Matematik 2b (Typ) E-uppgifter på hela kursen I Räta linjens ekvation och linjära modeller (1 6) II Ekvationssystem (7 11) III Algebra (12 14) IV Andragradsfunktioner ( inklusive funktioner med komplexa rötter ) (15 20) V Potenser med rationella exponenter (21 22) VI Ekvationslösning Andragrads-, Exponential-, Potensekvationer (23 26) VII Exponentialfunktioner (27 30) VIII Yttervinkelsatsen och randvinkelsatsen (31 33) IX Likformighet - Transversal- och topptriangelsatsen (34 39) X Geometri och koordinatsystem (40 42) XI Lägesmått (43 46) XII Spridningsmått och lådagram (47 50) XIII Korrelation och Normalfördelning (51 55) För Mattias slumpade uppgifter (i vissa fall inklusive videogenomgångar), gå till: Räta linjer: http://www.thelberg.com/linjer Ekvationssystem: http://www.thelberg.com/ekvsystem Andragradsfunktioner ( + p-q-formeln ): http://www.thelberg.com/andragrad Funktionsbegreppet: http://www.thelberg.com/funktion Lite blandade ekvationer (exponential-, potens- och andragrad): http://www.thelberg.com/ekvation
I Räta linjens ekvation och linjära modeller 1. Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. a) b) c) 2. En rät linje går igenom punkterna (2,5) och (5, -1). Bestäm linjens ekvation. 3. Undersök om punkten (12, 37) ligger på den räta linjen y = 3x + 1 4. Rita grafen till funktionen som beskrivs nedanför koordinatsystemet. a) y = x 1 b) y = 2 2x
5. En hobbybagare köper dagligen samma ingredienser och bakar därefter bullar som säljs för 8 kr / st. Efter att en dag ha sålt 100 bullar blev vinsten efter försäljningen 560 kr. a) Ställ upp en funktion på formen y = kx + m som beskriver dagsvinsten, y kr, efter att ha sålt x stycken bullar. b) Hur många bullar behöver minst säljas på en dag för att bagaren ska få igen inköpskostnaden för ingredienserna? 6. Tilde åker taxi. Hon vet att taxibolaget har en fast kostnad för att köra fram taxin, och en annan kostnad för varje km hon åker. För en resa på 8 km får Tilde betala 200 kr, och för en resa på 5 km får Tilde betala 155 kr. a) Hur mycket kostar det för varje km hon åker? b) Ta fram en formel som beskriver totalkostnaden för att åka x km.
II Ekvationssystem 7. Lös ekvationssystemen med valfri algebraisk metod. 5x y = 3 a) { x + y = 3 b) { y x = 3 y 2x = 4 3x + 2y = 5 c) { 2x + y = 4 8. Hos en familj finns draghundar och hönor. Varje höna har två ben och varje hund har fyra. Det är sammanlagt 24 stycken djur. Nedanstående ekvationssystem ställs upp för att beskriva familjens husdjur. x + y = 24 { 4x + 2y = 66 Vad innebär y i ekvationssystemet? 9. Nedanstående figurer visar ekvationssystem. Bestäm lösningarna med hjälp av figurerna. a) b)
10. Xerxes och Ylva ska ha filmkväll och köper då läsk och godis. Xerxes betalar 82 kr för två läsk och fyra godispåsar. Ylva köper tre läsk och två godispåsar och betalar 71 kr. Låt priset för en läsk vara x kr och priset för en påse godis y kr. a) Ställ upp ett ekvationssystem med variablerna x och y b) Beräkna vad en påse godis och en läsk kostar. (prova gärna både med och utan miniräknarens lösningsverktyg) 11. Lös ekvationssystemen grafiskt med hjälp av koordinatsystemet. a) { y = 0,5x y = x 2 b) { y = 3 x y = 2x 3
III Algebra 12. Utveckla och förenkla uttrycken så långt som möjligt a) (4 x)(x + 2) b) (x + 2) 2 c) (x + 2)(x 2) 4 d) (x 4) 2 + 8x 13. Vad ska stå i parentesen för att likheten ska gälla? (x 5)( ) = x 2 25 14. Mattias försöker lösa nedanstående matteuppgift: Förenkla (x + 3) 2 så långt som möjligt Mattias lösning visas nedan, men lösningen är tyvärr felaktig. Vad blir fel i lösningen?
IV Andragradsfunktioner ( inklusive funktioner med komplexa rötter ) 15. Grafen till en andragradsfunktion visas nedan. Ett x-värde som har y-värdet 10 är x = 6. Ange ytterligare ett x-värde som har y-värdet 10 16. För en andragradsfunktion gäller att: Funktionens symmetrilinje är på x = 2. Funktionens ena nollställe är på x = 1. Bestäm funktionens andra nollställe. 17. Till höger visas grafen till andragradsfunktionen f. Ett av alternativen A F nedan visar funktionsuttrycket till f Vilket av alternativen är det? A f(x) = x 2 1 B f(x) = x 2 C f(x) = x 2 + 1 D f(x) = x 2 1 E f(x) = x 2 F f(x) = x 2 + 1
18. Vilka av nedanstående andragradsekvationer har icke-reella lösningar? A x 2 36 = 0 B x 2 + 4 = 0 C x 2 = 0 D x 2 = 1 E x 2 10 = 0 19. Nedan visas graferna till tre andragradsfunktioner. Graf I Graf II Graf III En av de tre funktionerna har komplexa nollställen. Vilken av graferna visar denna funktion? Motivera ditt svar! 20. Figuren nedan visar grafen till en andragradsfunktion, f, med symmetrilinje vid x = 4. Funktionen kan skrivas på formen f(x) = x 2 + 4x f x = 4 a) Punkten (2,8) ligger på grafen. Ange ytterligare en punkt som ligger på grafen. b) I funktionsuttrycket har två siffror täckts över. Avgör med hjälp av grafen för vart och en av dessa båda övertäckningar om siffran som täckts över är ett positivt eller ett negativt tal
V Potenser med rationella exponenter 21. Bestäm utan miniräknare - värdet av a) 36 1/2 b) 4 1 c) 9 1/2 22. Förenkla så långt som möjligt a) x 2/3 x 4/3 b) x3/5 x 2/5 c) (2x 1/4 ) 3 d) 4a1/2 b 3/2 ab
VI Ekvationslösning Andragrads-, Exponential-, Potensekvationer 23. Lös följande andragradsekvationer a) x 2 8x + 12 = 0 b) x 2 + 4x 5 = 0 c) (x 1)(x + 5) = 0 24. Lös följande ekvationer. Svara exakt. a) x 5 = 20 b) 2x 1 3 = 16 c) 5 x = 20 d) lg (x) = 5 e) 4x 2 = 10
25. Antalet individer av ett visst utrotningshotat djur har sjunkit under många år. Antalet som finns kvar ges av funktionen N(t) = 3000 0,97 x där t är antalet år som gått sedan år 2000. a) Ställ upp en ekvation som kan användas för att lösa frågan Vilket år väntas antalet individer vara 1000? b) Lös ekvationen i a) och svara på frågan. 26. Bilderna nedan visar graferna till två funktioner, f och g. Använd bilderna till att lösa ekvationen f(x) = g(x) a) g f b) g f
VII Exponentialfunktioner 27. Saldot på ett bankkonto, y kr, väntas under några år följa modellen y = 24000 1,11 x där x är antalet år som gått sedan 2018. a) Tolka betydelsen av de båda siffrorna i modellen, 24000 respektive 1,11. b) Hur mycket väntas finnas på kontot år 2020 enligt modellen? 28. Värdet hos en dator antas följa en matematisk modell som visas i grafen nedan a) Hur mycket var datorn värd vid inköpet? b) Hur länge dröjer det tills datorns värde har sjunkit till en tredjedel enligt modellen? c) Vilket av alternativen A-E beskriver bäst datorns värde, V(t) A B C D E V = 6000 1,2 t V = 6000 0,8 t V = 6000 0,2 t V = 6000 500t V = 6000 + 500t
29. Inga Pengar sätter in 5000 kr på ett bankkonto och låter dessa pengar vara orörda på kontot. Efter tre år har saldot vuxit till 5700 kr. a) Anta att räntesatsen på kontot varit konstant och bestäm hur många procent pengarna vuxit med varje år b) Anta att Inga låter kontot vara orört och att räntan fortsätter vara lika stor. Hur mycket finns då på kontot efter ytterligare fem år? 30. Värdet på en bil väntas sjunka med tiden. Bilen köptes in för 240 000 kr och ett år senare var värdet 160 000 kr Ta fram en funktion som beskriver bilens värde x år efter att bilen köptes in.
VIII Yttervinkelsatsen och randvinkelsatsen 31. Bestäm vinkeln x i figuren. 75 35 x 32. Den stora triangeln i figuren är sammansatt av två likbenta trianglar. Bestäm vinklarna x och y x y 33. Figuren nedan visar tre cirklar med sin medelpunkt markerad med M Bestäm vinklarna a, b, c, d och e a) b) a M 60 M b c) 56 M d) d 64 M c e
IX Likformighet - Transversal- och topptriangelsatsen 34. Figuren visar en stor triangel indelad i två delar av en parallelltransversal. Använd transversalsatsen för att bestämma x. 32 x 26 18 35. Nedan visas två trianglar, T 1 och T 2, som är likformiga. Bestäm alla vinklar i triangel T 1 72 72 59 T 1 T 2 36. De två femhörningarna nedan är likformiga. Bestäm sidorna x och y x 12 4 y 9 6
37. Två likformiga rektanglar har olika mått. Rektangel A har sidorna 8 cm och 12 cm. Rektangel B har en sida som är 48 cm. Vilka mått kan den andra sidan hos rektangel B ha? 38. Figuren nedan visar två trianglar som är likformiga. 36 cm x 48 cm 32 cm a) Är trianglarna kongruenta? Motivera ditt svar! b) Visa att sidan x är 24 cm. 39. Figuren visar två rätvinkliga trianglar. Bestäm det mått som markerats med x 320 175 x 275
X Geometri och koordinatsystem 40. Beräkna avståndet mellan origo och punkten (3,4). 41. Grafen visar den räta linjen y = 2x och en rätvinklig triangel som ligger mellan x-axeln och grafen. Visa att arean av triangeln kan beräknas med A = x 2 y = 2x x 42. Figuren visar en rektangel där en punkt ligger på grafen till y = 6 2x och de övriga ligger på koordinataxlarna. y = 6 2x x Rektangeln kommer få olika mått beroende på x. Teckna en funktion som beräknar hur rektangelns area beror på x
XI Lägesmått 43. Ta fram medianen för följande dataserie: 5, 2, 10, 1, 6, 3, 4 44. Medelvärdet för fyra tal är 14. Tre av talen är 5, 10 och 20. Vilket är det fjärde talet? 45. Det kan visas att för tre stycken direkt på varandra följande heltal (T.ex. talen 2, 3, 4) kommer medianen och medelvärdet alltid att vara samma tal. Ta fram fyra olika exempel på sådana taltripplar och visa i dina exempel att påståendet stämmer. 46. Stämmer påståendet i uppgift 45 även om heltalen inte är direkt på varandra följande? Undersök med något valfritt exempel.
XII Spridningsmått och lådagram 47. Nedanstående lådagram visar resultatet på ett matteprov. Provets maxpoäng var 32 och det var 60 personer som skrev provet a) Bestäm variationsbredden för resultaten b) Hur många personer hade 10 poäng eller mer? 48. Nedanstående lådagram visar resultatet över poängresultatet i en turnering där 14 personer deltagit. De 14 resultaten i storleksordning är följande: a, 4, 4, b, 7, 9, 10, c, 17, 18, 21, 26, 31, 35 a) Bestäm kvartilavståndet för resultaten. b) Tre av resultaten är utbytta mot konstanterna a, b och c. Bestäm värdet på dessa tre med hjälp av lådagrammet.
49. För 6 stycken positiva heltal gäller följande: Variationsbredden är 17 Kvartilavståndet är 10 Nedre kvartil är 8 Minsta talet är 4 Medianen är 12 Det finns flera exempel på kombinationer av tal som uppfyller alla villkoren ovan. Ge ett sådant exempel. 50. Jonaz och Alva spelar 5 omgångar bowling. Det sammanlagda resultatet blev oavgjort och resultatet för varje omgång visas nedan: Omgång 1 2 3 4 5 Totalt Jonaz 8 14 4 7 2 35 Alva 6 8 7 7 7 35 a) Visa att både medelvärde och median är detsamma för de båda serierna. b) Bestäm variationsbredden för de båda serierna c) Bestäm kvartilavståndet för Jonaz serie d) Standardavvikelsen för de båda serierna är för Jonaz 4,10 och för Alva 0,71. Ge en kortfattad förklaring varför den skiljer sig åt mellan serierna.
XIII Korrelation och Normalfördelning 51. Nedan visas 6 st spridningsdiagram mellan variablerna x och y A B C D E F a) Vilket av spridningsdiagrammen visar svagast korrelation mellan x och y? b) Vilka av spridningsdiagrammen visar korrelationer där r är negativ? 52. En viss godissort säljs i påsar som är normalfördelade enligt nedanstående normalfördelningskurva. (g) 184 216 a) Ange medelvärdet och standardavvikelsen för vikten hos en godispåse b) Av 500 påsar, hur många väntas väga mellan 184 g och 216 g?
53. Födelsevikten på barnen i en viss stad är normalfördelade med medelvärdet 3,5 kg och standardavvikelen 0,7 kg. a) Av 1000 barn, hur många väntas väga mellan 2,8 kg och 3,5 kg? b) Formulera en egen fråga om barnens födelsevikt som kan besvaras av det gröna området i nedanstående graf. = 84,1 % 54. Nedanstående figurer visar de två normalfördelningskurvorna A och B. Båda är ritade i samma skala. Vilken av graferna har högst standardavvikelse? Motivera ditt svar! A B 55. Längden hos gymnasieeleverna på en viss skola är normalfördelad, med medelvärdet 172 cm och standardavvikelsen 9 cm. På skolan går det 900 elever. Hur många av dessa väntas vara längre än 190 cm?