Matematik är ingenjörskonstens, naturvetenskapens och ekonomins språk. Därför är matematik ett viktigt skolämne.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Matematik är ingenjörskonstens, naturvetenskapens och ekonomins språk. Därför är matematik ett viktigt skolämne."

Transkript

1 Ma2 version (112) Förord Matematik är ingenjörskonstens, naturvetenskapens och ekonomins språk. Därför är matematik ett viktigt skolämne. Detta kompendium är en sammanställning av publicerade nationella prov lämpliga för träning i kursen Ma 2. Kompendiet består av två filer. Ma2_EXEMPEL.pdf 44 sidor uppgifter Skolverkets bedömningsexempel Ma2 vt2011 MaB vt2005 prov till den äldre B-kursen MaB vt2002 MaB vt2000 Ma2_SVAR.pdf 112 sidor lösningar till samtliga uppgifter. Den äldre B-kursen innehåller uppgifter som i nya studieplanen hör till både Ma 1 och Ma 2. Uppgifter om sannolikhet hör till Ma 1. Kom ihåg att matematik är ett övningsämne. Du kan inte bli en bra snickare genom att titta på någon som arbetar med hammaren och hyveln. Du måste öva själv!! Repetitio est mater studiorum. 1 I ett material omfattande mer än 100 sidor lösningar är det sannolikt att det finns både oklarheter och fel. Rapportera fel och oklarheter till GOROB_S@SOLLENTUNA.SE. Kollegorna vid Rudbeckskolan Johan Falk och Anders Hansson tackas för hjälp. Göran R 1 Upprepning är studiernas moder.

2 Ma2 version (112) Innehåll Förord 1 Ma2 EXEMPELUPPGIFTER LÖSNINGAR 5 Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs Del I # 1 (2/0/0) Linje & ekvation Del I # 2 (1/1/0) Två exponentialekvationer Del I # 3 (0/1/0) Förenkla Del I # 4 (0/1/0) Ställ upp linjära ekvationer Del I # 5 (0/0/1) 2:a gradsfunktion & graf Digitala verktyg är inte tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper Del II # 6 (2/0/0) Lös ekvationen algebraiskt Del II # 7 (0/1/1) Två linjer Del II # 8 (0/2/0) Kaninen Tösen från Danmark Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper Del III # 9 (2/0/0) Likformighet, flagga Del III # 10 (2/0/0) Statistik Del III # 11 (3/0/0) Rät linje Del III # 12 (0/2/0) Likformighet Del III # 13 (0/3/0) Motion med linjära ekvationer Del III # 14 (1/2/1) Variationsbredd Del III # 15 (0/0/4) Vikt pappersark Ma2b VT 2012 LÖSNINGAR 23 Del I # 1 (1/0/0) Bestäm ekvationen Del I # 2 (1/0/0) Förenkla Del I # 3 (2/1/0) Ekvationer, logaritmer & potenser Del I # 4 (1/0/0) Reell lösning? Del I # 5 (0/1/0) Teckna en funktion Del I # 6 (0/1/0) Andragradsfunktion & symmetrilinje Del I # 7 (0/1/1) Förenkla Del I # 8 (1/2/1) Grafer i koordinatsystem Del I # 9 (2/0/1) Värdeminskning Del I # 10 (0/0/2) Ekvationssystem Del II # 11 (2/0/0) Linjärt ekvationssystem Del II # 12 (2/0/0) 2:a gradsekvationer Del II # 13 (1/3/2) Triangel inskriven i cirkel Del II # 14 (0/0/2) 2:a gradsekvation Del II # 15 (0/0/4) Avstånd Del III # 16 (2/0/0) Likformiga rektanglar Del III # 17 (3/0/0) Parallella linjer Del III # 18 (2/0/0) Stek 77 C

3 Ma2 version (112) Del III # 19 (2/3/1) Två modeller för värdeminskning Del III # 20 (2/3/0) Normalfördelade tomatburkar Del III # 21 (1/1/1) Medelvärde och median Del III # 22 (0/1/2) Modellering, regression Del III # 23 (0/3/4) Trianglar & kvadrater MaB VT 2005 LÖSNINGAR 51 Del I # 1 (4/0) Lös ekvationen Del I # 2 (1/0) Statistik, variationsbredd Del I # 3 (2/0) Bestäm vinkeln Del I # 4 (3/0) Räta linjen Del I # 5 (2/0) Linjärt ekvationssystem Del I # 6 (2/0) Lös olikhet Del I # 7 (0/2) Två tärningar Del I # 8 (0/1) Ge ekvationen för en linje Del II # 9 (2/0) Förenkla Del II # 10 (2/1) Sannolikhet Del II # 11 (4/0) Linjärt ekvationssystem, godis Del II # 12 (0/2) Likformighet Del II # 13 (0/2) Röstning och bortfall Del II # 14 (3/2/ ) Grafer Del II # 15 (0/3/ ) Bildformat Del II # 16 (0/2/ ) Geometriskt bevis Del II # 17 (3/4/ ) Tändstickor och formler MaB VT 2002 LÖSNINGAR 75 Del I # 1 (2/0) Linje med riktningskoefficienten Del I # 2 (2/0) Utveckla och förenkla Del I # 3 (3/0) Lös ekvation Del I # 4 (1/0) Tolka graf Del I # 5 (2/0) Bestäm k Del I # 6 (1/0) Statistisk undersökning Del I # 7 (1/1) Geometriskt problem Del I # 8 (1/1) Osannolika okokta ägg i sockerkakan Del I # 9 (1/2) Linjärt ekvationssystem Del II # 10 (3/0) Linjära ekvationer Del II # 11 (2/1) Vem räknar rätt? Del II # 12 (1/1) Rät linje? Del II # 13 (1/2/ ) Två tärningar Del II # 14 (1/2) Geometriskt bevis Del II # 15 (0/2) Statistik Del II # 16 (1/2) Pelle kastar sten Del II # 17 (3/4/ ) Linjers skärningspunkt

4 Ma2 version (112) MaB VÅREN 2000 LÖSNINGAR 93 Uppgift 1 (2p) 2:a gradsekvation Uppgift 2 (2p) Räta linjen Uppgift 3 (1p) Vilken funktion ger grafen? Uppgift 4 (2p) Linjärt ekvationssystem Uppgift 5 (3p) Fyrsidig tärning Uppgift 6 (1p) Olikhet Uppgift 7 (2p) Rät linje Uppgift 8 (3p) Triangel Uppgift 9 (2p) Normalfördelning Uppgift 10 (2p) Pariserhjul och randvinkelsatsen Uppgift 11 (3p) Sannolikhet Uppgift 12 (3p) Linjära grafer Uppgift 13 (6p) 2:a gradsfunktion och linjärt ekvationssytem Uppgift 14 (3p) Likformighet Uppgift 15 (3p) Rät linje

5 Matematik kurs 2b och 2c - Exempeluppgifter Ma2 Skolverkets exempel version (112) OBSERVERA ATT DETTA EXEMPELMATERIAL INTE MOTSVARAR ETT HELT KURSPROV I OMFATTNING OCH INNEHÅLL. Ma2 EXEMPELUPPGIFTER LÖSNINGAR Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I # 1 (2/0/0) Linje & ekvation 1. En rät linje går genom punkterna (0, 2) och (4, 0) a) Rita linjen i koordinatsystemet. (1/0/0) b) Ange linjens ekvation (1/0/0) a) 2. Lös ekvationerna. y x a) 10 = 8 x+ b) = 20 (1/0/0) (0/1/0) (0,2) 2 3. Förenkla uttrycket (3x 2) + 4(3x 1) så långt som möjligt. (0/1/0) (4,0) x Svar a) Se figur ovan 5

6 a) Rita linjen i koordinatsystemet. (1/0/0) Ma2 Skolverkets exempel version (112) b) Bestäm linjen k = y x = = 0,5 m = 2 Svar b) y = 0,5 x + 2. b) Ange linjens ekvation (1/0/0) Del I # 2 (1/1/0) Två exponentialekvationer 2. Lös ekvationerna. x a) 10 = 8 x+ b) = 20 (1/0/0) (0/1/0) a) Ekvationen är en exponentialekvation. Logaritmera ekvationen. Vi får 2 3. Förenkla uttrycket (3x 2) + 4(3x 1) så långt som möjligt. log 10 x = log 8. (1) Använd FORMELSAMLINGEN. Där finns regler för logaritmer. (0/1/0) Ekvation (1) ger x log 10 = log 8 x = log 8 log 10 Svar a) x = log 8 log b) Ekvationen är en exponentialekvation. Börja med att flytta om faktorer så att ekvationen får formen a x = b. I FORMELSAMLINGEN finns räkneregler för potenser.

7 Ma2 Skolverkets exempel version (112) Utgångspunkten är ekvationen som ger Logaritmera 5 3 x+1 = x = 20 3 x = = 4 3 log 3 x = log 4 3 och använd räknereglerna för logaritmer. Vi får x log 3 = log 4 3 x = log 4 3 log 3 Svar b) x = log 4 3 log 3. Kommentar för logaritmer Svaret kan skrivas på många olika former. Om vi använder räkneregeln log x log y = log x y kan svaret uttryckas som x = log 4 log 3 1.

8 2. Lös ekvationerna. x a) 10 = 8 (1/0/0) Ma2 Skolverkets exempel version (112) x+ b) = 20 (0/1/0) Del I # 3 (0/1/0) Förenkla 2 3. Förenkla uttrycket (3x 2) + 4(3x 1) så långt som möjligt. (0/1/0) (3x 2) (3x 1) } {{ } } {{ } (3x) 2 2 3x x 4 9x 2 12x x 4 9x 2 Svar 9 x 2 5 Del I # 4 (0/1/0) Ställ upp linjära ekvationer 4. Patrik ska handla lösviktsgodis. Han tänker köpa 5 hg godis och har 30 kronor att handla för. I godisaffären finns två olika priser på lösviktsgodis. Det dyrare godiset kostar 8 kr/hg och det billigare 5 kr/hg. Patrik frågar sig: Hur många hekto ska han köpa av de två godissorterna för att det ska kosta 30 kr? Ställ upp ett ekvationssystem vars lösning ger Patrik svar på sin fråga. (0/1/0) Inför 5. variabler. I figuren Han visas köper grafen xtill hgandragradsfunktionen av det dyra och y hg f. av det billiga godiset. Totalt köper han 5 hg godis. Vi får ekvationerna Vilket av alternativen A-D nedan skulle kunna x ange + funktionen y = 5 f kravet? 5 hg godis 8x + 5y = 30 kravet 30 kronor godis. Svar A. f ( x) = x 4x + 6 B. se ovan. 2 f ( x) = x 4x + 6 C. f ( x) = x 6x + 6 D. f ( x) = x 10x 6 E. f ( x) = x 10x (0/0/1)

9 kostar 8 kr/hg och det billigare 5 kr/hg. Patrik frågar sig: Hur många hekto ska han köpa av de två godissorterna för att det ska kosta 30 kr? Ställ upp ett ekvationssystem vars lösning ger Patrik svar på sin fråga. Ma2 Skolverkets exempel version (112) (0/1/0) Del I # 5 (0/0/1) 2:a gradsfunktion & graf 5. I figuren visas grafen till andragradsfunktionen f. Vilket av alternativen A-D nedan skulle kunna ange funktionen f? A. f ( x) = x 4x + 6 B. f ( x) = x 4x + 6 C. f ( x) = x 6x + 6 D. f ( x) = x 10x 6 E. f ( x) = x 10x (0/0/1) Några alternativ kan uteslutas direkt. A f(x)= x 2 4x + 6 B f(x)= x 2 4x + 6 x 2 ger felvänd graf med maximum C f(x)= x 2 6x + 6 D f(x)= x 2 10x 6 f(0) = 6 och grafen ska vara ovanför x-axeln E f(x)= x 2 10x + 6 Uteslut alternativ B och D. Det finns olika alternativa lösningar på fortsättningen. Alternativ 1 En matematiskt enkel men arbetsam möjlighet är att med pq-formeln beräkna rötterna till falllen A, C och E. Om man gör det får man att fallet A har komplexa rötter och därmed skär inte grafen x-axeln. Svar Fallet A svarar mot grafen. Alternativ 2 En 2:a gradsfunktion 6 0 = x 2 + px + q har sitt max/min-värde på symmetrilinjen och ekvationen för symmtrilinjen är

10 Ma2 Skolverkets exempel version (112) x = p 2 p f(x) f( p 2 2 A x 2 4x RÄTT skär inte x-axeln C x 2 6x FEL skär x-axeln E x 2 10x FEL skär x-axeln Svar Fallet A svarar mot grafen. Del II: Digitala verktyg är inte tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. Del II # 6 (2/0/0) Lös ekvationen algebraiskt Lös ekvationen x 6x 16 = 0 algebraiskt. (2/0/0) Använd FORMELSAMLINGEN. Där finns pq-formeln. 7. Två linjer y = 2 x + 5 och y = kx + m skär varandra i en enda punkt. Den punkten ligger på y-axeln. Vilka värden kan riktningskoefficienten k ha? Motivera. (0/1/1) 8. Kaninen Tösen från Danmark satte 1997 världsrekord i höjdhopp för kaniner. Enligt en modell gäller att Tösens höjd under hoppet ges av Ekvationen är 2 h( x) = 4x 4x 0 = x 2 6 x 16 }{{} }{{} där h är p= 6 höjden q= 16 i meter över golvet och där x är avståndet i meter längs golvet från och lösningen avstampet. blir x Hur = ( 6) högt hoppade ± 3 2 kaninen 2 ( 16) Tösen? (0/2/0) x = 3 ± x = 3 ± 25 x = 3 ± 5 x 1 = 8 x 2 = 2 Svar x 1 = 8 och x 2 = 2.

11 Del II: Digitala verktyg är inte tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. Ma2 Skolverkets exempel version (112) 2 6. Lös ekvationen x 6x 16 = 0 algebraiskt. (2/0/0) Del II # 7 (0/1/1) Två linjer 7. Två linjer y = 2 x + 5 och y = kx + m skär varandra i en enda punkt. Den punkten ligger på y-axeln. Vilka värden kan riktningskoefficienten k ha? Motivera. (0/1/1) Första linjen 8. Kaninen y = Tösen 2 x + från 5 Danmark satte 1997 världsrekord i höjdhopp för kaniner. Enligt en skär y-axeln modell igäller punkten att Tösens (0, 5). höjd Andra under linjen hoppet gårges också av genom punkten (0, 5). Då kan vi bestämma m i den andra ekvationen. Stoppa in x = 0 och y = 5 i räta linjens ekvation, 2 ut trillar h( xm ) = = 4x5, 4x 5 0 {}}{ {}}{ där y h = är höjden k x i + meter }{{} m över. golvet och där x är avståndet i meter längs golvet från 5 avstampet. Riktningskoefficienten k är inte bestämd. Ekvationssystemet Hur y högt = hoppade 2 x + 5 kaninen Tösen? (0/2/0) y = k x + 5 har alltså punkten (0, 5) som lösning oberoende av värdet på k. När k = 2 är de två linjerna identiska och lösningen är inte entydig. Varje punkt på linjerna är en lösning till ekvationssystemet. Enligt kravet i uppgiften ska linjerna skära varandra i en enda punkt. Riktningskoefficienten Del II k kan alltså ha alla värden utom k = 2. Svar 6. k 2. Max 2/0/0 Kommentar Godtagbar Tecknet ansats, t.ex. är korrekt internationell insättning standard i formel för för andragradsekvationslösning inte lika med. med korrekt svar ( x 1 = 8, x 2 = 2 ) +E P +E P Kommentar I Skolverkets norm för rättning står följande. 7. Max 0/1/1 E C A Godtagbart resonemang som inte behöver vara helt fullständigt, (t.ex. k får inte vara 2 för då är linjerna parallella. ) Godtagbart resonemang som är fullständigt, (t.ex. k kan ha vilka värden som helst utom 2 för då är linjerna parallella och identiska och har då alla punkter gemensamma. ) 1C R 1C R och 1A R Bedömda elevlösningar finns till denna uppgift. Var noga med svaren på A-nivå. Glöm inte det du tycker är självklart. 8. Max 0/2/0 7 Godtagbar ansats, t.ex. bestämmer symmetrilinjen x = 0, 5 +1 C PL med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar (1 m) +1 C PL

12 2 6. Lös ekvationen x 6x 16 = 0 algebraiskt. (2/0/0) 7. Två linjer y = 2 x + 5 och y = kx + m skär varandra i en enda punkt. Den punkten Ma2 Skolverkets ligger på y-axeln. exempel version (112) Vilka värden kan riktningskoefficienten k ha? Motivera. (0/1/1) Del II # 8 (0/2/0) Kaninen Tösen från Danmark 8. Kaninen Tösen från Danmark satte 1997 världsrekord i höjdhopp för kaniner. Enligt en modell gäller att Tösens höjd under hoppet ges av h( x) = 4x 4x 2 där h är höjden i meter över golvet och där x är avståndet i meter längs golvet från avstampet. Hur högt hoppade kaninen Tösen? (0/2/0) Finn maximum hos funktionen h(x) = 4 x 4 x 2. Gör en skiss av kurvan. Grafiska hjälpmedel är inte tillåtna. Maximum finns på symmetrilinjen som ligger mitt emellan funktionens nollställen. Bestäm nollställen. Enklast är att dela upp funktionen i faktorer. Vi får h(x) = 4 x }{{} x=0 (1 x) } {{ } x=1 Symmetrilinjen ligger mitt emellan 2:a gradsfunktionens nollställen, alltså x = 0,5. Maxvärdet blir h(0,5) = 4 0,5 4 0,5 2 = 1. Svar Kaninen hoppade 1 m. 7

13 Ma2 Skolverkets exempel version (112) Del III: Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. Del III # 9 (2/0/0) Likformighet, flagga 9. En svensk flagga med långsidan 160 cm och kortsidan 100 cm uppfyller gällande flagglag. Anna vill göra en liten bordsflagga med kortsidan 8 cm. Hur lång ska Anna göra sin flagga för att den ska vara likformig med den stora flaggan? (2/0/0) Figuren illustrerar flagga och bordflagga. 10. Företaget Rund Plast AB tillverkar 160 bland annat innebandybollar. Varje månad tillverkas innebandybollar. x Efter klagomål från kunder beslöt Rund 100 Plast AB:s ledning att göra 8 en kvalitetskontroll. Under en månad kontrollerades kvaliteten på var 200:e innebandyboll som tillverkades. Man hittade 11 bollar som var av dålig kvalitet. Flagga Bordsflagga a) Här ovan beskrivs en stickprovsundersökning. Hur stort var stickprovet? (1/0/0) Lösning variant 1 b) Hur många av de innebandybollar som tillverkades under en månad kan bordsflaggan antas ha varit av dålig kvalitet? (2/0/0) = x flaggan 160 = x = 12,8 Lösning variant 2 Svar långsida kortsida = = x 8 x = 12,8 Anna ska göra flaggan 12,8 cm lång. 8

14 Ma2 Skolverkets Hur lång ska exempel Anna göra sin flagga version för att den ska vara likformig med den stora 14(112) flaggan? (2/0/0) Del III # 10 (2/0/0) Statistik 10. Företaget Rund Plast AB tillverkar bland annat innebandybollar. Varje månad tillverkas innebandybollar. Efter klagomål från kunder beslöt Rund Plast AB:s ledning att göra en kvalitetskontroll. Under en månad kontrollerades kvaliteten på var 200:e innebandyboll som tillverkades. Man hittade 11 bollar som var av dålig kvalitet. a) Här ovan beskrivs en stickprovsundersökning. Hur stort var stickprovet? (1/0/0) b) Hur många av de innebandybollar som tillverkades under en månad kan antas ha varit av dålig kvalitet? (2/0/0) a) Av totalt bollar testas var 200:e boll. Det betyder att utgör stickprovet = 250 bollar Svar a) Stickprovet är 250 bollar. b) Av stickprovets 250 bollar är 11 dåliga. Andelen dåliga bollar i stickprovet är Med antagandet att samma andel av de tillverkade bollarna är dåliga blir antalet dåliga bollar = 2200 stycken. 250 Svar b) 2200 dåliga bollar. 8

15 Ma2 Skolverkets exempel version (112) Del III # 11 (3/0/0) Rät linje 11. En rät linje har riktningskoefficienten k = 1, 2 och skär y-axeln i punkten (0, 3) Avgör om punkten (175, 207) ligger på linjen. (2/0/0) Enligt 12. Lina FORMELSAMLINGEN och Sara är ute och gäller seglar följande. i en båt som de har lånat. De seglar mot en bro och börjar fundera på om masten är för hög för att båten ska kunna passera under bron. För att kunna bestämma mastens höjd gör de några mätningar. Ekvationen för den räta linjens är y = 1,2 x + 3 eftersom k = 1,2 är given i uppgiften och linjen går genom punkten (0, 3). Kontrollera om punkten (175, 207) ligger på linjen. Stoppa in x = 175 i linjens ekvation 175 {}}{ = 1,2 x + 3 y }{{} 213 ut trillar y = 213. När x = 175 blir y = 213 och punkten y = 207 ligger alltså inte på linjen. Svar Punkten (175, 207) ligger inte på linjen. Lina och Sara mäter avståndet från mastens fot och rakt ut mot akterstaget och finner att det är 4,50 m. Sedan mäter de avståndet från masten till akterstaget 0,80 m högre upp och parallellt med första mätningen. Det avståndet är 4,20 m. Se figur. Använd de mätningar som Lina och Sara har gjort och bestäm mastens höjd. (0/2/0)

16 11. En rät linje har riktningskoefficienten k = 1, 2 och skär y-axeln i punkten (0, 3) Ma2 Skolverkets exempel version (112) Avgör om punkten (175, 207) ligger på linjen. (2/0/0) Del III # 12 (0/2/0) Likformighet 12. Lina och Sara är ute och seglar i en båt som de har lånat. De seglar mot en bro och börjar fundera på om masten är för hög för att båten ska kunna passera under bron. För att kunna bestämma mastens höjd gör de några mätningar. Lina och Sara mäter avståndet från mastens fot och rakt ut mot akterstaget och finner att det är 4,50 m. Sedan mäter de avståndet från masten till akterstaget 0,80 m högre upp och parallellt med första mätningen. Det avståndet är 4,20 m. Se figur. Använd de mätningar som Lina och Sara har gjort och bestäm mastens höjd. (0/2/0) 9

17 Ma2 Skolverkets exempel version (112) Använd FORMELSAMLINGEN. Rita Figur. C 4, 20 4, 50 4, 20 4, 50 0, 80 x x 0, 80 = x 0, 80 = 1 x 4, 50 4, 20 = x = 0, 80 4, 50 D A 4, 50 4, 50 4, 20 = 12 E B AB = 4,50 DE = 4,20 BE = 0,80 BC = x CE = x - 0,80 Svar Mastens höjd är 12 m. Kommentar Små mätfel i AB eller DE ger stora fel i AC. Med DE=4,29 istället för 4,30 cm blir mastens höjd 11,6 m.

18 Ma2 Skolverkets exempel version (112) Del III # 13 (0/3/0) Motion med linjära ekvationer 13. Fia springer på ett löpband som kan ställas in på olika hastigheter. På en display kan hon avläsa hur mycket energi hon förbrukar under ett träningspass på löpbandet. Energin anges i enheten kcal. Fia brukar först ställa in löpbandet på hastigheten 8 km/h ( låg hastighet) för att sedan öka hastigheten till 12 km/h ( hög hastighet). Tabellen visar exempel på Fias träningspass på löpbandet. låg hastighet Tid hög hastighet Energiförbrukning Träningspass 1 20 min 10 min 300 kcal Träningspass 2 10 min 15 min 280 kcal Hur mycket energi per minut (kcal/min) förbrukar Fia då hon springer med låg respektive hög hastighet? (0/3/0) Inför 14. variabler. En sträcka Låt AB x är vara 15 cm energiförbrukning lång. Sträckan kan i delas kcal/min i fem vid delsträckor låg hastighet på olika sätt. och y vid hög hastighet. Längden av varje delsträcka måste vara större än noll. Steg-1: Skapa ett ekvationssystem med två linjära ekvationer. 20x + 10y= 300 1:a ekvationen (1) 10x + 15y= 280 2:a ekvationen (2) Steg-2: a) LösGör ekvationssystemet en indelning av sträckan (skapa triangulärt AB så att variationsbredden system). för delsträckornas längder blir 12,5 cm. (1/1/0) b) Beroende på hur man delar in sträckan AB i fem delsträckor kan variationsbredden variera. Utred vilka värden som är möjliga för variationsbredden när man ändrar på de fem delsträckornas längder. (0/1/1)

19 Ma2 Skolverkets exempel version (112) Fia brukar först ställa in löpbandet på hastigheten 8 km/h ( låg hastighet) för att sedan öka hastigheten till 12 km/h ( hög hastighet). Tabellen visar exempel på Fias träningspass på löpbandet. 20x + 10y= 300 behåll 1:a ekvationen (3) + 10y= 130 ekvation (4) = ekvation Tid (2) - 1 ekvation (1) (4) 2 låg hög Energiförbrukning Steg-3: Lös först ekvation (4) och hastighet sedan (3). hastighet Ekvation (4) ger Träningspass y = 13 och 1 med y 20 = min 13 ger ekvation 10 min (3) att x 300 = 8,5. kcal Träningspass 2 10 min 15 min 280 kcal Svar Fia förbrukar 8,5 kcal/min då hon springer med låg respektive 13 kcal/min vid Hur mycket energi per minut (kcal/min) förbrukar Fia då hon springer med hög hastighet. låg respektive hög hastighet? (0/3/0) Del III # 14 (1/2/1) Variationsbredd 14. En sträcka AB är 15 cm lång. Sträckan kan delas i fem delsträckor på olika sätt. Längden av varje delsträcka måste vara större än noll. a) Gör en indelning av sträckan AB så att variationsbredden för delsträckornas längder blir 12,5 cm. (1/1/0) b) Beroende på hur man delar in sträckan AB i fem delsträckor kan variationsbredden variera. Utred vilka värden som är möjliga för variationsbredden när man ändrar på de fem delsträckornas längder. (0/1/1) a) Dela in sträckan 15 cm i 5 delar och sortera delarna i storleksordning. Vi får 0 < x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 (1) och 15 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5. (2) 10 Variationsbredden är x max x min. Konkret i detta problem gäller 12,5 = x 5 x 1. (3) Ekvation (2) och (3) ger 15 = x 1 + x 2 + x 3 + x , 5 + x 1 2,5 = x 1 + x 1 + x 2 + x 3 + x 4. } {{ } (4) 5 termer Det finns naturligtvis många olika möjligheter att välja x 1, x 2, x 3 och x 4 så att ekvation (4) blir uppfylld. Välj något enkelt, välj alla 5 termer lika. Ekvation (4) ger 0,5 = x 1 = x 2 = x 3 = x 4 Med vald lösning ger (2)

20 Ma2 Skolverkets exempel version (112) 15 = 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 { }} { x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5. }{{} 13 Svar a) En möjlig indelning är 0,5 0,5 0,5 0,5 och 13 cm. b) Studera mellan vilka gränser variationsbredden kan variera. Med alla delar lika x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = 3 cm blir variaitonsbredden = x 1 + x 2 + x 3 + x } {{ } 4 + x }{{} 5 små termer stor term Med små värden på x 1, x 2, x 3 och x 4 blir variationsbredden x 5 x 1 < 15. Likhet kan inte uppnås eftersom 0 < x 1. Svar b) 0 variationsbredd < 15 cm. Del III # 15 (0/0/4) Vikt pappersark 15. ABCD är ett vitt rektangelformat pappersark med grå baksida (se vänstra figuren). Arket viks så att vikningslinjen går genom hörnet A och så att hörnet B hamnar på sidan CD (se högra figuren). D 15 cm C 12 cm A B Beräkna arean av den uppvikta (grå) delen av pappersarket. (0/0/4) Beräkningar som bygger på uppmätta värden godtas ej.

21 Ma2 Skolverkets exempel version (112) D x B C E A 15 B Börja med att rita figuren. Vik upp hörnet B så att det hamnar på sidan CD och kalla punkten för B (uttalas B-prim). Bestäm längden av sidan DB i triangeln ADB med hjälp av Pythagoras sats = x 2 ger x = 9. Då längden av sidan DB är 9 cm blir längden av B C 15 9 = 6 cm. D 9 B 6 C z 12 z E z A 15 B Längden av EB och EB är lika, kalla längden för z. Triangeln B CE är rätvinklig. Pythagoras sats ger

22 Ma2 Skolverkets exempel version (112) z 2 = (12 z) 2 } {{ } z+z 2 0 = z z = = = 7, 5 Arean hos triangeln AB E blir area = 15 7, 5 = 56, 25 2 Svar Arean är 56, 25 cm 2. Andra lösningar Triangeln ADB har vinkelsumman = DB A + B AD + 90 Vinkeln vid punkten B är 180 och består av tre olika delar 180 = DB A EB C Då gäller att B AD = EB C De rätvinkliga trianglarna ADB och B CE måste nu ha alla vinklar lika och är därmed likformiga. Denna kunskap kan anvädas i stället för Pythagoras sats vid lösningen av uppgiften. D B C 90 α α 90 α E α A B

23 Ma2 vt2012 version (112) Ma2b VT 2012 LÖSNINGAR Del I # 1 (1/0/0) Bestäm ekvationen m = 4 x = 3 y = 6 k = 1 a) Ur figuren kan x, y och m bestämmas. Vi beräknar lutningen k = y x = 6 3 = 2. Linjens ekvation blir y = 2 }{{} k Svar a) Linjens ekvation är y = 2 x + 4. x + 4 }{{} m.

24 Ma2 vt2012 version (112) Del I # 2 (1/0/0) Förenkla Använd konjugatregeln i FORMELSAMLINGEN (x + 5)(x 5) +25 = x 2 } {{ } x 2 25 Svar Det förenklade uttrycket är x 2. Del I # 3 (2/1/0) Ekvationer, logaritmer & potenser a) x ( x + 7 ) = 0 }{{} } {{ } x=0 x= 7 Svar a) x = 0 eller x = 7.

25 Ma2 vt2012 version (112) b) Använd FORMELSAMLINGEN Svar b) x = = = lg = = lg = = lg 1000 c) Använd FORMELSAMLINGEN } 2 3 {{ 2 } x = 2 2x 2 3+x 3 + x = 2 x 3 = x Svar c) x = 3

26 Ma2 vt2012 version (112) Del I # 4 (1/0/0) Reell lösning? Svar Alternativ B har en icke reell lösning eftersom x = 6 är icke reell. Del I # 5 (0/1/0) Teckna en funktion När Anna har cyklat x minuter så har hon cyklat 0,35 x km. Den sträcka y hon har kvar är då y = 7 0,35 x Svar y = 7 0,35 x

27 Ma2 vt2012 version (112) Del I # 6 (0/1/0) Andragradsfunktion & symmetrilinje För en 2:a gradsfunktion går symmetrilinjen genom max-punkten. x = 2 x = 1 x = 4 Det finns många 2:a gradsfunktioner som har maximum för x = 1. Det finns också många 2:a gradsfunktioner som både har maximum för x = 1 och har ett nollställe (rot) i x = 4. Andragradsfunktionen är symmetrisk kring symmetrilinjen x = 1. Detta betyder att det andra nollstället är x = 2. Svar Andra roten är x = 2.

28 Ma2 vt2012 version (112) Del I # 7 (0/1/1) Förenkla a) Använd FORMELSAMLINGEN} x 3m 7 x 2m 7 = x 3m 7 2m 7 = x m 7 Svar a) Det förenklade uttrycket är x m 7 b) Förenkla följande x x x = x + x + x } {{ } 3 x x x x 3 x = x x 3 = x 3 Svar b) Det förenklade uttrycket är x 3.

29 Ma2 vt2012 version (112) Del I # 8 (1/2/1) Grafer i koordinatsystem

30 Ma2 vt2012 version (112) a) Bestäm g(2) y = 6 x = 2 Svar a) g(2) = 6 b) Bestäm för vilka x det gäller att f(x) < g(x). Börja med att bestämma gränserna där f(x) = g(x). x = 1 x = 5 Gränserna är x = 1 och x = 5. Intervallet blir 1 < x < 5. Svar b) Intervallet där f(x) < g(x) är 1 < x < 5.

31 Ma2 vt2012 version (112) c) Kalla den nya linjen för h(x). För att linjen h(x) inte ska korsa linjen f(x) måste linjerna vara parallella. Linjen f(x) har k-värdet 1. Välj ett m-värde så att linjen med säkerhet går ovanför linjen f(x). Vårt val är m = 100. Svar c) Linjen h(x) = 100 x korsar varken f(x) eller g(x). Del I # 9 (2/0/1) Värdeminskning a) Datorn minskar från fullt värde till ,60 av fullt värde på ett år. Minskning är 40%. Svar a) Minskningen per år är 40%. b) I den nya funktionen ska tiden räknas i månader istället för år. Funktionen V (x) = ,60 x 12 uppfyller kravet. När x är 12 månader är värdeminskningen 40%.

32 Ma2 vt2012 version (112) Svar b) Funktionen blir V (x) = ,60 x 12. Del I # 10 (0/0/2) Ekvationssystem a) Den ena ekvationen är 3 x + 2 y = 12. Ett ekvationssystem saknar lösning om två ekvationer är motsägelsefulla. Ett exempel är på en andra ekvation som gör att systemet saknar lösning är 3 x + 2 y = 10 eftersom 3 x + 2 y inte samtidigt kan vara både 12 och 10. Grafisk svarar detta mot parallella linjer som aldrig korsar varandra. Svar a) Se ovan. b) I Skolverkets svarsbilaga och rättningsnorm finns följande exempel { 3x + 2y = 12 x + y = 5 Många många fler alternativ finns. Exempelvis följande tre möjligheter.

33 Ma2 vt2012 version (112) Svar b) Se ovan. { 3x + 2y = 12 x = 2 { 3x + 2y = 12 y = 3 { 3x + 2y = 12 x y = 1 Del II # 11 (2/0/0) Linjärt ekvationssystem Uppgiften är att lösa ekvationssytemet 2 x y = 9 1:a ekvationen 5 x + 2 y = 0 2:a ekvationen De två ekvationerna är uppställda på ett bra sätt, x under x och y under y samt konstanta tal på höger sida om likhetstecknet. Strategi: Behåll 1:a ekvationen och eliminera (ta bort) koefficienten (talet) framför x i andra ekvationen. Subtrahera 2,5 1:a ekvationen från 2:a ekvationen. Vi får då: 2 x y = 9 1:a ekvationen 5 x+5 x + 2,5 y+2 y = ( 2,5) (-9) ny 2:a ekvation innehåller bara y 2 x y = 9 1:a ekvationen 4,5 y = 22,5 Lös y som blir y=5 2 x y = 9 Lös x, med y=5 blir x= 2 4,5 y = 22,5 y=5 Svar x= 2 y=5.

34 Ma2 vt2012 version (112) Alternativ lösning, eliminera y först 2 x y = 9 1:a ekvationen 5 x + 2 y = 0 2:a ekvationen Strategi: Behåll 1:a ekvationen och eliminera (ta bort) koefficienten (talet) framför y i andra ekvationen. Addera 2 1:a ekvationen till 2:a ekvationen. Vi får då: 2 x y = 9 1:a ekvationen +4 x+5 x 2 y+2 y = 18 ny 2:a ekvation innehåller bara x 2 x y = 9 1:a ekvationen 9 x = 18 Lös x som blir x= 2 2 x y = 9 Lös y, med x= 2 blir y=5 9 x = 18 x= 2 Svar Återigen får vi x= 2 y=5. Del II # 12 (2/0/0) 2:a gradsekvationer a) Använd FORMELSAMLINGEN där finns pq-formeln.

35 Ma2 vt2012 version (112) 0 = x 2 4 }{{} p= 4 x 45 }{{} q= 45 ( 4 x = 4 ) 2 2 ± ( 45) 2 x = 2 ± ( 2) = 2 ± = 2 ± 49 = 2 ± 7 Svar a) x = 2 ± 7 alternativt x 1 = 9 och x 2 = 5. b) Börja med att förenkla (x + 1) 2 = x + 1 x x + 1 = x + 1 x 2 + x = 0 Använd inte pq-formeln utan faktorisera istället x (x + 1) = 0 }{{} } {{ } x=0 x= 1 Svar b) x 1 = 0 och x 2 = 1.

36 Ma2 vt2012 version (112) Del II # 13 (1/3/2) Triangel inskriven i cirkel a) Punkten M är mittpunkt i cirkeln. Då blir sträckorna MA och MB lika. Triangeln MAB är alltså likbent (två lika sidor) och därmed är de två vinklarna markerade med x lika stora. Svar a) Ovanstående visar att de två vinklarna betecknade med x är lika. b) För MAB gäller 180 = } AMB {{ } + x + x 180 2x Vinkeln AMC är rak

37 Ma2 vt2012 version (112) 180 2x { }} { 180 = AMB + } BMC {{ } 2x Punkten M är mittpunkt i cirkeln. Då blir sträckorna MB och MC lika. MBC är alltså likbent och därmed är MBC och MCB lika stora, kalla vinkeln för y. För MBC gäller 180 = ABC = 2x { }} { BMC + MBC y = 90 x } {{ } y y=90 x x { }} { { }} { ABM + MBC = 90 + MCB } {{ } y Svar b) Ovanstående visar att vinkeln ABC är 90. Del II # 14 (0/0/2) 2:a gradsekvation Börja med att skriva om ekvationen x 2 = (a 1) 2 x = ±(a 1) x 1 = a 1 x 2 = 1 a Svar x 1 = 1 a och x 2 = a 1.

38 Ma2 vt2012 version (112) Del II # 15 (0/0/4) Avstånd Rita figur är alltid en bra början vid denna typ av problem y P = (x, 2x 5) x Avståndet mellan punkten P = (x, 2 x 5) och origo (0, 0) kan beräknas med hjälp av avståndsformeln eller Pythagoras sats. Avståndet ska vara 10 längdenheter. Vi får 10 = x 2 + (2 x 5) = x 2 + (2 x 5) = x x 2 20 x = 5 x 2 20 x 75 Normalisera (alltså dividera med 5 så att talet framför x 2 blir 1). 0 = x 2 4 x 15. Använd pq-formeln x = 2 ± = 2 ± 19. Den intressanta roten i första kvadraten är x = Svar x-koordinaten för punkten P är x =

39 Ma2 vt2012 version (112) Del III # 16 (2/0/0) Likformiga rektanglar Det finns två olika fall av likformighet. Figuren illustrerar. x :a fallet y 2:a fallet 12 Rektangel A Rektangel B Rektangel B 1:a fallet korta sidan långa sidan = 4 6 = y 12 ger y = 8. 2:a fallet korta sidan långa sidan = 4 6 = 12 x ger x = 18. Svar Sidan är 8 alternativt 18 cm.

40 Ma2 vt2012 version (112) Del III # 17 (3/0/0) Parallella linjer y = 8 y = 10 x = 9 x = 11 Linjer som är parallella har lika k-värde (lutning). Linjen AB har lutningen k AB = 8 och 9 linjen CD har k CD = 10. Lutningarna är olika eftersom Svar Linjerna är inte parallella.

41 Ma2 vt2012 version (112) Del III # 18 (2/0/0) Stek 77 C Frågan gäller om steken når temperaturen 77 C före eller efter klockan när den stoppas i ugnen och temperaturen ökar enligt T (t) = 16,5 1,0085 t. Tiden mellan och är 210 minuter. T (210) = 16,5 1, = 97,6 Svar Steken når temperaturen 77 C innan klockan

42 Ma2 vt2012 version (112) Del III # 19 (2/3/1) Två modeller för värdeminskning a) Vad ska Hugo och Inez betala för bilen enligt Hugos modell? När Hugo och Inez köper bilen är t = 0. V (t) = 800 t t V (0) = Svar a) kr b) Beräkna V (15) { }} { { }} { V (15) = = 0 Svar b) Värdet efter 15 år är noll.

43 Ma2 vt2012 version (112) c) Inez modell är W (t) = x Beskriv två likheter mellan de båda modellerna för hur bilens värde minskar. y Hugo Inez Hugo x Inez Undersök de två funktionerna. Skissa funktionernas grafer. Likheterna är att V (0) = W (0) och V (15) = W (15). Svar c) Likheterna är att V (0) = W (0) och V (15) = W (15) d) Modeller blir ofta orimliga om de används utanför det område de är avsedda för. Svar d) Skolverkets rättningsnorm ger följande svar: Kommentar Är verkligen ett negativt värde orimligt? En skrotbil i naturen är en miljörisk som måste tas om hand. Detta kostar och är naturligtvis ett negativt värde.

44 Ma2 vt2012 version (112) Del III # 20 (2/3/0) Normalfördelade tomatburkar Använd FORMELSAMLINGEN a) Med µ = 395 och µ + σ = 400 ligger 50% av burkarna med vikter under 395 g och 34% av burkarna med vikter mellan 395 g och 400 g. 50% +34% = 84%. Svar a) 84% av burkarna har en vikt under 400 g.

45 Ma2 vt2012 version (112) b) Med kravet att endast 100%-97,7%=2,3% av burkarna ska ha en vikt under 400 g får vi ekvationen µ 2 σ = 400. Med σ = 5 blir µ = = 410 g. Svar b) µ=410 g. Del III # 21 (1/1/1) Medelvärde och median Skriv talen i storleksordning. Ett exempel är 5 }{{} 6 7 median, talet i mitten medelvärde av 5, 6, 7 är 6 där medianen är lika med medelvärdet. Detta gäller också för tre godtyckliga heltal som följer på varandra. n } n {{ + 1 } n + 2 median, talet i mitten medelvärde av n, n + 1, n + 2 är n + 1 Svar Det gäller alltid att medelvärdet av tre på varandra följande heltal är lika med talens median.

46 Ma2 vt2012 version (112) Del III # 22 (0/1/2) Modellering, regression

47 Ma2 vt2012 version (112) Svar I Skolverkets rättningsnorm finns följande svar Kommentar Notera att Skolverket accepterar anpassning med ögonmått och linjal. Detta är både enkelt och farligt då m-värdet är det y-värde som linjen har då x = 0. I diagrammet saknas x = 0. Bestäm k genom att bestämma x och y. Bestäm sedan m genom att välja en punkt (x 0, y 0 ) på linjen och lösa ekvationen y 0 = k x 0 + m Alternativt kan du välja en punkt (x 0, y 0 ) på linjen och sedan skriva linjens ekvation som y y 0 = k (x x 0 ). Detta är ett alternativ till att skriva linjens ekvation enligt mallen y = k x + m. Kommentar Regressionsmodeller kräver datorer med lämplig programvara eller miniräknare av typen TI 82. För mindre problem duger miniräknare. Arbetsgången blir då att först skapa en tabell med x- och y-värden och göra linjär regression för att beräkna k- och m-värde (som i TI 82 kallas a- och b-värde enligt amerikanskt språkbruk). Exakt hur detta går till framgår av bruksanvisning eller bättre ett youtube-klipp som kan hittas via URL-en

48 Ma2 vt2012 version (112) Del III # 23 (0/3/4) Trianglar & kvadrater a) Varje sida är 24 3 = 8 m eftersom triangeln är liksidig. 8 h För att beräkna triangelns area A använder vi FORMELSAMLINGEN. Basen är känd, b = 8 m, men höjden h är inte känd och måste beräknas med Pythagoras sats.

49 Ma2 vt2012 version (112) Enligt Pythagoras sats får vi 8 2 = h 2 h = ,93 A = 8 6,93 27,7 2 Svar a) Arean är 27,7 m 2. b) Med ena kvadratens sida x m och andra 6 x m blir snörets totala längd 24 m. 6 x x 6 x x Kvadraternas totala area blir A = (6 x) 2 } {{ } 36 12x+x 2 +x 2 A = x + 2 x 2 (1) Välj x så att arean blir 17 m 2. Lös ekvationen 17 = x + 2 x 2. Flytta om termerna i ekvationen. 0 = x + 2 x 2 0 = x 2 6 x Beräkna x med hjälp av pq-formeln.

50 Ma2 vt2012 version (112) x 1,2 = 3 ± x 1,2 = 3 ± 9 9,5 x 1,2 = 3 ± 0,5 } {{ } komplext tal Svar b) Reell lösning saknas. Det går inte att dela snöret i två delar så att kvadraternas sammanlagda yta blir 17 m 2. Kommentar Ekvation (1) som beskriver kvadraternas totala yta har minimum 18 m 2 då de två kvadraterna är lika stora

51 Ma2 vt2005 version (112) MaB VT 2005 LÖSNINGAR Del I # 1 (4/0) Lös ekvationen Denna uppgift hör både till kursen Ma2 och Ma1 a) Lös ekvationen x x 8 = 0. Använd FORMELSAMLINGEN I vårt fall är p = 2 och q = 8. Detta ger x 1 = ( 8) = = = 2 x 2 = ( 8) = 1 9 = 1 3 = 4 Svar a) x 1 = 2 och x 2 = 4 TIPS: Kontrollera alltid att lösningen uppfyller ekvationen. b) Lös ekvationen 0 = 40 x + 10 x 2 Denna ekvation kan givetvis lösas med pq-formeln men den är lättare att lösa genom faktorisering. Dela upp i faktorer 0 = 10 (4 } {{ + x } ) }{{} x x= 4 x=0 Svar b) x 1 = 4 och x 2 = 0

52 Ma2 vt2005 version (112) Del I # 2 (1/0) Statistik, variationsbredd Denna uppgift hör till kursen Ma2. Företag högsta lägsta variationsbredd Hamburgerbar IT-företag störst Skola Svar IT-företaget har störst variationsbredd, 30 år.

53 Ma2 vt2005 version (112) Del I # 3 (2/0) Bestäm vinkeln Denna uppgift hör till kursen Ma2. a) Bestäm vinkeln x. 1:a varianten: yttervinkelsatsen ger 144 = }{{} x x=40 2:a varianten: vinkelsumman i en triangel är 180 Svar a) 180 = ( ) } {{ } summan av sidovinklar b) Vilka satser Vinkeln är x }{{} x=40 Svar b) A Pythagoras sats NEJ B Vinkelsumman i en triangel är 180 JA tillsammans med C C Summan av sidovinklar är 180 JA tillsammans med B D Yttervinkelsatsen JA ensam E Topptriangelsatsen NEJ F Randvinkelsatsen NEJ

54 Ma2 vt2005 version (112) Del I # 4 (3/0) Räta linjen Denna uppgift hör till kursen Ma2.

55 Ma2 vt2005 version (112) a) Bestäm ekvationen för linjen som är inritad i koordinatsystemet. I FORMELSAMLINGEN finns formeln y = k x + m. Då x = 0 är y = m. Titta i figuren, då x = 0 är y = 3, alltså har vi nu y = k x + 3. Återstår att bestämma k. Enligt FORMELSAMLINGEN gäller k = y 2 y 1 x 2 x 1 Med punkterna (0, 3) och (4, 5) får vi k = = 2 Svar a) y = 2 x + 3 b) Avgör om punkten ( 4, 11) ligger på linjen. Stoppa in x = 4 i linjens ekvationen y = 2 x + 3 Svar b) = 2 ( 4) + 3 = = 11 det stämmer! Punkten ( 4, 11) ligger på linjen. c) Det finns många linjer som har riktningskoefficienten 3 4. y Svar c) y = 3 4 x + 0 x Se någon av figurerna ovan y y = 3 4 x + 2 x

56 Ma2 vt2005 version (112) Del I # 5 (2/0) Linjärt ekvationssystem Denna uppgift hör till kursen Ma2. Uppgiften är att lösa ekvationssytemet 2 y + 2 x = 16 1:a ekvationen y 2 = 2 x 2:a ekvationen De två ekvationerna är uppställda på ett rörigt sätt, x finns på både vänster och höger sida om likhetstecknet. Börja med att städa upp. Samla okända, x och y, på vänster sida och konstanta tal på höger sida om likhetstecknet. 2 x + 2 y = 16 1:a ekvationen 2 x + y = 2 2:a ekvationen Strategi: Behåll 1:a ekvationen och eliminera (ta bort) koefficienten (talet) framför x i andra ekvationen. Addera 1:a ekvationen till 2:a ekvationen. Vi får då: 2 x + 2 y = 16 1:a ekvationen 2 x+2 x + y+2 y = ny 2:a ekvation innehåller bara y 2 x + 2 y = 16 1:a ekvationen 3 y = 18 Lös y som blir y=6 2 x + 2 y = 16 Lös x, med y=6 blir x=2 3 y = 18 y=6 Svar x=2 y=6. Kommentar Metoden som används ovan kallas triangulering och bakåtsubstitution och är ett systematiskt sätt att hitta lösningar till system av linjära ekvationer. För ett problem som detta med två obekanta behövs knappast någon systematisk metod. För stora problem med 10-tals, 100-tals eller 1000-tals obekanta behövs dock en systematisk metod. Redan problem med 3 obekanta kräver en systematisk metod. Stora problem kan naturligtvis inte hanteras med räkning för hand utan kräver dator. Professionella program för att lösa linjära ekvationssystem är Matlab (dyr licens) eller Octave (fritt) som båda använder triangulering och bakåtsubstitution.

57 Ma2 vt2005 version (112) Del I # 6 (2/0) Lös olikhet Denna uppgift hör till kursen Ma1. a) För olikheter gäller att du kan addera eller subtrahera ett tal från bägge sidor i en olikhet multiplicera eller dividera bägge sidor i en olikhet med ett tal > 0. vid multiplikation eller division med ett negativt tal vänds olikheten. Alltså om a < b så är a > b. 3 x + 13 < 7 3 x < 7 13 subtrahera 17 från bägge sidor 3 x < 6 x < 2 dividera bägge sidor med 3 Svar a) x < 2. b) Kontrollera alternativen A F. x 3 x + 13 < 7 Falskt/Sant A < 7 8 < 7 SANT B < 7 5 < 7 SANT C < 7 7 < 7 FALSKT D < 7 19 < 7 FALSKT E < 7 31 < 7 FALSKT F < 7 34 < 7 FALSKT Svar b) Alternativen A och B är uppfyllda.

58 Ma2 vt2005 version (112) Del I # 7 (0/2) Två tärningar Denna uppgift hör till kursen Ma1. Vilket är det sannolikaste utfallet vid tärningskast med två sexsidiga tärningar. Av de två tabellerna framgår att 7 är det sannolikaste utfallet Svar 7 är det mest sannolika utfallet. totalt kombinationer

59 Ma2 vt2005 version (112) Del I # 8 (0/1) Ge ekvationen för en linje Denna uppgift hör till kursen Ma2. Det finns naturligtvis många linjer som inte skär grafen till y = x 2 4 x. En rät linje som aldrig skär grafen är y = 5. Svar Linjen y = 5 skär aldrig grafen. Kommentar Villkoret för att linjen y = k x + m ska skära grafen till y = x 2 4 x är att ekvationen k x + m = x 2 4 x har (reella) lösningar. Rötterna till x 2 (4 + k) x m = 0 är x 1,2 = (2 + (2 k) ± + k 2 2 )2 + m som saknar lösning då (2 + k 2 )2 + m < 0.

60 Ma2 vt2005 version (112) Del II # 9 (2/0) Förenkla Denna uppgift hör till kursen Ma2. a) Använd FORMELSAMLINGEN. Kvadreringsregler ger (x 4) 2 16 = x 2 8 x } {{ } x 2 8 x+16 Svar a) x 2 8 x alternativt (x 8) x. b) x (2 x + 5) 2 (3 + x) = 2 x x 6 } {{ } } {{ } 2 x 2 +5 x 6+2 x Svar b) 2 x x 6

61 Ma2 vt2005 version (112) Del II # 10 (2/1) Sannolikhet Denna uppgift hör till kursen Ma1. a) sannolikhet att första spelaren kommer från Umeå IK är antal spelare från Umeå IK = 6 totala antalet spelare 20 = 0,3 Svar a) 0,3 alternativt 3 alternativt 30%. 10 b) Sannolikheten att första spelaren kommer från Umeå IK är 6. När första spelaren 20 är utplockad återstår 19 spelare varav 5 är från Umeå IK. Sannolikheten att andra spelaren kommer från Umeå IK är antal kvarvarande spelare från Umeå IK = 5 totala antalet kvarvarande spelare 19 Sannolikheten båda spelarna kommer från Umeå IK är = 0,0789 8% 19 Svar b) 0,08 alternativt 8%.

62 Ma2 vt2005 version (112) Del II # 11 (4/0) Linjärt ekvationssystem, godis Denna uppgift hör till kursen Ma2. Svar a) x betyder vikt av billigt godis och y betyder vikt av dyrt godis. Svar b) Första ekvationen betyder att totala vikten av billigt och dyrt godis ska vara 5 hekto. Andra ekvationen betyder att priset av billigt och dyrt godis ska vara 30 kronor.

63 Ma2 vt2005 version (112) c) Ekvationerna som ska lösas är x + y = 5 1:a ekvationen 4,90 x + 7,90 y = 30 2:a ekvationen Strategi: Behåll 1:a ekvationen och eliminera (ta bort) koefficienten (talet) framför x i andra ekvationen. Subtrahera 4,9 1:a ekvationen från 2:a ekvationen. Vi får då: x + y = 5 1:a ekvationen 4,90 x-4,90 x + 7,90 y-4,90 y = 30-4,90 5 ny 2:a ekvation innehåller bara y x + y = 5 1:a ekvationen 3,00 y = 5,50 2:a ekvationen ger y=5,50/3=1,83 x + y = 5 med y=1,83 blir x=3,17 3,00 y = 5,50 Svar c) 3,17 hekto billigt godis och 1,83 hekto dyrt godis.

64 Ma2 vt2005 version (112) Del II # 12 (0/2) Likformighet Denna uppgift hör till kursen Ma2.

65 Ma2 vt2005 version (112) Använd FORMELSAMLINGEN, där finns Inför beteckningar (A, B, C, D och E) enligt figuren nedan m 590 m C skalenlig figur CE =1132 m BE = x m 2000 m 255 m D E 1745 m 0 m A B Använd transversalsatsen CD AD = CE BE ger Svar 862 m. = 1132 x x = = 861, Kommentar Det finns flera olika varianter på lösning som ger rätt svar.

66 Ma2 vt2005 version (112) Del II # 13 (0/2) Röstning och bortfall Denna uppgift hör till kursen Ma2. 45% av befolkningen har röstat. Av dessa 45% har 84% röstat JA. Totalt av befolkningen har 0,45 0,84 = 0,387 röstat JA. Detta är det minsta antalet tänkbara JA-röster. Om alla 55% som avstod att rösta valde JA blir andelen JA-röster 0,378+0,55=0,928. Svar Antalet JA-röster kan vara från lägst 37,8% till högst 92,8%. Kommentar Ett alternativt sätt att lösa problemet på är att konstatera att =16% av de röstande valt NEJ. Dessa utgör andelen 0,45 0,16= 0,072 av befolkningen. Om hela övriga befolkningen röstar JA så blir andelen JA-röster 1,00 0,072=0,928.

67 Ma2 vt2005 version (112) Del II # 14 (3/2/ ) Grafer Denna uppgift hör till kursen Ma2.

68 Ma2 vt2005 version (112) Svar a) Rätta kombinationer är Svar b) Det ska stå 50 vid punkten P då det från början fanns 50 bakterier i odlingen. Svar c) Det ska stå 20 vid punkten Q. d) Den rektangulära hundgården har en sida som är x meter och en sida som är z meter. Hundgårdens omkrets är x + z + x + z = 40 meter. Detta ger 2 x + 2 z = 40 eller förenklat z = 20 x. Arean y = x z = x (20 x). Svar d) y = x (20 x).

69 Ma2 vt2005 version (112) Del II # 15 (0/3/ ) Bildformat Denna uppgift hör till kursen Ma2. Enligt Pythagoras gäller höjd 2 + bredd 2 = diagonal 2 Enligt uppgiften gäller att bildformat = bredd höjd vilket ger

70 Ma2 vt2005 version (112) bredd = bildformat höjd och med Pythagoras enligt ovan får vi höjd 2 + bildformat 2 höjd 2 = diagonal 2 höjd 2 diagonal 2 = 1 + bildformat 2 Bildens area är area = bredd höjd area = bildformat höjd höjd diagonal 2 area = bildformat 1 + bildformat 2 = diagonal2 bildformat 1 + bildformat 2 I bråket förkommer bildformat linjärt i täljaren kvadratiskt i nämnaren. Detta betyder att area minskar när bildformat ökar (bildformat>1). En bredare bild ger ett större värde på bildformat och därmed en mindre bildyta, area, under förutsättning att diagonalen är konstant. Med formatet 4 blir ytan 48% och med formatet 16 blir ytan 43% av 3 9 diagonalmåttet i kvadrat. Notera att uppgiften 28 tum inte påverkar resonemanget. (Formatet 1 ger största bildytan men detta hör inte till uppgiften.) 1 Svar Standardformatet 4 3 ger största bildytan för ett givet mått på bildytans diagonal.

71 Ma2 vt2005 version (112) Del II # 16 (0/2/ ) Geometriskt bevis Denna uppgift hör till kursen Ma2. Skolverket ger följande exempel på en lösning som ger full poäng och två MVG-kvaliteter. 1. Formulerar och utvecklar problem, använder generella metoder/modeller vid problemlösning. 2. Genomför bevis och analyserar matematiska resonemang.

72 Ma2 vt2005 version (112) Del II # 17 (3/4/ ) Tändstickor och formler Denna uppgift hör till kursen Ma1. Problemet består av bakgrundsinformation och fyra deluppgifter. 1:a deluppgiften Använd FORMELSAMLINGEN. Enligt FORMELSAMLINGEN gäller

73 Ma2 vt2005 version (112) k = y 2 y 1 x 2 x 1. Välj två punkter ur tabellen k = = 1 2. Vi har nu y = 1 2 x + m Bestäm m. Välj en punkt i tabellen, exempelvis x = 5 och y = 2. Då får vi 2 = m vilket ger m = 1. Linjens ekvation blir 2 y = 1 2 x 1 2. Rita punkterna och linjen i ett koordinatsystem. y x Svar 1:a deluppgiften Linjens ekvation blir y = 1 2 x :a deluppgiften Använd formeln y = 1 x 1 med x = 20. Vi får då y = 9,5 men eftersom det inte finns 2 2 halva trianglar är svaret 9 trianglar. Svar 2:a deluppgiften 9 hela trianglar.

74 Ma2 vt2005 version (112) 3:e och 4:e deluppgiften Varje gång vi utökar ett antal n-hörningar med ytterligare en n-hörning krävs n 1 tänstickor eftersom vi utnyttjar en tändsticka av de tidigare lagda stickorna. En ökning av antalet tändstickor x med n 1 ska alltså ge en ökning av antalet n-hörningar y med 1 enhet. Vi kan då skriva upp formeln x y = n 1 + m där m är okänd. För att bestäma m konstaterar vi att då x = n är y = 1 vilket ger m = 1. Det sökta sambandet är n 1 y = x n 1 1 n 1. Svar 3:e deluppgiften För fyrhörningen gäller att n = 4 vilket ger y = x Svar 4:e deluppgiften För n-hörningen gäller y = x n 1 1 n 1

OBSERVERA ATT DETTA EXEMPELMATERIAL INTE MOTSVARAR ETT HELT KURSPROV I OMFATTNING OCH INNEHÅLL.

OBSERVERA ATT DETTA EXEMPELMATERIAL INTE MOTSVARAR ETT HELT KURSPROV I OMFATTNING OCH INNEHÅLL. Matematik kurs b och c - Exempeluppgifter OBSERVERA ATT DETTA EXEMPELMATERIAL INTE MOTSVARAR ETT HELT KURSPROV I OMFATTNING OCH INNEHÅLL. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv

Läs mer

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.

Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng. Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Bedömningsexempel. Matematik kurs 2b och 2c

Bedömningsexempel. Matematik kurs 2b och 2c Bedömningsexempel Matematik kurs b och c Innehåll Inledning... Allmänna riktlinjer för bedömning... Bedömningsanvisningar... 3 Bedömning av skriftlig kommunikativ förmåga... 3 Provsammanställning... 4

Läs mer

Tips 1. Skolverkets svar 14

Tips 1. Skolverkets svar 14 JENSEN vux utbildning Np Mac vt01 1(0) Kursprov Mac Innehåll Förord 1 Tips 1 Kursprov Mac vt01 Del B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. #1 10...... 3 Del C: Digitala verktyg är inte

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng. NpMac vt 01 Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 7 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 5

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 7 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 5 freeleaks NpMaB vt2011 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2011 2 Del I, 7 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 5 Förord Skolverket har endast

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet NpMaB vt 2005 Version 1 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2011

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2011 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen (2009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 2017-06-30 Vid sekretessbedömning

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 freeleaks NpMaB vt00 1(8) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 00 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter utan miniräknare 5 Förord Uppgifter till den äldre

Läs mer

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0) Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) = x 5 (1/0/0).

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaB vt2001 1(8) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2001 2 Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6 Förord Skolverket har endast

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005 3. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 7

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005 3. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 7 JENSENvuutbildning NpMaB vt005 1(39) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 005 3 Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 4 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 7 MaB VT 005 LÖSNINGAR

Läs mer

Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok

Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok Studieplanering till Kurs 2b Grön lärobok Den här studieplaneringen hjälper dig att hänga med i kursen. Planeringen följer lärobokens uppdelning i kapitel och avsnitt. Ibland får du tips på en inspelad

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet NpMaB vt 2005 Version 1 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material

Läs mer

Np MaB vt 2002 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2002

Np MaB vt 2002 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2002 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av juni 00. Anvisningar Provtid

Läs mer

Bedömningsanvisningar

Bedömningsanvisningar NpMab vt 01 Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar

Läs mer

NpMa2c vt Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 20 C- och 17 A-poäng.

NpMa2c vt Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 20 C- och 17 A-poäng. NpMac vt 015 Delprov B Delprov C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-17. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans. Formelblad och linjal.

Läs mer

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln

Läs mer

NpMa2b ht Kravgränser

NpMa2b ht Kravgränser Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 73 poäng varav 27 E-, 27 C- och 19 A-poäng. Kravgräns för provbetyget

Läs mer

Bedömningsanvisningar

Bedömningsanvisningar Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet

Läs mer

Bedömningsexempel. Matematik kurs 2b och 2c

Bedömningsexempel. Matematik kurs 2b och 2c Bedömningsexempel Matematik kurs 2b och 2c Innehåll Inledning... 2 Allmänna riktlinjer för bedömning... 2 Bedömningsanvisningar... 3 Bedömning av skriftlig kommunikativ förmåga... 3 Provsammanställning...

Läs mer

Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner

Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner Del B Utan miniräknare Endast svar krävs! 1. Lös ekvationen (x + 3)(x 2) = 0 Svar: (1/0/0) 2. Förenkla uttrycket 4(x 3)(x + 3) så långt

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4 freeleaks NpMaB ht000 () Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 000 Del I, 0 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4 Del II, 9 uppgifter med miniräknare, fullständiga lösningar 7 Del

Läs mer

Matematik 2b (Typ) E-uppgifter på hela kursen

Matematik 2b (Typ) E-uppgifter på hela kursen Matematik 2b (Typ) E-uppgifter på hela kursen I Räta linjens ekvation och linjära modeller (1 6) II Ekvationssystem (7 11) III Algebra (12 14) IV Andragradsfunktioner ( inklusive funktioner med komplexa

Läs mer

16. Max 2/0/ Max 3/0/0

16. Max 2/0/ Max 3/0/0 Del III 16. Max 2/0/0 Godtagbar ansats, visar förståelse för likformighetsbegreppet, t.ex. genom att bestämma en tänkbar längd på sidan med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar (8 cm och 18 cm)

Läs mer

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y

KS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och

Läs mer

NpMa2b vt Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 19 C- och 18 A-poäng.

NpMa2b vt Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 57 poäng varav 20 E-, 19 C- och 18 A-poäng. Delprov B Delprov C Provtid Hjälpmedel Uppgift -9. Endast svar krävs. Uppgift 0-7. Fullständiga lösningar krävs. 0 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet

Läs mer

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0)

a) Ange ekvationen för den räta linjen L. (1/0/0) Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) = x 5 (1/0/0).

Läs mer

7. Max 0/1/0. 8. Max 0/2/1. 9. Max 0/0/ Max 2/0/0

7. Max 0/1/0. 8. Max 0/2/1. 9. Max 0/0/ Max 2/0/0 7. Max 0/1/0 14 Korrekt svar (t.ex. 16514 = 44 a ) +1 C M 8. Max 0/2/1 a) Godtagbart angivet intervall, t.ex. då x är mellan 3 och 4 +1 C B med korrekt använda olikhetstecken ( 3 < x < 4 ) +1 C K b) Korrekt

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

Np MaB vt 2002 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2002

Np MaB vt 2002 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2002 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av juni 00. Anvisningar Provtid

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 5

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 5 freeleaks NpMaB ht2002 1(7) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 2002 2 Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 5 Förord Skolverket har endast

Läs mer

NpMa2b vt Kravgränser

NpMa2b vt Kravgränser Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 67 poäng varav 26 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna

Läs mer

Matematik 2b 1 Uttryck och ekvationer

Matematik 2b 1 Uttryck och ekvationer Matematik 2b 1 Uttryck och ekvationer Repetera grunderna i ekvationslösning Lära dig parentesmultiplikation, kvadreringsreglerna och konjugatregeln Lära dig lösa fullständiga andragradsekvationer Få en

Läs mer

Bedömningsanvisningar

Bedömningsanvisningar Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

7. Max 0/1/1. Korrekt kombinerad ekvation och påstående i minst två fall med korrekt svar

7. Max 0/1/1. Korrekt kombinerad ekvation och påstående i minst två fall med korrekt svar 7. Max 0/1/1 Korrekt kombinerad ekvation och påstående i minst två fall med korrekt svar +1 C PL +1 A PL 8. Max 0/1/1 a) Korrekt svar (Alternativ E: 5 y 3 ) +1 C B b) Godtagbart svar (0) +1 A B 9. Max

Läs mer

Bedömningsanvisningar

Bedömningsanvisningar Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet

Läs mer

Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.

Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

NpMa3c vt Kravgränser

NpMa3c vt Kravgränser Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 66 poäng varav 25 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN freeleaks NpMaB vt000 1() Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 000 Förord Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma. Innehållet i den äldre kursen Ma B hör

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Bedömningsanvisningar

Bedömningsanvisningar Bedömningsanvisningar Exempel på ett godtagbart svar anges inom parentes. Till en del uppgifter är bedömda elevlösningar bifogade för att ange nivån på bedömningen. Om bedömda elevlösningar finns i materialet

Läs mer

Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.

Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Anvisningar. 240 minuter utan rast. Miniräknare och Formler till nationellt prov i matematik

Anvisningar. 240 minuter utan rast. Miniräknare och Formler till nationellt prov i matematik Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av december 00. Anvisningar Provtid

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet NpMaB vt 2005 Version 1 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material

Läs mer

Kravgränser. Provet består av Del B, Del C, Del D samt en muntlig del och ger totalt 63 poäng varav 24 E-, 21 C- och 18 A-poäng.

Kravgränser. Provet består av Del B, Del C, Del D samt en muntlig del och ger totalt 63 poäng varav 24 E-, 21 C- och 18 A-poäng. Kravgränser Provet består av Del B, Del C, Del D samt en muntlig del och ger totalt 63 poäng varav 24 E-, 21 C- och 18 A-poäng. Kravgräns för provbetyget E: 17 poäng D: 25 poäng varav 7 poäng på minst

Läs mer

b) Beräkna rektangelns omkrets. 3/0/0 b) Hur högt når kulan som högst? 4/0/0

b) Beräkna rektangelns omkrets. 3/0/0 b) Hur högt når kulan som högst? 4/0/0 Del A: Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. 1) Rektangeln nedan har arean 77 cm 2. Längden är 4 cm längre än bredden. a) Teckna ett uttryck för att beräkna rektangelns

Läs mer

Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Delprov B: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( ) ( x 5) x 5 (1/0/0). Koordinatsystemet

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 75 poäng varav 28 E-, 23 C- och 24 A-poäng.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 75 poäng varav 28 E-, 23 C- och 24 A-poäng. Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

7. Max 0/2/1. 8. Max 0/1/1. 9. Max 2/0/0

7. Max 0/2/1. 8. Max 0/1/1. 9. Max 2/0/0 7. Max 0//1 a) Godtagbart angivet intervall, t.ex. då x är mellan 3 och 4 +1 C B med korrekt använda olikhetstecken ( 3 < x < 4 ) +1 C K b) Korrekt svar ( x = och x = 4 ) +1 A B 8. Max 0/1/1 a) Korrekt

Läs mer

Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag. Tag kontakt med examinator om du har frågor

Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag. Tag kontakt med examinator om du har frågor Våren 010 PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik B Kurskod MA 10 Gymnasiepoäng 50 Läromedel Prov Muntligt prov Valfritt läromedel för kurs Matematik B Exempel: Räkna med Vux B, Gleerups förlag Skriftligt

Läs mer

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1)

MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) NATUR OCH KULTURS PROV VÅRTERMINEN 1997 MATEMATIK FÖR KURS B (NV/AB-boken och B-boken version 1) Provets omfattning: t o m kapitel 5.6 i Matematik 2000 NV kurs AB. Provets omfattning: t o m kapitel 3.5

Läs mer

TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum:

TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: TENTAMEN Kursnummer: HF0021 Matematik för basår I Moment: TEN1 Program: Tekniskt basår Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum: 2015-03-10 Tid: 13:15-17:15 Hjälpmedel:

Läs mer

Repetition inför tentamen

Repetition inför tentamen Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8

Läs mer

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt

Läs mer

Sidor i boken 8-9, 90-93

Sidor i boken 8-9, 90-93 Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta

Läs mer

Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:

Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1: Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd

Läs mer

NpMa2a ht Max 0/0/3

NpMa2a ht Max 0/0/3 14. Max 0/0/3 Godtagbar ansats, t.ex. sätter ut lämpliga beteckningar och tecknar någon ekvation som krävs för bestämning av a +1 A PL med i övrigt godtagbar lösning med korrekt svar ( a = 12 ) +1 A PL

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

28 Lägesmått och spridningsmått... 10

28 Lägesmått och spridningsmått... 10 Marjan Repetitionsuppgifter Ma2 1(14) Innehåll 1 Lös ekvationer exakt................................... 2 2 Andragradsfunktion och symmetrilinje........................ 2 3 Förenkla uttryck.....................................

Läs mer

NpMa2a vt Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 55 poäng varav 22 E-, 19 C- och 14 A-poäng.

NpMa2a vt Provet består av tre skriftliga delprov (Delprov B, C och D). Tillsammans kan de ge 55 poäng varav 22 E-, 19 C- och 14 A-poäng. Delprov B Delprov C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-8. Endast svar krävs. Uppgift 9-14. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Lokala mål i matematik

Lokala mål i matematik Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,

Läs mer

8-6 Andragradsekvationer. Namn:..

8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. 8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,

Läs mer

Matematik A Testa dina kunskaper!

Matematik A Testa dina kunskaper! Testa dina kunskaper! Försök i största möjliga mån att räkna utan hjälp av boken, skriv små noteringar i kanten om ni tycker att ni kan uppgifterna, att ni löste dem med hjälp av boken etc. Facit kommer

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Repetition kapitel 1, 2, 5 inför prov 2 Ma2 NA17 vt18

Repetition kapitel 1, 2, 5 inför prov 2 Ma2 NA17 vt18 Repetition kapitel,, 5 inför prov Ma NA7 vt8 Prov tisdag 5/6 8.00-0.00 Algebra När man adderar eller subtraherar uttryck, så räknar man ihop ensamma siffror för sig, x-termer för sig, och eventuella x

Läs mer

MVE365, Geometriproblem

MVE365, Geometriproblem Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..

Läs mer

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9

Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Mål Likformighet, Funktioner och Algebra år 9 Provet omfattar s. 102-135 (kap 4) och s.183-186, 189, 191, 193, 200-215. Repetition: Repetitionsuppgifter 4, läa 13-16 (s. 255 260) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Matematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer

Matematik Steg: Bas. Mål att sträva mot Mål Målkriterier Omdöme Åtgärder/Kommentarer Matematik Steg: Bas ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i talområdet 0-10 bråk- och decimalform ordningstal upp till 5 ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna

Läs mer

Lösningar till udda övningsuppgifter

Lösningar till udda övningsuppgifter Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.

Läs mer

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1 Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna

Läs mer

MA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs.

MA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. MA 202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

vux GeoGebraexempel 2b/2c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker

vux GeoGebraexempel 2b/2c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 2b/2c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

Formelhantering Formeln v = s t

Formelhantering Formeln v = s t Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. XYZ Matematisk problemlösning

Läs mer

Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-14. Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans.

Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-14. Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans. Delprov B Delprov C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-9. Endast svar krävs. Uppgift 10-14. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Delprov B och Delprov C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser

Läs mer

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 18.3.2015 BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 8..05 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar

Läs mer

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.2. Linjens ekvation kan vi skriva som. Varje icke-lodrät linje i planet kan skrivas i formen.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.2. Linjens ekvation kan vi skriva som. Varje icke-lodrät linje i planet kan skrivas i formen. Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..15 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten P = ( 1, 1) och har riktningskoefficient k = 1. P..17 Bestäm en ekvation för den linje som går genom

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken X

Sammanfattningar Matematikboken X Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för

Läs mer

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-11. Endast svar krävs. Uppgift 1-16. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Kapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm

Kapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm Kapitel 4 4107 4103 a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 4cm 35 b) cos(40 )= x x = 61 cos(40 )= 47cm 61 c) tan(56 )= 43 x x = 43 tan(56 ) = 9cm d) sin(53 )= x x = 75 sin(53 )= 60cm 75 4104 a) tan(v )= 7 4 v

Läs mer

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i. STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.

Läs mer