Kort repetition av basbyte, nu med modern teknologi

KAPITEL 9 Kort repetition av basbyte, nu med modern teknologi Vi kommer i detta kapitel att diskutera vektorer i planet och i rummet. När vi har valt en fix bas B u = (e 1,e 2,e 3 ) i t ex rummet kan vi identifiera en vektor v = x 1 e 1,+x 2 e 2 + x 3 e 3 med sin koordinatvektor (x 1,x 2,x 3 ), och då säger vi ofta vektorn i R 3 som har koordinater (x 1,x 2,x 3 ) i standardbasen, eller t o m vektorn (x 1,x 2,x 3 ) R 3. Allt för att göra notationen mindre tung. 1. Basbyte Redan tidigare har vi funnit att samma vektor oftast har olika koordinater i olika baser. Vilken bas man vill arbeta i beror i stort sett på vilken problemformulering man använder. I ett lämpligt val av basen kan uppgiften förenklas betydligt. Låt oss bara reflektera ett ögonblick över några exempel på detta. Om jag ska beskriva en flugas rörelse här i rummet så tar jag kanske ett koordinatsystem där origo är en punkt i rummet och jag har ett ON-system parallellt med väggarna säg. Men det koordinatsystemet är uppenbart idiotiskt att använda, om jag ska beskriva jordens rörelse kring solen. För det ändamålet bör jag väl ta ett koordinatsystem med origo i solens mitt, och med basvektorer som bildar ett ON-system, fixt visavi stjärnorna. Läsaren kan hitta på andra egna favoritexempel. Detta var exempel från tillämpningarna, men vi ska se att det finns många fler rent matematiska exempel. Om man nu vill syssla med flera av dessa koordinatssystem samtidigt, som t ex (mjukvaran i) en satellit måste göra, som å ena sidan använder ett lokalt koordinatsystem för att hålla reda på vad som är höger, vänster, eller framåt kamera, och å andra sidan orienterar sig med ett annat koordinatsystem efter stjärnorna och för det tredje fotograferar jorden och ska kunna tala om att den just nu fotograferar en misstänkt skräpig gårdsplan i Lundaskog i ett tredje koordinatssystem. Ja hur gör den då? Jo, den använder basbyte, som vi nu kommer att visa i stort sett bara innebär multiplikation med en lämpligt vald matris. Exempel 74. I basen B u = (u 1,u 2 ) i planet har vektorn w koordinater w Bu = (a,b). Vektorerna v 1 = 2u 1 u 2 och v 2 = u 1 + 3u 2 är också en bas. Det kan vi se genom att räkna ut areafunktionen av de två nya vektorerna i termer av de 93

94 9. BASBYTESREPETITION gamla (som ju spände upp ett parallellogram med area skild från 0) 2 1 A(v 1,v 2 ) = det A(u 1 3 1,u 2 ) = A(u 1,u 2 ) 0. Alltså utgör de en ny bas B v = (v 1,v 2 ) i planet. Vilka koordinater har w i basen B v? Vi byter alltså basen från den gamla basen B u till den nya basen B v. Lösning: Om vi löser ut u 1 och u 2 ur ekvationssystemet { v 1 = 2u 1 u 2 ( 2) v 2 = u 1 +3u 2 så får vi { u 1 = 3 v 1 + 1 v 2 u 2 = 1 v 1 + 2 v 2 ( 3) Insättning av detta i sambandet w = au 1 +bu 2 ger då w = a( 3 v 1 + 1 v 2)+b( 1 v 1 + 2 v 2) = 3a+b Koordinater för w i basen B v är därmed w Bv = ( 3a+b v 1 + a+2b v 2., a+2b ). Som kolonnvektor (kolonnmatris) kan koordinaterna för w i basen B v skrivas som ( 3a+b ) ( 3 a+2b = a+ 1b ) ( 3 ) 1 1 a+ 2b = a 1 2. )( b Observera att kolonnerna i matrisen A = ( 3 1 1 2 ) inte är något annat än koordinaterna för basvektorerna i den gamla basen B u uttryckta i den nya basen B v, enligt sambandet ( 3). Första kolonnen är koordinaterna för första basvektorn, andra kolonnen är koordinaterna för andra basvektorn. Det kommer att vara sant i allmänhet, som vi strax ska se. Det är också lätt här att räkna ut att deta 0, och alltså är matrisen A inverterbar, något som alltid kommer att vara sant för en matris som bekriver ett basbyte på detta sätt. Exempel 7. Antag nu att en vektor z har koordinaterna (α,β) i basen B v från förra exemplet. Vilka koordinater har z i basen B u? Lösning: Insättning av sambandet ( 2) i z = αv 1 +βv 2 medför att z = α(2u 1 u 2 )+β( u 1 +3u 2 ) = (2α β)u 1 +( α+3β)u 2. I kolonnform kan därmed koordinaterna skrivas som

2α β = α+3β Låt oss med B beteckna matrisen B = 1. BASBYTE 9 ( 2 1 α. 1 3 β) 2 1. 1 3 Som vi såg i de två exemplena så kan byte av bas uttryckas som multiplikation med en lämplig matris. Matrisen A i det förra exemplet och matrisen B kallas då för basbytesmatriser. A är basbytesmatris från basen B u till B v, medan B är basbytesmatris från basen B v till B u. Man kan förstås undra vilket samband det finns, om något, mellan matriserna A och B. Det är lätt att kontrollera att BA = AB = E, alltså B = A 1. Detta bör med lite eftertanke inte vara någon överraskning då den ena byter basen från B u till B v medan den andra byter tillbaka. Som matrismultiplikation kan detta skrivas som B(Aw) = (BA)w = Ew = w (där w framställs som kolonnmatris). Därmed ser vi speciellt att basbytesmatriser alltid är inverterbara. Vi sammanfattar exemplen och diskussionen ovan i en sats, som formuleras i rummet snarare än bara för planet. Sats 21. Antag att vi har två baser i rummet: B u = (u 1,u 2,u 3 ) och B v = (v 1,v 2,v 3 ). Då finns det en inverterbar matris A sådan att w Bv = Aw Bu, där vektorerna w Bu och w Bv är skrivna som kolonnvektorer. Kolonnerna i matrisen A, som kallas för basbytesmatrisen från B u till B v, utgörs av koordinater för vektorerna i basen B u uttryckta i basen B v. Bevis. Låt oss uttrycka vektorerna u 1,u 2,u 3 i basen B v : u 1 = a 1 v 1 +a 2 v 2 +a 3 v 3, u 2 = b 1 v 1 +b 2 v 2 +b 3 v 3 och u 3 = c 1 v 1 +c 2 v 2 +c 3 v 3. Om w Bu = (α,β,γ), dvs. w Bu = αu 1 +βu 2 +γu 3, så är w Bu = α(a 1 v 1 +a 2 v 2 +a 3 v 3 )+β(b 1 v 1 +b 2 v 2 +b 3 v 3 )+γ(c 1 v 1 +c 2 v 2 +c 3 v 3 ) = (αa 1 +βb 1 +γc 1 )v 1 +(αa 2 +βb 2 +γc 2 )v 2 +(αa 3 +βb 3 +γc 3 )v 3. Med andra ord är w Bv = (αa 1 +βb 1 +γc 1,αa 2 +βb 2 +γc 2,αa 3 +βb 3 +γc 3 ), eller som kolonnvektor

96 9. BASBYTESREPETITION αa 1 +βb 1 +γc 1 αa 2 +βb 2 +γc 2 = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 α β. αa 3 +βb 3 +γc 3 a 3 b 3 c 3 γ Matrisen A = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 är den sökta basbytesmatrisen från basen B u till B v. Basbytesmatriser är inverterbara, och vi kan explicit konstruera deras invers: som beskrevs alldeles nyss, är den basbytesmatrisen åt andra hållet, från basen B v till B u. Vi formulerar först vad som händer om vi, lite veligt eller konsumtionspräglat kanske, fortsätter, att byta och byta baser... Korollarium 1. a) Antag att vi har tre baser, B u, B v och B w. Om A är basbytesmatris från basen B u till B v och B är basbytesmatris från basen B v till B w så är BA basbytesmatris från B u till B w. b) Om A är basbytesmatris från basen B u till B v så är A 1 basbytesmatris från basen B v till B u. Bevis. a) Om z Bv = Az Bu och z Bw = Bz Bv så är z Bw = B(Az Bu ) = (BA)z Bu. Det betyder att BA spelar samma roll som basbytesmatrisen från B u till B w gör i föregående sats. Detta innebär att det handlar om precis samma matris, dvs att BA är lika med basbytesmatrisen från B u till B w. b) Låt B vara basbytesmatrisen motsatt A, alltså från B v till B u. Enligt a) är då BA basbytesmatris från B u till B u. Men det handlar alltså om att se sambandet mellan koordinater i samma bas, d v s sambandet z Bu = (BA)z Bu. Låter vi z = u 1 får vi att z Bu = (1,0,0) t. T v i sambandet ovan står då (1,0,0) t, som är första kolonnen i enhetsmatrisen och till höger första kolonnen i BA. Dessa är alltså lika, och genom att titta på de två andra basvektorerna får vi att E och BA har precis samma kolonner, och alltså är lika. På samma sätt får man AB = E. Alltså är B = A 1. Exempel 76. Vektorerna u 1,u 2,v 1,v 2 har koordinater (3,1),( 2,0),(1,1) och (1, 1) i en bas B i planet. Eftersom u 1,u 2 är en bas och v 1,v 2 också är en bas, har vi två baser i planet, skilda från standardbasen, B u och B v. Bestäm basbytesmatrisen A mellan B u och B v samt basbytesmatrisen B mellan B v och B u.

1. BASBYTE 97 Lösning: Kolonnerna i A utgörs av koefficienterna för vektorerna u 1,u 2 i basen { x z u 1 = xv 1 +yv 2 B v, dvs. A =, där. y t u 2 = zv 1 +tv 2 ( ( ( 3 1 1 För u 1 ser vi att = x +y, vilket ger x = 2 och y = 1. För u 1) 1) 1) 2 ( 2 1 1 2 1 får vi = z +t, vilket ger z = t = 1. Därmed är A =. 0 1) 1 1 1 1 1 Matrisen B är inversen till A alltså, efter uträkning, B =. 1 2 Ett annat, smartare sätt att lösa uppgiften i exemplet ovan är följande. Observera att ekvationerna ( 3 1 1 = x +y 1 1) 1 och kan skrivas som ( 2 1 1 = z +t 0 1) 1 ( 1 1 x 3 = 1 1)( y 1) och 1 1 z = 1 1)( t 2. 0 Detta kan vidare sammanfattas som en enda matrisprodukt: 1 1 x z 3 2 = ( 4) 1 1 y t 1 0 1 1 Kolonnerna i C = utgörs av vektorerna v 1 1 1,v 2 medan kolonnerna i 3 2 D = utgör av vektorerna u 1 0 1,u 2. Eftersom matrisen C är inverterbar (determinanten är 2 ( 0) så finns ) den 1/2 1/2 inversa matrisen och vi kan t o m beräkna den enkelt: C 1 =. Från 1/2 1/2 sambandet (*4) får vi därmed att x z 1/2 1/2 3 2 2 1 A = = C y t 1 D = =. 1/2 1/2 1 0 1 1

98 9. BASBYTESREPETITION Samma resonemang fungerar förstås också i rummet och vi kan sammanfatta detta på följande sätt: Basbytesmatrisen A från basen B u till basen B v kan fås som A = C 1 D, där kolonnerna i C utgörs av vektorerna i B v medan kolonnerna i D utgörs av vektorerna i B u. Använd nu samma metod för att lösa följande uppgift: Övning 1. Vektorernau 1,u 2,u 3,v 1,v 2,v 3 har koordinater(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1), (1,1, 1),(1, 1,1) och ( 1,1,1) i en bas B i rummet. (a) Verifiera att u 1,u 2,u 3 är en bas liksom v 1,v 2,v 3. De utgör alltså två nya baser, B u och B v, i rummet. (b) Bestäm basbytesmatrisen A mellan B u och B v samt basbytesmatrisen B mellan B v och B u. 1.1. Övergång till en ON-bas. Antag att B u = (u 1,u 2,u 3 ) är en godtycklig bas i rummet medan B v = (v 1,v 2,v 3 ) är en ON-bas. Basbytesmatrisen till ONbasen B v är särskilt enkel att bestämma eftersom, enligt en sats i avsnittet om skalärprodukter, har vi u 1 = (v 1 u 1 )v 1 +(v 2 u 1 )v 2 +(v 3 u 1 )v 3, och likadant för u 2 och u 3. Basbytesmatrisen är därmed A = v 1 u 1 v 1 u 2 v 1 u 3 v 2 u 1 v 2 u 2 v 2 u 3. v 3 u 1 v 3 u 2 v 3 u 3 Övning 2. Vektorerna v 1,v 2,v 3 har koordinater ( och (0,0,1) i standardbasen i rummet. (a) Visa att B v = (v 1,v 2,v 3 ) är en ON-bas. 2 2 2 2 2, 2,0), ( 2, 2,0) (b) Vektorerna u 1 = (1,1,2),u 2 = (1,2,1) och u 3 = (2,1,1) utgör en annan bas, B u, i rummet. Bestäm sambandet mellan koordinaterna z Bv och z Bu för en godtycklig vektor z i rummet.

1. BASBYTE 99 1.2. Ortogonala matriser. En kvadratisk matris A kallas för ortogonal om AA t = A t A = E. Detta innebär att A är inverterbar och A 1 = A t. Vi ska strax visa att ortogonala matriser inte bara är algebraiska leksaker utan att de är precis basbytesmatriser mellan ON-system, och därför centrala i många användningar av lineär algebra. Enhetsmatrisen ( är ) förstås ortogonal och ett annat viktigt exempel är matrisen cosα sinα A = (kontrollera att A sinα cosα 1 = A t!) Observera att det är enkelt att räkna ut inversen till en ortogonal matris det är ju bara att byta rader mot kolonner, inga räkningar alls behövs. Vi sjunker ännu djupare ner i ON-basernas bekväma förstaklassfåtöljer... Lyssna bara: Sats 22. Givet en ON-bas. Kolonnerna i en given matris kan betraktas som koordinater för vissa vektorer, kallade kolonnvektorer i denna bas. Om vi har en ortogonal matris A så är kolonnvektorerna parvis ortogonala och har längd 1. Samma egenskap har radvektorerna i A. Det betyder speciellt att kolonnvektorerna också är en ON-bas. Bevis. Antag att A = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 är en ortogonal matris. Vi vill visa att a 3 b 3 c 3 skalärprodukten av en kolonn med sig själv är lika med 1 medan skalärprodukten mellan två olika kolonner är 0. Eftersom A är ortogonal (alltså A t A = E) och A t = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 så är c 1 c 2 c 3 A t A = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 = 1 0 0 0 1 0 = E. c 1 c 2 c 3 a 3 b 3 c 3 0 0 1 Räknar vi ut produkten mellan matriserna i mitten följer det att a 2 1+a 2 2+a 2 3 = 1, a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 = 0, a 1 c 1 +a 2 c 2 +a 3 c 3 = 0, osv. Det är precis det som vi ville visa. Från likheten AA t = E kan vi dra liknade slutsats för raderna i A. Övning 3. (a) Antag att matrisen A är ortogonal. Vilka värden kan determinanten det A antaga? (b) Visa att produkten av ortogonala matriser av samma storlek också är en ortogonal matris.

2. EGENVÄRDEN OCH EGENVEKTORER 101 och de sökta koordinaterna är ( 3 2 1 2 1 2 3 2 ) ( 3 3 ) 3 1 = 2. 1 3+ 3 2 Observera att istället för vinkeln 30 kunde vi ha betraktat rotationen ( moturs med ) cosα sinα en godtycklig vinkel α och då skulle basbytesmatrisen varit A =. sinα cosα Övning 4 Om vi istället för att rotera basen i exemplet ovan håller basen fix och roterar vektorn u = (3, 1) med vinkeln 30 moturs, vilka koordinater får den erhållna vektorn? (Ledtråd: Uppgiften kan tänkas som att det är vektorn som är fix, men att basen roterar...) 2. Egenvärden och egenvektorer 2.0.1. Matriser som transformationer. Till varje kvadratisk matris hör en avbildning från R n till R n, definierad av att vektorn v R n med koordinatmatris X (betraktad som en kolonnmatris) går till ( w ) R n med koordinatmatris 1 20 AX. Till exempel så hör till matrisen A =, avbildningen (x,y) 3 300 (x + 20y,3x + 300y). Kalla denna avbildning F A : R n R n, och notera att det är en mycket snäll variant av en funktion. Den tar nämligen summor till summor, och lineärkombinationer till lineärkombinationer. Alltså F A (λv 1 +µv 2 ) = λf A (v 1 )+µf A (v 2 ), λ,µ R. Detta följer direkt från egenskapen hos matrismultiplikation att A(λX 1 +µx 2 ) = λax 1 +µax 2, där X 1 och X 2 är koordinatmatriser till v 1 och v 2. Avbildningar med den egenskapen kallas ibland lineära transformationer, eller, när som här, både argumentet och värdet av funktionen ligger i samma R n, för operatorer. Man kan rätt lätt visa att varje lineär transformation alltid ges av en matris på detta sätt, men vi ska inte fördjupa oss i detta. Vi nöjer oss med att upprepa den viktiga poängen att kvadratiska n n matriser beskriver vissa lineära operatorer på R n, och ska nu se hur detta kan användas för att förstå matriser. 2.0.2. Egenvektorer och egenvärden. Fixera en kvadratisk matris A. Antag att v är en vektor och λ ett tal sådana att funktionsvärdet F A (v) = λv är en multipel av argumentet. Då säger vi att v är en egenvektor till matrisen A (eller transformationen F A ) med egenvärdet λ.

102 9. BASBYTESREPETITION Exempel 78. Låt Då är alltså A = 3/ 4/. 3/ 1/ F A (x,y) = (1/)( 3x+4y,3x+y) en lineär transformation R 2 till R 2. Vi påstår att f 1 = (1,2) och f 2 = (2, 1) är egenvektorer med egenvärden 1 respektive 1. Det följer omedelbart genom uträkning: F A (f 1 ) = (1/)( 3 1+4 2,3 1+2) = (1,2) = f 1, och F A (f 2 ) = (1/)( 3 2+4 ( 1),3 2+( 1)) = ( 2,1) = f 2. Vi ska strax se hur man kan bestämma egenvektorer och egenvärden, och t ex visa att de egenvärden vi hittade i exemplet nyss är de enda egenvärdena för den matrisen, men först ska vi se varför begreppet är viktigt. 2.0.3. Vad har man för nytta av det? Vi fortsätter med matrisen A i exemplet i föregående delsektion. Om den lineära transformationen F A vet vi nu, dels att den är lineär, dels att det finns två vektorer f 1 = (1,2) och f 2 = (2, 1) på vilka effekten av transformationen är speciellt genomskinlig. Dessutom är dessa två vektorer en bas för alla vektorer i planet. Alltså kan vi skriva varje vektor v = x f 1 +y f 2 för några x,y R, och vi får sedan p g a lineariteten att F A (v) = F A (x f 1 +y f 2 ) = x F A (f 1 )+y F A (f 2 ) = x f 1 y f 2. Strikt matrissociologiskt sett, säger detta att matrisen A är typiskt missanpassad i standardbasen till R n! Som avbildning sett borde den mycket hellre leva i basen f = (f 1,f 2 ). I den basen så kan ju F A :s effekt uttryckas mycket enkelt: multiplicera första koordinaten med 1, och den andra med 1. Mer formellt kan detta skrivas som 1 0 [F A (v)] Bf = [v] 0 1 Bf. 1 0 (Vi säger att F A har matrisen i basen B 0 1 f ) Ur detta kan vi t o m förstå rent geometriskt vad F A egentligen är, d v s vad denna avbildning gör med en vektor v i planet. Notera nämligen att f 1 = (1,2) och f 2 = (2, 1) är vinkelräta mot varandra (kolla deras skalärprodukt) och att alltså uppdelningen v = x f 1 +y f 2 består, dels av vektorn x f 1 på linjen L genom origo med riktningsvektor f 1, dels av vektorn y f 2 längs normalen mot L. Vektorn F A (v) = x f 1 y f 2 = v 2(y f 2 ) är alltså precis spegelbilden av v i linjen L. (Rita figur!)

2. EGENVÄRDEN OCH EGENVEKTORER 103 Alltså är den geometriska innebörden av att multiplicera en vektors koordinater i standardbasen med A, den mycket begripligare operationen att spegla vektorn i L. För att sammanfatta exemplets moraliska innebörd: om det som här finns en bas av egenvektorer till A, kan vi få ett betydligt mer åskådligt grepp om F A. Det är orsaken till att man ofta analyserar matriser genom att leta efter egenvärden och egenvektorer. Vi illustrerar användbarheten med ytterligare ett exempel. Antag att vi har ett fysikaliskt tillstånd som beskrivs av en vektor v, t ex en lista över några arters biomassa. Vi gör något med tillståndet, t ex väntar precis ett år och får en ny lista biomassor. Vi antar att sambandet mellan de två tillstånden beskrivs lineärt av en matris A. Vårt nya tillstånd är alltså F A (v), där A är en matris, och i termer av koordinater har vi bara multiplicerat en koordinatkolonnvektor X(= [v] Be ) (i standardbasen Be ) med A och fått AX = [F(v)] Be. Om vi upprepar vad vi nyss gjorde med det nya tillståndet ett antal gånger får vi A 2 X, A 3 X o s v. Hur kan kan vi förutsäga vad som händer asymptotiskt? Jo, med hjälp av egenvärden, som i följande exempel. Exempel 79. Låt A vara som i föregående exempel och sätt B = (1/2)A(den sista matrisen svarar t ex mot att vi säljer hälften av all biomassa som hamburgare vid slutet av varje år). Om v är en vektor i planet, med kooordinatkolonnvektor X, existerar lim n A n X eller lim n B n X? Lösning: Att multiplicera en kolonnvektor X = [v] Be med A svarar mot att räkna ut kolonnvektorn till [F A (v)] Be. Notera sedan att A har egenvärden ±1 och B egenvärden ±(1/2). Låter vi X vara koordinatkolonnvektorn till f 2 ser vi att A n X = ( 1) n X eftersom F A (f 2 ) = f 2 ger att AX = X, A 2 X = A( X) = ( 1) 2 X o s v. Här existerar inget gränsvärde av A n X, som alternerar mellan ±X. Funktionsvärdena kommer på motsvarande sätt att alternera mellan ±f 2. Men om vi nu tittar på B istället ser vi på samma sätt att B n [f 1 ] Be = (1/2) n [f 1 ] Be och B n [f 2 ] Be = ( 1/2) n [f 2 ] Be, som bägge går mot 0 när n, vilket ger att lim n B n [v] Be = lim n B n (x [v] Be + y [v] Be ) = 0, för en godtycklig vektor v = x f 1 +y f 2. Att f 1 och f 2 var egenvektorer till B med egenvärden ±(1/2) var det som gjorde skillnaden. Som syntes i beräkningen förklarar det det olika asymptotiska beteendet hos de två matriserna A och B: till B finns en bas av egenvektorer med egenvärden som i absolutbelopp är strikt mindre än 1. 2.0.4. Basbyte och diagonalisering. Den lineära transformationen F = F A definierades nyss med hjälp av standardbasen i R n, och då gavs sambandet mellan koordinaterna av en vektor v och F(v) av [F(v)] Be = A[v] Be.

104 9. BASBYTESREPETITION Vad händer om vi byter bas? Låt B f = (f 1,f 2,f 3 ) vara en bas. Vi vet att sambandet mellan koordinater i de två baserna ges av en basbytesmatris, B från B f till B e vars existensberättigande är att v Be = Bv Bf för en godtycklig vektor v. Kom ihåg att kolonnerna i B är koordinaterna för basvektorerna i B f uttryckta i B e, så att den är lätt att konstruera också. Sats 23. Låt B f = (f 1,f 2,f 3 ) vara en bas i R 3, och B basbytesmatrisen från B f till B e. Då gäller att [F(v)] Bf = B 1 AB[v] Bf. I ord uttryckt är alltså effekten av att gå från v till F(v) uttryckt i dessa två vektorers koordinater i basen B f detsamma som att multiplicera den förstas koordinater med den nya matrisen B 1 AB. Bevis. Ur sambandet [F(v)] Be = A[v] Be samt [v] Be = B[v] Bf, och [F(v)] Be = B[F(v)] Bf, får vi att B[F(v)] Bf = AB[v] Bf, så multiplikation med B 1 på bägge sidor ger satsen. Exempel 80. Vi återvänder till vårt gamla exempel med 3/ 4/ A =. 3/ 1/ Basbytet från basen B f = ((1,2),(2, 1)) till standardbasen, ges av basbytesmatrisen (med kolonnvektorer som är koordinaterna i standardbasen av baselementen i B f ) 1 2 B =. 2 1 I det föregående exemplet räknade vi ut att 1 0 [F(v)] Bf = [v] 0 1 Bf, och ur satsen får vi alltså att D = 1 0 = B 0 1 1 AB.

2. EGENVÄRDEN OCH EGENVEKTORER 10 Vi noterar att D i exemplet var en diagonalmatris och att det svarar mot att den nya basen bara bestod av egenvektorer. Elementen på diagonalen var precis egenvärdena. Generellt visar vi på samma sätt följande sats. Sats 24. Antag att A har en bas av egenvektorer f 1,f 2,f 3. Då gäller att det finns en inverterbar matris B, vars kolonner är koordinaterna av egenvektorerna i standardbasen, så att D = B 1 AB, är en diagonalmatris(vars diagonal består av egenvärdena). Att till en matris A hitta en inverterbar matris B så att B 1 AB är en diagonalmatris, kallas för att diagonalisera matrisen. 2.0.. Hur hittar man egenvärden och egenvektorer till en matris? Vi har två problem, att bestämma egenvärden och till vart och ett av dem hitta egenvektorer. Bägge kan vi lösa med våra verktyg: determinanter och Gauss-elimination. (Som varning bör nämnas, att det är inte alltid så att det finns vare sig egenvärden eller hel bas av egenvektorer. I så fall finns det ändå andra mer avancerade sätt att förenkla matrisen genom att byta bas.) Vi demonstrerar tekniken i ett exempel. Exempel 81. Diagonalisera 4 2 1 A = 3 1. 0 0 3 Sätt X = x y. Vi ska först hitta λ R så att det överhuvudtaget finns z icketriviala lösningar till AX = λx (A λe)x = 0. Detta svarar ju precis mot att hitta egenvärden. En sådan homogen ekvation har icke-triviala lösningar precis då det(a λe) = 0, så vi kan t ex räkna ut determinanten i vänsterledet som ett polynom i λ och sedan lösa ekvationen. Då får vi (t ex med Sarrus regel det(a λe) = λ 3 + 6λ 2 11λ + 6 och genom att gissa rationella rötter(eller mer seriöst, använda en dator) ser vi kvickt att λ = 1,2,3 är rötter. Låt oss sedan bestämma egenvektorer till dessa egenvärden. Fall 1 när λ = 1: då ska vi lösa (A λe)x = 0, eller ekvationssystemet 3x 2y z = 0 3x 2y z = 0 3z = 0 (1)

106 9. BASBYTESREPETITION Den sista ekvationen ger att z = 0, och stoppar vi in detta i de två andra ekvationerna ser vi att de reduceras till 1 ekvation, nämligen 3x 2y = 0. Denna ekvation har en parameterlösning, t ex alla (x,y,z) = t(2,3,0), t R. En egenvektor är alltså f 1 = (2,3,0) (och varje multipel av den). Vi fortsätter: Fall 2 när λ = 2: då ska vi lösa (A λe)x = 0, eller ekvationssystemet 2x 2y z = 0 3x 3y z = 0 z = 0 Den sista ekvationen ger att z = 0, och stoppar vi in detta i de två andra ekvationerna ser vi att de reduceras till en ekvation, nämligen x y = 0. Denna ekvation har en parameterlösning, t ex alla (x,y,z) = t(1,1,0), t R. En egenvektor är alltså f 2 = (1,1,0) (och varje multipel av den). Vi får nästan lika enkla räkningar i det tredje fallet: λ = 3: då får vi ekvationssystemet x 2y z = 0 3x 4y z = 0 0 = 0 x 2y z = 0 2y 2z = 0 0 = 0 Som alltid, om vi verkligen har ett egenvärde, så har vi en parameterlösning. Den sista (icke-triviala) ekvationen ger att y = z = t, och sedan att x = 3t, och vi får en parameterlösning (x,y,z) = t(3,1,1), t R. En egenvektor är alltså f 3 = (3,1,1) (och varje multipel av den). Basbytesmatrisen har egenvektorerna som kolonner och vi får alltså 2 1 3 3 1 1 0 0 1 4 2 1 3 1 2 1 3 3 1 1 = 1 0 0 0 2 0, 0 0 3 0 0 1 0 0 3 1 ett resultat som vi kan kolla genom uträkning av inversen och matrismultiplikation... Notera att vi kan ha många varianter på situationen i detta exempel. Vi kan t ex ha flera lineärt oberoende egenvektorer till samma egenvärde. Exempel 82. Genom lösning av ekvationen det(a λe) = x 3 +x 2 7x+3, ser man att x = 1 och x = 3 är egenvärden till matrisen A = 1 0 6 0 1 2. 0 0 3 Löser man nu (A E)X = 0 får man bara ekvationen z = 0 kvar, och den har parameterlösningarna (x,y,z) = t(1,0,0)+s(0,1,0) s,t R. Alla dessa vektorer är egenvektorer till A med egenvärdet 1, och vi kan ta och sätta f 1 = (1,0,0) och f 2 = (0,1,0). Till egenvärdet 3 hittas på samma sätt egenvektorn f 3 = (3,1,1). (16) (17)

2. EGENVÄRDEN OCH EGENVEKTORER 107 Dessa tre vektorer utgör en bas i rummet (Kolla att determinanten är skiljd från noll!). Diagonaliserar vi, så får vi resultatet 1 0 3 0 1 1 0 0 1 1 0 6 0 1 2 1 0 3 0 1 1 = 1 0 0 0 1 0. 0 0 3 0 0 1 0 0 3 1 Det kan också inträffa att det inte finns en bas av egenvärden. Här ett enkelt exempel i planet. 2 1 Exempel 83. Bestäm egenvektorer och egenvärden för A =. Vi har 0 2 att det(a λe) = (2 λ) 2 som har den enda lösningen λ = 2. Detta är alltså det enda egenvärdet. Löser vi nu (A 2E)X = 0 så får vi { y = 0 0 = 0, (18) som har parameterlösningen (x,y) = t(1,0), t R. Här är alltså alla egenvektorer parallella med en linje, och vi kan inte hitta en bas bland dem för alla vektorer i planet. Matrisen går alltså inte att diagonalisera. Det kan också inträffa att det inte finns något egenvärde. 0 1 Exempel 84. Bestäm egenvektorer och egenvärden för A =. Vi har 1 0 att det(a λe) = λ 2 + 1 som inte har något (reellt) nollställe. Det finns alltså vare sig egenvärden eller egenvektorer. Vi kan förstås (ibland, förstås beroende på vilket underliggande problem vi använder matrisen till) se den som en matris bland matriser med komplexa element, och då finns det (komplexa) egenvärden (±i) och egenvektorer ((1, i) och (1, i))... Som tröst kan man nämna att medelmatrisen, en slumpvis vald matris, i någon precis teknisk betydelse faktiskt är diagonaliserbar...dessutom finns det stora klasser, t ex de symmetriska matriserna som kan diagonaliseras, man kan t o m visa att det finns en ortonormal bas av egenvektorer för dessa.

108 9. BASBYTESREPETITION 3. Övningar () Antag att vektorernau 1, u 2, u 3 i en basbhar koordinater(1,2, 2), (2,4, 1) och (3, 1,2). Visa att u 1, u 2, och u 3 är en bas och bestäm basbytesmatriserna mellan denna bas och standardbasen. (6) Antag att B v = (v 1,v 2 ) är en bas i planet och att u 1 = v 1 + 4v 2 samt u 2 = v 1 3v 2. Visa att (a) B u = (u 1,u 2 ) också är en bas i planet. (b) Bestäm basbytesmatrisen från B u till B v. (c) Finn basbytesmatrisen från B v till B u och bestäm w Bu för w = v 1 +3v 2. (7) Antag att B v = (v 1,v 2,v 3 ) är en bas i rummet och att u 1 = 4v 1 v 2, u 2 = v 1 +v 2 +v 3 samt u 3 = v 1 +v 2 2v 3. (a) Visa att B u = (u 1,u 2,u 3 ) också är en bas i rummet. (b) Bestäm basbytesmatrisen från B u till B v och finn z Bv för z = 3u 1 +4u 2 +u 3. (c) Bestäm också basbytesmatrisen från B v till B u. (8) Om v är en egenvektor till A med egenvärdet λ, är då v också egenvektor till A 7 +31A+2E? Vilket egenvärde har den då? (9) Om v = (1,2,3) och w = (1,0,1) är egenvektorer till A med egenvärden λ µ, är då 2v +13w också egenvektor till A? Vilket egenvärde har den då? Vad händer när λ = µ? (10) Låt 0 1/3 A =. 1/2 /6 x Bestäm dess egenvärden och visa att lim n A n = 0. y (11) (a) PunkternaA,B,C och D har koordinater(1,0,1), (2, 1,3), (2, 4,9) och (3,1, 2) respektive i ett koordinatsystem i rummet. Avgör om punkterna ligger i ett plan. (b) Samma fråga för punkterna A = ( 3,1,1),B = ( 1,2, 1),C = ( 2,0,3) och D = (2, 2,7), (c) Avgör om vektorerna AB, AC, AD i a) och b) är lineärt beroende eller oberoende.

3. ÖVNINGAR 109 (12) För vilka värden på taletaär vektorerna(3,a 2, 7),( 1, 2,a) och(1,1, 1) lineärt oberoende? (13) * Använd Gram-Schmidts ortogonalisering för att finna en ON-bas i rummet med utgångspunkten från basen u 1 = (1,0,1),u 2 = (3,1,1),u 3 = (2,2,3).