3 Jämförelse mellan Polyas urna och en vanlig urna

LUNDS UNIVERSITET MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK 1 Förberedelser LABORATION 1: POLYAS URNMODELL MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT-01 Laborationen, som presenterar en urnmodell introducerad av Polya på 1920-talet, visar bland annat att man från helt olika utgångspunkter kan komma fram till en och samma modell. Läs igenom sid 71 och avsnitt 6.6, 9.2 och 9.3 i Blom A samt avsnitt 3.4.1 i Tilläggskompendiet (TK). 2 En ovanlig urna Betrakta följande problem. En urna innehåller v vita och s svarta kulor. Man drar en kula ur urnan, betraktar den och lägger tillbaka den jämte c kulor av samma färg som den dragna, där c { 1, 0, 1, 2,...}. Därefter upprepas proceduren om och om igen. Sätt { 1, om man får en vit kula vid i:te dragningen, X i = 0, annars. Antalet vita kulor av totalt n dragna blir då Y n = X 1 + X 2 + + X n. Teoriuppgift 1 (Härledning av Y n :s fördelning.) P(X 1 = 1) = P(X 1 = 1, X 2 = 1) = P(X 1 = 0, X 2 = 1) = P(X 2 = 1) = Har X 1 och X 2 samma fördelning? Svar: Är X 1 och X 2 oberoende? Svar: P(X 1 = X 2 = = X k = 1, X k+1 = X k+2 = = X n = 0) = P(X 1 = X 2 = = X n k = 0, X n k+1 = X n k+2 = = X n = 1) = P(Y n = k) = 3 Jämförelse mellan Polyas urna och en vanlig urna Den s.v. Y n som beskrevs ovan sägs vara Polya-fördelad med parametrarna v, s, c och n. (Polya är ungrare och uttalas alltså pååja.) Teoriuppgift 2 (Jämförelse med binomialfördelning.) Genom att ge c ett lämpligt värde kan man få Y n Bin(n, v/(v + s)), dvs binomialfördelningen blir ett specialfall av Polya-fördelningen. Vilket är detta c-värde?

Teoriuppgift 3 (Jämförelse med hypergeometrisk fördelning.) För ett annat värde på c erhålls den hypergeometriska fördelningen, Y n Hyp(v + s, n, v/(v + s)). Vilket c-värde? Anta fortsättningsvis att Y n svarar mot ett annat c-värde än de två Du angav i Teoriuppgift 2 3. Vi ska nu jämföra Polyas urnmodell med en binomialfördelning. Teoriuppgift 4 (Väntevärde) Om Y n är Polya-fördelad så är E(Y n ) = E(X 1 + X 2 + + X n ) = Teoriuppgift 5 (Väntevärde, forts.) Om Z n Bin(n, v/(v + s)) så är och alltså E(Z n ) = E(Y n ) E(Z n ) (fyll i med ett av tecknen <, =, >). Teoriuppgift 6 (Varians) Tänk nu intuitivt ett tag! Förefaller det rimligt att tänka sig att V(Y n ) är större än, lika med eller mindre än V(Z n )? Svar: Intuitivt förefaller det rimligt att tänka sig att V(Y n ) V(Z n ) (fyll i med ett av tecknen <, =, >) ty Teoriuppgift 7 (Varians, forts.) Nu skall vi beräkna V(Y 2 ). (a) V(Y 2 ) = AV(X 1 ) + BC(X 1, X 2 ) där A = B = (b) V(X 1 ) = (c) C(X 1, X 2 ) = (d) Alltså blir efter förenkling V(Y 2 ) = 4 En tänkbar användning av Polyas urna Anta att en person genomgår n st lika svåra tentamina. Utfallet av den i:te tentamen betecknar vi X i, som kan anta värdena 1 (= lyckad tentamen) resp 0 (= misslyckad tentamen). Då blir Y n = n i=1 X i antalet lyckade tentamina för personen ifråga. 2

Teoriuppgift 8 Följer det av ovan givna förutsättningar att Y n bör beskrivas av en binomialfördelning? Om ej, vilken förutsättning saknas? Svar: Teoriuppgift 9 Ange någon fördelning som det vore rimligt att tänka sig att Y n har. (Ledning: Efter en lyckad tentamen blir man glad; om man är glad så ökar kanske chansen att man klarar en tentamen.) Svar: Teoriuppgift 10 Vilken kvantitet i föregående uppgift mäter hur duktig studenten är? Svar: Antag nu att tentamensstatistik för antalet lyckade tentamina verkligen kan beskrivas med den fördelning som Du angav som svar i Teoriuppgift 9. En tänkbar förklaring skulle kunna vara att studenterna är lika duktiga, och att vi påvisat förekomsten av en smittoeffekt för var och en av dem. I ett senare avsnitt kommer vi att se att det går att ge en helt annan förklaring. 5 Att starta MATLAB, användning av befintliga m-filer Gå in i MATLAB på det sätt som beskrivs i introduktionslaborationen. Väl inne i MATLAB anger du sedan >> mh_init( MAS101A ) Då skapas automatiskt en sökväg till underbiblioteket...\mas101a\, som innehåller alla m-filer som behövs för datorlaborationerna till kursen (se även appendix för de m-filer du behöver till just denna laboration). Filerna i...\mas101a\ listas med kommandot 1 >> what MAS101A Hjälptexten till en godtycklig fil från listan får du fram genom >> help... där... är namnet på den fil du vill ha hjälptexten för. Om du dessutom vill läsa in hela filen till MATLABs editor anger du >> edit... där återigen... står för filnamnet. Om du gör ändringar i den inlästa filen (ej nödvändigt för att genomföra laborationen) kan du sedan spara filen med ev. ändringar på ditt eget konto med Save As, såsom anges i introduktionslaborationen. 1 Det syns inte i den lista du får upp på skärmen att samtliga filer är av typen.m. 3

6 Simulering av urnan Med hjälp av funktionen polya_sim simuleras en dragningssekvens om n dragningar från en Polyaurna. Förutom att Y n beräknas, redovisas även en plot av relativa antalet dragna vita kulor, Y i /i, som funktion av i, då i genomlöper {1, 2,..., n}. Uppgift 1 (Simulering av en dragningssekvens.) För fyra olika värden på c, bland annat de två som angavs i Teoriuppgift 2 3, gör följande: Rita upp några plottar med relativa antalet vita kulor som funktion av antalet dragna från en dragningssekvens. Kommentera sedan de skillnader du ser mellan olika c-värden. Välj n så stort att den relativa frekvensen hinner svänga in sig. Vilken inskränkning på n måste man ha i det hypergeometriska fallet? För att endast förbruka 4 papper (ett per c-värde) är det lämpligt att använda kommandot subplot. Exempelvis fås ett 2 2 fönster av plottar genom kommandona >> subplot(2,2,1) >> polya_sim(n,v,s,c) >> subplot(2,2,2) >> polya_sim(n,v,s,c) >>... där du använder samma värden på n, v, s och c i varje delplot. Ett tips: För att lättare kunna se hur c inverkar på resultatet, använd samma n, v och s för åtminstone två olika c-värden. Om man vill generera flera olika slumptal från F Yn kan man upprepa polya_sim önskat antal gånger (dvs för varje slumptal simulerar man en hel dragningssekvens). Alternativt kan man utgå från den sannolikhetsfunktion Du fick fram i Teoriuppgift 1, och använda den allmänna metod för simulering av diskreta fördelningar som beskrivs i TK, avsnitt 3.4.1. Denna senare (och snabbare) metod används i funktionen polyarnd, som presenterar de genererade slumptalen i ett stapeldiagram. Uppgift 2 (Hur påverkar c fördelningen?) Simulera ett stort (storleksordning 1000) antal slumptal från F Yn, för fixa värden på n, v och s, men med varierande c. (För att du ska kunna se ett mönster bör inte n väljas för litet.) Använd subplot, så att de olika stapeldiagrammen blir delplottar i samma figur. Diskutera resultatet: Uppgift 3 (Hur påverkar antalet kulor vid starten fördelningen?) Gör om samma sak, men med n, v/(v+s) (proportionen vita kulor vid starten) och c fixa och varierande v. Kommentera resultatet: 7 Slantsingling med mynt från en inhomogen population Man har en stor säck med mynt. Deras benägenhet att vid slantsingling visa krona varierar från mynt till mynt. Låt vara en stokastisk variabel som beskriver sannolikheten att ett slumpmässigt valt mynt visar krona. Antag nu att man tar ett mynt på måfå, singlar slant n gånger med det och låter Y n beteckna antalet gånger man får krona. 4

Lab 1: Polyas urnmodell Teoriuppgift 11 (a) P(Y n = k = p) = (b) Anta att är en diskret s.v. som kan anta värdena p 1, p 2,... med sannolikheterna P( = p 1 ), P( = p 2 ),.... Skriv ner ett uttryck för sannolikhetsfunktionen för Y n : (Ledning: Använd lagen om total sannolikhet, med A = Y n = k och H i = = p i, i = 1, 2,....) P(Y n = k) = (c) Anta att är en kontinuerlig s.v. med täthetsfunktion f (p). Ge ett uttryck för sannolikhetsfunktionen för Y n : (Ledning: Du får en integral av typen... f (p)dp.) P(Y n = k) = Vi ska nu anta att har en så kallad Betafördelning, vilket innebär att f (p) = p 1 (1 p) 1, 0 < p < 1,, > 0. B(, ) Här är B(, ) en normeringskonstant (den så kallade betafunktionen), som väljs så att f blir en täthetsfunktion. Med andra ord B(, ) = 1 0 p 1 (1 p) 1 dp. (1) Med en del besvär kan man visa att betafunktionen kan uttryckas med hjälp av gammafunktionen (se sid 71 i Blom A), B(, ) = ( ) ( ) ( + ). (2) får man en hel familj av täthetsfunktioner f. Kodbeteck- Genom att variera parametrarna och ningen är Beta(, ). Uppgift 4 (Plottning av betatätheter.) Plotta betatätheter för flera olika värden på (, ), med hjälp av kommandot betapdf: >> p = 1/100:1/100:99/100; % Vektor av p-värden tätheten räknas ut för >> subplot(3,3,1) >> plot(p,betapdf(p,alfa,beta)) % Med lämpliga alfa och beta >> subplot(3,3,2)... Kommentera resultatet: En viss förståelse av plottarna får man genom att beräkna väntevärde och varians för en betafördelad stokastisk variabel. 5

Lab 1: Polyas urnmodell Teoriuppgift 12 (Väntevärde och varians.) Beräkna E( ), E( 2 ) och V( ) genom att utnyttja (1) (2) och (utan bevis) formeln ( + k) ( ) = ( + 1)... ( + k 1), (3) som gäller för positiva heltal k. (Om är ett heltal följer (3) av att ( ) = ( 1)!) E( ) = E( 2 ) = V( ) = Teoriuppgift 13 (Samband med Polyafördelningen.) Räkna ut P(Y n = k) i Teoriuppgift 11c) då Beta(, ). Det visar sig att Y n blir Polyafördelad, om och väljs som lämpliga funktioner av c, v och s. (Ledning: Vi antar c > 0. Börja med att multiplicera varje faktor i täljare och nämnare med c 1 i det uttryck du fick för Polyafördelningens sannolikhetsfunktion i Teoriuppgift 1. Försök sedan att omforma integralen i Teoriuppgift 11c) till detta uttryck genom att utnyttja (1), (2) och (3).) Svar: För allmänt och får Y n sannolikhetsfunktionen P(Y n = k) = Om man speciellt väljer = = så erhålls en Polyafördelning med parametrarna n, v, s och c. Anta nu att vi har genererat ett stort antal slumptal från en Polyafördelning F Yn. Vi kan nu ge slumptalen en ny tolkning: Ett mynt tas upp ur säcken (där har en betafördelning), n slantsinglingar genomförs, man noterar antal krona (= det första slumptalet) och lägger tillbaka myntet. Därefter upprepas samma procedur för ett stort antal mynt. Varje kastserie med ett visst mynt svarar således mot en dragningssekvens av den typ som plottades i Uppgift 1. Uppgift 5 (Tolkning av tidigare plottar.) Om n är stor i Uppgift 2-3, varför bör plottarna i dessa uppgifter påminna om dem i Uppgift 4 (för lämpligt valda c, s, v, och )? (Ledning: Om man genomför många slantsinglingar med varje mynt så medför stora talens lag att... ) Teoriuppgift 14 (Frivillig uppgift.) Låt nu och gå mot oändligheten enligt det samband du fann i Teoriuppgift 13, genom att v och s hålls fixa medan c varieras. Därvid närmar sig alltmer en gränsfördelning. Vilken? Vilket c-värde svarar denna gränsfördelning mot och vilken fördelning på Y n? Jämför med plottarna i Uppgift 2. (Ledning: Titta på väntevärde och varians för att bestämma :s gränsfördelning.) 6

Teoriuppgift 15 (Frivillig uppgift.) Man kan visa att konvergerar mot en tvåpunktsfördelning då c enligt sambandet i Teoriuppgift 13. Vilken? (Ledning: Fördelningen har sin sannolikhetsmassa i punkterna 0 och 1. Utnyttja formeln för väntevärdet av en betafördelning för att bestämma vikterna.) Använd sedan resultatet i Teoriuppgift 11b) för att bestämma motsvarande fördelning för Y n. Kan du ge en motivering av detta resultat? Jämför även med plottarna i Uppgift 2. Då c konvergerar mot tvåpunktsfördelningen Då c konvergerar Y n mot tvåpunktsfördelningen Tolkning: 8 Tentamensresultat omigen Anta att antalet lyckade tentamina i en serie om n försök visar sig kunna beskrivas av en Polyafördelning. Vi har tidigare konstaterat att en tänkbar förklaring skulle kunna vara en smittoeffekt. Teoriuppgift 16 Kan du nu föreslå någon annan förklaring? Svar: 7

Appendix function [Y,X] = polya_sim(n,v,s,c) % Funktionen % % [Y,X] = polya_sim(n,v,s,c) % % simulerar en dragningssekvens om n dragningar från en Polyaurna med från % början v vita och s svarta kulor. Jämte den dragna kulan läggs c st av samma % färg tillbaka. % Utparametrar: Y - anger antal vita kulor efter n dragningar % X - en vektor som ger hela sekvensen av dragna kulor, % med 1 = vit och 0 = svart % Dessutom redovisas en plot av relativa antalet vita kulor som funktion av % antalet dragna i (1 <= i <= n). X = []; if c == -1, n = min(n,v+s); end; for i = 1:n if rand < v/(v+s) X = [X 1]; v = v+c; else X = [X 0]; s = s+c; end; end y_vec = cumsum(x); rel_frek = y_vec./(1:n); plot(1:n,rel_frek); Y = y_vec(n); ------------------------------------------------------------------------------- function polyarnd(antal,n,v,s,c) % Funktionen % % polyarnd(antal,n,v,s,c) % % genererar antal st slumptal från en fördelning svarande mot antal % vita kulor vid n dragningar från en Polyaurna med från början v vita och % s svarta kulor, där den dragna kulan plus c kulor av samma färg läggs % tillbaka varje gång. % Slumptalen redovisas i form av ett stapeldiagram. % Beräkna sannolikhetsfördelningen för antal dragna vita kulor. if c == 0 p = binopdf([0:n],n,v/(v+s)); elseif c == -1 8

n = min(n,v+s); p = zeros(1,n+1); for k = max(0,n-s):min(n,v) p(k+1) = exp(sum(log(1:n))-sum(log((1:k)))-sum(log((1:n-k)))+sum(log((v:c:v+ (k-1)*c)))+sum(log((s:c:s+(n-k-1)*c)))-sum(log((v+s:c:v+s+(n-1)*c)))); end else for k = 0:n p(k+1) = exp(sum(log(1:n))-sum(log((1:k)))-sum(log((1:n-k)))+sum(log((v:c:v+ (k-1)*c)))+sum(log((s:c:s+(n-k-1)*c)))-sum(log((v+s:c:v+s+(n-1)*c)))); end end; % Generera, med inversa transformationsmetoden, antal st slumptal. for i = 1:antal Y(i) = disk_sim(p)-1; end; % Räkna ut de absoluta frekvenserna för olika värden samt rita stapeldiagram Z = zeros(1,n+1); for i = 1:antal Z(Y(i)+1) = Z(Y(i)+1)+1; end; bar(0:n,z); ------------------------------------------------------------------------------- function [k] = disk_sim(p) % Funktionen [k] = disk_sim(p) genererar ett slumptal k från en diskret % fördelning med sannolikhetsfunktion p (som ska vara en ändlig radvektor) % med hjälp av inversa transformationsmetoden. L = length(p); F = cumsum(p); F_shift = [0 F(1:L-1)]; u = rand*ones(1,l); k = find((u <= F)&(u>F_shift)); % Beräkna fördelningsfunktionen % Hitta det värde k där födelningsfunk- % tionen hoppar förbi u ------------------------------------------------------------------------------- 9