Rotationsanalys av asteroid 4179 Toutatis

Rotationsanalys av asteroid 4179 Toutatis Teknisk fysik, Chalmers tekniska högskola - Sverige Alexander Grabowski Robin Andersson alegra@student.chalmers.se robiand@student.chalmers.se 930303-6231 920802-4977 8 maj 2013 Sammanfattning Analysen är huvudsakligen numeriskt inriktad och behandlar hur två olika stelkroppsapproximationer av asteroiden Toutatis 4179 beter sig utan inverkan av externt vridmoment. Syftet med undersökningen är att simulera rotationen för modellerna med hjälp av Eulers rörelseekvationer och kunna dra slutsatser om rotationens och precessionens beteende för modellerna. Undersökningen innehåller också en jämförelse mellan teori och numeriska resultat för konservation av kinetisk energi och rörelsemängdsmoment.

Innehåll 1 Del 1 - Euler s ekvationer 1 1.1 Uppgift 1a......................... 1 1.2 Uppgift 1b......................... 1 1.3 Uppgift 1c......................... 1 1.3.1 Fall i........................ 1 1.3.2 Fall ii....................... 2 2 Asteroid 4179 Toutatis 2 2.1 Metod........................... 2 2.1.1 Den symmetriska modellen........... 2 2.1.2 Den asymmetriska modellen........... 3 2.2 Resultat.......................... 4 2.3 Diskussion......................... 7 A MATLAB-kod 10 A.1 Kod för den symmetriska kroppen........... 10 A.2 Kod för den asymmetriska kroppen........... 11 A.3 Kod för geometriska figurer............... 12 A.4 Funktionsfilen för ode45 problemet........... 13 B Kamratbedömning 14

1 Del 1 - Euler s ekvationer Då man inför ett kroppsfixt koordinatsystem ξηζ innebär det att tröghetsmatrisen I får icke tidsberoende värden. Vilket kan göra både analytiska och numeriska beräkningar enklare. Vid härledning av ett förhållande mellan L och vridmomentet M, där L = Iω = I(ω ξ ˆξ + ωηˆη + ω ζ ˆζ), samt I = fås per definition, ( ) dl M = dt I ξξ 0 0 0 I ηη 0 0 0 I ζζ ξηζ, ω = ω ξ ˆξ + ωηˆη + ω ζ ˆζ, + Ω L = ( L ξ ˆξ + Lηˆη + L ζ ˆζ) + Ω L. Då huvudtröghetsaxlarna sammanfaller med det kroppfixa koordinatsystemet så gäller att Ω = ω. Beräkning av kryssprodukten och följt av uppdelning i komponenterna Mξ, Mη, Mζ, ger då möjligheten att rörelseekvationerna kan då tecknas enligt följande [1], Mξ = I ξξ ω ξ (I ηη I ζζ )ω η ω ζ, Mη = I ηη ω η (I ζζ I ξξ )ω ζ ω ξ, Mζ = I ζζ ω ζ (I ξξ I ηη )ω ξ ω η. Om det antas att det externa vridmomentet är 0, samt att två tröghetsmoment är lika, d.v.s. I ξξ = I ηη, så gäller följande, Mξ = 0 I ξξ ω ξ = (I ηη I ζζ )ω η ω ζ, Mη = 0 I ηη ω η = (I ζζ I ξξ )ω ζ ω ξ, Mζ = 0 I ζζ ω ζ (I ξξ I ηη )ω ξ ω η = 0 ω ζ = 0. }{{} =0 Men om det tidigare antagandet att I ξξ = I ηη inte längre följer, utan vi antar istället att I ξξ I ηη, I ξξ I ζζ samt I ηη I ζζ. Med följande tre definierade konstanter γ ξ, γ η och γ ζ, enligt så gäller då γ ξ = I ηη I ζζ I ξξ, γ η = I ζζ I ξξ I ηη, γ ζ = I ξξ I ηη I ζζ, ω ξ = γ ξ ω η ω ζ, ω η = γ η ω ζ ω ξ, ω ζ = γ ζ ω ξ ω η. (1) 1

2 Asteroid 4179 Toutatis 2.1 Metod 2.1.1 Den symmetriska modellen För den symmetriska kroppen har ett kroppsfixt koordinatsystem ξ, η, ζ införts med origo i tyngdcentrum för kroppen. Med det koordinatsystemet så sammanfaller huvudtröghetsmomentsaxlarna med koordinataxlarna ξ, η, ζ av symmetriskäl. Kroppen består av två olika sfärer med radier r 1 = 1500 m respektive r 2 = 2500 m och massorna m 1 respektive m 2. Koordinaterna ξ, η, ζ motsvarar koordinaterna för tyngdpunkten G, med avseende på kontaktpunkten mellan sfärerna som är ett tillfälligt origo i denna beräkning för tröghetsmomenten. I denna symmetri behövs enbart ζ beräknas enligt i ζ = m ir i, m 1 + m 2 ty, η = ξ = 0 av symmetriskäl (se figur 1). Kring tyngdpunkten G beräknades sedan tröghetsmomenten I ξξ, I ηη och I ζζ enligt, I ξξ = I ηη = I 1 + I 2, I ζζ = 2 5 ( ) m 1 r1 2 + m 2r2 2. Med hjälp utav parallella-axel-teoremet för deras respektive parallella axlar fås att I 1 och I 2 uttryckt kring G blir då I 1 = 2m 1r 2 1 5 + m 1 (r 1 + ζ) 2, I 2 = 2m 2r 2 2 5 + m 2 ( ζ r 2 ) 2. I ξξ = I ηη = I 1 +I 2 = m 1 ( 2 5 r2 1 + (r 1 + ζ) 2 ) +m 2 ( 2 5 r2 2 + ( ζ r 2 ) 2 ). Massorna m 1 och m 2 är delmassor av asteroidens totala massan m [2]. Låt asteroidens ha en densitet ρ = 1 kgm 3. Då gäller m 1 = r3 1 r1 3 + m, m 2 = r3 2 r3 2 r1 3 + m. r3 2 Med de beräknade värdena för de tre tröghetsmomenten och differentialekvationerna (se ekvation 1) är systemet lösbart. Problemet löses sedan numeriskt med MATLAB, vilket ger vinkelhastigheterna ω ξ, ω η och ω ζ för den symmetriska modellen. 2

Figur 1: Figuren visar de två modeller som har använts för approximationerna. Den vänstra modellen som är den symmetriska består av två sfärer med radier r 1 = 1500 m respektive r 2 = 2500 m, vilka båda är i kontakt i en punkt. Den högra modellen, den asymmetriska, är en ellipsoid med halvaxellängderna a = 1200 m, b = 2500 m, c = 3500 m. Båda kropparna har orienterade axlar enligt figur. 2.1.2 Den asymmetriska modellen Den asymmetriska modellen är en ellipsoid med halvaxellängderna a = 1200 m, b = 2500 m och c = 3500 m och massan m = 5 10 13 kg [2], se figur 1. Jämfört med den symmetriska modellen i samma figur så är tyngdpunkten i den asymmetriska kroppen belägen i kroppens centrum. Med koordinatsystemet enligt figur 1 beräknas tröghetsmomenten enligt [1] I ξξ = 1 5 m(b2 + c 2 ), I ηη = 1 5 m(a2 + c 2 ), I ζζ = 1 5 m(a2 + b 2 ). 3

Med de erhållna tröghetsmomenten användes sedan MATLAB (se appendix A.2) för att åter igen lösa differentialekvationerna enligt ekvation 1. Detta ger vinkelhastigheterna Ω ξ, Ω η och Ω ζ för den asymmetriska modellen. 2.2 Resultat Utifrån de utförda beräkningar observerades olika resultat mellan den symmetriska- och asymmetriska modellen. Mer specifikt observerades att den symmetriska modellen att har en konstant rotationsvektor i ζ-riktningen jämfört den asymmetriska modellen vars ζ-komponent varierar i storlek. Vinkelhastigheterna i ξ- och η-riktningarna för respektive modeller uppvisar liknande sinusoidala svängningar. Dock observeras olika storlekar på de två komponenterna Ω ξ och Ω η för den asymmetriska, vilket den symmetriska ej indikerar. Periodtiderna mellan modellerna är olika, dock är skillnaden mellan dom liten, se figurer 2 och 3. Om koordinataxlarna ξ, η, ζ för ett system sammanfaller med huvudtröghetsaxlarna för en stel kropp kan rörelsemängdsmomentet L och rotationsenergin E k uttryckas enligt följade, [1] L = I ξξ ω ξ ξ + Iηη ω η η + Iζζ ω ζ ζ, E k = 1 2 (I ξξω 2 ξ + I ηηω 2 η + I ζζω 2 ζ ). Eftersom det externa vridmomentet M är noll, och arbetet W som M hade utfört under en rotationsvinkel dθ på kroppen beskrivs enligt, [1] W = E k = M dθ, så följer att W = 0, vilket implicerar att rotationsenergin förblir konstant. I sin tur är tidsderivatan av rörelsemängdsmomentet dl = M = 0 = L konstant. dt Teoretiskt sett förblir alltså både rörelsemängdsmomentet och den kinetiska energin av den stela kroppen konstant. Detta bekräftas även numeriskt i figur 4, som visar L samt E k för båda modellerna. Alltså kan E k teoretiskt sett öka i inertialsystemet (t.ex. om parametern v ökar), dock gäller det att 1 2 Iω2 förblir konstant. Beräkningen av längden på vektorerna ω och Ω enligt Ω = Ω 2 ξ + Ω2 η + Ω 2 ζ, ω = ωξ 2 + ω2 η + ωζ 2, 4

ger olika resultat för den symmetriska respektive asymmetriska modellen. För den symmetriska modellen observerades att ω konstant, vilket skiljer den från den asymmetriska, där Ω istället varierade sinusoidalt. Det observerades att den symmetriska modellens resulterande rotationsvektor utför en cirkelformad precessionsrörelse runt ζ-axeln. Däremot uppvisar den asymmetriska modellen en elliptisk precessionsrörelse runt ζ-axeln, samt att dess resulterande rotationsvektor Ω varierar i längd, som beräknat ovan. Anledningen till detta fenomen är för att den asymmetriska kroppen har tre olika tröghetsmoment, vilket gör det möjligt att L är konstant trots att Ω ej är konstant. 5

2 Vinkelhastigheter, symmetrisk modell ω ξ 1.5 ω η ω [rad/dygn] 1 0.5 0 ω ζ ω 0.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t [dagar] Precessionsrörelse, symmetrisk modell ωζ [rad/dygn] 1.8 1.75 1.7 1.65 1.6 0.6 0.4 0.2 0 0.2 ω η [rad/dygn] 0.4 0.6 0.6 0.4 0.2 0 0.2 ω ξ [rad/dygn] 0.4 0.6 Figur 2: Vinkelhastigheterna och precessionsrörelsen för den symmetriska kroppen. Den horisontella linjen i översta grafen motsvarar ω ζ och man ser att den har en konstant vinkelhastighet. Men de två andra kurvorna som motsvarar ω ξ och ω η, varierar båda två sinusodialt. Med denna modell får ω ξ och ω η två nästan lika rotationsperioder, nämligen τ ξ = 7.16 dagar respektive τ η = 7.14 dagar. Den nedre figuren illustrerar precessionsrörelsen för kroppen, och det kan observeras att den resulterande rotationsvektorn utför en cirkelformad precessionsrörelse runt ζ-axeln. Notera att Ω är konstant. 6

2 Vinkelhastigheter, asymmetrisk modell Ω ξ 1.5 Ω η Ω [rad/dygn] 1 0.5 0 Ω ζ Ω 0.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t [dagar] Precessionsrörelse, asymmetrisk modell Ωζ [rad/dygn] 1.8 1.7 1.6 0.4 0.2 0 0.2 Ω ξ [rad/dygn] 0.4 0.6 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 Ω η [rad/dygn] 0.4 0.6 0.8 Figur 3: Vinkelhastigheterna och precessionsrörelsen för den asymmetriska kroppen. Här skiljer sig Ω ξ och Ω η med att de har olika amplituder, vilket var förväntat ty I ηη I ξξ. Här har även Ω ζ fått en periodtid och är alltså inte längre konstant. Precessionsrörelsen ser också nu annorlunda ut relativt figur 2, ty Ω ζ c, där c är en godtycklig konstant. Istället för en cirkelformad precession som den symmetriska kroppen hade, observeras nu en elliptisk precessionsrörelse. Notera i figuren att Ω ej är konstant längre, den varierar (dock är variationen väldigt liten). 2.3 Diskussion Utifrån den utförda analys så dras slutsatsen att båda modellerna är bra approximationer sett utifrån de uppmätta periodtiderna för asteroiden. Ty, båda modeller visar periodtider på cirka 7 dagar vilket kan observeras i figur 2 och 3. Jämfört med den givna periodtiden t = 7.35 dagar för asteroiden är detta bra värden. Förutom konservering av rotationsenergi och rörelsemängdsmoment är det svårt att dra några andra slutsatser gällande storheter för asteroiden i inertialsystemet, 7

x 10 20 Konservering av storheter, symmetrisk modell 2.4 2.35 2.3 L (kg m 2 s 1 ) E k (J) 2.25 2.2 2.15 2.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 10 20 t [dagar] Konservering av storheter, asymmetrisk modell 1.65 1.6 1.55 L (kg m 2 s 1 ) E k (J) 1.5 1.45 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t [dagar] Figur 4: Ovan illustreras konserveringen av rörelsemängdsmomentet L och rotationsenergin E k. Storleken på dom beror på att massan i vår modell är m = 5 10 13, se appendix (2). 8

då det saknas data om övriga storheter. Referenser [1] Physics Handbook, Carl Nordling & Jonny Österman Moments of inertia for ellipsoid 173, Rotational energy for principal systems 167, Work for plane turning 167, Angular momentum for principal systems 168, Euler s equations of motion in a corotating principal system 168. [2] Wikipedia, unknown author, http://en.wikipedia.org/wiki/4179_toutatis the mass m of the asteroid. 9

A MATLAB-kod A.1 Kod för den symmetriska kroppen %% symmetric body R1=1500; R2=2500; mtotal=5*10^(13); m1=(r1^3)/(r1^3+r2^3)*mtotal; m2=(r2^3)/(r1^3+r2^3)*mtotal; xmasscenter= (m2*r2-m1*r1)/mtotal; % the x coordinate of the mass center, % x-axis is defined such as positive % direction towards the larger sphere % it extends from the contact point of % the two spheres. IXiXi=(2/5)*(m1*R1^2+m2*R2^2)+m1*(R1+xMassCenter)^2+ m2*(r2-xmasscenter)^2; IEtaEta=IXiXi; IZetaZeta=(2/5)*(m1*R1^2+m2*R2^2); w0x=pi*20/180; w0y=pi*32/180; w0z=pi*98/180; startvalues=[w0x w0y w0z IXiXi IEtaEta IZetaZeta] ; time=[0 10]; options=odeset( RelTol,1e-15, AbsTol,1e-15); [t w]=ode45(@toutatis,time,startvalues,options); figure(1); subplot(2,1,1); hold on; grid on; plot(t,w(:,1), --r, LineWidth,2); plot(t,w(:,2), k, LineWidth,2); plot(t,w(:,3), -.b, LineWidth,2); plot(t,sqrt((w(:,1)).^2+(w(:,2)).^2+(w(:,3)).^2),... Color, [0.0, 0.8, 0.0], LineWidth,2); h_legend=legend( \omega_\xi,... \omega_\eta, \omega_\zeta, \omega ); set(h_legend, FontSize,15); title( Vinkelhastigheter, symmetrisk modell,... Interpreter, LaTex, FontSize,18); xlabel( $t$ [dagar],... Interpreter, LaTex, FontSize,15); ylabel( $\omega$ [rad/dygn],... Interpreter, LaTex, FontSize,15); figure(1); subplot(2,1,2); hold on; grid on; plot3(w(:,1),w(:,2),w(:,3), k, LineWidth,2); title( Precessionsr\"{o}relse, symmetrisk modell,... Interpreter, LaTex, FontSize,18); 10

xlabel( $\omega_\xi$ [rad/dygn],... Interpreter, LaTex, FontSize,15); ylabel( $\omega_\eta$ [rad/dygn],... Interpreter, LaTex, FontSize,15); zlabel( $\omega_\zeta$ [rad/dygn],... Interpreter, LaTex, FontSize,15); axis([-0.7 0.7-0.7 0.7 1.6 1.8]); %% conservation of energy figure(4); subplot(2,1,1); hold on; grid on; title( Konservering av storheter, symmetrisk modell,... Interpreter, LaTex, FontSize,18); xlabel( $t$ [dagar], Interpreter,... LaTex, FontSize,15); plot(t,sqrt((ixixi*w(:,1)).^2+(ietaeta*w(:,2)).^2+... (IZetaZeta*w(:,3)).^2), --b, LineWidth,2); plot(t,0.5*ixixi*w(:,1).^2+0.5*ietaeta*w(:,2).^2+... 0.5*IZetaZeta*w(:,3).^2, k, LineWidth,2); h_legend=legend( L (kg\cdot m^2\cdot s^-^1), E_k (J) ); set(h_legend, FontSize,15); A.2 Kod för den asymmetriska kroppen %% asymmetric body x=1200; y=2500; z=3500; mtotal=5*10^(13); IXiXi=(1/5)*mTotal*(y^2+z^2); IEtaEta=(1/5)*mTotal*(x^2+z^2); IZetaZeta=(1/5)*mTotal*(x^2+y^2); w0x=pi*20/180; w0y=pi*32/180; w0z=pi*98/180; startvalues=[w0x w0y w0z IXiXi IEtaEta IZetaZeta] ; time=[0 10]; options=odeset( RelTol,1e-15, AbsTol,1e-15); [t w]=ode45(@toutatis,time,startvalues,options); figure(2); subplot(2,1,1); hold on; grid on; plot(t,w(:,1), --r, LineWidth,2); plot(t,w(:,2), k, LineWidth,2); plot(t,w(:,3), -.b, LineWidth,2); plot(t,sqrt((w(:,1)).^2+(w(:,2)).^2+(w(:,3)).^2),... Color, [0.0, 0.8, 0.0], LineWidth,2); h_legend=legend( \Omega_\xi, \Omega_\eta,... 11

\Omega_\zeta, \Omega ); set(h_legend, FontSize,15); title( Vinkelhastigheter, asymmetrisk modell,... Interpreter, LaTex, FontSize,18); xlabel( $t$ [dagar], Interpreter, LaTex, FontSize,15); ylabel( $\Omega$ [rad/dygn], Interpreter,... LaTex, FontSize,15); figure(2); subplot(2,1,2); hold on; grid on; axis equal; plot3(w(:,1),w(:,2),w(:,3), k, LineWidth,2); axis([-0.6 0.6-0.9 0.9 1.6 1.8]); title( Precessionsr\"{o}relse, asymmetrisk modell,... Interpreter, LaTex, FontSize,18); xlabel( $\Omega_\xi$ [rad/dygn], Interpreter,... LaTex, FontSize,15); ylabel( $\Omega_\eta$ [rad/dygn], Interpreter,... LaTex, FontSize,15); zlabel( $\Omega_\zeta$ [rad/dygn], Interpreter,... LaTex, FontSize,15); %% conservation of energy, asymmetric figure(4); subplot(2,1,2); hold on; grid on; title( Konservering av storheter, asymmetrisk modell,... Interpreter, LaTex, FontSize,18); xlabel( $t$ [dagar], Interpreter, LaTex, FontSize,15); plot(t,sqrt((ixixi*w(:,1)).^2+(ietaeta*w(:,2)).^2+... (IZetaZeta*w(:,3)).^2), --b, LineWidth,2); plot(t,0.5*ixixi*w(:,1).^2+0.5*ietaeta*w(:,2).^2+... 0.5*IZetaZeta*w(:,3).^2, k, LineWidth,2); h_legend=legend( L (kg\cdot m^2\cdot s^-^1), E_k (J) ); set(h_legend, FontSize,15); A.3 Kod för geometriska figurer %% plot spheres and ellipsoid figure(3); hold on; grid on; axis equal; [sx,sy,sz] = sphere(50); [ex,ey,ez] = ellipsoid(0,0,0,x/1000,y/1000,z/1000); surf(r1/1000*sx-r1/1000-r2/1000,r1/1000*sy,r1/1000*sz-r1/1000,sy); surf(r2/1000*sx-r1/1000-r2/1000,r2/1000*sy,r2/1000*sz+r2/1000,sy); surf(ex+1,ey,ez+0.8,ey); alpha(0.3); shading faceted; title( Visualisering av modeller,... 12

Interpreter, LaTex, FontSize,18); xlabel( $\xi\;$[km], Interpreter, LaTex, FontSize,15); ylabel( $\eta\;$[km], Interpreter, LaTex, FontSize,15); zlabel( $\zeta\;$[km], Interpreter, LaTex, FontSize,15); A.4 Funktionsfilen för ode45 problemet function f = toutatis(t,z) f=zeros(6,1); f(1,1)=((z(5)-z(6))/(z(4)))*z(2)*z(3); f(2,1)=((z(6)-z(4))/(z(5)))*z(3)*z(1); f(3,1)=((z(4)-z(5))/(z(6)))*z(1)*z(2); f(4,1)=z(4); f(5,1)=z(5); f(6,1)=z(6); 13

B Kamratbedömning Kommentarer till inlämningsuppgift av (namn,grupp): Alexander Grabowski, Robin Andersson, grupp 7 Kommentarer av (namn,grupp): Jesper Johansson, Isabel Harrysson Rodrigues, grupp 20 Formalia Bra, inga anmärkningar! Utformning Godkänt, fungerar vid utskrift. Figurmodellen kunde varit placerad tidigare i rapporten. Textkommentar Godkänt, figurtexterna är lite för långa. Fysikalisk modellering Väl godkänt. Begreppsförståelse och tydlighet Väl godkänt. 14