Pass 4 Jämvikt, fortsättning Vid jämvikt (ekvilibrium) är en kropp i vila eller i rätlinjig rörelse med konstant hastighet. Statisk jämvikt (vila) Dynamisk jämvikt (rörelse i konstant hastighet) (ge ex) Jämvikt kräver att: Alla verkande krafter tar ut varandra, Σ F = 0 (translationsjämvikt) Alla verkande moment tar ut varandra, Σ M = 0 (rotationsjämvikt). Detta gäller oberoende av valet av punkt o. Ofta delar man upp krafterna i t.ex. horisontellt och vertikalt verkande komposanter. Detta ger tre jämviktsvillkor (i det tvådimensionella fallet): Σ F V = 0 Σ F H = 0 Σ M o = 0 Jämviktsberäkning metodik 1. Frilägg den del du vill beräkna krafterna på. 2. Rita ut alla krafter (med lämpliga benämningar) 3. Rita ut alla avstånd du vet, gör gärna om till meter. 4. Ställ upp en ekvation för kraftjämvikt i x-led 5. Ställ upp en ekvation för kraftjämvikt i y-led 6. Ställ upp en ekvation för momentjämvikt runt en lämplig punkt o. 7. Beräkna okända så som krafter, moment och/eller sträckor. 1
Tips! Räkna många jämviktsproblem, efter ett par stycken känner du att det inte är speciellt svårt. Gäller bara att träna in metoden. En snickare bär en 6 kg, jämntjock bräda enligt bild. Vilken nedåtriktad kraft känner han på sin axel (i punkten A)? 0,2m 1,5m 0,5m 1, 2 & 3: Frilägg, rita ut krafter och avstånd A F H F tp FA 1.5m 0.5m 0.2m 1,1m (pga. att Tp ligger mitt på brädan) 4. Ställ upp kraftjämvikt i x-led: (Det finns inga krafter som verkar i x-led, dvs. horisontellt) 5. Ställ upp kraftjämvikt i y-led: F A -F tp -F H = 0 (alternativt F A =F tp +F H ) 2
6. Ställ upp momentjämvikt i vald punkt (ex. A) F H 0.5 - F tp 0.4 = 0 (alternativt F H 0.5 = F tp 0.4) 7. Stoppa in det värde/värden du känner till (F tp = 60 N) och lös först momentekvationen. Stoppa sedan in värdet för F H och lös kraftekvationen. 3
Kraftpar Uppkommer då parallella, motsatta och lika stora krafter verkar på en kropp. Observera att villkoren för kraftjämvikt är uppfyllda! M = F l (l= avståndet mellan krafterna) Exempel på kraftpar Två män som skjuter på en plint med samma kraft 4
Kraftpar har den unika egenskapen att de alstrar samma moment oberoende av momentpunkt! Bevis: Runt punkt A eller B är momentet i båda fallen M = F l (se figur a). Om moment tas runt en punkt c mellan punkterna A och B får vi momentet (se figur b): Om moment tas runt en punkt c till höger om punkt A får vi momentet (se figur c): Av detta följer att ett kraftpar har samma verkan hur man än väljer momentpunkt eller flyttar kraftparen. Exempel i kroppen på kraftpar: (området vid bäckenet) 5
En bil med massan 1400 kg har tyngdpunkten placerad enligt bild. Beräkna normalkrafterna under fram respektive bakhjulen. En snickare håller en jämtjock, 6 kg bräda enligt fig. Vilka vertikala krafter påverkar han brädan med i punkterna A och B? 1,5m 0,5m Beräkna storleken på kraften P som krävs för att lyfta ena hörnet av 250 kg lådan enligt bilden. 6
Bestäm momentet kring axeln i punkt C från kulan i handen om dess massa är 4 kg (vi bortser från över- och underarmens massor). Vinklarna α och β är 30 resp. 20 grader och längderna a och b är 35 resp 28 cm. 7
Friktion Friktionskraft, F µ = µ F N (F f = µ N) (Börja med att frilägga lådan) F=400 N 100 kg Friktionskoefficient Friktionskoefficienten ligger oftast mellan 0 och 1. Friktionskoefficienterna beror på vilka material det är i de två ytorna som ligger mot varandra. Friktionskoefficienten kan variera beroende av temperatur, luftfuktighet etc. Bestämma friktionskoefficient: Dra med dynamometer Ändra lutningen på ett plan med ett föremål på tills föremålet börjar glida Vanliga materials friktionskoefficienter finns i tabeller Ex Mellan snö och en vallad skida kan friktionskoefficienten nå ned till ett tal runt 0.04 Mellan skridskoskena och is är den runt 0.01 För hög friktion mellan skosula och golv kan ge upphov till vrickningar, här eftersträvar man en lagom glidfas för att muskulatur skall hinna anpassa sig till belastning och därmed hinna stabilisera fotleden. Hög friktion eftersträvas mellan bildäck och underlag. 8
Lutande plan Formler: F µ = µ F N tan Ө µ = µ Jämvikt: F N - m g cos Ө = 0 F µ - m g sin Ө = 0 Ө µ F µ Ө µ m g F N Friktionsvinkel Om friktionskraften och normalkraften sätts samman till en resultant (blir kraften m g fast motriktad), bildar denna tillsammans med normalkraften en vinkel som kallas friktionsvinkeln Ө µ Detta medför att tan Ө µ = F µ / F N (se figur), alltså är tan Ө µ = µ Intern friktion Med intern friktion menas den friktion som uppkommer när t ex senor rör sig i förhållande till underliggande skelettdelar eller när ledytor glider mot varandra. Den interna friktionen i kroppen är mycket låg. Detta beror bl.a. på den smörjning som finns mellan ledytor etc. Rullningsmotstånd Uppkommer när en boll eller ett hjul rullar på ett plan. Kallas ibland felaktigt för rullfriktion. Har att göra med deformation av underlag och rullande kropp. Tryckkrafterna alstrar ett moment som bromsar rullningen. Rullmotstånd är avsevärt mindre än glidmotståndet. 9
a) Vid vilken vinkel θ L börjar skidåkaren glida utför backen om han står helt stilla? Vilofriktionskoefficient mellan skidor och snö är μ s = 0.05. b) Hur stor blir friktionskraften (F µ ) och normalkraften (F N ) under skidorna vid vinkeln uträknad i a? Skidåkaren väger 60 kg. a) En man drar med en kraft på 200 N i skacklarna, tar han i lite till börjar pulkan att röra sig. Hur stor blir friktionskraften och normalkraften under pulkan? Skaklarnas vinkel mot marken är 47. Pulkan väger 20 kg. 10
a) Om klättraren förlitar sig helt på friktion; hur stor är den totala friktionskraften (jämt fördelad på händer och fötter) som krävs för att hålla klättraren i jämvikt och hur stor är normalkraften som trycker henne ut från klippan? Klippan lutar 70. Klättraren väger 60 kg. 20 70 11
Övningstal i kompendiet (sid. 86 91) Observera att lösningar till talen finns på sid. 101 och framåt i kompendiet. Kommentarer till några av talen: Tal 3 löses grafiskt Tal 4 kan lösas både grafiskt och analytiskt Tal 13, ganska jobbig uppgift. Tabell längst bak i kompendiet ska användas vid lösningen (blad A7) Rekommenderade uppgifter: Tal 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 17, 18, (19). Räkna dessutom själv igenom de uppgifter vi gått igenom på lektionstid på tavlan. Formler: Formelsamling, A8-9 i häftet Biomekanik Formler trigonometri, A5 i häftet Biomekanik 12