas på vilket slag av fermioner som helst. För koppar är n e = 8.4 10 28 m 3. Om detta värde substitueras i ekvationen ovan, fås E F (0) 7 ev. Av uttrycket för de kvantiserade energinivåerna kan vi uppskatta avståndet mellan dem till E E 0 = 2 π 2 2ma 2 4 10 15 ev för en kopparkub med sidan 1 cm. Avståndet mellan energinivåerna är således femton dekader mindre än Fermienergin. Avståndet mellan energinivåerna är således så litet, att de inte kan skiljas från ett kontinuum. Man kan säga, att de bildar ett kvasi kontinuum. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 9

Då man beskriver elektronnivåerna i en ledare, är det därför opraktiskt att räkna upp enskilda energinivåer, utan istället definierar man en tillståndstäthetsfunktion g(e), som anger tillståndstätheten som funktion av energin. Antalet tillstånd mellan E och E + E är alltså g(e) E. Formen av funktionen g(e) kan härledas på följande sätt. Med hjälp av uttrycket för energin fås E = E 0 n 2 och E + E = E 0 (n + n) 2. Antalet tillstånd mellan n och n + n kan lätt beräknas, eftersom det svarar mot volymen som innesluts mellan två skal i oktanten med radierna n och n + n (se fig. 20.13). Vi får alltså 1 8 4πn2 n = 1 2 πn2 n. Eftersom varje tillstånd kan innehålla två elektroner med motsatta spinn, så är g(e) E = 2 1 2 πn2 n = πn 2 n. Av uttrycket för energin (E = E 0 n 2 ) följer n = p E/E 0. Då uttrycket deriveras i avseende på E, fås n = 1 1 E 2 = 1 E 2, E0 E EE0 och uttrycket för tillståndstäthetsfunktionen kan alltså skrivas g(e) E = πn 2 n = π E 1 E = C E E, E 0 EE0 2 där C = π 2E 3/2 0. Denna konstant kan uttryckas C = a3 (2m) 3/2 20.14 visar funktionen g(e) som en funktion av energin. 2 3 π 2 med hjälp av uttrycket för E 0. Fig. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 10

För att konvertera g(e) till en funktion av antalet elektroner per enhetsenergi vid en given energi, måste vi beakta sannolikheten för att ett tillstånd skall vara besatt. För detta behöver vi Fermi-Diracs fördelning F (E). Antalet elektroner med en energi mellan E och E + E kan då uttryckas N(E) E = g(e)f (E) E. Multiplikationen med Fermi-Diracs fördelning innebär helt enkelt, att distributionen skärs av vid Ferminivån E F (fig. 20.15, se nedan). Då vi känner N(E) kan vi beräkna medelvärdet av en (mätbar) storhet vid T = 0 K genom att integrera produkten av denna storhet och fördelningsfunktionen, som i detta fall är N(E)/N, där N är det totala antalet elektroner. För medelenergin av en elektron vid T = 0 K finner man på detta sätt E T =0 = 3 5 E F (se det räknade exemplet 20.4, s. 652). I följande avsnitt skall vi visa hur denna analys kan utvidgas till högre temperaturer. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 11

4.5. Energifördelningen för T > 0 K Då T > 0 K, så kan elektronerna hoppa till tillstånd som har högre energi än de tillstånd, som är besatta vid 0 K. Observera också, att värmeenergin vid rumstemperatur, kt = 0.025 ev, är betydligt mindre än Fermienergin för en metall, som enligt vad vi redan vet, är av storleksordningen några ev. Som en följd härav kommer endast de elektroner vilkas energier avviker mindre än kt från Fermienergin E F att ha högre, ofyllda energitillstånd, som de kan hoppa till. Ingen övergång kan ske om elektronens energi är lägre, eftersom tillstånd, som är högre i energi med beloppet kt, redan är fyllda. Endast en liten del (kt/e F ) av elektronerna i en ledare kan därför exciteras termiskt vid rumstemperatur. Fermi Diracs fördelningsfunktion för de besatta tillstånden då T > 0 K skiljer sig inte mycket från Fermi Diracs fördelningsfunktion vid 0 K. Sannolikheten för att en elektron kommer att ha energin E för en viss temperatur T är F (E) = 1 e (E E F )/kt + 1 som avbildas i fig. 20.17 (se också figuren nedan). Som vi ser, kommer denna funktion att reduceras till Fermi-Diracs funktion för 0 K, då T = 0 K. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 12

Om E E F kt (vilket nästan alltid gäller), så är F (E) 1. Fermi-Diracs distribution för T > 0 K skiljer sig markant från distributionen för T = 0 K endast för det fall, att energin skiljer sig från E F med mindre än kt. Om vi t.ex substituerar värdena E = E F kt och E = E F + kt i Fermi Diracs funktion, så får vi F (E F kt ) = 1/(e 1 + 1) = e(1 + e) 1 0.731, respektive F (E F + kt ) = 1/(e +1 + 1) = (1 + e) 1 0.269. I det förra avsnittet definierades Fermienergin E F som energin för det högsta besatta tillståndet vid 0 K. I det allmänna fallet (T > 0 K) definieras E F som den energi, där sannolikheten att ett tillstånd skall vara besatt är 50 %. Om vi substituerar F (E) = 1 2 i Fermi-Diracs fördelningsfunktion för T > 0 K fås E = E F, vilket överensstämmer med det värde som ges av definitionen för Fermienergin vid 0 K. I följande avsnitt skall vi visa, hur den kvantmekaniska fria elektronmodellen kan användas för att förklara elektronernas värmekapacitet och ledningsförmåga. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 13

4.6. Värmekapacitet och ledningsförmåga Tidigare har vi konstaterat, att endast en liten del av elektronerna (kt/e F ) kan exciteras termiskt. Detta skiljer sig från den klassiska modellen, där alla elektroner når termisk energi. Elektronernas förmåga att absorbera värmeenergi är alltså starkt reducerad i den kvantmekaniska modellen. Den kvantmekaniska molära värmekapaciteten kan uppskattas helt enkelt genom att multiplicera det klassiska värdet 3 2 R med faktorn kt/e F : c V m 3 kt R 2 E F En noggrannare beräkning visar, att konstanten 3/2 bör utbytas mot π 2 /2. Genom att substituera ett typiskt värde av Fermienergin fås ett teoretiskt värde som stämmer väl överens med det experimentella värdet av värmekapaciteten (c V m 10 4 RT ). Fastän Pauliprincipen förhindrar de flesta fria elektronerna i en ledare från att absorbera termisk energi, kommer den dock inte att hindra alla fria elektroner från att påverkas av ett yttre elfält. Låt oss se vad som händer med elektronernas hastighetsfördelning då elfältet kopplas på. Vi kan uttrycka tillståndstätheten g(e) E = C E E med hjälp av hastigheten genom att substituera E = 1 2 mv2 och E = mv v: G(v) v v 2 v Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 14

Hastighetsfördelningen G(v x ) för hastighetens x komponent har avbildats i fig. 20.18 (se bilden nedan). Observera, att hastighetstillstånden inom intervallet [ v F, +v F ], där v F = p 2E F /m är Fermihastigheten är besatta. Då det elektriska fältet börjar verka, får alla elektronerna en drifthastighet i +v x riktningen v d = eeτ/m. Om E har riktningen v x, så är v d i riktningen +v x och hela hastighetsfördelningen flyttar sig i riktningen +v x. Då elektroner övergår från de högre besatta tillstånden i närheten av Ferminivån till obesatta tillstånd, kommer det elektriska fältet att alstra hål i precis den takt som behövs för att ge plats åt de elektroner som exciteras från lägre besatta tillstånd. Det betyder att det alltid finns ett håltillstånd, som är redo att ta emot en elektron som byter tillstånd på grund av elfältets inverkan. På grund av denna excitationsprocess kommer spridningstiden τ att bestämmas av Fermihastigheten v F, istället för v rms, som gäller enligt den klassiska modellen. För koppar, som har E F 7 ev, får vi v F = 1.56 10 6 m/s, som är ungefär 13 gånger större än v rms vid rumstemperatur (som tidigare uppskattades till 1.2 10 5 m/s). Den kvantmekaniska beskrivningen av ledningsförmågan ger samma resultat som den klassiska, med undantag av att v rms ersätts med v F i uttrycket för den fria medelväglängden, som därför blir l = v F τ. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 15

Med hjälp av värdet 2.5 10 14 s på τ, som tidigare härleddes från den uppmätta ledningsförmågan för koppar, får vi värdet 39 nm för den fria medelväglängden för koppar. Detta värde är omkring tio gånger större än det klassiska värdet, och är således ännu större än avståndet mellan atomerna i kopparmetallen (0.209 nm). Detta innebär, att elektronerna inte sprids mot varje jon i kristallgittret, vilket vi kan förstå, om vi beräknar de Broglie våglängden λ F för en elektron på Ferminivån. Vi får då λ F = h/p F = h/(mv F ) = 0.465 nm. Elektronens våglängd λ F > 2d, så att Braggvillkoret 2d sin θ = nλ inte kan uppfyllas för något värde av infallsvinkeln. Elektronerna kan alltså inte spridas av kristallgittret. I själva verket sprids de pga gitterfel (defekter) och jonvibrationer i gittret. I ett idealiskt gitter, där jonerna kan uppfattas som punktformiga partiklar, är tvärsnittsytan av de svängande jonerna i medeltal πa 2, där A är vibrationsamplituden (se fig. 20.19). Ju större tvärsnittsytan är, desto större är sannolikheten för spridning, och desto mindre är den fria medelväglängden. Således är l 1 πa2. I samband med den klassiska harmoniska oscillatorn (avsn. 5.10, s. 98) bevisades, att vibrationsenergin är proportionell mot kvadraten på amplituden (A 2 ). Av den kinetiska teorin för fasta kroppar (s. 300) följer å andra sidan, att vibrationsenergin för en atom eller molekyl i en fast kropp är proportionell mot den absoluta temperaturen T, varför A 2 T (se diskussionen nere på s. 300). Vi får alltså τ l 1 πa 2 1 T. Av det klassiska uttrycket för ledningsförmågan, som härleddes på s. 622, följer då att den elektriska ledningsförmågan också är omvänt proportionell mot T. Detta förklarar det experimentellt observerade temperaturberoendet. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 16

4.7. Bandmodellen för fasta ämnen Vid beskrivningen av vätemolekylens bindningsmekanism visade vi, att systemets totala potentialenergikurva delas upp på två kurvor, beroende på elektronernas relativa spinnriktningar, då de två väteatomerna närmar sig varandra. Detta argument kan lätt utvidgas till flere atomer. Då N atomer kommer i närheten av varandra, kommer varje energinivå att spjälkas upp på N energinivåer. Detta visas i fig. 20.20 för ett system med fem väteatomer på en rät linje. En kubikcentimeter av ett typiskt fast ämne innehåller ca 10 22 atomer, så vi förstår därför att de atomära energinivåerna i ett fast ämne kommer att delas på ett oerhört antal nivåer. Resultatet är ett energiband, där nivåerna ligger så tätt, att de verkar att bilda ett kontinuum. Fig. 20.21 visar en jämförelse mellan energinivåerna i natriumatomen och natriummetallen. Som vi ser, åtskiljs banden av energigap, som kallas förbjudna energiband. Det finns inga tillåtna energinivåer i dessa band. I ett fast ämne vid 0 K, fyller elektronerna ut alla de lägsta energitillstånden. De lägre energibanden är därför fullkomligt fyllda eller partiellt fyllda, beroende på antalet elektroner i systemet, och hur många energitillstånd som är tillgängliga. Det högsta energibandet som innehåller elektroner kallas för valensbandet. Om detta band är partiellt fyllt, kallas det också ledningsbandet, eftersom elektronerna i detta band då bidrar till ledningen. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 17

Huruvida en fast kropp uppträder som en ledare, halvledare eller en isolator beror på, om det översta bandet är helt fyllt, eller endast partiellt fyllt. Om det är helt fyllt, inverkar energigapet mellan valensbandet och ledningsbandet. I allmänhet kan ofyllda band fungera som ledningsband, ifall elektroner uppflyttas från valensbandet. Fast en elektron i en metall inte är bunden till någon särskild atom, kommer den att utsättas för en attraktiv kraft, då den passerar förbi en jon. Nettoeffekten av växelverkan mellan jonerna och elektronerna som rör sig i metallen är en periodisk potentialenergi, som avbildas i fig. 20.22 (Kronig Penney modellen (1930)). Klassiskt kommer en elektron, som utsätts för en sådan potential, att öka sin hastighet då den närmar sig en jon, och minska sin hastighet då den passerat den. Då vi tolkar elektronen som en våg, visar det sig, att det finns vissa värden av de Broglie våglängden för vilka denna rörelse inte är möjlig. De kommer därför att svara mot de förbjudna energibanden. Om en elektron däremot har en liten rörelsemängd, och således en lång våglängd, så kommer den att röra sig som en fri partikel. Detta är en följd av det faktum, att vågor inte blir störda av hinder, som är små i förhållande till våglängden. I en ledare är det översta bandet endast delvis fyllt (i natrium endast halvfullt). Fermienergin befinner sig därför i mitten av detta band. Då ledaren utsätts för ett elfält, kommer elektronerna att reagera (dvs uppta kinetisk energi) genom att flytta till högre exciterade tillstånd i samma band på det sätt, som nyss beskrivits. Observera, att trots att energinivåerna inte är kontinuerligt fördelade mellan noll och Ferminivån, såsom i den fria elektronmodellen, så kommer Pauliprincipen att sköta om att endast elektroner som har Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 18

en energi nära Fermienergin kommer att inverka på ledningsförmågan, såsom vi konstaterade i föregående avsnitt. Vad anbelangar ledningselektronerna, så motsvarar energibanden i fig. 20.23 kvasikontinuet i den fria elektronmodellen. I en isolator är valensbandet fullständigt fyllt (fig. 20.24) och gapet mellan valensbandet och följande tomma band är mycket stort (6 ev i diamantkristallen). Denna energi är betydligt större än den extra kinetiska energi, som en elektron kan erhålla genom ett yttre elfält. Detta förklarar varför elektronerna i en isolator inte kan transportera elström. I en halvledare är valensbandet också fullständigt fyllt, men gapet mellan valensbandet och det närmaste högre bandet är vanligen endast omkring 1 ev. Då T > 0 K kan några av valenselektronerna därför få tillräckligt med termisk energi för att kunna övergå till ledningsbandet, och transportera elektriska laddningar som i en ledare. Dessa elektroner kallas ofta n bärare (negativt laddade bärare). Observera, att en halvledare kan transportera en elström både i valensbandet och ledningsbandet, eftersom elektroner, som flyttar till ledningsbandet, efterlämnar hål i valensbandet. Ett hål i ett band anger, att en elektron fattas. En sådan negativ laddning som fattas, kan också uppfattas som en positiv laddning. Ett hål rör sig genom en halvledare på följande sätt. Då ett hål fylls ut av en närbelägen elektron, kommer ett hål att uppstå på elektronens tidigare plats. Det nya hålet fylls igen av en annan elektron, etc. Då elektronerna i valensbandet rör sig genom att hoppa från hål till hål, så kommer hålet samtidigt att förflytta sig i motsatt riktning. Den uppkomna hålströmmen kallas därför p bärare Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 19

(positivt laddade bärare). Processen kan jämföras med strömmen av luftbubblor i en vätska. En luftbubbla kan uppfattas som ett hål i vätskan, så att när vätskan rör sig nedåt för att fylla ut hålen, så rör sig hålen i motsatt riktning (uppåt). Ledningsförmågan i en halvledare ökar med temperaturen, på grund av att flere elektroner exciteras upp från valensbandet till ledningsbandet. Därvid uppstår hål i valensbandet, och halvledaren kan transportera mera ström både i ledningsbandet och valensbandet. Halvledarens ledningsförmåga kommer därför att växa med ökande temperatur, i motsats till en ledare, vars ledningsförmåga minskar med ökande temperatur, till följd av gittervibrationerna. I en halvledare har ökningen av ledningsförmågan på grund av elektronernas excitation större betydelse än minskningen i ledningsförmågan, som åstadkoms av gittervibrationerna. Ledningsförmågan för en halvledare kan förändras kraftigt om energin får ett tillskott, t.ex. genom uppvärmning, eller genom att man utsätter halvledaren för en ström av fotoner eller energirika partiklar. Halvledaren beter sig också annorlunda om man tillför den föroreningar. Av dessa orsaker är halvledare ytterst viktiga i elektroniken. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 20

4.8. Halvledare Som framgår av fig. 20.27, kan energigapet i en halvledare uttryckas E g = E c E v, där E c är den lägsta energin i ledningsbandet och E v den högsta energin i valensbandet. Vid absoluta nollpunkten är det högsta besatta energitillståndet i toppen av valensbandet, så att Fermienergin E F = E v. Då T > 0 K är Fermienergins definition inte lika självklar. Energin för det högsta besatta tillståndet verkar att befinna sig mellan E c och E v, men det finns inga tillåtna energinivåer i gapet. Vi skall se, hur man kan definiera E F i detta fall. En intrinsisk halvledare är ett fast ämne som är en ren halvledare (utan föroreningar och defekter), där varje valenselektron som flyttar till ledningsbandet lämnar efter sig ett hål i valensbandet. Antalet elektroner i ledningsbandet kommer därför att vara lika stort som antalet hål i valensbandet, dvs antalet elektroner vilkas energier är nära E c kommer att vara lika stort som antalet hål med energier nära E v. Vi kan uttrycka detta förhållande med hjälp av Fermi Diracs funktion genom att sätta F (E c ), som är sannolikheten för att en elektron i ledningsbandet skall ha en energi nära E c, lika med 1 F (E v ), sannolikheten att inte finna en elektron i valensbandet med en energi nära E v. Vi får alltså ekvationen 1 e (E c E F )/kt + 1 = 1 1 e (E v E F )/kt + 1 Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 21

Lösningen till denna ekvation är E F = 1 2 (E c + E v ), som man kan visa direkt, eller genom substitution. I en intrinsisk halvledare ligger alltså Fermienergin mitt i energigapet (se fig. 20.28). Den icke relativistiska energin för en fri elektron, uttryckt som funktion av rörelsemängden är en parabel: E = p 2 /(2m). I en halvledare beror inte elektronens energi av rörelsemängden på samma sätt, eftersom elektronerna växelverkar med gittrets joner (se fig. 20.30). Energin kan då uttryckas med ekvationen p2 E = E 0 + 2m, där m kallas elektronens effektiva massa, och E 0 är dess minimienergi, nämligen den minsta energi, som elektronen kan ha i ledningsbandet (E c ). Den effektiva massan kan definieras genom relationen m = F/a, där F betecknar den yttre kraften som verkar på elektronen, och a är den acceleration som alstras av den yttre kraften och växelverkan med gittrets joner. Vanligen är m < m, såsom t.ex. för galliumarsenid (GaAs), där m /m 0.067. Växelverkan mellan hålen i valensbandet och gittrets joner är annorlunda än växelverkan mellan elektronerna i ledningsbandet och jonerna i gittret. Därför får den effektiva massan ett annat värde för hålen, än för elektronerna. För hål är E 0 = E v, hålets minimienergi (se fig. 20.31, eller bilden nedan). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 22

Genom en process, som kallas dopning, kan man införa extra laddningsbärare (föroreningar) i en halvledare. En dopad halvledare kallas också extrinsisk halvledare. Som ett exempel skall vi betrakta dopning av en germaniumkristall med arsenikatomer. Enligt tabell 19.2 (s. 604) har en germaniumatom fyra valenselektroner (4s 2 4p 2 ), medan arsenik har fem valenselektroner (4s 2 4p 3 ). Varje arsenikatom medför därför en extra elektron till germaniumkristallen; den är en donator. Denna materialtyp kallas därför en halvledare av n typ. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 23

Den extra elektronen är endast svagt bunden till arsenikjonen, vilket vi kan förstå om vi jämför dess bindningsenergi med bindningsenergin för en typisk atom. Enligt Bohrs modell är bindningsenergin för väte E = me4. 32π 2 2 ɛ 2 0 Om vi tillägger en elektron till germaniumgittret, kommer energin därför att minska, eftersom m avtar till m. Dessutom kommer elektronens banradie (r = 4π 2 ɛ 0 e 2 m n2 ) att växa, då m minskar. Eftersom elektronerna passerar genom germaniumatomerna, så kommer den elektriska permittiviteten ɛ = ɛ r ɛ 0 att öka, och detta reducerar också bindningsenergin ytterligare. Det förefaller därför som om de extra, svagt bundna elektronerna besätter extra energinivåer, kallade donatornivåer, med energin E d strax under ledningsbandet E c (fig. 20.32). De extra elektronerna befinner sig mindre än kt från ledningsbandet, så att de kan lätt exciteras termiskt till ledningsbandet vid rumstemperatur (se fig. 20.32b, där T > 0 K). Det är också möjligt att alstra hål i valensbandet genom att lägga till föroreningar med ett mindre antal elektroner i det yttersta skalet än vad gitteratomerna har. Dessa kallas för acceptor föroreningar. Bor har t.ex. tre valenselektroner 2s 2 2p, och medför ytterligare hål till en germaniumkristall. Därvid alstras en halvledare av p typ. Slutresultatet är att extra obesatta energinivåer (acceptornivåer) med energin E a uppkommer strax ovanför E v (se fig. 20.33). Elektroner från valensbandet exciteras lätt till dessa Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 24

acceptornivåer vid rumstemperatur, och lämnar efter sig hål i valensbandet, som fungerar som p bärare av laddning. Fermienergins läge i en extrinsisk halvledare beror på de relativa tätheterna för laddningsbärare av p och n typ. Dessa tätheter är inte längre lika stora som de var i intrinsiska halvledare. I en halvledare av n typ ligger E F strax under E c, dvs högre än i en intrinsisk halvledare. I en halvledare av p typ är E F däremot lägre, strax ovanför E v. En halvledare kan absorbera en foton endast om fotonen har tillräckligt med energi för att excitera en elektron från valensbandet (eller från en acceptor eller donator nivå, om det är fråga om en extrinsisk halvledare) till en obesatt nivå i ledningsbandet. Fotonens frekvens f måste således uppfylla villkoret hf > E g, där E g betecknar energigapet mellan valensbandet (eller en acceptor eller donatornivå, om det är fråga om en extrinsisk halvledare) och ledningsbandet. Om hf < E g, så kan fotonen inte absorberas på detta sätt, och passerar då igenom halvledaren. Halvledaren är därför genomskinlig för sådana frekvenser. Då en halvledare utsätts för fotoner med energin hf > E g, så kommer ett ökat antal laddningsbärare av n och p typ att alstras, vilket leder till ökad ledningsförmåga. Halvledare kan därför användas som fotodetektorer, apparater som t.ex. mäter ljusintensiteten i en kameras exponeringsmätare, eller kopplar på belysningen i skymningen och av vid gryningen. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2007 25