Likaviktade aktieportföljer

Likaviktade aktieportföljer En studie av aktieportföljer innehållandes de ingående aktierna i OMXS30 under tidsperioden 2003 2016. William Enders Examensarbete i Statistik, Kandidatnivå 15 hp Statistiska institutionen Uppsala Universitet Handledare: Lars Forsberg Höstterminen 2017

Abstract In this study, four different types of equally weighted stock portfolios are examined containing the stocks which historically have been included in OMXS30 from 2003 to 2016. Three out of four portfolios constructed in the study generates a higher accumulated return and a higher risk-adjusted return than OMXS30. These three best-performing portfolios consist of a simple equally weighted portfolio and two types of portfolios based on cluster analysis with momentum strategy. The results provide evidence that from an investing perspective it is preferable to choose equally weighted portfolios instead of capitalizationweighted. Sammanfattning I denna studie undersöks fyra olika typer av likaviktade aktieportföljer innehållande aktierna som historiskt ingått i OMXS30 under tidsperioden 2003 2016. Tre av fyra portföljer vilka konstruerats i studien genererar över hela undersökningsperioden en högre ackumulerad avkastning samt högre riskjusterad avkastning än OMXS30. De tre bäst presterande portföljerna består av en enkel likaviktad portfölj och två typer av portföljer baserade på klusteranalys med momentumstrategi. Resultaten ger belägg för att välja likaviktade portföljer framför kapitalviktade, sett ur ett investeringsperspektiv. Nyckelord Aktieindex, aktieportföljer, OMXS30, sharpekvot, klusteranalys, avkastning, riskjusterad avkastning Uppmärksammande Tack till Lars Forsberg på Statistiska institutionen för goda råd, handledning och intressanta diskussioner under kursens gång. Stort tack även till Fredrik Nordström på Fondbolagens förening för alla idéer och tankar. 1

Innehållsförteckning ABSTRACT... 1 SAMMANFATTNING... 1 NYCKELORD... 1 UPPMÄRKSAMMANDE... 1 1. INLEDNING... 3 1.1 BAKGRUND... 3 1.2 PROBLEMFORMULERING... 4 1.3 SAMMANSTÄLLNING AV PORTFÖLJER I STUDIEN... 6 1.4 SYFTE... 6 1.5 FRÅGESTÄLLNING... 6 1.6 AVGRÄNSNINGAR... 6 2. TEORETISK BAKGRUND... 7 2.1 SHARPEKVOT... 7 2.2 CAPITAL ASSET PRICING MODEL (CAPM)... 8 2.3 SEKTORSINDELNING... 9 2.4 MOMENTUMSTRATEGI... 10 2.5 K- MEDEL KLUSTERANALYS... 11 2.6 KORRELATION... 12 3. METOD... 13 3.1 KAPITALVIKTADE OMXS30 INDEXET... 13 3.2 LIKAVIKTADE PORTFÖLJEN... 13 3.3 SEKTOR- LIKAVIKTADE PORTFÖLJEN... 14 3.4 TVÅ PORTFÖLJER AV SHARPEKVOT- BASERAD KLUSTERANALYS MED MOMENTUMSTRATEGI... 14 3.6 DATAINSAMLING OCH BEARBETNING... 17 4. EMPIRI OCH ANALYS... 18 4.1 JÄMFÖRELSE AV PORTFÖLJERNAS UTVECKLING UNDER HELA TIDSPERIODEN... 18 4.2 JÄMFÖRELSE AV ALLA PORTFÖLJERS UTVECKLING UNDER BÖRSNEDGÅNG... 21 4.3 JÄMFÖRELSE AV ALLA PORTFÖLJERS UTVECKLING UNDER BÖRSUPPGÅNG... 23 4.4 SAMMANFATTNING AV PORTFÖLJERNAS PRESTATIONER UNDER DE OLIKA TIDSPERIODERNA... 25 4.5 ANALYS AV PORTFÖLJERNAS VIKTER... 25 5. SLUTSATS OCH FÖRSLAG TILL FRAMTIDA FORSKNING... 28 5.1 SLUTSATS... 28 5.2 FÖRSLAG TILL FRAMTIDA FORSKNING... 28 6. APPENDIX... 29 6.1 SEKTOR- LIKAVIKTADE PORTFÖLJENS OLIKA AKTIEVIKTER FÖR OLIKA SEKTORER FÖR VARJE TIDSPERIOD... 29 6.2 SHARPE 0,5, JANUARI 2003 JUNI 2003... 30 6.3 SHARPE 1, JANUARI 2003 JUNI 2003... 30 6.4 SHARPE 0,5 VIKT PER AKTIE INOM VARJE KLUSTER FÖR HELA UNDERSÖKNINGSPERIODEN... 31 6.5 SHARPE 1 VIKT PER AKTIE INOM VARJE KLUSTER FÖR HELA UNDERSÖKNINGSPERIODEN... 31 7. REFERENSLISTA... 32 TRYCKTA KÄLLOR:... 32 ELEKTRONISKA KÄLLOR:... 32 2

1. Inledning Det inledande kapitlet beskriver bakgrunden till studien och genom problemformuleringen formuleras sedan syfte och frågeställning. I slutet av kapitlet presenteras även avgränsningar. 1.1 Bakgrund Idag finns en tydlig trend av att alltmer kapital rör sig mot passiv förvaltning, både på den svenska och den globala finansmarknaden. Detta främst i olika typer av fonder vars mål är att spegla någon form av underliggande index, s.k. passivt förvaltade Indexfonder. Vanligast bland indexfonderna är aktieindexfonder där målsättningen är att avkastningen ska överensstämma med ett underliggande index utveckling. Motsatsen är aktiv förvaltning där förvaltare väljer ut de placeringar som bedöms kunna ge högst framtida avkastning. Över tid har olika typer av aktieindex spelat olika roller. Det äldsta amerikanska aktieindex som fortfarande publiceras är Dow Jones Industrial Average, vilket när denna studie genomförs är uppe på sina högsta nivåer sedan introduktionen år 1896. Index såsom Dow Jones har gått från att endast ge en bild av hur aktiemarknaden som helhet utvecklas, d.v.s. den aggregerade utvecklingen för ett antal aktier, till att allt mer bli ett instrument för passiva investeringar. Detta medför att hur ett index är uppbyggt från grunden inte endast påverkar helhetsbilden av hur aktiemarknaden utvecklas utan även avkastningen för passiva investeringar. Dow Jones är ett prisbaserat aktieindex, vilket innebär att en dyrare aktie får större vikt än en billigare aktie i indexet. Det aktieindex som har vuxit fram till standard indexet på dagens finansiella marknader är det kapitalviktade indexet. Detta är uppbyggt genom att en akties vikt i indexet ges av bolagets marknadsvärde. Marknadsvärdet för en given tidpunkt ges av antal utestående aktier multiplicerat med aktuell aktiekurs. Ju större marknadsvärde desto större vikt i indexet och vice versa. Ett exempel på ett kapitalviktat index på den svenska marknaden är OMXS30. Detta aktieindex inkluderar de 30 mest omsatta bolagen på Stockholmsbörsen under förgående sexmånadsperiod. Det mest internationellt välanvända kapitalviktade aktieindexet är S&P500 och innehåller 500 av de största börsnoterade bolagen i USA (Rebfund, 2017). 3

Enligt en sammanställning av dataleverantören Morningstar till Financial times stod indexföljande fonder år 2016 för en tredjedel av den totala fondförmögenheten i USA och ser ut att växa allt mer (Marriage, 2016). Kritiker till fenomenet hävdar att detta är definitionen av dumma pengar. Anledningen till kritiken är att inget aktivt investeringsbeslut ligger bakom innehaven, utöver det specifika indexets sammansättning vilket fonderna försöker följa. I och med att många institutionella förvaltare samt privatinvesterare har för avsikt att endast försöka följa utvecklingen på olika underliggande index har intresset för olika typer av indexviktningar ökat markant. Olika typer av indexviktningar handlar om olika varianter av portföljallokering för att nå högsta möjliga avkastning med så låg risk som möjligt. Två framstående alternativa viktningsmetoder är fundamental- och likaviktning, vilka beskrivs mer ingående i problemformuleringen. Fundamentalviktningar är ett område där mycket forskning redan gjorts vilket föranleder att denna studie kommer fokusera på olika former av likaviktningar. Detta på den svenska aktiemarknaden då indexforskningen på denna marknad i allmänhet är begränsad, i synnerhet forskning gällande olika former av likaviktningar. 1.2 Problemformulering En stor del av svaret till varför det kapitalviktade indexet är det mest populära grundar sig i att det är objektivt, praktiskt och teoretiskt grundat. Den teoretiska grunden för det kapitalviktade indexet kan härledas till de klassiska finansiella teorierna om capital asset pricing model (CAPM) den effektiva marknadshypotesen (EMH) (Velvadapu, 2011). En grundkomponent i CAPM är marknadsportföljen. Denna ska enligt teorin innehålla alla tillgångar som finns. I praktiken används dock vanligtvis någon form av kapitalviktat aktieindexet för detta, exempelvis S&P500 i USA eller OMXS30 i Sverige. Enligt CAPM är marknadsportföljen den mest effektiva portföljen, vilket innebär att den förväntas ge högsta möjliga avkastning per enhet risk. EMH menar att alla tillgångar är korrekt värderade på lång sikt av rationella investerare där alla har samma tillgång till information. Utifrån detta reflekterar marknadsvärdet för en aktie vid varje given tidpunkt det sanna värdet vilket därför talar för användningen av kapitalviktade index. Flertalet studier har genomförts och ifrågasatt effektiviteten i ett kapitalviktat index som ett instrument för passiva investeringar. Arnott et al. (2005) har kunnat påvisa att ett kapitalviktat 4

index inte bara teoretiskt ej fungerar som en proxy för marknadsportföljen utan även empiriskt underpresterar mot olika fundamentala indexviktningar över tid. Detta både på den amerikanska aktiemarknaden och globalt. Ett fundamentalviktat aktieindex kan se ut på många olika sätt men grundtanken är att viktningen för de olika aktierna baseras på ett antal fundamentala faktorer i bolagen snarare än marknadsvärdet. Dessa faktorer kan bland annat vara omsättning, kassaflöde, bokfört värde på eget kapital och utdelningar. Investeringsstrategin baseras till stor del på att marknaden inte är helt effektiv och därav inte till fullo kan prissätta de underliggande värdena i företagen på ett korrekt sätt, vilket går emot den effektiva marknadshypotesen. Ett likaviktat aktieindex ger, vilket namnet antyder, lika stor vikt till alla aktier oavsett marknadsvärde eller fundamentala faktorer i bolagen. Ett index innehållande 30 stycken aktier medför att vikten i indexet för varje aktie blir 1/30. Trots denna enkla uppbyggnad har bland annat Amnec. et al. (2010) och Velvadapu (2011) påvisat att denna konstruktion genererar en högre avkastning till lägre risk än den kapitalviktade motsvarigheten. En portfölj baserad på denna konstruktion är den första som kommer att undersökas. Likaviktade index har mottagit en del kritik på grund av att sektorer får olika stor vikt endast beroende av hur många olika bolag som är verksamma i samma bransch inom indexet. Mot bakgrund av detta kommer även en sektor-likaviktad portfölj att undersökas där olika sektorer får lika stor vikt och sedan likaviktas alla bolag inom sektorerna. Även detta grundar sig i Velvadapus studie från 2011 vilket tidigare ej har applicerats på den svenska aktiemarknaden specifikt. Detta är följaktligen det andra portföljen som kommer undersökas. En aspekt med olika typer av likaviktade index är att det kan vara problematisk att vikta om aktierna ifall de ej är tillräckligt likvida när de ska köpas/säljas. Därför kommer de 30 mest omsatta aktierna på svenska marknaden historiskt - OMXS30 användas som utgångspunkt för studien. Vidare är OMXS30 även det ledande aktieindexet på Stockholmsbörsen vilket bidrar till användningen av just detta. De underliggande aktierna som utgör grunden för de olika portföljerna i denna studie bygger således på de aktier som historiskt ingått i indexet. Genom att utgå från aktierna i detta index minskas även småbolagsbiasen vilket likaviktade aktieindex har i jämförelse med kapitalviktade aktieindex då alla bolagen som ingått i OMXS30 historiskt likväl som idag har relativt stort marknadsvärde. Eftersom OMXS30 indexet kan uppdateras två gånger per år kommer detta även appliceras på portföljerna för att skapa så jämförbara resultat som möjligt. 5

Vidare finns det en mängd olika strategier för att försöka nå överavkastning på aktiemarknaden. En etablerad investeringsstrategi kallas momentumstrategi vilket beskrivs mer utförligt i teorikapitel 2.4. Två likaviktade varianter av denna strategi kommer att undersökas vilket är portföljer skapade med hjälp av sharpekvot-baserad klusteranalys. Dessa är de två sista portföljerna som kommer att konstrueras och utvärderas. Sammanfattningsvis kommer de fyra olika portföljernas prestationer att jämföras mot varandra samt det kapitalviktade OMXS30 indexet. Tidsperioden för undersökningen har valts till 2003 2016 vilket bör ge en solid grund för utvärdering. 1.3 Sammanställning av portföljer i studien Likaviktad Sektor-likaviktad Kluster-sharpekvot-likaviktad med momentumstrategi (Sharpe 0,5) Kluster-sharpekvot-likaviktad med momentumstrategi (Sharpe 1) 1.4 Syfte Syftet med studien är att undersöka och utvärdera hur fyra olika sammansättningar av likaviktade aktieportföljer presterat historiskt i förhållande till varandra och OMXS30. De underliggande aktierna utgår från aktierna vilka historiskt ingått i OMXS30 och är de samma för alla portföljer och tidsperioder. Trots detta är de slutgiltiga vikterna för aktierna i var och en av portföljerna olika för varje given sexmånadsperiod i undersökningen. 1.5 Frågeställning Hur har de fyra likaviktade portföljerna i studien presterat historiskt i jämförelse med varandra och OMXS30? 1.6 Avgränsningar Transaktionskostnader i form av courtageavgifter för att vikta om aktieportföljerna kommer ej tas hänsyn till. Studien ämnar att endast undersöka svenska aktier och mer specifikt de aktier som historiskt ingått i OMXS30 för tidsperioden. 6

2. Teoretisk bakgrund I detta kapitel redovisas teorier som ligger till grund för studiens utformning och analysen av portföljernas prestationer. 2.1 Sharpekvot Sharpekvoten är ett mått på riskjusterad avkastning. Mer formellt kan det beskrivas som den genomsnittliga avkastningen utöver den riskfria räntan per total risk mätt i standardavvikelse. Detta nyckeltal introducerades först av William Sharpe år 1966 och används flitigt än idag för att jämföra fonder och förvaltares prestationer (Kidd, 2010). Detta nyckeltal kommer användas på flera områden i studien. Det utgör dels ett utvärderingsmått för portföljerna men också en grundkomponent för portföljerna som baseras på klusteranalys. Sharpekvoten beräknas utifrån följande formel: Sharpekvot + = (R + r 0 ) δ + R + står här för portföljens avkastning, r 0 står för den riskfria räntan och δ + står för standardavvikelsen i portföljen. Då sharpekvoten är ett mått på riskjusterad avkastning strävar en investerare/förvaltare efter ett så högt värde som möjligt. Det finns olika sätt att bestämma den riskfria räntan på, bland annat genom att utgå ifrån räntan på statsobligationer eller statsskuldväxlar. När denna studie genomförs är den riskfria räntan på historiskt låga nivåer. Eftersom portföljerna kommer jämföras mot varandra kan en fast årsränta sättas för alla beräkningar under hela undersökningsperioden då detta ej kommer påverka resultaten nämnvärt. Denna är satt till 2,9 % (årsränta) vilket ämnar följa en normaliserad långsiktig riskfri ränta och används genomgående i hela studien. Procentsatsen utgår från PWC:s årliga sammanställning av riskpremier publicerad 2017 (Walberg, 2017). I denna har respondenter vilka arbetar som bland annat riskkapitalister, förvaltare, fondkommissionärer och inom corporate finance i genomsnitt bedömt den normaliserade långsiktiga riskfria räntan till 2,9 %. 7

2.2 Capital asset pricing model (CAPM) CAPM är en av de mest använda modellerna i finansiell teori. Denna beskriver relationen mellan systematisk risk och den förväntade avkastningen för olika finansiella tillgångar. I denna studie kommer CAPM till användning vid utvärderingen av portföljernas prestation. Formeln för CAPM är den följande: Förväntad avkastning = r 0 + β > E(r @ ) r 0 + α I formeln ovan står r 0 för riskfria räntan, β > står för beta vilket är ett mått på hur mycket av portförföljens avkastning som beror på marknaden. Vidare står E(r @ ) för marknadens förväntade avkastning vilket i teorin ska bestå av alla möjliga tillgångar men i praktiken i regel utgörs av ett kapitalviktat aktieindex och i denna studie OMXS30. Slutligen står α för Jensen s alpha. Utifrån CAPM kan Jensen s alpha beräknas, vilket är ett mått på riskjusterad under/överavkastning. Om α överstiger 0 går det att argumentera för att portföljen överavkastar i förhållande till marknaden. Enligt CAPM borde ingen portföljs alpha vara signifikant skild från 0 då marknadsportföljen enligt teorin inte går att slå utan att ta mer risk. Detta kan testas genom att genomföra en regressionsanalys per portfölj och tidsperiod i undersökningen där differensen mellan portföljens månadsavkastning och den riskfria räntan motsvarar den beroende variabeln. Differensen mellan OMXS30:s månadsavkastning och den riskfria räntan utgör oberoende variabeln. Konstanten som erhålls blir således Jensen s alpha för portföljen. Det var Black, Jensen & Scholes (1972) som var först med att ersätta marknadsportföljen med ett kapitalviktat aktieindex samt använda regression för att testa CAPM, och i detta fallet Jensen s alpha på ovanstående sätt. Jensen s alpha kommer användas som ett utvärderingsmått för få djupare förståelse för hur portföljerna i studien presterat vilket presenteras i Kapitel 4 under Empiri och analys. Antaganden för regressionen som antas vara uppfyllda är att det finns ett linjärt samband, feltermen är oberoende, feltermen har ett väntevärde på 0, variansen för feltermen är konstant samt normalfördelad. Detta för att kunna tolka Jensen s alpha och uttala oss om den är signifikant skild från 0 eller inte, om de ej är uppfyllda finns risk att regressionen genererar missvisande resultat. 8

2.3 Sektorsindelning En av grundpelarna när det kommer till investeringar är diversifiering. Förenklat innebär detta att en investerare ej bör lägga alla ägg i samma korg. Exempelvis kan detta innebära att en aktieportfölj bör vara exponerad mot olika typer av sektorer för att minska den sektor-specifika risken, detta mot bakgrunden att aktier inom samma sektor över tid tenderar att röra sig någorlunda homogent. För att skapa en sådan portfölj krävs att aktierna är indelade i sektorer. Det finns två stycken etablerade system för att klassificera aktier till sektorer och branscher, Industrial Classification Benchmark (ICB) och Global Industry Classification Standard (GICS). Dessa system är likvärdiga men skiljer något i strukturen. Den största skillnaden är klassificeringen för konsumentföretag på sektornivå. ICB har delat in företaget i sektorerna konsumentvaror och konsumenttjänster, medan GICS har cykliska och icke cykliska varor/tjänster (Investopedia, 2017). ICB:s sektorsindelning kommer att användas i studien då dessa bedöms helt likvärdiga, mer specifikt för den sektor-likaviktade portföljen. Aktiernas klassificering har hämtats från Thomson Reuters databas samt Nasdaqs hemsida för komplettering. Själva sektorerna redovisas i tabell 2.3.1 nedan. Tabell 2.3.1 Överblick av vikter för olika sektorer (6/11 2017) OMXS30 Likaviktad portfölj Sektor-likaviktad portfölj ICB - Sektorer Industrials 39,99 % 36,72 % 11,11 % Finance 24,73 % 19,99 % 11,11 % Health care 12,62 % 6,66 % 11,11 % Consumer goods 6,86 % 9,99 % 11,11 % Consumer services 5,07 % 3,33 % 11,11 % Telecommunications 3,65 % 6,66 % 11,11 % Technology 2,98 % 3,33 % 11,11 % Basic materials 2,92 % 9,99 % 11,11 % Oil & gas 1,18 % 3,33 % 11,11 % Total 100 % 100 % 100 % 9

I tabell 2.3.1 ovan framgår utöver sektorerna även fördelningen av vikterna för de olika sektorerna per den 6/11 2017. Tabellen synliggör hur vikterna för sektorer skiljer sig mellan OMXS30, den likaviktade och den sektor-likaviktade portföljen för en given tidpunkt. Observera att sektorerna för OMXS30 ej är justerade för dubbelnoterade aktier vilket medför att Industrials och Health care väger något tyngre i OMXS30 än i verkligheten. Detta har inte någon påverkan på resultaten i studien utan endast på viktfördelningen i tabell 2.3.1. 2.4 Momentumstrategi Det finns två olika synsätt när det gäller momentumstrategier. Den första går ut på att en investerare vill äga de aktier som under en given tidsperiod gått bäst i tron om att dessa kommer att fortsätta överprestera mot andra aktier under en överskådlig framtid. Denna klassiska momentumstrategi grundar sig i att marknaden inte reagerar effektivt på ny information vilket medför att en trend kommer att fortsätta. Chan et al. (1996) har fört fram empiriska bevis för att denna typ av momentumstategi fungerar. Den andra typen av momentumstrategi går ut på att äga de aktier som underpresterat i hopp om att trenden ska vända för dessa (contrarian), istället för att äga de aktier som haft högst avkastning under en given tidsperiod. Strategin grundar sig i att marknaden överreagerar på information vilket medför att trenden borde brytas. Denna typ av strategi har bland annat Jegadeesh (1990) kunna bevisa empiriskt att den fungerar. Detta synsätt likväl som den klassiska momentumstrategin är vanligt förekommande bland investerare och fondförvaltare. Den momentumstrategi som appliceras i denna studie är främst en variant av den klassiska momentumstrategin, detta i de två kluster-sharpekvot likaviktade portföljerna (Sharpe 0,5 och Sharpe 1) vilken beskrivs mer ingående under metod 3.4. Förenklat ger dessa portföljer mest vikt åt den grupp av aktier som haft högst riskjusterad avkastning den senaste sexmånadersperioden. Eftersom dessa portföljer i slutändan likaviktas kan det beroende på resultaten från klusteranalysen uppkomma situationer när dessa portföljer har en blandning av klassisk momentum och contrarian vilket även det beskrivs mer ingående under metod 3.4. 10

2.5 K- medel klusteranalys Klusteranalys i allmänhet är ett sätt att organisera data och skapa grupper av observationer som är så lika varandra som möjligt samtidigt som skillnaden mellan de olika grupperna är så stor som möjligt. Grupperna kallas för kluster. Det finns en mängd olika sätt att genomföra en klusteranalys på och varianten som används i denna studie är K-medel klusteranalys. Detta är en form av icke-hierarkisk klusteranalys vilket innebär att antal kluster bestäms på förhand. Antal kluster har bestämts till tre med ambitionen att fånga upp en grupp med högst sharpekvot, en grupp med medel och en med lägst. Eftersom antalet observationer för en given tidsperiod är max 30 stycken (aktier i OMXS30) leder detta till att fler kluster skulle medföra att antal aktier per kluster blir väldigt få. Alla observationer behöver tillhöra minst ett kluster och inga observationer kan överlappa vilket innebär att en observation endast kan tillhöra ett kluster åt gången. Nästa steg är att associera varje observation till det kluster vars centrum ligger närmst. Detta utförs av en algoritm som kallas K-medel ++ vilken är standard för K-medel klusteranalys. Algoritmen parar ihop observationer baserat på avståndsmåttet vilket är valt till euklidiskt avstånd. Euklidiskt avstånd är även det standard och fungerar väl då observationernas värden är på samma skala vilket är fallet för aktiernas sharpekvoter. Avståndet mellan två punkter definieras av kvadratroten av summan av den kvadratiska skillnaden mellan punkternas koordinater. Därefter räknas centrumpunkter fram för de 3 klustren som skapats. Eftersom klusteranalys är en iterativ metod upprepas detta tills att ingen mer omflyttning sker och klusteranalysen är färdig. K-medel ++ algoritmen har för avsikt att minimera squared error function (Trevino, 2016), vilken ges av följande formel: J V = G G H >IJ EIJ (x > v E ) F Där k är antalet klustercenter, är k > antalet datapunkter i det i:te klustet och x > v E är det euklidiska avståndet (Steinbach & Ghosh, 2002). Sammanfattningsvis används klusteranalysen för att för att hitta tre grupper av aktier för varje kommande sexmånadersperiod, där aktierna inom varje grupp tilldelas lika stor vikt. Observationerna utgörs av sharpekvoterna och beräknas varje halvår utifrån de senaste sex månadernas avkastning, riskfria ränta och standardavvikelse. Tidsperioden är januari juli, samt juli - december varje år vilket är samma tidsperiod som 11

OMXS30 kan uppdateras. För hela tidsperioden utförs således 28 stycken klusteranalyser. Klusteranalysen har inga specifika antaganden förutom att rätt avståndsmått används, vilket tidigare nämndes fungerar euklidiskt avstånd väl då all data är på samma skala. Det finns dock några aspekter att vara uppmärksam på; Klusteranalysen är känslig för avvikande värden, stickprovsstorleken bör vara tillräckligt stor för att fånga den underliggande strukturen i datan samt att analysen är känslig för multikollinearitet. Multikollinearitet innebär förenklat att flera variabler beskriver samma spridning i datan. Avvikande värden är inget problem i detta fall och även om även om några aktiers sharpekvoter är märkvärt större än andra är det värdefull information som inte ska exkluderas. Stickprovsstorleken anses vara tillräckligt stor och eftersom sharpekvoterna är den enda variabel som används i klusteranalysen är multikollineraritet inget problem. 2.6 Korrelation För att mäta hur väl portföljerna rör sig mot OMXS30 indexet kommer korrelationer att beräknas. Korrelationen mäter graden av linjärt samband och är av intresse för att se hur likt portföljerna har rört sig i förhållande till OMXS30 över tid. Pearssons produktmomentkorrelationskoefficient kommer användas vilken räknas ut genom formeln: Korrelation + = COV(X, Y) δx δy I formeln ovan står COV(X, Y) för kovariansen mellan portfölj X och portfölj Y. Vidare står δx δy för produkten av portföljernas standardavvikelser. Korrelationen befinner sig per definition någonstans på skalan -1 till 1, där 1 innebär perfekt linjärt samband. Om en portfölj har en stark positiv korrelation med OMXS30 innebär detta i praktiken att om OMXS30 har en positiv avkastning bör portföljen i fråga i genomsnitt också ha en positiv avkastning. En stark negativ korrelation medför att om exempelvis OMXS30 under en tidsperiod genererat en negativ avkastning bör portföljen i genomsnitt under samma tidsperiod ha genererat en positiv avkastning. Detta mått är av intresse för att jämföra hur känsliga de olika portföljerna är för hur OMXS30 rör sig. 12

3. Metod I detta kapitel beskrivs i detalj hur de olika portföljerna har konstruerats. Vidare även hur datainsamlingen gått till och hur den bearbetats. 3.1 Kapitalviktade OMXS30 indexet OMXS30 Indexet har en stor roll i denna studie då det som tidigare nämnt är aktierna som historiskt har ingått i detta index som kommer att användas för att skapa de olika portföljerna. Innehaven och aktievikterna för alla portföljer som skapats uppdateras två gånger per år, den första handelsdagen i januari och den första handelsdagen i juli. Det kapitalviktade OMXS30 indexets underliggande aktier får vikten utifrån en akties marknadsvärde i relation till det totala marknadsvärdet för alla aktier i indexet. Mer formellt kan vikten för enskild aktie beskrivas med formeln: vikt > = p > n > S p > n > I formeln ovan står p > står för priset för aktie i för en given tidpunkt och n > står för antalet utestående aktier det finns av aktie i under samma tidpunkt vilket blir en akties marknadsvärde. Genom att på ovanstående sätt dividera marknadsvärdet av aktie i med summan av alla aktiers totala marknadsvärde i indexet fås vikten för den enskilda aktien. Detta medför att aktien med det största marknadsvärdet får störst vikt i indexet och aktien med lägsta marknadsvärdet får minst vikt i indexet. >IJ 3.2 Likaviktade portföljen I den likaviktade portföljen ges alla aktier lika stor vikt oavsett marknadsvärdet på aktien. Detta medför i praktiken att mindre bolag sätt till marknadsvärde viktas upp och större viktas ned i jämförelse med det kapitalviktade OMXS30 indexet. Ur ett diversifieringsperspektiv kan detta vara positivt då inte enstaka aktier driver utvecklingen i lika hög grad vilket ofta är fallet i ett kapitalviktat index. Mer formellt kan vikten för varje aktie beskrivas med följande formel: vikt > = 1 N 13

Där N står för antal aktier i portföljen. Eftersom bolagen som historiskt ingått i OMXS30 kommer utgöra grunden för studien blir viktfördelningen enligt likaviktade indexet 1/30 = 3,33 % vikt per bolag. Undantag för perioder då data för enstaka aktier saknats vilket medför att N kan minska något, vilket beskrivs vidare i kapitel 3.6 datainsamling och bearbetning. 3.3 Sektor- likaviktade portföljen I den sektor-likaviktade portföljen likaviktas först sektorerna och därefter likaviktas aktierna inom respektive sektor. Sektorerna utgår från ICB:s klassificering av aktier och är totalt 9 stycken vilka går att se under teoriavsnitt 2.2. Vikten för den enskilda aktien i denna portfölj kan beskrivas med följande formel: vikt > = 1 n V 1 n > Där n V står för antalet sektorer för en given tidsperiod och n > för antalet aktier inom den sektorn aktien tillhör. Denna är baserad på Velvadupu (2010) studie om likaviktningar och diversifierar i dubbel bemärkelse, först för sektorerna och sedan för aktierna. 3.4 Två portföljer av Sharpekvot- baserad klusteranalys med momentumstrategi I dessa portföljer används de sex senaste månadernas sharpekvot som utgångspunkt i en klusteranalys för att hitta grupper av aktier som under den senaste sexmånadersperioden haft en liknande riskjusterad avkastning. Utifrån klustringen räknas den genomsnittliga sharpekvoten fram för de olika grupperna för varje given sexmånadsperiod. Då sharpekvoten kan vara negativ används exponentialfunktionen med en momentum-koefficient för att bestämma vikt till grupperna. Denna koefficient fastställs till 0,5 och 1 i de två olika portföljerna som undersöks (Sharpe 0,5 och Sharpe 1). Därefter beräknas den slutgiltiga vikten för varje aktie fram genom att använda avståndet som viktningsvariabel och slutligen likavikta inom grupperna. Denna process upprepas och används för att bestämma vikter för kommande halvår för de två olika portföljerna. 14

Tabell 3.4.1 Teoretiskt exempel på fördelning från klusteranalysen Grupp A Grupp B Grupp C Antal aktier 12 8 10 Sharpekvot genomsnitt 3 1-2 Tabell 3.4.1 visar hur en teoretisk fördelning från klusteranalysen kan se ut för ett givet halvår. Den belyser även att aktier med negativ avkastning, alternativt lägre avkastning än den riskfria räntan generar negativa sharpekvoter. Eftersom vikterna behöver vara positiva då inga blankningsmetoder undersöks i studien används exponentialfunktionen med avståndet som viktningsvariabel för att bestämma vikter till grupperna. Mer formellt bestäms vikterna till grupperna utifrån följande formel: vikt > = e W V X Y e W V X >IJ I formeln ovan står e för exponentialfunktionen, a är en momentum-koefficient vilken i påverkar hur mycket vikt grupperna skall få. Ju högre värde på a desto större vikt tilldelas grupperna som under föregående sexmånadersperiod hade positiv sharpekvot och lägre för grupperna med negativ sharpekvot. Vidare står s G för den genomsnittliga sharpekvoten för gruppen i fråga. Genom att på ovanstående sätt dividera med summan av de olika gruppernas värden fås en slutgiltig gruppvikt fram. Detta kan liknas med tankesättet för att få fram vikter i det kapitalviktade OMXS30 indexet. Två varianter av momentum-koefficienten kommer undersökas. Den första med med a = 0,5 och den andra med a = 1. Portföljen med a = 0,5 kommer i fortsättningen att benämnas Sharpe 0,5 och portföljen med a = 1 kommer i fortsättningen benämnas Sharpe 1. Anledningen att båda varianterna undersöks är för att kunna jämföra och utvärdera dessa sinsemellan då de båda blir varianter av momentumstrategier men med olika styrka. Sharpe 0,5 är den nerskalade och något svagare momentumstrategin medan Sharpe 1 blir den starkare av de två. Det slutgiltiga steget blir att likavikta aktierna inom grupperna på samma sätt som i den likaviktade portföljen. 15

Tabell 3.4.2 Teoretisk viktfördelning för Sharp 0,5 & Sharpe 1 under en tidsperiod Grupp A Grupp B Grupp C Antal aktier 12 8 10 Sharpekvot genomsnitt 3 1-2 Sharpe 0,5 Uträkning Sharpe 0,5 Gruppvikter Sharpe 0,5 Vikt per aktie exp 0,5 3 = 4,48 exp(0,5 1) =1,65 exp(0,5 2) = 0,37 4,48/6,5 = 0,69 1,65/6,5 = 0,25 0,37/6,5 = 0,06 0,689 * (1/12) = 0,057 0,254 * (1/8) = 0,032 0,057 * (1/10) = 0.006 Sharpe 1 Uträkning Sharpe 1 Gruppvikter Sharpe 1 Vikt per aktie exp 3 = 20.1 exp 1 = 2,71 exp( 2) = 0,13 20,1/22,94 = 0,876 2,71/22,94 = 0,118 0,13/22,94 = 0,006 0,876 * (1/12) = 0,073 0,118 * (1/8) = 0,015 0,006 * (1/10) = 0,0006 I Tabell 3.4.2 framgår hur de teoretiska vikterna för aktierna i Sharpe 0,5 och Sharpe 1- portföljen räknats fram. Från tabellen ovan redovisas att vikten per aktie i grupp A i Sharpe 0,5 teoretiskt skulle ha blivit 5,7 %, vikten per aktie för Grupp B 3,1 % och vikten för aktierna i Grupp C 0,6 %. I Sharpe 1-portföljen får aktierna i grupp A större vikt (7,3 %) vilket är de aktier med högst sharpekvot i genomsnitt. Samtidigt får aktierna i Grupp B och C med relativt lägre sharpekvot båda mindre vikt (1,5 % respektive 0,06 %). Både Sharp 0,5 och Sharp 1- portföljerna blir i slutändan likaviktade vilket medför att antalet aktier som tilldelas varje grupp genom klusteranalysen påverkar den slutgiltiga vikten per aktie. Mot denna bakgrund kan situationer uppkomma där vikten per aktie blir högre för aktier med negativ sharpekvot än aktier med positiv sharpekvot. Detta medför att momentumstrategin för dessa portföljer inte bara är en klassisk momentumstrategi utan även en momentumstrategi där inslag av contrarian finns med, särskilt för Sharpe 0,5-portföljen. 16

3.6 Datainsamling och bearbetning Till att börja med hämtades data på de underliggande aktierna i OMXS30 historiskt för hela undersökningsperioden (2002 2016). Anledningen till att data hämtades in för ett år innan startpunkten för studien beror på att vikterna första halvåret 2003 i Sharpe 0,5 och Sharpe 1- portföljerna baseras på data från andra halvåret 2002. Dessa hämtades från Thomson Reuters Eikon vilket genomfördes 6/11 2017. Eftersom OMXS30 kan uppdateras två gånger per år, givet att det har skett en förändring i de mest omsatta aktierna hämtades alla aktier som historiskt ingått i indexet för hela tidsperioden. Klassificeringen av sektorsindelningar (ICB) för de olika aktierna i studien hämtades även den från Thomson Reuters Eikon samt från Nasdaqs hemsida. Vidare hämtades aktiedata i form av månadsavkastningar in från investing.com samt nasdaqomxnordic.com. Anledningen till att båda användes var för att säkerställa att all data var justerad för eventuella split/omvända split vilken annars kan ge felaktig information angående aktiernas månadsavkastning. De aktier och perioder där data saknades: Telenor jan 2003 juni 2003 Skandia juli 2002 juni 2006 Vostok gas juli 2006 dec 2008 Scania jan 2007 feb 2009 De fyra undersökta portföljerna i studien är alla likaviktade och innehåller samma rådata i form av månadsavkastningar från aktierna som historiskt ingått i OMXS30. Detta medför att den data som saknas ej bör påverka resultaten i större utsträckning även om det givetvis ej är önskvärt. Den potentiella negativa påverkan av saknade data kan vara vid jämförelsen med OMXS30 då månadsavkastning från detta indexet endast hämtats in och ej konstruerats manuellt likt portföljerna i studien. Att ha i åtanke är dock att detta inte påverkar hela tidsperioden och endast står för en liten del av all data som använts för konstruktionen av portföljerna. 17

4. Empiri och analys I detta kapitel presenteras resultat och analys av de olika portföljerna som konstruerats i studien. Tre olika tidsperioder kommer att utgöra grunden för analysen; ett avsnitt som speglar hela tidsperioden, ett för börsuppgång och ett för börsnedgång. 4.1 Jämförelse av portföljernas utveckling under hela tidsperioden Figur 4.1.1 över Portföljernas utveckling i förhållande till OMXS30, januari 2003 - december 2016. Jämförelse av portföljerna och OMXS30 03- Jan 03- Maj 03- Sep 04- Jan 04- Maj 04- Sep 05- Jan 05- Maj 05- Sep 06- Jan 06- Maj 06- Sep 07- Jan 07- Maj 07- Sep 08- Jan 08- Maj 08- Sep 09- Jan 09- Maj 09- Sep 10- Jan 10- Maj 10- Sep 11- Jan 11- Maj 11- Sep 12- Jan 12- Maj 12- Sep 13- Jan 13- Maj 13- Sep 14- Jan 14- Maj 14- Sep 15- Jan 15- Maj 15- Sep 16- Jan 16- Maj 16- Sep 17- Jan OMXS30 Likaviktat Sektor- likaviktat Sharpe 0,5 Sharpe 1 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 I Figur 4.1.1 redovisas hur den ackumulerade avkastningen från de olika portföljerna har utvecklats under hela tidsperioden, januari 2003 fram till december 2016. De två portföljerna konstruerade utifrån sharpekvot och klusteranalys har namnen Sharpe 0,5 och Sharpe 1. Sharpe 0,5 är portföljen med momentum-koefficienten 0,5 och Sharpe 1 är portföljen med momentumkoefficient 1, vilka beskrevs tidigare under metod 3.4. Från figuren ovan går att utläsa att Sharpe 0,5 och Sharpe 1-portföljen samt den likaviktade portföljen har genererat högst ackumulerad avkastning för hela undersökningsperioden. Den sektor-likaviktade portföljen har presterat sämst sett till ackumulerad avkastning och ligger på ungefär samma nivå som OMXS30. Anmärkningsvärt är att Sharpe 0,5 och Sharpe 1 har genererat nästan 75 % högre ackumulerad avkastning än OMXS30. 18

Tabell 4.1.2 utvärderingsmått för hela tidsperioden Ackumulerad avkastning Genomsnittlig årsavkastning Sharpekvot månadssnitt Jensen s alpha P-värdet för alpha Korrelation med OMXS30 OMXS30 207,7 % 16 % 0,116 - - 1 Likaviktat 302,7 % 23,3 % 0,140 0,149 0,201 0,958 Sektorlikaviktat 200,7 % 15,4 % 0,109 0,007 0,959 0,924 Sharpe 0,5 358,3 % 27,6 % 0,160 0,251 0,051 0,943 Sharpe 1 349,7 % 26,9 % 0,158 0,249 0,083 0,928 Från Tabell 4.1.2 framgår hur de olika portföljerna presterat under hela tidsperioden för studien genom ett antal utvärderingsmått. Den likaviktade portföljen har trots sin enkla konstruktion genererat 300,7 % ackumulerad avkastning för hela tidsperioden vilket kan jämföras med OMXS30 207,7 %. Detta föranleder att den genomsnittliga årliga avkastningen för den likaviktade portföljen varit mer än 45 % högre än OMXS30. Sharpekvoten som är 0,14 för den likaviktade portföljen är även den högre än OMXS30 som har en sharpekvot på 0,116. Detta betyder att den riskjusterade avkastningen i snitt varit högre för den likaviktade portföljen. Jensens alpha för den likaviktade portföljen är för tidsperioden positiv med ett värde på 0,149. Det ger en indikation på att den överavkastar mot OMXS30, dock med ett relativt högt p-värde på 0,201 vilket innebär att inte för mycket vikt ska läggas vid detta. Från Tabell 4.1.2 framgår att alla portföljer i undersökningen har en stark korrelation till OMXS30 vilket kan förklaras av att portföljerna innehåller samma underliggande aktier dock med olika vikter. Den likaviktade portföljen är den portfölj som för hela tidsperioden har den starkaste korrelationen med OMXS30 vilket innebär att det har rört sig mest likvärdigt. Den sektor-likaviktade portföljen har inte genererat lika hög ackumulerad avkastning som varken OMXS30 eller någon av de andra portföljerna i studien för hela undersökningsperioden. Sett till övriga utvärderingsmått är detta den portfölj vars riskjusterade avkastning varit lägst både mätt i sharpekvot och alpha. Denna portföljs korrelation med OMXS30 är samtidigt lägst av alla portföljer i studien men fortfarande över 0,9 vilket är högt. Sharpe 0,5 är den portfölj vars ackumulerade avkastning, sharpekvot och alpha är högst av alla portföljer i studien för hela tidsperioden. Sharpe 1-portföljen presterar nästan lika bra sett till 19

ovanstående utvärderingsmått. Intressant med Sharpe 0,5 är att denna portföljs alpha på 0,251 är näst intill signifikant på 5 % signifikansnivå vilket är det lägsta p-värdet av de undersökta portföljerna och tyder på att den överavkastar mest i förhållande till OMXS30. Sett ur ett investeringsperspektiv och hela tidsperioden är således Sharpe 0,5 det lönsammaste alternativet tätt följt av Sharpe 1 då dessa portföljer har genererat högst ackumulerad avkastning samt högst avkastning i förhållande till tagen risk. Vidare har även den likaviktade portföljen presterat betydligt bättre än OMXS30 trots sin enkla konstruktion. Endast den sektorlikaviktade presterade sämre än OMXS30. 20

4.2 Jämförelse av alla portföljers utveckling under börsnedgång Figur 4.2.1 portföljerna och OMXS30 prestation i börsnedgång, juni 2007 januari 2009. Jämförelse av portföljerna och OMXS30 i börsnedgång 120 100 80 60 40 20 0 OMXS30 Likvaviktade Sektor- likaviktade Sharpe 0,5 Sharpe 1 I Figur 4.2.1 redovisas hur portföljerna och OMXS30 har presterat i börsnedgång, närmare bestämt finanskrisen 2007-2009. Från Figur 4.2.1 går att utläsa att de fyra portföljerna och OMXS30 presterat relativt likvärdigt. De två portföljer med minst negativ ackumulerad avkastning är Sharpe 0,5 och Sharpe 1 vilka ligger på en liknande nivå som OMXS30. Mest negativ ackumulerad avkastning under perioden har den likaviktade och sektor-likaviktade portföljen genererat. Det intressanta från denna jämförelse är att ingen portfölj i undersökningen utmärker sig särskilt positivt. Sharpe 0,5 och Sharpe 1 är de portföljer som under större delen av börsnedgången legat något över de övriga sett till ackumulerad avkastning vilket kan utläsas av Figur 4.2.1. Finanskrisen, vilken startade i USA och är orsaken till börsnedgången, påverkade i princip samtliga sektorer och aktier i OMXS30. Bankaktierna presterade under perioden dåligt men krisen påverkade även aktiekurser för bolag i helt andra sektorer vilket kan bidra till förklaringen till varför portföljernas rört sig relativt likvärdigt. 21

Tabell 4.2.2 utvärderingsmått för period av börsnedgång, juni 2007 januari 2009 Ackumulerad avkastning Genomsnittlig månadsavkastning Sharpekvot månadsnitt Jensen s alpha P-värdet för alpha Korrelation med OMXS30 OMXS30-51,63 % -2,58 % -0,546 - - 1 Likaviktat -55,89 % -2,79 % -0,637-0,49 0,25 0,969 Sektorlikaviktat -54,67 % -2,73 % -0,674-0,62 0,18 0,958 Sharpe 0,5-51,72 % -2,59 % -0,631-0,32 0,51 0,954 Sharpe 1-51,13 % -2,56 % -0,611-0,20 0,71 0,945 I Tabell 4.2.2 framgår hur de olika portföljerna har presterat under en period av börsnedgång (juni 2007 jan 2009) sett till utvärderingsmåtten ovan. Den ackumulerade avkastningen för de olika portföljerna är relativt likvärdig där endast Sharpe 1-portföljen har en marginellt mindre nedgång än OMXS30. Störst nedgång sett till ackumulerad avkastning för perioden har den likaviktade portföljen genererat med -55,89 %. Noterbart är dock att de endast skiljer 5 procentenheter mellan Sharpe 1-portföljen med minst negativ ackumulerad avkastning och den likaviktade med mest negativ ackumulerad avkastning. Sharpekvoterna är negativa för alla portföljer och detta mått kan ge något missvisande resultat att tolka utifrån vilken portfölj som är minst/mest negativ då måttet även baseras på standardavvikelse. Med detta sagt går det att från Tabell 4.2.2 utläsa att sharpekvoterna inte skiljer sig märkvärt mellan portföljerna men att alla har en lägre sharpekvot än OMXS30. Jensen s alpha är även den negativ för alla portföljer men ej signifikant på 5 % signifikansnivå för någon portfölj vilket kan utläsas av att alla p-värden är relativt höga. Sett till korrelationen med OMXS30 är inte längre den sektor-likaviktade portföljen minst korrelerad vilket var fallet för hela undersökningsperioden (2003 2017). Istället har Sharpe 1-portföljen lägst korrelation med OMXS30, följt av Sharpe 0,5-portföljen. En lägre korrelation med OMXS30 innebär att portföljen ej är lika känslig för hur detta index rör sig. Noterbart är att den lägsta korrelationen är 0,945 för sharpe 1-portföljen vilket fortfarande är mycket högt och medför att den typen av argument blir haltande. 22

Då denna börsnedgång var relativt kortvarig är det svårt att dra slutsatser om huruvida dessa portföljkonstruktioner generellt presterar i börsnedgångar överlag. Vidare beror även olika typer av krascher på börsen av olika underliggande orsaker vilket i sin tur påverkar olika aktier i högre eller lägre utsträckning. Det som går att konstatera är att ingen av portföljerna i studien presterade markant bättre än OMXS30 utifrån någon av de undersökta utvärderingsmåtten. 4.3 Jämförelse av alla portföljers utveckling under börsuppgång Figur 4.3.2 portföljerna och OMXS30 prestation i börsuppgång, februari 2009 februari 2015 Jämförelse av portföljerna och OMXS30 i börsuppgång 400 350 300 250 200 150 100 50 09- Feb 09- Apr 09- Jun 09- Aug Oct 09 09- Dec 10- Feb 10- Apr 10- Jun 10- Aug 10- Okt 10- Dec 11- Feb 11- Apr 11- Jun 11- Aug 11- Okt 11- Dec 12- Feb 12- Apr 12- Jun 12- Aug 12- Okt 12- Dec 13- Feb 13- Apr 13- Jun 13- Aug 13- Okt 13- Dec 14- Feb 14- Apr 14- Jun 14- Aug 14- Okt 14- Dec 15- Feb 0 OMXS30 Likaviktade Sektor- likaviktade Sharpe 0,5 Sharpe 1 Figur 4.3.2 visar hur den ackumulerade avkastningen för portföljerna har utvecklats under en period av börsuppgång. Det framgår tydligt att de fyra olika portföljerna i studien har genererat högre ackumulerad avkastning än OMXS30 för perioden. Vidare går det även att se att avståndet mellan portföljerna och OMXS30 succesivt har ökat. Den likaviktade portföljen följt av Sharpe 0,5 är de portföljer som genererat högst ackumulerad avkastning. 23

Tabell 4.3.1 Utvärderingsmått för period av börsuppgång, februari 2009 februari 2015 Ackumulerad avkastning Genomsnittlig årsavkastning Sharpekvot månadsnitt Jensen s alpha P-värdet för alpha Korrelation med OMXS30 OMXS30 164,07 % 28,24 % 0,282 - - 1 Likaviktat 238,44 % 40,30 % 0,307 0,199 0,328 0,95 Sektorlikaviktat 215,06 % 36,35 % 0,294 0,206 0,463 0,896 Sharpe 0,5 234,08 % 39,56 % 0,327 0,268 0,12 0,958 Sharpe 1 215,14 % 36,36 % 0,319 0,221 0,182 0,958 Tabell 4.3.1 visar hur de olika portföljerna presterat utifrån utvärderingsmåtten och under en tidsperiod av generell börsuppgång. Den ackumulerade avkastningen för tidsperioden är högst för den likaviktade portföljen vilken har stigit 238,44 % vilket i relation till OMXS30 på 164,07 % är en relativt stor skillnad. Sett till övriga portföljer har Sharpe 0,5-portföljen presterat näst bäst i termer av ackumulerad avkastning följt av Sharpe 1 och den sektor-likaviktade portföljen. I detta fall är det mycket intressant att jämföra sharpekvoterna vilket tidigare förklarat är ett mått på den riskjusterade avkastningen. Här skiljer sig resultaten något i förhållande till den ackumulerade avkastningen. Den portföljen med högst riskjusterad avkastning är Sharpe 0,5 följt av Sharpe 1. Anmärkningsvärt är att alla portföljer i studien har genererat högre sharpekvoter än OMXS30 under tidsperioden av börsuppgång. Jensen s alpha för det olika portföljerna är även den högst för Sharpe 0,5 följt av Sharpe 1 även om p-värdet är inte är under 5 % signifikansnivå vilket gör att det inte går att dra för långtgående slutsatser av detta. Korrelationen med OMXS30 för perioden av börsuppgång är lägst för den sektor-likaviktade portföljen vilket innebär att den rört sig minst likt OMXS30 av portföljerna även om värdet 0,896 fortfarande är högt. Den sektor-likaviktade portföljen presterade under denna period bättre än vad den gjorde under både hela undersökningsperioden och under tid av börsnedgång. En bidragande orsak till detta kan vara att Lundin Petroleum kom in i portföljen 2008 och fick hela 11,11 % vikt samtidigt som aktien under 2009 2012 hade en stark uppgång vilket påverkade portföljens prestation positivt. 24

4.4 Sammanfattning av portföljernas prestationer under de olika tidsperioderna Under hela undersökningsperioden presterade Sharpe 0,5, tätt följt av Sharpe 1, högst ackumulerad avkastning, sharpekvot och alpha till lägst p-värde vilket innebär att dessa genererat högst avkastning till lägst risk. Under perioden av börsnedgång däremot var det ingen portfölj i studien som presterade bättre än OMXS30 sett till ackumulerad avkastning förutom Sharpe 1 med mycket liten marginal. Under perioden av börsuppgång presterade alla portföljer i studien bättre än OMXS30 sett till samtliga utvärderingsmått. Den likaviktade portföljen genererade under denna period högst ackumulerad avkastning men i förhållande till tagen risk presterade Sharpe 0,5 återigen bäst. 4.5 Analys av portföljernas vikter För att djupare förstå varför en portfölj presterat bättre än en annan då de innehåller samma underliggande aktier för varje given tidsperiod behöver vikterna för aktierna i de olika portföljerna analyseras. Den likaviktade portföljens vikt till aktierna har vid den första handelsdagen i januari och juli varje år uppdaterats och givits den samma till alla bolag. Vad detta leder till är att bolag med mindre vikt i OMXS30 har fått större vikt i det likaviktade och att större bolag i OMXS30 har fått mindre vikt i den likaviktade portföljen. En anledning till att den likaviktade genererat överavkastning under hela undersökningsperioden i förhållande till OMXS30 är att mindre bolag under tidsperioden av uppgång i studien genererat högre avkastning även om de mindre bolagen i OMXS30 fortfarande är stora i relation till många andra bolag på börsen. Eftersom större delen av den totala undersökningsperioden består av börsuppgång är det inte helt överraskande att denna portfölj presterat bättre än OMXS30. Under perioden av börsnedgång i studien blev fallet det motsatta och den likaviktade portföljen genererade ett sämre resultat även om skillnaden i avkastning inte var lika stor. Detta kan delvis förklaras av att tidsperioden för börsnedgången var relativt kort. En anledning till att den likaviktade portföljen drabbats hårdast under börsnedgången sett till ackumulerad avkastning kan vara att mindre bolag med sämre likviditet har haft stor vikt och presterat relativt sämre under börsnedgången än de större. 25

Den sektor-likaviktade portföljens aktievikter per sektor och hur dessa har förändrats över hela undersökningsperioden (2003 2017) redovisas i Appendix 1.1 Tydligt är att majoriteten av bolagen som historiskt ingått i OMXS30 tillhör ICB sektorerna Industry och Finance vilket går att se då vikterna till aktierna tillhörande dessa sektorer varit relativt små över hela undersökningsperioden. Som ett exempel har Lundin Petroleum, en aktie som tillhör ICBsektorn Oil & Gas, sedan den kom in i OMXS30 i januari 2008 haft 11,11 % vikt i den sektorlikaviktade portföljen. Under samma tidsperiod har Atlas Copco A-aktie endast haft mellan 1,01 1,11 % vikt i samma portfölj. Anledningen till detta är att Lundin petroleum är den enda aktie som kategoriseras till Oil & Gas av de bolag som ingått i OMXS30. Atlas Copco A kategoriseras till Industry vilket den inte är ensam om varken idag eller historiskt i OMXS30 och medför att denna har fått lägre vikt. Den sektorspecifika risken, vilket grundtanken var att eliminera, har i detta fall ersatts av bolagsspecifik risk genom portföljens konstruktion. Denna svaghet kan bidra till förklaringen av varför portföljen inte presterat lika väl som övriga portföljer i studien för hela utvärderingsperioden. Sharpe 0,5 och Sharpe 1-portföljernas vikter bygger till stor del på klusteranalyserrna som utförts halvårsvis för att bestämma vikter till det kommande halvåret. I Appendix 6.2 redovisas ett exempel på hur viktfördelningen för en given tidsperiod (januari 2003 juni 2003) har sett ut för Sharpe 0,5. Vidare i Appendix 6.3 redovisas viktfördelningen för motsvarande tidsperiod för Sharpe 1. För Sharpe 0,5-portföljen fick aktierna i kluster 0 för den givna tidsperioden totalt 23,88 % vikt vilket kan jämföras med aktierna i kluster 0 för Sharpe 1-portföljen vilka fick totalt 15,89 % vikt. Anledningen till detta är att kluster 0 i detta fall är ett kluster med negativa sharpekvoter vilka således får mindre vikt i Sharpe 1-portföljen än i Sharpe 0,5-portföljen. I kluster 1 för samma tidsperiod återfinns de aktier med högst sharpekvoter vilket föranleder att dessa fått mer vikt i Sharpe 1 än i Sharpe-0,5 portföljen. Slutligen i kluster 2 finns aktier med positiv sharpekvot men inte lika höga som i kluster 1 vilket genom konstruktionen medför att dessa får större vikt i Sharpe 1 än i Sharpe-0,5. Noterbart i Appendix 6.2 och 6.3 är att vikten per aktie under denna tidsperiod blev större för kluster 0 i båda portföljerna än i kluster 2 vilket beror på att aktierna likaviktas inom klustren och att kluster 0 innehåller färre aktier. Detta synliggör en del av portföljkonstruktionens svaghet/styrka i den mening att den slutliga aktievikten till stor del beror på hur många aktier som genom klusteranalysen hamnar inom samma kluster. Trots att den genomsnittliga sharpekvoten är lägre i kluster 0 för den givna tidsperioden får aktierna i detta kluster större 26

vikt än i kluster 2 för båda portföljerna. I Appendix 6.4 och 6.5 redovisas Sharpe 0,5 och Sharpe 1-portföljernas vikt per bolag inom varje kluster för hela tidsperioden. Eftersom de slutgiltiga vikterna för de olika aktierna i Sharpe 0,5 och Sharpe 1 till stor del grundar sig i antal bolag som hamnat i varje kluster blir således aktievikterna för dessa en blandning av klassisk momentumstrategi och contrarian. Sharpe 1 är mer av den klassiska momentumstrategin och Sharpe 0,5 aningen mer åt contrarian i jämförelse med varandra. Från resultaten framgår att både dessa portföljer tydligt presterat bättre än det kapitalviktade OMXS30 indexet. 27

5. Slutsats och förslag till framtida forskning I denna del presenteras studiens slutsats återkopplat till studien syfte och frågeställning. Vidare nämns även förslag på framtida forskning relaterat till studien. 5.1 Slutsats För att återkoppla till frågeställningen om hur de olika portföljerna har presterat i förhållande till varandra och OMXS30 står det klart att samtliga portföljer utom den sektor-likaviktade presterat bättre sett till ackumulerad avkastning över hela tidsperioden. Den portfölj vars prestation sticker ut både gällande högst ackumulerad samt högst riskjusterad avkastning för samma period är Sharpe 0,5. Under perioden av börsnedgång presterade samtliga portföljer i studien relativt likvärdigt och ingen överavkastade i förhållande till OMXS30. Under perioden av börsuppgång genererade den likaviktade portföljen högst ackumulerad avkastning men sett till riskjusterad avkastning presterade återigen Sharpe 0,5-portföljen bäst. Sammantaget ger studiens resultat belägg att ur ett investeringsperspektiv välja en likaviktad portfölj, Sharpe 0,5 eller Sharpe 1-portföljen framför OMXS30. 5.2 Förslag till framtida forskning Utifrån den sektor-likaviktade portföljen hade det varit intressant att använda samma metod men med fler bolag inom de olika sektorerna för att se vilka resultat som skulle uppnås. Detta genom att exempelvis utgå från ett bredare index än OMXS30 för att få in fler bolag och på så sätt minska den bolagsspecifika risken som uppstår när endast bolagen som historiskt ingått i OMXS30 utgör grunden. Mot bakgrund av Sharpe 0,5 och Sharpe 1-portföljerna hade det varit intressant att undersöka prestationen för en portfölj där metoden grundat sig på att blanka grupper av aktier med negativ sharpekvot och köpa grupper av aktier med positiv sharpekvot från klusteranalysen. Ett tillägg vore även att använda makroekonomiska variabler för att undvika stora exponeringar under potentiellt sämre tider på börsen. Dessutom kan hänsyn tas till transaktionskostnader för att ge ökad trovärdighet till studien. 28

6. APPENDIX 6.1 Sektor- likaviktade portföljens olika aktievikter för olika sektorer för varje tidsperiod 29

6.2 Sharpe 0,5, januari 2003 juni 2003 6.3 Sharpe 1, januari 2003 juni 2003 30