LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk ( p) ( p) ( p) ( p) ( p) ( p) Tentamen i ETE Linjär algebra, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker 8 poäng och minst uppgifter med eller poäng. Godkända inlämningsuppgifter vt ger poäng att addera till skrivningsresultatet. Markera detta genom att skriva G i rutan för uppgift 8. Fullständiga motiveringar krävs. Lösningar finns efter skrivtidens slut på kurshemsidan http://www.mai.liu.se/ uljan/kurser/ete/. (a) Definiera begreppen linjärt beroende, linjärt oberoende och bas i ett vektorrum V. (b) Låt F : U V vara en funktion. Definiera vad som menas med att F är linjär samt definiera begreppen värderum och nollrum till F. (c) Visa att för en given bas u,..., u n i U så är V (F ) = [F (u ),..., F (u n )].. Betrakta F : R R som i standardbasen ges av matrisen a A = b. c Bestäm konstanterna a, b, c så att (,, ) blir en egenvektor till F med egenvärde. Bestäm sedan resterande egenvärden och egenvektorer.. Betrakta kurvorna som ges av x + y + xy = respektive x + y + xy =. Bestäm kurvtyp för respektive kurva och ange vilken av kurvorna som kommer närmast origo.. Den linjära avbildningen F : R R deinieras av x x F e x x = e x x x + x + x + x + x x x + x x x x x + x + x x + x x x x x x där e respektive e är standardbasen i R respektive R. Ange matrisen i de aktuella standardbaserna och bestäm bas och dimension för noll- respektive värderum. VÄND!
( p). En ljusstråle går genom punkten P = (,, ), reflekteras i planet x y + z = och går sedan genom punkten P = (,, ). Var träffar ljusstrålen planet? ( p). Betrakta underrummet U = u E : x x = x x + x = x x + x = samt vektorerna u = (,,,, ) och v = (,,,, ). Visa att u U och att v U samt bestäm avståndet mellan v och U, d v s bestäm min v u. u U ( p). Låt a, a,..., a n vara reella tal sådana att a i a j då i j och p(x) P n sådant att p(a j ), j =,..., n. Visa att det finns reella tal A, A,..., A n så att p(x) (x a )(x a )... (x a n ) = A x a + A x a +... + A n x a n för alla x R för vilka de två uttrycken är definierade. Du får p (och kanske en beviside för det allmänna fallet) om du genomför uppgiften i fallet n =.
Lösningsförslag till ETE, Linjär algebra,. (a) Se defnition.., sid 8 och defnition..8, sid. (b) Se defnition.., sid och defnition.., sid. (c) Se beviset av sats.., sid 8. Beräkna F (,, ) med hjälp av avbildningsmatrisen a a F (,, ) = e b = e b c c = e a =, b =, c = = λ = det (A λe) = λ λ = [r λ + r ] = λ λ λ = λ = [k k ] = ( λ) = ( λ) λ λ λ = λ = : λ = : = ( λ) ( λ λ ) = λ =,,.... = X = t... = X = t och att (,, ) är en egenvektor med egenvärde var ju givet i förutsättningarna.. Skriv båda vänsterleden på matrisform och beräkna deras egenvärden. Q (e X) = x + y + ( ) xy = (x y) x = X t A y X = λ det (A λe) = = λ λ λ = λ = ± + = ± 8 =, Q (e X) = x + y + ( )( ) xy = (x y) x = X t A y X = ( ) λ det (A λe) = = λ λ + = λ
λ = ± = ± =,. Detta ger att i respektive ON-egenbas med första basvektor som egenvektor till största egenvärdet fås Q (u) = Q (f Y ) = y y = u u, Q (u) = Q (g Z) = z + z = u u med likhet om u är en egenvektor med rätt längd till det största egenvärdet, d v s Q definierar en hyperbel som har som minsta avstånd till origo och Q definierar en ellips som har som minsta avstånd till origo. Följaktligen ligger hyperbeln närmast origo.. Bryt ut x,..., x ät höger. Då fås x x F e x x = e x x x + x + x + x + x x x + x x x x x + x + x x + x x x x x x = e x x x x x x = = e AX, d v s A är avbildningsmatris till F i de aktuella baserna. Lös nu AX = (vilket också är beroendeekvationenför kolonnerna). Vi får 8 8 =
= X = q + r + s + t q r s t q r s t = q +r +s +t N(F ) = e, e, e, e och vi ser att dessa fyra vektorer också är linjärt oberoende och därför en bas för N(F ). Ur dimensionssatsen följer nu att dim V (F ) = så som bas duger vilka två som helst icke-parallella kolonnvektorer ur A, t ex (,,, ) och (,,, ).. Bestäm spegelpunkten P s till P i planet. Sätt P = (,, ) och projicera P P på planets normal. P P = e e = e P P n = n ( P P n ) n = e = e = = OP s = OP P P n = e e = e. v P s P = e e = e 8 = e = v = = L: e x y z = e +t e. Insättning av L i planets ekvation ger den sökta skärningspunkten P s : ( + t) ( + t) + ( + t) = + 8t = t = 8 = = = OP s = e + e = 8 + e 8 = e 8, d v s den sökta punkten P s = (8,, /).
. Insättning av u:s respektive v:s koordinater i ekvationerna för U ger att u U och v U. Enligt sats.., sid är det sökta avståndet v U vilket fås då u väljs till v U. Parametrisera ekvationsystemet som definierar U. x x x x x = t s x = t x + x = t + s x + x = t + s = s + t. () Sätter vi detta uttryck lika med v:s koordinater fås ett olösligt ekvationssystem. Bestämmer vi minstakvadrat-lösningen till detta får vi efter insättning i () den sökta projektionen v U. s + t = ( ) A t A = = ( ) A t Y = = ( ) ( ) = X = = ( 88 = ( ) ( ) + = = = 88 8 + = = v U = e + e = e ( ) s = AX = t ( ) ( ) = = )( ) = = Y
= v U = v v U = e e = e vilket ger att det sökta avståndet är. Sätt högerledet på gemensamt bråk. Då fås att p(x) (x a )(x a )... (x a n ) = A + A +... + A n = x a x a x a n = A (x a )(x a )... (x a n ) + A (x a )(x a )... (x a n ) +... + + A n (x a )(x a )... (x a n ) (x a )(x a )... (x a n ), d v s i termen som innehåller A saknas faktorn (x a ) etc. Vidare, täljaren blir ett polynom i P n och påståendet följer om vi kan visa att de n st produkterna som bygger upp täljaren är en bas för P n. Då de är rätt antal räcker det att visa att de är linjärt oberoende. Beroendeekvationen för dessa termer blir A (x a )(x a )... (x a n ) + A (x a )(x a )... (x a n ) +... + + A n (x a )(x a )... (x a n ) = P n. Insättning av x = a ger A (a a )(a a )... (a a n ) = och då a i a j för i j följer det att A =. Insättning av x = a att A (a a )(a a )... (a a n ) = och att A = av samma skäl som ovan. Fortsättning på samma sätt ger att alla A i =, d v s de n st produkterna som bygger upp täljaren är linjärt oberoende och därmed en bas enligt satsen om rätt antal elemnt (sats..8, sid ).