Ansvariga för modulen Malmö universitet, i samarbete med Luleå tekniska universitet och Nationellt centrum för matematikutbildning.

Förskolans matematik Modulen tar sin utgångspunkt i matematiska aktiviteter, det vill säga något som man gör som kan sägas vara matematiskt. Huvudsyftet med kompetensutvecklingen är att ni som arbetar i förskolan ska få en fördjupad förståelse för vad matematiska aktiviteter kan vara så att ni på ett medvetet sätt kan planera, iscensätta och följa upp undervisningen i förskolan som utvecklar barnens förmåga att aktivt delta i matematiska aktiviteter. Modulen består av följande delar: 1. Matematiska aktiviteter 2. Leka 3. Förklara 4. Dokumentera och fördjupa 5. Strukturera rummet 6. Lokalisera 7. Designa 8. Dokumentera och följ upp 9. Kvantifiera 10.Mäta 11. Räkna 12.Dokumentera och utveckla Delarna är grupperade i tre grupper med fyra i varje. Varje grupp om fyra delar har både en matematisk inriktning och ett pedagogiskt fokus. Den matematiska inriktningen kan ses i titlarna på delarna. Pedagogiskt fokus i del 1-4 fokuserar på eleverna. Delarna kommer att beröra de matematiska aktiviteterna, leka och förklara. Dessa aktiviteter har en mer övergripande karaktär än de övriga aktiviteterna designa, lokalisera, mäta och räkna. Del 5-8 fokuserar på förskollärares agerande och del 9-12 fokuserar på undervisningen. Eftersom dessa fokus inte kan separeras kommer dock alla tre att ha betydelse under hela modulen. Del 4, 8 och 12 handlar alla om dokumentation ur tre olika perspektiv. Ni kommer först få ta del av hur barns dokumentationer kan användas i undervisningen för att återanknyta och utmana. Senare kommer ni att arbeta med dokumentation för att följa barns utveckling samt som en aspekt av utvecklingen av undervisningen. Ansvariga för modulen Malmö universitet, i samarbete med Luleå tekniska universitet och Nationellt centrum för matematikutbildning. Revision: 4 Datum: 2018-05-02

Del 10. Mäta Den här delen tar upp den matematiska aktiviteten mäta. I aktiviteten ingår att urskilja någon egenskap man är intresserad av och om vilken man kan fråga: Hur mycket?. Det kan till en början handla om att jämföra saker och kanske sätta dem i ordning. Om man vill jämföra föremål som inte finns på samma plats eller är tillgängliga samtidigt, behöver man ha något lämpligt tredje objekt att jämföra med. Ibland kan detta tredje objekt jämföras med båda föremålen. Vid andra tillfällen används det tredje objektet som enhet och man bestämmer antalet enheter för varje föremål. I detta fall blir mäta och räkna nära sammankopplade. Syftet med denna del är att ni ska få en djupare förståelse av den matematiska aktiviteten mäta. Revision: 4 Datum: 2018-05-02

Del 10: Moment A individuell förberedelse Läs Reflektera över följande när du läser texten Mäta : Hur barn behöver utforska aktiviteten mäta i många situationer för att utveckla en rik förståelse för att mäta Att barns utveckling av att urskilja en egenskap går hand i hand med utvecklingen av språket för egenskapen Progressionen i förståelse att mäta någon egenskap: att jämföra föremål direkt och ordna enligt storlek att jämföra två föremål genom att använda sig av ett tredje föremål begreppet transitivitet att använda ett föremål som enhet för att mäta andra föremål att förstå att enheter ska ha samma storlek och placeras utan luckor att använda någon form av skala för att mäta att förstå var mätningen börjar och slutar samt betydelsen av ändpunkter. Se film Reflektera över följande frågor när du ser filmen Mäta temperaturen : Vilka förståelser av den matematiska aktiviteten mäta visar barnen i filmen? Vad gör barnen och vilka ord använder de? Hur kan man relatera till transitivitet, upprepning och identiska enheter? Hur utmanar förskolläraren barnens teorier-i-handling och begrepp-i-handling i situationen? Vilka resurser används? Hur drar de till sig och håller kvar barnens intresse i situationen? Hur skulle man i liknande situationer kunna utmana barnens teorier-i-handling och begrepp-i-handling i förhållande till den matematiska aktiviteten mäta? Max och Emil ska baka hälften så många muffins som det står i receptet, se episoden i filmen Om två, hälften och dubbelt (titta mellan 6.15-8.45 min). Caroline undersöker hur mycket kaviar som får plats i en kaviartub i filmen Om triangel, pyramid och volym (titta mellan 6.40-8.45 min). Reflektera över samma frågor som ovan. Dokumentera Skriv ner dina reflektioner kring texten och filmerna och lägg i din portfolio. Revision: 4 Datum: 2018-05-02

Material Mäta Ola Helenius, Maria L. Johansson, Troels Lange, Tamsin Meaney, Eva Riesbeck, Anna Wernberg, Mäta temperaturen Malmö högskola https://www.youtube.com/watch?v=wipm0t99kzc Filformatet kan inte skrivas ut Om två, hälften och dubbelt (i serien Katten, musen, tiotusen) Tid: 9.33. Producent: UR Skola. Filformatet kan inte skrivas ut Om triangel, pyramid och volym (i serien Katten, musen, tiotusen) null Filformatet kan inte skrivas ut Revision: 4 Datum: 2018-05-02

Matematik Förskola Modul: Förskolans matematik Del 10: Mäta Mäta Ola Helenius, NCM, Maria L. Johansson, Luleå tekniska universitet, Troels Lange, Malmö universitet, Tamsin Meaney, Malmö universitet, Eva Riesbeck, Malmö universitet och Anna Wernberg, Malmö universitet I texten Kvantifiera i del 9 förklarade vi idéerna bakom den matematiska aktiviteten mäta utifrån ett exempel om jämförelse av två kärl med guldsand. Vi beskrev två sätt att göra jämförelser. Antingen kan man hälla den ena sandmängden i en tillräckligt stor burk, markera hur högt på burken sanden går och därefter göra detsamma med den andra och sedan jämföra de två markeringarna. Eller kan man använda en skopa för att skeda upp sanden och samtidigt komma ihåg antalet skedar och sen jämföra antalet skedar för de två sandvolymerna. Vidare beskrev vi hur man kan koppla ihop idéerna i dessa två tillvägagångssätt till idén om tallinjen som både inbegriper idén om att mäta genom att jämföra markeringar på samma standardform och idén om att mäta genom att räkna antalet av någon lämplig enhet som är innehållet i det man vill jämföra. Alltså är mäta och räkna ofta två sidor av samma mynt: man mäter genom att räkna (enheter) och man räknar genom att mäta (antal). Här vill vi gå djupare in på grundidéerna i aktiviteten mäta. I texten Matematiska aktiviteter (del 1) använder vi ett exempel med ett staket byggt av stolpar för att förklara vad som menas med en matematisk aktivitet. Stolparna kunde göras lika långa genom att lägga dem bredvid varandra och kapa dem. En stolpe från staketet blev sparad för att man skulle kunna göra nya stolpar med samma längd, till exempel för att ersätta trasiga stolpar eller bygga ett annat liknande staket. Den sparade stolpen objektifierade idén om längd; den blev ett mått på längd. I denna tänkta berättelse finns flera av grundidéerna i aktiviteten mäta. För det första ingår alltid att någon egenskap urskiljs. Till föreställningen om staketet hör att det ska byggas av stolpar som huggs av träd som växer på någon plats. Ett träd kan upplevas på många sätt. Det kan vara vackert, växa på en helig plats, ge bra skugga och så vidare. Utifrån alla de sinnesintryck och föreställningar som finns i förhållande till trädet, ska de egenskaper som ingår i föreställningen om en stolpe urskiljas. Det som främst kan sägas om stolpkandidaterna är att de ska ha följande egenskaper: vara så pass långa och tjocka att det kan bli till ett staket som till exempel kan hålla får instängda. När en egenskap har urskilts är den andra grundidén i aktiviteten mäta, att denna egenskap kvantifieras. I exemplet med staketet innebär det att avgöra hur långa stolparna ska vara. Kanske bedömer man att det räcker om staketet har samma höjd som djuren. Om man härtill lägger det djup som stolparna ska grävas ner i för att stå tillräckligt stabilt, fås en föreställning om hur långa stolparna måste vara. Det vill säga hur mycket av egenskapen längd de ska ha. Exemplet här illustrerar också att idén om längd kan ta sig olika https://larportalen.skolverket.se 1 (13)

sinnesintryck. Vid en direkt anblick har ett får, ett hål och en stolpe inte mycket gemensamt, men om vi tar på oss längdglasögonen upptäcker vi något gemensamt. Höjden på ett får, djupet på ett hål och längden på en stolpe delar på samma egenskap, nämligen längd. Resonemanget ovan visar att svar på frågan hur mycket, alltid innebär någon form av jämförelse. Stolpen är längre än fåret är högt, och även längre än hålet är djupt. Längden av stolpen är lika med den sammanlagda längden (höjden) av fåret och längden (djupet) av hålet. 1 Jämförelse kan ske direkt, som när man lägger en stolpe med rätt längd bredvid en stolpkandidat, men jämförelse kan även vara indirekt. När man vill mäta den första stolpen tar man kanske en annan stolpe och markerar höjden på ett får och djupet på hålet och överför därefter markeringarna till en stolpe som skall användas i staketet. Man jämför inte stolpen direkt med fåret och hålet, utan gör det indirekt via den andra stolpen. Vi ser också här jämförandets struktur som vi även diskuterade i del 9 utifrån Davydovs kursplan. Två längder kan sättas samman till ny längd: hålets djup (A) tillsammans med fårets höjd (B) är stolpens längd (C). A+B=C Ett annat sätt att se på detta är att stolpen är så mycket längre än fåret är högt och att det motsvarar hålets djup. Med andra ord, tar man bort fårets höjd från stolpens längd blir hålets djup kvar. C-B=A En längd kan alltså delas upp i delar och helhet och längder kan adderas och subtraheras utan att längderna representeras av tal. Bild 1. Mäta deg med en "enhetskanelbulle" I berättelsen om staketet kan man också se den tredje grundidén i aktiviteten mäta, nämligen enhet. Den sparade stolpen blir ett mått på längd, något man kan mäta andra föremåls längd med, en måttstock. En annan stolpe kan vara längre eller kortare än 1 Språket är lite förvirrande här eftersom det är vanligt av prata om längden på något vertikalt som höjd om det inte är under markytan där det då kallas djup, medan horisontella föremål tillskrivas längd. I alla fall pratar vi om utsträckning i en dimension och det gemensamma begreppet är längd. https://larportalen.skolverket.se 2 (13)

måttstocks-stolpen. Staketets längd kan mätas med måttstolpen och sägas vara lika långt som ett antal måttstolpar. Det illustrerar den ena av två aspekter av mätning med en måttstock. Man kan mäta något långt med en kort måttstock och räkna hur många måttstockar det går på den långa längden. Den andra aspekten kan illustreras med att man kan jämföra fårets korta höjd med den längre måttstockstolpen och registrera höjden genom att markera positionen på måttstocken. I Bild 1 ser man hur en rulle deg mäts upp med en portion deg som enhet. Man kan säga att rullen är sju portioner lång. Aktiviteten mäta enligt Bishop När Bishop (1988) skriver om mätning lyfter han fram samma fenomen som i avsnittet ovan, urskilja, jämföra och enhet, men pekar också på det kulturella sammanhang som mätningsaktiviteter utvecklats i. En klass av exempel är längdmått som utvecklats med den mänskliga kroppen som utgångspunkt. Mätning behandlar jämförelse, ordning och kvantifiering av egenskaper som är av värde och betydelse. Alla kulturer erkänner betydelsen av vissa saker men alla kulturer värdesätter dock inte samma saker i samma utsträckning. Det är typiskt den omedelbara närmiljön som tillhandahåller både de egenskaper som ska mätas och de enheter som de ska mäts med. Till exempel var den mänskliga kroppen säkert den första mätanordning som utnyttjades av alla kulturer (s. 34) I alla kulturer finns ett behov för att språkligt kunna jämföra och ordna egenskaper. Behovet att mäta uppstår om man önskar jämföra fenomen, det vill säga om man vill tänka om dem utifrån föreställningar som mer än eller mindre än. En sten kan kännas tung. En annan kan kännas tyngre och bland flera stenar kan man peka ut den tyngsta. När en egenskap har pekats ut, följer språkligt ett adjektiv (tung) och dess jämförelsesformer (tyngre, tyngst). Språket utvecklas så att det kan hantera situationer som känns viktiga. När man vill jämföra fler än två eller tre föremål uppkommer idén om ordning. Språket utvecklas då med talorden för ordning, ordningstalen första, andra, tredje och så vidare. Man kan då till exempel prata om den tredje tyngsta stenen. När en kvalitet ökar i betydelse, objektifieras den språkligt i skapelsen av ett substantiv från ett adjektiv, till exempel kan adjektiven tung, tyngre, tyngst objektifieras till tyngd eller vikt. Egenskapen har nu blivit ett ting. Man kan då prata om stenens tyngd. Dessutom har tyngd (vikt) urskilts som en egenskap som är gemensam för alla föremål. En lika fundamental egenskap som ordning är mellanhet. Om vi har två stenar som är olika tunga kan man alltid tänka sig en sten som ligger mellan de två andra i vikt. Om vi har två olika långa pinnar så kan man tänka sig en mellanlång, och kanske tillverka en sådan genom att bryta av lite av den längre pinnen. https://larportalen.skolverket.se 3 (13)

Läroplanen I läroplanen för förskolan, Lpfö 98, står att: Förskolan ska sträva efter att varje barn utvecklar sin förståelse för rum, form, läge och riktning och grundläggande egenskaper hos mängder, antal, ordning och talbegrepp samt för mätning, tid och förändring, utvecklar sin förmåga att använda matematik för att undersöka, reflektera över och pröva olika lösningar av egna och andras problemställningar, utvecklar sin förmåga att urskilja, uttrycka, undersöka och använda matematiska begrepp och samband mellan begrepp, utvecklar sin matematiska förmåga att föra och följa resonemang. (Skolverket, 2016, s. 9-10) Det första målet avser ett innehåll och de tre sista avser förmågor. Mätning anges till exempel som ett specifikt innehåll som barnen alltså ska ges möjlighet att möta i förskolans undervisning. De tre målen som anger förmågor hänger samman med det första målet. Barn i förskolan ska undersöka, reflektera över och prova olika lösningar av egna och andras problemställningar för att utveckla sin förmåga att föra och följa resonemang, urskilja, undersöka och använda matematiska begrepp avseende mätning, tid och förändring. I bakgrundsdokument till förskolans läroplan (Utbildningsdepartementet, 2010) uttrycks Bishops sex matematiska aktiviteter som ett sätt att närma sig läroplanens mål (s. 11). Där specificeras mäta på följande sätt: Mäta Urskilja och undersöka olika typer av egenskaper hos föremål och fenomen, t.ex. storlek, temperatur, längd, bredd, höjd, vikt, volym, hållfasthet och balans. Jämföra, ordna, bestämma och uppskatta egenskaper samt se likheter och skillnader. Skapa representationer av egenskaper och jämförelser med konkret material, teckningar, bilder, ord och andra uttrycksformer. (Utbildningsdepartementet, 2010, s. 11) Mätningen, så som den beskrivs här, tar alltså sin utgångspunkt i samma slags resonemang om mätning som vi beskrivit ovan och i del 9. Egenskaper urskiljs, jämförs och representeras. Nedan kommer vi att ge exempel på barn som är engagerade i olika aspekter av den matematiska aktiviteten mäta under rubrikerna utforska, begreppsliggöra och symbolisera Utforska Barn engagerar sig i den matematiska aktiviteten mäta när de i sin lek urskiljer och undersöker olika typer av egenskaper hos föremål och fenomen såsom storlek, temperatur, längd, vikt och volym. De jämför ofta saker, till exempel hur stort eller litet något är i https://larportalen.skolverket.se 4 (13)

jämförelse med något annat. I många fall använder de sin kropp vid mätning. Följande episod är ett exempel: Bild 2. Leka med däck Barnen leker ute på gården och börjar undersöka däcken som ligger där. Tillsammans vill de bygga ett högt torn med däcken och frågar förskolläraren om hur de ska göra. Förskolläraren låter barnen tänka själva och Marie börjar lyfta ett däck och säger att det är tungt. Ett annat barn kommer och hjälper henne att lyfta upp det. Bild 3. Stapla dem högre När det blir för högt för barnen att nå upp ber de förskolläraren om hjälp. Barnen börjar räkna däcken och jämföra sin egen längd med tornets längd och kommer fram till att de nästan är lika långa. När barnen engagerar sig i att förverkliga föreställningen om ett högt torn byggt av däck, konfronteras de med däckens tyngd. De övervinner detta hinder genom att hjälpas åt att lyfta, vilket dock inte är tillräckligt när tornet blir högt. Barnen upptäcker att det inte enbart är däckets tyngd som avgör om det går att lyfta, utan också hur högt man ska lyfta det. Höjden på tornet uttrycks både genom en jämförelse med barnens egen höjd och genom att räkna antalet däck. Barnens egen höjd uttrycks också genom en jämförelse med bildäcken. https://larportalen.skolverket.se 5 (13)

Att uttrycka mått på objekt med hjälp av sin egen kropp är naturligt eftersom kroppen är det som barnen alltid bär med sig. Utforskande gör det också möjligt att undersöka andra komplexa idéer, till exempel att mäta en krökt kurva som i Bild 4. Bild 4. Längden av omkretsen Här har barnen placerat leksaksfordon efter varandra utan mellanrum i en rockring. De kan då prata om hur stor ringen var, det vill säga längden av omkretsen i antalet fordon. I ett senare skede kan förskolläraren utmana barnens teorier-i-handling om huruvida fordonen behöver ha samma längd för att kunna ge en mer noggrann beskrivning av längden. Då skulle situationen handla om vilken precision som behövs i mätningen, till exempel en konstant enhet. Bild 5. Hoppar på sängen I filmen Hoppar på sängen i del 6 (Bild 5) kan vi se hur pojken har gjort en bedömning av avståndet till sängens kant och anpassar sin lek utifrån den bedömningen. På den första bilden är han på väg att ramla av sängen, på nästa bild har han återigen ramlat men tittar nu efter var kanten på sängen är och flyttar sig sedan bort från kanten. Man kan säga att han https://larportalen.skolverket.se 6 (13)

gör en jämförelse med sin egen kropp och använder den som verktyg för att se hur nära kanten han kan vara utan att ramla av sängen. Vi kan alltså se att han har början till begrepp-i-handling för begreppet mäta. Begreppsliggöra I exemplet ovan, där barnen byggde ett torn med däcken, utforskade barnen de tre huvudidéerna om mätning som Wright, Drake, Gibbs och Hughes (2007) beskriver: egenskap, enhet och skala (skala betyder i detta sammanhang en skala på ett mätinstrument, till exempel en linjal). Även om dessa barn arbetade med begreppet höjd (eller längd), är begreppen gemensamma för de andra matematiska storheterna såsom volym, massa, area och tid. Barn behöver över tid utveckla färdigheter i att mäta, till exempel att använda linjal, men än mer behöver de en gedigen förståelse för de begrepp som ligger bakom dessa färdigheter. Utifrån en sådan förståelse kommer barnen att se sambanden mellan de olika processerna i mätning oavsett vad som mäts. Egenskap Den första idén inom mätning, egenskap, innebär att barnet kan urskilja en lämplig egenskap så att en jämförelse kan göras. I Lembrérs (2013 ) studie i en svensk förskola, beskriver hon hur barns diskussion om att ha semester ledde dem till att rita en karta. I samtalet nedan verkade det som om barnen använde ordet plats till att betyda område men det var inte klart för förskolläraren vid starten. Förskollärare: Stefan: Förskollärare: Stefan: Eva: Varför har du tagit fram papper? Vi måste få plats. Få plats? Vad menar du? Plats för båtar, flygplan, bilar, flygplats, vägar, man kan åka med buss. Arne har fått bussar (Stefan tittar på Eva, hon nickar). Jag ritar hamn, mina båtar står bakom varandra och jag har fem båtar. Jag måste rita av alla fem för att få plats. Även om barnen inte använde ordet område, är det tydligt att de ville rita ett område på papperet som var tillräckligt stort för de olika leksaksfordonen. De tänkte sig jämföra varje fordon med ett område på papperet. Yngre barn använder ofta ordet storlek för att benämna höjd eller volym på samma sätt som plats används i stället för område. Det är viktigt att förskolläraren känner igen vilken egenskap som urskiljs och fokuseras för att kunna hjälpa barnen att utveckla sitt matematiska språk. Det går inte alltid att göra en direkt jämförelse av två objekt som i exemplet ovan där varje båt direkt jämförs med den plats den behöver. Om man vill veta om det finns mer sand i det ena kärlet än i det andra som i texten Kvantifiera i del 9 eller om den ena väggen i rummet är längre än den andra, så kan man inte göra en direkt jämförelse. I stället kan man göra en indirekt jämförelse. I exemplet med sanden kan man använda en burk och markera https://larportalen.skolverket.se 7 (13)

hur högt sanden från varje kärl når. I exemplet med väggarna kan man markera på ett rep hur lång den ena väggen är och därefter jämföra repets längd med den andra väggen. Att på så sätt använda sig av ett tredje objekt för att jämföra två objekt med varandra kallas ett transitivt resonemang. 2 Det innebär att jämförelsen görs med ett oberoende objekt, ett referensobjekt, för att avgöra vilken som är störst av de två objekten (Kamii, 2006). Barn som inte kan jämföra två objekt indirekt, har ännu inte utvecklat en förståelse för transitiva resonemang. Bild 6. Jämföra temperaturer I filmen Feber (Bild 6) använder barnen sina händer för att försöka avgöra vem som har den varmaste pannan. Som förskolläraren i filmen påpekar är det kanske inte ett särskilt tillförlitligt sätt att göra en jämförelse, men ändå ges barn som utforskar denna och liknande situationer över tid möjlighet att bli medvetna om idén om transitiva resonemang. Enhet Referensobjektet som används i ett transitivt resonemang är en måttenhet. Till exempel kan fordonen ses som en måttenhet, när barnen använde dem för att mäta cirkelns omkrets. I fallet där något långt mäts med något kort, behöver barn förstå att man måste använda samma måttenhet, och de ska placeras utan luckor för att få en användbar jämförelse. Samma sak gäller när man mäter area och tid, och även om man mäter volym fastän det kan vara svårare att rent visuellt se varför. Dessutom behöver barn få uppleva att måttenheter kan delas in i grupper av enheter som både kan sammanfogas och åtskiljas för att bestämma en viss storlek eller en viss mängd. Kanske en krokodil är lika lång som tre Lego-fyra och en Lego-två. 2 Ordet transitiv betyder i detta sammanhang överförande vilket hänvisar att jämförelsen av repet med den ena väggen förs över till jämförelsen av repet med den andra väggen. Om ena väggen har samma längd som repet och repet är längre än den andra väggen, då är också den första väggen längre än den andra väggen. https://larportalen.skolverket.se 8 (13)

I Bild 3 står ett litet barn bredvid stapeln av däck för att kunna avgöra sin höjd. Däck har samma tjocklek och det finns inga luckor mellan dem, vilket gör att barnet kan beskriva sin höjd i ett antal däck. Barn behöver många erfarenheter med olika slags enheter. Exakthet i mätningen är inte så väsentlig i detta skede, utan det viktiga är att urskilja hur enheter kan sättas ihop och tas isär och att förstå hur skillnaderna ser ut, smakar eller känns när olika mängder av en enhet används. Skala I texten Kvantifiera i del 9 beskrev vi hur man kan koppla ihop två sätt att mäta mängden sand. I det ena sättet gjordes markeringar i en enhetsburk och i det andra räknades antal skopor. Dessa två sätt kan kopplas ihop genom att göra markeringar på burken motsvarande antalet skopor. Vi kan tänka oss resultatet som en tallinje på enhetsburken vilken skulle göra det möjligt att mäta med skopan som enhet utan att använda en skopa för att mäta med. Istället kan vi läsa av mängden av sand på enhetsburken. Det är en sådan mäta-tallinje som i detta sammanhang betecknas som en skala. Sådana skalor har standardiserats i olika mätinstrument såsom linjal, litermått, våg, termometer, klocka och så vidare. Till exempel en linjal, ger en representation av standardenheten centimeter, eftersom den är ett indirekt sätt att lägga ner längdenheter ända-mot-ända. Upprepningen och underuppdelningen av enheterna finns redan på linjalen till förmån för dess användare (McDonough & Sullivan, 2011, s. 29; vår översättning). På liknande sätt kan man se ett litermått som ett sätt att lägga ner deciliter ända-mot-ända. Det är lättare för barn att se och förstå nollpunkter när det gäller mätning av höjder. I situationen med däcken är nollpunkten marken både för stapeln av däck och för barnet. Det är från marken som båda höjderna mäts. Emellertid kan det uppstå osäkerhet om nollpunkter när barn mäter med ett mätinstrument som till exempel en linjal. I Bild 7 syns ett exempel på hur ett barn inte anpassar noll på linjalen med kanten på papperet. Detta tyder på att barnets teorier-i-handling kring nollpunkten fortfarande behöver utmanas. Bild 7. Mätning med en linjal https://larportalen.skolverket.se 9 (13)

I nästa situation, också från Lembrérs (2013) studie, visar ett barn en bra förståelse för ändpunkterna för varje enhet när hon beskriver hur hon gjorde tillräckligt med utrymme i hamnen för sina båtar. Hon identifierar tydligt var varje enhet börjar och slutar och hur änden av en enhet också måste ses som början av nästa enhet. Eva har tidigare ritat av sina fem båtar som hon hade ställt på en rad. Förskollärare: Eva: Förskollärare: Eva: Förskollärare: Eva: Förskollärare: Får du plats med dina båtar? Ja, jag vet hur stor hamnen ska var nu. Hur vet du det? Mina båtar står på rad (hon pekar) jag har ritat av två linjer nu, ser du (hon tar bort sina båtar och pekar på två linjer). Ok, en linje framför den första båten och en linje bakom den femte båten. (tar fram en båt och ställer den bakom först linjen), min båt står bakom linjen, inte framför. Ja det stämmer, båten är bakom linjen, och linjen är framför båten. Klockan är i en viss mening en skala för att mäta tid. Barns tidiga uppfattningar av tid handlar inte främst om att de ska lära sig klockan utan snarare om en förståelse av begreppet tid. Barn markerar händelser som födelsedagar en slutpunkt för tid. Igår var jag fyra år gammal, men i dag är jag fem år gammal. Däremot är kunskapen om hur lång tid ett år är mycket svårare att få eftersom de inte har upplevt särskilt många. Barn kan relatera sin förståelse av en vecka till att de varje lördag får godis. Denna förståelse kan de använda till att prata om hur många veckor det är till en viss händelse, till exempel sin födelsedag. Barn behöver möta utmanande situationer i förskolan som samtidigt relaterar till deras värld. Följande dialog utspelar sig mellan Vilma 3,5 år och hennes förskollärare: Vilma: Förskolläraren: Vilma: Förskolläraren: Vilma: Idag hämtar morfar. Då ska vi äta pannkakor. Det blir väl gott? Mm, imorgon kommer min mamma hem. Hur vet du det? Imorgon hämtar farmor. Vilma har ingen klar uppfattning om veckodagar men binder upp sin förståelse av tid utifrån vad som händer. Hon relaterar veckodagarna till händelser som sker den aktuella veckodagen. Hon vet att det är måndag eftersom pappa hämtar, tisdag för morfar hämtar och så vidare. Ett år senare ser man hur hon har utvecklat sin förståelse för tid eftersom hon vid en liknande dialog blir ledsen. Hon har utvecklat en förståelse för hur lång tid det https://larportalen.skolverket.se 10 (13)

tar tills mamma kommer hem. I förskolan kan man utmana barns teorier-i-handling genom sagor där man kan ställa frågor såsom vad händer sedan, vad hände innan och hur vet de det (Hoodless, 2002). Symbolisera och representera Barns föreställningar och tankar om mätning kan representeras med bilder som vi har gjort ovan i denna text, men de kan också komma ifrån barns teckningar. I texten Förklara i del 3 hänvisade vi till Amy MacDonalds forskning (MacDonald, 2013; MacDonald & Lowrie, 2011) där hon lät barn rita en linjal och sedan förklara vad de hade ritat. Nedan finns exempel på urtavlor som visar hur olika idéer om tid utvecklas av barn. I den första bilden finns det bara några krumelurer i den cirkulära formen vilka antyder siffror. På den andra urtavlan finns siffror, men endast upp till 7, vilka är klämt ihop på ena sidan. Bilderna berättar något om barnens kunskaper om hur en klocka kan användas för att säga hur mycket klockan är. Det verkar som om progressionen i att rita urtavlor är ganska typisk. Emellertid kan man få en djupare förståelse för bilderna genom att fråga barnen om vad de har ritat på sina urtavlor och varför. Ofta vet barn mer än vad de kan representera i sina teckningar. Sammanfattning När barn börjar använda enheter för att mäta saker med, då använder de också sina idéer om antal. Emellertid är utforska, begreppsliggöra och representera mätning mer än att bara https://larportalen.skolverket.se 11 (13)

räkna. Det finns många möjligheter i förskolan att utmana barnens idéer. Följande är ett exempel från en förskollärare: Vid det första tillfället mätte ett av barnen sin längd med hjälp av pennor. Därefter började barnen tillverka ett eget måttband för att kunna mäta de andra barnen. Efter ett tag blev detta för jobbigt. De kom då på idén att ta pärlburkar till hjälp för att mäta de övriga barnen. Dessa räckte dock inte till så ett av barnen sprang iväg och hämtade klossar. Ett problem som sedan uppstod för barnen var att de insåg att pojken som var sju och en halv penna lång faktiskt var längst. Två av de andra pojkarna som var lika långa, 30 burkar och klossar långa, var kortare än pojken som blev mätt med hjälp av pennor. Och flickan som var kortast blev tjugoåtta burkar och klossar lång. Hur kunde det komma sig? Barns upplevelser utanför förskolan kan ge rika möjligheter att utveckla situationer på förskolan. I Lembrérs studie (2013 ) var det barns erfarenheter av att resa på semester med sina familjer som gjorde att de bestämde sig för att rita en karta. Vid konstruktionen av kartan arbetade de tillsammans med förskolläraren för att lösa många av de problem som dök upp, till exempel att göra en bro som skulle ta bilar i båda riktningarna och som samtidigt var tillräckligt hög för att gå över tåget. I denna situation från barnens vardag uppstod många möjligheter för förskolläraren att utmana barnens teorier-i-handling. Referenser Bishop, A. J. (1988). Mathematical enculturation: A cultural perspective on mathematics education. Dordrecht: Kluwer. Hoodless, P. A. (2002). An investigation into children's developing awareness of time and chronology in story. Journal of Curriculum Studies, 34(2), 173-200. Kamii, C. (2006). Measurement of length: How can we teach it better? Teaching Children Mathematics, 13(3), 154-158. Tillgänglig från: http://www.jstor.org/stable/41198899 Lembrér, D. (2013). Young children's use of measument concepts. In Proceedinngs from the Eighth Congress of European Research in Mathematics Education (CERME 8), 6-10 February 2013, Antalya, Turkey. MacDonald, A. (2013). Young children's ideas about measurement: What does a kindergarten student consider 'measuring' to be. Australian Primary Mathematics Classroom, 18(1), 3-7. MacDonald, A., & Lowrie, T. J. (2011). Developing measurement concepts within context: Children's representations of length. Mathematics Education Research Journal, 23(1), 27-42. McDonough, A., & Sullivan, P. (2011). Learning to measure length in the first three years of school. Australasian Journal of Early Childhood, 36(3), 27-35. Skolverket (2016). Läroplan för förskolan Lpfö 98. ([Ny rev. utg.]) Stockholm: Skolverket. https://larportalen.skolverket.se 12 (13)

Utbildningsdepartementet (2010). Förskola i utveckling - bakgrund till ändringar i förskolans läroplan. Stockholm: Regeringskansliet. Wright, V., Drake, M., Gibbs, D., & Hughes, P. (2007). Book 9: Teaching number through measurement, geometry, algebra and statistics. Numeracy Professional Development Projects 2007 (Draft). Wellington, New Zealand: Ministry of Education. https://larportalen.skolverket.se 13 (13)

Del 10: Moment B kollegialt arbete Diskutera Var och en tar upp något i texten som var av speciellt intresse. Motivera. Var och en tar upp någon reflektion utifrån frågorna till filmen Feber. Lyft fram era reflektioner från filmepisoderna med Max och Emil och Caroline. Caroline undersöker hur mycket kaviar som får plats i en kaviartub. Ge förslag på en alternativ situation med en hur mycket fråga som ni skulle kunna genomföra. Planera Genomför några undervisningssituationer där barnen får uppmärksamma och engagera sig i grundläggande egenskaper i mätning samt möta olika saker som de kan mäta. Se instruktioner i Planera Del 10 Revision: 4 Datum: 2018-05-02

Material Planera Del 10 O. Helenius, M. L. Johansson, T. Lange, T. Meaney, E. Riesbeck, A. Wernberg Revision: 4 Datum: 2018-05-02

Matematik Förskola Modul: Förskolans matematik Del 10: Mäta Planera Del 10 I moment C ska ni genomföra och dokumentera en eller två gemensamt planerade situationer utifrån målet att utmana barnens teorier-i-handling i den matematiska aktiviteten mäta. När ni planerar situationerna kan ni välja bland förslagen nedan. Under planeringen av en situation diskuterar ni vilka egenskaper som barn kan urskilja i situationen, vilket språk de kan utveckla, hur ni kan uppfatta barnens teorier-i-handling och hur ni skulle kunna utmana dem. Planera också hur ni vill dokumentera situationerna. När hände vad? Läs en berättelse tillsammans med barnen i vilken det finns någon handling som går över en viss tid. För de yngsta barnen kan det vara en bilderbok. Samtala sedan om tid och kronologi i berättelsen och uppmärksamma hur det markeras i språket. Med andra ord, samtala om vad som hände, när det hände och i vilken ordning samt hur barnen ger uttryck för att de vet det. Ställ öppna frågor som till exempel: Vad tror du hände i berättelsen? Varför tror du det? Vad tror du händer när? Varför tror du det? Vilken tid på dagen var det? Varför tror du det? Hur länge (somnade Gullock, t.ex.)? Varför tror du det? Vad hände innan/sen? Varför tror du det? Det kan vara bra att ha tänkt igenom innan vilka frågor som är lämpliga i förhållande till den valda berättelsen för att ge barnen möjlighet att uttrycka sig om tid och kronologi. Tänk på att även om du formulerat frågor i förhand är det viktigt att se vad barnen intresserar sig för i berättelsen. Gör en bok tillsammans med barnen som handlar om en dag, veckans dagar eller årets månader. Prata om hur ni kan berätta när något händer och i vilken ordning det händer. Hur höga är ljuden? Vuxna ber ofta barn bullra mindre, dämpa sin musik eller liknande. Situationen här avser att engagera barn i frågan om hur högt ljudet är. Man kan förstå detta på två sätt (minst), antingen som en fråga om ljudnivå, ljudstyrka eller buller (vilket handlar om hur mycket energi som finns i ljudet) eller om tonhöjd (vilket avser antalet svängningar per sekund i en ton). Organisera på ett lämpligt sätt så att barnen kan engagera sig i följande situationer: Planera Del 10 Januari 2018 https://larportalen.skolverket.se 1 (3)

Experimentera med tonhöjd och ljudstyrka och att till exempel göra väldigt höga och väldigt djupa ljud, jämföra barns och vuxnas röster; göra svaga ljud och starka ljud. Vad händer om ett, två, tre barn gör samma ljud? Blir tonhöjden högre? Hur blir ljudstyrkan? Hur är det med avstånd om några barn gör ett ljud och de som lyssnar rör sig längre bort, vad händer då med tonhöjd och ljudstyrka? Om någon lyssnar på två barn, där det ena står dubbelt så långt borta som det andra, hur högt ska de då ropa jämfört med varandra för att höras lika bra? Om ni har den tekniska möjligheten: Låt barnen mäta ljudnivå (ljudstyrka, buller) med en lämplig app för en smart telefon. Arbetsmiljöverket har till exempel en sådan app 1 ; den är gratis och ser ut som på Figur 1. Barnen kan till exempel mäta ljudnivån på olika ställen i förskolan. Kanske kan de jämföra ljudnivån inne på förskolan med den på lekplatsen, från trafiken eller från en köksmaskin eller vad de tycker kunna vara intressant. Kanske de vill göra någon form av anteckningar av sina mätningar. Var finns mest plats? Figur 1. App:en Buller från Arbetsmiljöverket Tanken med denna situation är att utmana barnen till att jämföra storleken på två föremål där direkt jämförelse inte är möjlig. En sådan situation uppstår till exempel om man vill 1 Instruktioner finns på Arbetsmiljöverket: https://www.av.se/halsa-och-sakerhet/buller/mat-buller-med-dinmobiltelefon/?hl=bullermätare%20mobil%20app Det finns även andra app:ar som mäter buller. Planera Del 10 Januari 2018 https://larportalen.skolverket.se 2 (3)

ämföra två ytor där ingen av dem kan täcka den andra se Figur 2. Figur 2. Vilket av serveringsfaten är störst? Är rektangeln större än kvadraten eller tvärtom? Tänk ut någon situation och en berättelse som barnen skulle kunna tycka var meningsfull. Det kan till exempel vara två fållor för får (eller en annan djurart såsom renar, grisar) där fårägaren behöver barnens hjälp för att ta reda på vilken av dem som är störst. Eller kanske det finns två låtsas-björniden på förskolan och en björnmamma med massa björnungar. Hur kan hon ta reda på i vilket ide det finns bäst plats inför vintern? Planera Del 10 Januari 2018 https://larportalen.skolverket.se 3 (3)

Del 10: Moment C aktivitet Genomför och dokumentera den eller de undervisningssituationer som ni har planerat. Spara de dokumentationer som konstruerades av både förskollärare och barn. Revision: 4 Datum: 2018-05-02

Del 10: Moment D gemensam uppföljning Diskutera Var och en berättar om den eller de undervisningssituationer som ni genomförde. Gick de som ni hade planerat? Om inte, vad berodde det på? Vilka aspekter av den matematiska aktiviteten mäta visade barnen? Vilken var din roll i utvecklingen av dessa aspekter? Upptäckte ni själva nya aspekter av den matematiska aktiviteten mäta genom att planera, genomföra och dokumentera undervisningssituationerna? Var alla barn engagerade? Varför tror ni att vissa barn inte deltog i samma utsträckning som andra? Vilka alternativa pedagogiska handlingar skulle ha uppmuntrat dem att delta? Hur dokumenterade ni vad varje barn gjorde när de deltog? Hur kan du använda detta material som hjälp vid planering och implementering i kommande undervisningssituationer så att barnens uppfattningar om den matematiska aktiviteten mäta, och sätt att uttrycka sig om mäta fortsätter att utmanas? Dokumentera Skriv ner dina reflektioner och lägg i din portfolio. Revision: 4 Datum: 2018-05-02