Examensarbete vid Institutionen för geovetenskaper ISSN xxxx-xxxx Nr. x

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Examensarbete vid Institutionen för geovetenskaper ISSN xxxx-xxxx Nr. x"

Transkript

1 Examensarbete vid Institutionen för geovetenskaper ISSN xxxx-xxxx Nr. x Beräkning av turbulenta flöden enligt inertial dissipationsmetoden med mätdata från en specialkonstruerad lättviktsanemometer samt jämförelse med turbulenta utbytesmetoden Charlotta Nilsson

2 Sammanfattning För att ta reda på användbarheten av en specialkonstruerad lättviktsanemometer när det gäller att beräkna turbulenta flöden, har mätdata från instrumentet använts i den så kallade inertial dissipationsmetoden. Resultatet har jämförts med direkta flödesberäkningar från en ljudanemometer enligt turbulenta utbytesmetoden, vilka antas vara korrekta. Resultatanalys har utförts från mätningar på höjderna 8, 6 och 2 m. ättviktssanemometern (inertial dissipationsmetoden) visade sig stämma bra överens med ljudanemometern (turbulenta utbytesmetoden) under nära neutrala förhållanden och vid höga vindhastigheter. Resultaten visar ett inflytande av havsvågor och den bör därför användas vid uppbyggande sjö för att undvika detta. I rapporten presenteras en rekommendation med nödvändiga korrektioner för användning av lättviktsanemometern till turbulenta flödesberäkningar enligt inertial dissipationsmetoden. Abstract In order to evaluate a combined cup anemometer/wind vane profile instrument, measurements from the instrument has been used in the so called inertial-dissipation method to derive its ability to measure turbulent fluxes. The result was compared to data from a sonic anemometer calculated with eddy-correlation method, which is assumed to be correct. Analysis of the result was made from measurements at levels 8, 6 and 2 m. The profile instrument (inertialdissipation method) agreed well with the sonic anemometer (eddy-correlation method) during near neutral conditions and at high wind speed. The profile instrument also proved to be most accurate at conditions of growing sea, otherwise the result was affected by waves. In the report there is also a recommendation for specific corrections when the profile instrument is used for calculating turbulent fluxes according to the inertial-dissipation method. 2

3 . Introduktion Teori Turbulensteori Monin-Obukhovs similaritetsteori Spektralanalys Turbulensstatistik Kolmogorovs similaritetsteori Inertial dissipationsmetoden Turbulenta utbytesmetoden Inflytande av havsvågor.... Experiment.... Östergarnsholm....2 Mätningar.... Instrument Profilinstrument Turbulensinstrument Mätdata Resultat Val av spektralpunkter Stabiltitetsparametern z Vindhastighet C D Vågor Kolmogorovs konstant Diskussion Referenser...2 Appendix...4 Appendix 2...5

4 . Introduktion Utvecklingen inom instrument och dataanalys har gått framåt i snabb takt de senaste åren. Strävan efter bättre, smidigare och framförallt billigare mät- och beräkningsinstrument har drivit på forskning om teknik och konstruktion. På MIUU har man tagit fram en liten, robust och snabb lättviktsanemometer som från början utvecklades för användning i vindkraftparker (undin et al.,99) där information om vindförhållanden behövs för att optimera det totala kraftuttaget. Anemometern används bland annat till vindprofilundersökningar genom att mätningar sker på flera nivåer i en mast. På grund av detta användningsområde kommer hädanefter anemometern ges benämningen profilinstrument. På MIUU finns nu intresse av möjligheten att använda profilinstrumentet även för turbulenta flödesberäkningar. Turbulensberäkningar är bland annat viktiga för att kunna förbättra prognosmodellerna. Ca 2/ av jordens totala yta består av hav och ett stort energiutbyte sker kontinuerligt mellan vatten och atmosfär, något som en del modeller endast delvis tar hänsyn till. Turbulens sker på en tidsskala från bråkdelen av en sekund upp till några minuter. Mätning och beräkning av turbulenta flöden sker i gränsskiktet som är den nedre delen av atmosfären, i medeltal ca km högt. Närmast marken, ca % av totala gränsskiktet, finns det så kallade ytskiktet där de turbulenta flödena antas vara konstanta med höjden. Tre av de vanligaste metoderna för att bestämma turbulenta flöden är turbulenta utbytesmetoden (ECM eng. eddy-correlation method), inertial dissipationsmetoden (IDM) och bulkmetoden. ECM är den mest direkta metoden att bestämma flöden med, men ofta används ett ganska dyrt och känsligt instrument, ljudanemometern. Detta instrument är dessutom påverkat av att instrumentet självt stör det strömningsfält som skall mätas, så kallad flow distorsion (eng.). Användning av ECM på fartyg kräver ytterligare instrument och beräkningar för att korrigera för fartygets egna rörelser. Alternativet är att utföra mätningar till ECM från en stabil plattform. IDM är en metod som har visat sig vara fördelaktig att använda sig av på fartyg eftersom den endast använder sig av den vindhastighet som uppfattas på fartyget, den relativa vindhastigheten. På så sätt kan man bortse från inverkan av fartygets egna rörelser. IDM har dessutom visat sig påverkas mindre av flow distorsion (Edson et al., 99). I bulkmetoden beräknas de turbulenta flödena med hjälp av medelvärden för vindhastighet, temperatur och fuktighet tillsammans med de dimensionslösa utbyteskoefficienterna C D, CT och C E för rörelsemängd, temperatur och fuktighet respektive. I denna studie beräknas turbulenta flöden med hjälp av IDM och resultaten jämförs med data från ECM, som antas vara korrekta. I avsnitt 2 diskuteras turbulensteori, spektralanalys, turbulensstatistik och Monin-Obukhovs similaritetsteori. Sedan beskrivs Kolmogorovs similaritetsteori och efter det IDM, ECM och inflytandet av havsvågor. I avsnitt presenteras mätplatsen, Östergarnsholm, hur mätningarna utförts, vilka instrumenten är och kort om hur de fungerar. Resultat och analys med avseende på olika faktorer visas i avsnitt 4 och diskussion och slutsatser om resultatet i avsnitt 5. 4

5 2. Teori 2. TURBUENSTEORI Turbulens sägs uppstå då en tidigare ordnad strömning plötsligt bryts sönder i en oordnad stokastisk rörelse. Turbulenta händelser kan urskiljas från mer storskaliga variationer genom att dela upp vindhastigheten u i en medelvindhastighet u och en komponent som avviker från denna, u ', det turbulenta bidraget. Det turbulenta flödet är en sammansättning av olika komponenter där u ' är bidraget i medelvindriktningen, v ' i riktningen vinkelrätt mot denna och w ' flöden i vertikal led. Dessa komponenter bildar olika stora virvlar som har olika energiinnehåll och riktning. Enligt Taylors hypotes advekteras turbulenta element av medelvinden så att följande samband erhålles 2π = κ = 2 πn (2.) λ u där ë är våglängden, ê är vågtalet och n är frekvensen. De turbulenta virvlarna samverkar med varandra genom att större virvlar bryts ner till mindre, som sedan bryts ner till den grad att de övergår i värmerörelse. I atmosfärens gränsskikt transporteras rörelsemängd, värme och fuktighet i de turbulenta rörelserna. Denna transportegenskap hos turbulensen kallas diffusiv förmåga. På grund av turbulensens stokastiska natur använder man sig av dess statistiska egenskaper för att beskriva den (Högström och Smedman, 989). 2.2 MONIN-OBUKHOVS SIMIARITETSTEORI Ytskiktet karakteriseras av konstanta flöden av rörelsemängd och värme. Enligt Monin- Obukhovs similaritetsteori (e.g. Obukhov, 97), hädanefter benämnd MO, kan normaliserade turbulensparametrar entydigt beskrivas av följande fyra parametrar, g T ' w' θ v u z T är en referenstemperatur i ytskiktet, g tyngdaccelerationen, w 'θ ' v det virtuella värmeflödet, u friktionshastigheten som är en karaktäristisk hastighet för ytskiktet och z är mäthöjden. I MO kan parametrarna kombineras till Monin-Obukhovs längd, u T = gk w' θ v ' (2.2) där k är von Karmans konstant med värdet.4 (Högström, 996). Eftersom både u och ' w' θ v antas konstanta med höjden inom ytskiktet är också konstant inom ytskiktet. Från Monin-Obukhovs längd kan en så kallad stabilitetsparameter, z, tas fram och denna får utseendet 5

6 ' z gkzw' θ v = (2.) u T z > vid stabila förhållanden, när temperaturen ökar med höjden, medan z < då temperaturen avtar med höjden, vid instabila förhållanden. z =, då ingen variation av temperaturen sker med höjden, även kallat neutrala förhållanden. Med z kan man t ex beskriva den normaliserade vindgradienten, φ m på följande sätt u z kz u = φ ( z m ) (2.4) som alltså blir en entydig funktion av stabiliteten. 2. SPEKTRAANAYS Man kan matematiskt analysera turbulenta virvlars individuella bidrag till turbulensen. Analysen grundas på turbulensens statistiska egenskaper och åskådliggörs i olika spektra som visar energi-/hastighetsinnehåll som funktion av till exempel frekvens eller vågtal. I figur 2. visas ett exempel på ett turbulent energispektrum där energiinnehållet, ns u (n), i enheten m²s ² visas som funktion av frekvensen, n, i Hz. ns u (n) (m 2 s -2 ) n (Hz) Figur 2.. Energispektrum med spektralvärdet ns u (n) mot frekvensen n. Vanligtvis har låga frekvenser ( n 5 ) det största energiinnehållet eftersom de brukar kopplas samman med synoptiska fenomen som frontpassage. Vid mesoskaliga fenomen, som sjöbris, brukar n 4 till. 6

7 2.4 TURBUENSSTATISTIK Man pratar ofta om stationära och homogena förhållanden när det handlar om turbulensanalys. Då medelvärdet av en produkt, ( u 'v '), kovariansen mellan två värden i en mätserie, inte varierar med ett visst tidsintervall är strömningen stationär. Homogenitet är en 2 rumslig motsvarighet till stationaritet. Om exempelvis variansen ( u ') bestäms i en viss punkt ändras inte dess värde i en annan specifik punkt om homogenitet råder (Högström och Smedman, 989). 2.5 KOMOGOROVS SIMIARITETSTEORI I atmosfärens gränsskikt är vanligtvis de stora turbulenselementen anisotropa, där turbulensen i x, y och z-riktning, har olika energi i medeltal. Naturens vilja att uppnå isotropi blir effektivare desto mindre turbulenselementen är. I Kolmogorovs similaritetsteori används begreppet inertial subrange (eng.), ett spektralområde där lokal isotropi råder och som karakteriseras av å, dissipationshastigheten med vilken turbulent energi tillförs från lägre frekvenser. Stora turbulenta virvlar bryts här ned till mindre och den turbulenta energin passerar inertial subrange utan att förändras. Slutligen, i det så kallade viscous subrange, spektralområdet för de högsta vågtalen, ê (och följaktligen de högsta frekvenserna, n), sker praktiskt taget all nedbrytning av turbulent energi till värme. Energispektra, E (κ ), i inertial subrange, kan fås genom att först ta fram ett uttryck för variansen som funktion av vågtalet, ê, + u ' 2 = E( κ ) dκ (2.5) Om spektra istället är en funktion av frekvensen fås uttrycket 2 E ( κ ) dκ = u' = S ( n) dn (2.6) u u vilket är till fördel om mätdata är uppmätt i en viss punkt. Enligt Kolmogorov är S u (n) endast en funktion av å och omskrivning med hjälp av Taylors hypotes (ekvation 2.) ger ns u ( n) = α ε u 2π n ( ) 2 (2.7) där á, K olmogorovs konstant, ofta sätts till.52 (Högström, 996). 7

8 2.6 INERTIA DISSIPATIONSMETODEN Inertial dissipationsmetoden har använts i ca år för att bestämma energiutbytet mellan hav och atmosfär (e.g. et al. 996). Friktionshastigheten u bestäms med hjälp av den turbulenta kinetiska energibudgeten (hädanefter TKE), som under antaganden om stationära och homogena förhållanden har den dimensionslösa formen där e.5( u' + v' + w' ) κz ' u κz g κz w' e κz w' p' κz ' ' ' = u w w θ ε v (2.8) u z u T u z ρu z u (A) (B) (C) (D) (E) =, ñ luftens densitet och p är trycket. Termerna i ekvation 2.8 kan uttryckas som φ z m φt φ p φε = (2.9) (A) (B) (C) (D) (E) Term A representerar mekanisk produktion och term B motsvarar produktion/nedbrytning av så kallad bouyancy (eng.). Termerna C och D är turbulent- och trycktransporttermer som ofta summeras i en så kallad obalansfunktion, φ ( z imb ). I IDM är det vanligt att anta att summan av transporttermerna, φ ( z imb ), är noll, det vill säga lokal produktion är lika med lokal dissipation (e.g. Dupuis et al. 997). Genom ekvation 2.8 och analogi med ekvation 2.9 fås κz ε = φε (2.) u som tillsammans med ekvation 2.7 ger / 2 εkz kz ns( n) 2πn φ ε = = u u α u z (2.) u z är vindhastigheten på aktuell mäthöjd z. Uppskattning av dissipationshastigheten kan fås genom att först genomföra mätningar och sedan lokalisera inertial subrange i spektra baserade på mätningarna. u härleds ur ekvation 2.9 och 2., och u nsu ( n) = α / 2 2π u ( φ z m kz z n ) (2.2) 8

9 u / 2 nsu ( n) 2π kz = n α u ( z ) z φ m (2.) där z beräknas enligt ekvation 2.. För att beräkna u i ekvation 2. behövs z, men där ingår ju även u! För att lösa problemet finns flera metoder att tillgripa. z kan till exempel tas fram iterativt genom att först anta neutrala förhållanden ( z = ) och sedan iterera tills konvergens uppnås. En metod utan iterering är att göra en uppskattning av z med en bulkmetod där medelvärden av vindhastighet, specifik fuktighet och temperaturskillnaden mellan luft och vatten används. Det uppskattade z används sedan för att beräkna φ - funktionerna och u (e.g. arge och Pond, 982). I den metod som används här görs en uppskattning av u genom att använda sig av en bulkmetod baserad på medelvärden. C D, drag coefficient (eng.), tas fram med hjälp av den uppmätta vindhastigheten och temperaturskillnaden mellan luft och vatten (, 988). Definitionen av C CD D u = u z 2 (2.4) ger ett uppskattat u som sedan tillsammans med en formulering för ' w' θ v ger där och ' w' θ v = w'' θ +.6T w'' q (2.5) w' q' = C u ( q q ) (2.6) w' θ ' = C E H z z s u ( T s z T z ) (2.7) som används i z i ekvation 2.4. Utbyteskoefficienterna C H och C E har värdena respektive.2 (, 988). T s är vattenytans temperatur och T z är temperaturen på mäthöjden. q s är den specifika fuktigheten vid vattenytan och q z motsvarande för aktuell mäthöjd. Normaliserade vindgradienten, φ m har beräknats enligt (Högström, 996). ( 9 z ) 4 φ m = ( ( + 5. ) φ m = z ( z < ) (2.8) z > ) (2.9) 9

10 2.7 TURBUENTA UTBYTESMETODEN Den mest använda direkta metoden att bestämma turbulenta flöden är turbulenta utbytesmetoden. I den bestäms korrelationen mellan flöden direkt τ = ρ i ( u' w )' + j( v' w )' = ρu (2.2) 2 där i ( u ' w )' är rörelsemängdsflödets komponent i medelvindens riktning, j ( v ' w )' vinkelrätt mot denna och ô är skjuvningen (stress eng.) som vinden utövar på markytan. u blir då där 2 2 ( u' w )' + ( v' w ) 2 2 u = )' (2.2) ( v ' w )' normalt kan försummas eftersom denna riktning innehåller signifikant mycket mindre energi än medelvindriktningen, så u är enligt definition 2 u = ( u' w )' (2.22) 2.8 INFYTANDE AV HAVSVÅGOR Utbytet av rörelsemängd mellan luft och vattenyta parametriseras vanligtvis med avseende på vindhastighet och stabilitetsförhållanden. Att även inkludera inverkan av rådande havsförhållanden vid beräkning av u, har under många år varit föremål för diskussion. Eftersom havsytan är rörlig kan vinden med sin påverkan på vattenytan ge upphov till vågbildning och på så vis överförs rörelseenergi från luften till vattnet. När vinden sedan avtar finns denna rörelseenergi kvar i form av vågor. Om vågorna färdas snabbare än medelvinden, uppkommer så kallad dyning, och rörelsemängden får ett positivt bidrag från vattenytan. Dyning förekommer ca 4 % av tiden i Östersjön, speciellt vid låga vindhastigheter. När rådande havsförhållanden diskuteras är det ofta den så kallade vågåldern det refereras till. Vågåldern har beräknats enligt definitionen c vågålder = (2.2) u cosφ där c är fashastigheten hos vågorna där vågspektra har det största värdet och φ är skillnaden mellan vågornas och vindens medelriktningar. u är medelvindhastigheten på m. Dyning definieras som vågålder >.2 (Pierson och Moskowitz, 964).

11 . Experiment. ÖSTERGARNSHOM Mätningarna är gjorda på en liten ö öster om Gotland (figur.). Ön, belägen mitt i Östersjön heter Östergarnsholm, är ca 2 x 2 km stor och ganska platt. Vegetationen är sparsam och inga träd finns. Mätningar utförs i en m hög mast belägen på den södra spetsen av ön. Masten står några tiotal meter från stranden ca m ovanför havsnivån. I en sektor på ca -22 är vinden ostörd och anses därför representera de förhållanden som råder på det öppna havet i Östersjön (Smedman et al., 999). Höjden till mätinstrumenten varierar med avseende på aktuell havsnivå (Sjöblom och Smedman, 22). #"! & $ 7RZHU! $ $ gvwhujduqvkrop % $ 7RZHU RWODQG :DYH EXR\ Figur.. Karta över Östergarnsholm (Johansson, 2)..2 MÄTNINGAR På Östergarnsholm har mätningar pågått sedan maj 995. I masten finns instrument för att utföra meteorologiska mätningar. Turbulensinstrument (ljudanemometrar) som mäter med 2 Hz finns placerade på 8, 6 och 24 m höjd över mastfoten. I masten finns också profilinstrument som med frekvensen ca Hz mäter vindhastighet och vindriktning. Dessa är placerade på fem olika nivåer, på 6.9,.8, 4., 2.2 och 28.8 m. Ventilerade och strålskyddade temperaturgivare finns på höjderna 6.5,.5,.9, 9.9 och 28.5 m. I havet utanför Östergarnsholm finns en vågboj (Wave Rider Buoy) som en gång i timmen mäter ytvattentemperaturen, signifikant våghöjd och vågornas riktning vilka används för att beräkna energispektra av vågorna. Bojen ägs av Finnish Institute for Marine Research.

12 . INSTRUMENT.. PROFIINSTRUMENT Mätinstrumentet är en så kallad lättviktsskålkorsanemometer (figur.2), bestående av tre skålar samt en mycket lätt vindflöjel. Skålarna är koniska i utformningen, av plast och skålkorsrotorn väger bara g. Radien på skålkorset är 4 cm och skålarna liknar i stort sett de på en tidigare framtagen, större anemometer vilken testats för overspeeding, vilket enligt Högström (988) är försumbart. Vindflöjeln mäter 8 6 cm, är tillverkad av balsaträ och är mycket lätt. Anemometern är av så kallad pulstyp, medan en potentiometer avgör vilken vindriktningen är. Instrumentet har en avståndskonstant på m vilket möjliggör mätningar av turbulenta fluktuationer hos vindhastighet och vindriktning upp till frekvensen Hz (undin et al., 99; Bergström och undin,99). Figur.2. ättviktsskålkorsanemometern/profilinstrumentet (undin et al., 99)...2 TURBUENSINSTRUMENT Turbulensinstrumentet är en ljudanemometer (Solent Ultrasonic Anemometer2R2, Gill instruments, ymington, United Kingdom). Den består av tre sändare/mottagare som emellan sig sänder/tar emot ljudvågor. Instrumentet mäter med frekvensen 2 Hz..4 MÄTDATA De data som valts är från 2 och 27- september,, 4 och 5 oktober 996 samt från och juli 997. Endast data som uppfyller bestämda villkor har tagits med. För vinden gäller att data med vindriktning -22 samt vindhastigheter över 2 m/s har accepterats, vilket till exempel överensstämmer med Sjöblom och Smedman (2). Vattennivån mättes i Visby hamn på Gotlands västkust och på så vis kan korrigering för variationer i havsnivån göras (Sjöblom och Smedman, 22). Data från turbulensinstrumentet har tagits från 8, 6 och 24 m, från profilinstrumenten på 6.9,.8, 4. och 2.2 m och från temperaturgivarna på 6.5,.9 och 9.9 m. Till beräkningarna i IDM på nivån 8 m har data från turbulensinstrumentet Overspeeding: när ett instrument reagerar snabbare på en ökning av vindhastigheten än för motsvarande minskning. 2

13 tagits från 8 m och från profilinstrumentet från 6.9 m. På 6 m-nivån har respektive höjder varit 6 och 4. m, samt för 2 m höjderna 24 och 2.2 m. Mätdata för u har tagits från profilinstrumentet på.8 m. Endast värden där vågornas riktning < 22 samt φ < 8 (ekvation 2.2) har används för att utesluta fall där vågorna dels har motsatt riktning mot ο vinden, eller att cos φ blir negativt. Att φ < 8 valts beror på att cos 9 är lika med noll och då går nämnaren i ekvation 2.2 också mot noll vilket bör undvikas. Figur. visar fördelningen av vindhastigheter under mätperioden. Medelvindhastigheten har beräknats per minuter, vilket även gäller för övriga mätdata. Hastigheter mellan 4 och 8 m/s finns representerade på samtliga tre nivåer. På 8 m finns även mätpunkter där hastigheten går ned mot m/s. 5 a) 8 m 4 b) 6 m Antal mätningar 4 2 Antal mätningar Vindhastighet (m/s) c) 2 m Vindhastighet (m/s) Antal mätningar Vindhastighet (m/s) Figur.. Vindhastighetsfördelningen för a) 8 m, b) 6 m och c) 2 m.

14 4. Resultat Figur 4. visar jämförelse mellan u beräknat med ECM (ekvation 2.22), u ECM och u enligt IDM (ekvation 2.), u IDM på de tre mätnivåerna. Den heldragna svarta linjen visar u IDM = u ECM, alltså där punkterna skulle ligga om korrelationskoefficienten 2 =. Heldragen vit linje visar regressionslinjen för resultatvärdena. På den lägsta nivån, 8 m (figur 4..a, u IDM i m/s plottad mot u ECM i m/s) är spridningen ganska liten för låga u, men ökar för höga. u IDM stämmer ganska bra överens med u ECM för låga u, jämfört med höga, där u IDM är signifikant lägre än motsvarande u ECM..8 a) 8 m.8 b) 6 m.6.6 u IDM (m/s).4 u IDM (m/s) u ECM (m/s) u ECM (m/s).8 c) 2 m u IDM (m/s) u ECM (m/s) Figur 4.. a) u ECM i m/s mot u IDM i m/s på 8 m, b) 6 m, c) 2 m. Heldragen svart linje visar u IDM = u ECM. Vit linje visar regressionslinjen för resultatpunkter där a) u IDM =.8u ECM b) u IDM =.92u ECM och c) u IDM = u ECM. 2 Korrelationskoefficienten är ett mått på sambandet mellan två variabler. Om två variabler är oberoende av varandra blir korrelationskoefficienten lika med noll. Regressionlinjen är beräknad enligt ( u u ) ECM IDM 2 u ECM. 4

15 Korrelationskoefficienten är på 8 m.97. På höjderna 6 och 2 m (figur 4..b och c) är den totala överensstämmelsen generellt bättre än på 8 m mellan de båda metoderna, men på 2 m är spridningen signifikant större. Korrelationskoefficienter för nivåerna 6 och 2 m är båda.95. Trots stor spridning på 2 m sammanfaller regressionslinjen och referenslinjen för u IDM = u ECM. Detta resultat kommer i de följande avsnitten att diskuteras och analyseras med avseende på fysikaliska faktorer som vindhastighet, stabilitet och vågålder samt faktorer som påverkar beräkningarna av C D, u IDM och z. 4. VA AV SPEKTRAPUNKTER Till beräkningarna i IDM väljs spektralvärden ( ns u (n) och n) till ekvation 2.. Dessa väljs 2 manuellt i den del av spektrum som presenterar lutningen n ± %, det vill säga i inertial subrange. Varje spektrum måste kontrolleras eftersom utseendet kan bli mycket olika beroende på aktuell vindhastighet. Vid höga vindhastigheter förskjuts spektralkurvan mot högre spektralvärden och inertial subrange förflyttas både i höjd- och sidled. Profilinstrumentet har under vissa förhållanden svårt att visa tillräckligt stor del av inertial subrange för att goda värden på frekvens och spektralvärde ska kunna väljas. På grund av att profilinstrumentet mäter med Hz registrerar det inte förändringar på samma sätt som turbulensinstrumentet, vilket har lett till att vissa spektra valts bort. En jämförelse mellan spektra beräknade från 2 Hz- och Hz-mätningar visar klara skillnader vid till exempel låga vindhastigheter. I tabell presenteras valda spektralvärden och jämförelse mellan u och u IDM. I figur 4.2 visas energispektra med spektralvärden plottade mot frekvens för ett högvindsfall där medelvindhastigheten är.5 m/s på mäthöjden 8 m och 5 m/s på mäthöjden 2 m. Streckad linje visar Hz-spektrum, där markeringen (O) anger den punkt vars spektralvärden valts till beräkning enligt IDM. Heldragen linje visar 2 Hz- spektrum med två markeringar ( och ) som båda är spektralvärden valda till beräkning enligt IDM, dels för att få ett jämförelsevärde på u beräknat från 2 Hz-spektrum och dels för att 2 undersöka om samma värde på u erhålls för två olika punkter inom lutningen ca n. Tabell. Jämförelse av beräknade och uppmätta u på 8 m och 2 m i medelvinden.5 respektive 5 m/s. u ECM IDM Hz (O) IDM 2Hz ( ) IDM 2Hz ( ) n =.28 n =.68 n = 2.94 u (8m) ns u n =.6 ns u n =.8 ns u n =.5 u (2 ).5 m n =.27 ns u n =.2.48 n =.58 ns u n =.8.52 n = 4. ns u n =.2 ECM.54 I figur 4.2 sammanfaller spektrum från respektive instrument ganska bra, men tidigare resonemang att profilinstrumentet inte riktigt kan visa tillräckligt stor del av inertial subrange för att spektralpunkter med säkerhet ska kunna väljas syns tydligt på båda mäthöjderna. 5

16 a) 8 m b) 2 m - - ns(n) (m 2 s -2 ) ns(n) (m 2 s -2 ) n (Hz) - -2 n (Hz) Figur 4.2. Jämförelse av spektra från profil- och turbulensinstrument (96929 kl ). (--) anger spektralkurva för profilinstrumentet i medelvindriktningen, ( ) motsvarande för turbulensinstrumentet. O anger lägen för valda spektralvärden från profilinstrumentet, och representerar punktvärden fr ån turbulensinstrumentet för 2 beräkning enligt IDM. ( ) är referenslinje för lutningen n. Resultaten presenteras i tabell. a) Mäthöjd 8 m och medelvind.5 m/s. b) Mäthöjd 2 m och medelvind 5 m/s. I figur 4. presenteras på motsvarande sätt som i figur 4.2 spektra, men från ett lågvindsfall där medelvindhastigheten på 8 m är.4 m/s och på 2 m är 4. m/s. Dessa spektra visar stor skillnad i utseende jämfört med högvindsfallet (figur 4.2) eftersom spektralkurvorna inte sammanfaller på likartat sätt i de olika fallen. I lågvindsfallet avviker spektrum från profilinstrumentet kraftigt från spektrum från turbulensinstrumentet på både 8 och 2 m. Att här med säkerhet välja spektralpunkter i inertial subrange går inte. 6

17 a) 8 m b) 2 m -2-2 ns(n) (m 2 s -2 ) ns(n) (m 2 s -2 ) n (Hz) -2 n (Hz) Figur 4.. Jämförelse av spektra från profil- och turbulensinstrumentet (965 kl ). Symboler enligt figur 4.2. Resultaten presenteras i tabell 2. a) Mäthöjd 8 m och medelvindhastighet.4 m/s. b) Mäthöjd 2 m och medelvindhastighet 4. m/s. Tabell 2 visar som i tabell en jämförelse mellan u ECM och u IDM. Tabell 2 visar att IDM med data från profilinstrumentet respektive turbulensinstrumentet ger högre värden på u än motsvarande från ECM. En studie av ko-spektra från tidpunkten för lågvindsfallet visar ett klart positivt bidrag till rörelsemängden från underliggande yta. Ofta brukar dyning kopplas ihop med låga vindar, vilket gör det möjligt att mätdata och beräkningar är påverkade av just havsvågor (Sjöblom och Smedman, 22). Detta leder till att u IDM, som alltså inte korrigeras för det positiva bidraget till rörelsemängden, får ett högre värde än det borde ha (jämfört med u ). ECM Tabell 2. Jämförelse av beräknade och uppmätta u på 8 m och 2 m i medelvinden.4 respektive 4. m/s. u ECM IDM Hz (O) IDM 2Hz ( ) IDM 2Hz ( ) n =.9 n =.58 n =. u (8m) ns u n =. ns u n =.2 ns u n =. u (2 ). m n =.29 ns u n =.. n =.4 ns u n =.6.6 n =.5 ns u n =..8 De två fallen som jämförts här påvisar den osäkerhetsfaktor som kan uppkomma i vissa fall när spektralvärden skall väljas till IDM. Spektrum från profilinstrumentet avviker signifikant från turbulensinstrumentets spektrum i lågvindsfallet genom att profilinstrumentet visar upp ett inertial subrange som är olikt det från turbulensinstrumentet både vad gäller spektralvärde och motsvarande frekvens. 7

18 4.2 STABITITETSPARAMETERN Stabilitetsparametern z z används i beräkningen i IDM både i ekvation 2. men även i uttrycket för φ m (ekvation 2.8, 2.9) och benämns hädanefter z. IDM z är ECM motsvarande parameter där (ekvation 2.2) är beräknad med värden på värmeflödet ( w θ ) och u från turbulensinstrumentet enligt ECM. Figur 4.4, där z IDM ' ' v plottats som funktion av z visar att vid mycket instabila ( z ) förhållanden fås mer neutrala värden på z ECM ECM IDM än z, vilket till exempel överensstämmer med Sjöblom och Smedman (2). Dessa ECM stora instabila värden på z kan vara relaterade till små värden på u som uppkommer ECM vid påverkan av vågor (enligt resonemang i avsnitt 4.). I det fallet är det alltså u som bestämmer stabiliteten och inte värmeflödet, som vanligtvis är ganska litet och inte varierar speciellt mycket (Sjöblom och Smedman, 2). z påverkas också av värdet på CD (ekvation 2.4) genom att ett stort z får ett mer neutralt värde. IDM IDM C D ger ett stort uppskattat u som i sin tur gör att 2 a) 8 m.5 b) 8 m Z/ IDM -2-4 Z/ IDM Z/ ECM Z/ ECM Figur 4.4. Mätpunkter från 8 m med stabilitetsparametern data, b) endast nära neutrala värden. z mot IDM z ECM med a) alla Figur 4.5 visar kvoten mellan u IDM / u ECM plottad som funktion av z och här ses ett ECM stabilitetsberoende där nära neutrala värden på z ger bättre överensstämmelse mellan u ECM och u IDM. Detta beroende kan förklaras med att neutral skiktning ofta sammanfaller med höga vindhastigheter som i avsnitt 4. visade sig ge spektra där inertial subrange framträder tydligare än vid låga vindhastigheter, vilket alltså ger mer säkra spektralvärden till ekvation (2.). Ett pålitligt värde på z är nödvändigt eftersom stabilitetsparametern IDM även bestämmer värdet på den normaliserade vindgradienten φ m (ekvation 2.8, 2.9). Ett ECM 8

19 mer neutralt 2.).. z IDM (jmf z ECM ) gör φ m mindre och 8 m u IDM får då ett högre värde (ekvation.2. u IDM /u ECM Z/ ECM Figur 4.5. u IDM / u ECM mot stabilitetsparametern z. ECM Heldragen linje visar medelvärdeskurva med standardavvikelser. I figur 4.6 har u plottats mot vindhastigheten med tre intervall av motsvarande värde för värden på (-4< z ECM z (-.< ECM u IDM. Intervallen har valts så att (+) visar IDM z <.), ( ) då (-.5< z ECM ECM z markerade i grafen för u för nära neutrala <-.) och ( ) för <-2). Vid vindhastigheter över 8 m/s finns en tendens att mer instabila u förhållanden sänker värdet på IDM. Vid vindhastigheter < 6 m/s verkar det istället som att metoderna får bättre överensstämmelse, vilket troligtvis är sammankopplat med låga vindhastigheter och instabila förhållanden, som i sin tur kan förknippas med våginflytande där u ECM får ett lägre värde, medan u IDM beräknas utan korrektion för havsytans aktuella status. 9

20 .8 8 m u (m/s) u ECM u IDM, -.<z/ ECM <. u IDM, -.5<z/ ECM <-. u IDM, -4<z/ ECM < Vindhastighet (m/s) Figur 4.6. u mot vindhastigheten på 8 m med markeringar för hur några olika intervaller av z (enligt legend) inverkar på skillnaden mellan u IDM och u ECM. 4. VINDHASTIGHET Neutrala förhållanden är ofta sammankopplade med höga vindhastigheter. Enligt diskussion i avsnitt 4.2 (figur 4.5) fås bättre överensstämmelse mellan u IDM och u ECM vid nära neutrala förhållanden. I avsnitt 4. konstaterades att spektra från profilinstrumentet gav bättre indikation på inertial subrange vid höga vindhastigheter. Detta i sin tur innebar att relativt säkra spektralvärden kunde väljas till ekvation 2.. Figur 4.7 visar u IDM / u ECM plottad som funktion av vindhastigheten i m/s på de tre mäthöjderna. På 8 och 6 m blir medelvärdeskurvan (heldragen linje) för u IDM / u ECM nästan konstant lika med.8 vid vindhastigheter över 8 m/s. Spridningen ökar en del på 2 m-nivån, men en viss tendens till utplaning av medelvärdeskurvan syns även här vid vindhastigheter över 8 m/s. I figur 4.7 ses att för låga vindhastigheter (< 6 m/s), ökar spridningen signifikant, speciellt på 8 m. På de övriga två höjderna är spridningen (alla vindhastigheter) generellt större än på 8 m, men medelvärdeskurvorna för 6 och 2 m ligger närmare kvoten u IDM / u ECM = än medelvärdeskurvan på 8 m. Enligt tidigare resonemang kopplas låga vindhastigheter ofta samman med dyning och detta kan vara en orsak till spridningen av u IDM / u ECM då vindhastigheten understiger 6 m/s. 2

21 .4 a) 8 m.4 b) 6 m.2.2 u IDM /u ECM.8 u IDM /u ECM Vindhastighet (m/s) Vindhastighet (m/s).6 c) 2 m u IDM /u ECM Vindhastighet (m/s) Figur 4.7. u IDM / u ECM mot vindhastigheten i m/s på a) 8 m, b) 6 m och c) 2 m. Heldragen linje visar medelvärdeskurva med standardavvikelser. 4.4 CD De värden på C D som används i IDM är tagna från tabellen i appendix (, 988), refererade som CD. Vindhastigheten spelar en avgörande roll för värdet på C D (ekvation 2.4), som ökar med ökande vindhastighet. Yelland och Taylor (996) fann att CD N ( CD för neutrala förhållanden och vindhastigheten på m) har ett linjärt beroende av vindhastigheten vid hastigheter över 6 m/s, men under denna vindhastighet måste ytterligare korrektioner göras. Dock görs ingen korrigering för till exempel dyning. Enligt tidigare resonemang kan dyning ge ett positivt bidrag till rörelsemängden vilket borde påverka beräkningen av C. Donelan et al. (997) rekommenderar inte IDM under förhållanden med D dyning eftersom C D tenderar att bli stort och påverka funktion av vågåldern (ekvation 2.2) där C beräknad enligt ekvation 2.4 med u, hädanefter benämnd som markering. Figur 4.8 visar att ger inverkan på beräkningen av D CD ECM, och värden från u IDM. I figur 4.8 visas C D som u ECM och CD skiljs åt genom olika CD ECM generellt ger lägre värden än CD vilket naturligtvis. Enligt resonemang i avsnitt 4.2 ger ett stort värde på u IDM 2

22 CD ett stort uppskattat u (ekvation 2.4) som i sin tur ger ett mer neutralt z (ekvation 2.). u IDM (ekvation 2.) får därför ett högre värde för nära neutrala värden IDM än för mer instabila stabilitetsförhållanden. Intressant att notera är att CD inte har några värden lägre än (figur 4.8). saknas här. CD < förknippas med stabila förhållanden som i stort sett m CD ECM CD 2 CD Vågålder c Figur 4.8. CD och CD ECM mot vågåldern ( ) på 8 m. Värdet för vågålder=.2 u cosφ (gränsvärde för dyning enligt definition avsnitt 2.8) ses som heldragen linje. I figur 4.9 som visar CD plottad mot z, framgår att CD har i stort sett konstant IDM värde för -.5< z <-.. CD gäller på m höjd, både vad avser temperaturskillnader IDM och vindhastighet. Höga vindhastigheter brukar betyda neutrala förhållanden och eftersom hög instabilitet och dyning ofta sammanfaller med lägre vindhastigheter, borde värden på CD där vindhastigheten understiger 6 m/s betraktas som tveksamma. Ingen korrektion görs heller för dyning, vilket kan påverka värdet av uppskattat u som påverkar beräkningen av ses även att för nära neutrala värden på då är värdet på vindhastigheter. z IDM CD som i sin tur ger ett stort z (enligt tidigare resonemang). I figur 4.9 IDM finns låga vindhastigheter representerade, men CD betydligt lägre än för mer instabila fall i samband med låga detta kan också påverka CD har dessutom använts till samtliga tre mäthöjder (8, 6 och 2 m) och u IDM, eftersom CD är anpassad till beräkningar på m. 22

23 m/s 5-8 m/s 8-5 m/s 5-2 m/s 8 m.5 CD Figur z/ IDM CD mot z med indikationer enligt legend för olika vindhastigheter i m/s. IDM 4.5 VÅGOR Enligt resonemang i tidigare avsnitt tycks rådande havsförhållanden ha inverkan på flödet av rörelsemängd över vattenytan. Enligt Janssen (999) verkar dyning påverka den kinetiska energibalansen genom att våginducerade tryckfluktuationer uppstår. Eftersom IDM normalt antar balans mellan lokal produktion och dissipation i TKE kan beräkningen därför bli felaktig. Janssen (999) menar att korrektioner av u på uppemot 2 % kan behövas. Drennan et al. (999) fann att mycket av den spridning som i uppkom i deras undersökning kunde förklaras av inverkan av vågor eftersom dessa signifikant påverkar värdet av C och således också u (ekvation 2.). Yelland och Taylor (996) kommer däremot fram till att våginflytande på u (via C D ) inte finns. I figur 4. som visar u IDM / u ECM som funktion av vågåldern (ekvation 2.2) anas en tendens mot högre kvot för u IDM / u ECM vid ökande vågålder. Enligt tidigare resonemang ger ett positivt flöde till rörelsemängden, något som IDM inte korrigerar för, en sänkning av värdet på u och således ökas kvoten mellan u IDM / u ECM. ECM D 2

24 .4 8 m..2. u IDM /u ECM Vågålder Figur 4.. u IDM / u ECM som funktion av vågålder ( standardavvikelser ses som heldragen linje. u c ). Medelvärdeskurva med cosφ 4.6 KOMOGOROVS KONSTANT Kolmogorovs konstant, á (ekvati on 2.7) är omdiskuterad. Högström (996) sammanfattar ett antal experiment och konstaterar á=.52. Det finns även förslag på en så kallad effektiv Kolmogorovs konstant, hädanefter α, som tar hänsyn till det faktum att lokal produktion eff inte alltid balanseras av lokal dissipation, Φ ( z imb ) (e.g. Yelland och Taylor, 996; Dupuis et al., 997). α brukar ofta tilldelas värdet.55 (e.g. arge och Pond, 98; Yelland eff och Taylor, 996) eller.59 (Deacon,988). Här har α eff anpassats så att korrigering görs för vindhastighet och stabilitet. Beräkningen har utförts så att á (Högström, 996) löses ut ur ekvation 2. och sedan beräknas α eff genom att u ECM istället för u IDM används i uttrycket för á. Resultatet visas i appendix 2 där medelvärden på α eff har beräknats inom ett visst vindhastighetsintervall kopplat mot ett visst stabilitetsintervall. 24

25 Om rekommendationen av α eff enligt appendix 2 används, blir en jämförelse mellan u IDM och u ECM som i figur 4. (analog med figur 4.). I figur 4. finns dessutom regressionslinjen för beräkning med á=.52 (figur 4.) som streckad svart linje. De värden som erhölls på α varierar från som lägst.9 och som högst.. Dessa är extremvärden eff och de flesta värdena ligger mellan.5 och.6. Jämförs resultatet i figur 4. med det i figur 4. syns en klar förbättring, speciellt på 8 m, där samtliga resultatvärden hamnar betydligt närmare linjen för u IDM = u ECM. Korrelationskoefficienten för 8 m-nivån är oförändrad, men på 6 och 2 m minskar spridningen och korrelationen blir då.97 respektive a) 8 m.8 b) 6 m.6.6 u IDM (m/s).4 u IDM (m/s) u ECM (m/s) u ECM (m/s).8 c) 2 m u IDM (m/s) u ECM (m/s) Figur 4.. u IDM (m/s) mot u ECM (m/s) med värden till Kolmogorovs effektiva konstant enligt appendix 2. a) 8 m, b) 6 m och c) 2 m. Streckad, tunn svart linje visar u IDM = u ECM. Vit linje visar regressionslinjen för resultatpunkter där a) u IDM =.98u ECM b) u IDM =.97 u ECM och c) u IDM =.96 u ECM. Streckad svart linje visar regressionslinje enligt beräkning med värdet.52 på Kolmogorovs konstant. Anmärkningsvärt är att på 2 m (figur 4..c) ändras lutningen på regressionslinjen från. till.96 med användande av Kolmogorovs effektiva konstant. 25

26 I figur 4.2 har α eff plottats som funktion av vindhastigheten. På 8 m är spridningen mellan punkterna relativt liten jämfört med de på 6 och framförallt 2 m. Intressant i figur 4.2 är att den kanske inte bara visar ett vindhastighetsberoende utan också ett höjdberoende eftersom betydligt fler värden är mindre än.52 på 8 m än på 2 m höjd..5 a) 8 m.5 b) 6 m Eff. Kolmogorovs konst..5 Eff. Kolmogorovs konst Vindhastighet m/s Vindhastighet m/s.5 c) 2 m Eff. Kolmogorovs konst Vindhastighet m/s Figur 4.2. Effektiv Kolmogorovs konstant (enligt appendix 2) som funktion av vindhastighet i m/s. a) 8 m, b) 6 m och c) 2 m. Från y-axeln är linjen á=.52 markerad. Heldragen linje visar medelvärdeskurva med standardavvikelser. I Sjöblom och Smedman (2) fås att α eff verkar vara en funktion av vågåldern eftersom värdet på α eff ökar med ökande vågålder (ekvation 2.2). Även här har α eff som funktion av vågåldern undersökts men något framträdande vågberoende kan inte ses. Det verkar som om det är för få mätpunkter vid just dyning som gör att något klart samband ej kan fastställas. 26

27 Figur 4. visar α eff som funktion av stabiliteten ökar spridningen av värdena på 6 och 2 m höjd. z. På liknande sätt som i figur 4.2 IDM.5 a) 8 m.5 b) 6 m Eff. Kolmogorovs konst..5 Eff. Kolmogorovs konst z/ IDM z/ IDM.5 c) 2 m Eff. Kolmogorovs konst z/ IDM Figur 4.. Effektiv Kolmogorovs konstant (enligt appendix2) som funktion av b) 6 m och c) 2 m. Från y-axeln är linjen á=.52 markerad. z. a) 8 m, IDM Figur 4.4 visar förhållandet mellan u IDM och u ECM som funktion av vindhastigheten i m/s. Som i figur 4.7 (avsnitt 4.) blir överensstämmelsen bättre vid högre vindhastigheter men med användande av α eff närmar sig dessutom kvoten u IDM / u ECM med ökande vindhastighet. 27

28 .4 a) 8 m.4 b) 6 m.2.2 u IDM /u ECM.8 u IDM /u ECM Vindhastighet (m/s) Vindhastighet (m/s).6 c) 2 m.4 u IDM /u ECM Vindhastighet (m/s) Figur 4.4. u IDM / u ECM mot vindhastigheten i m/s med anpassade värden på Kolmogorovs konstant enligt appendix 2. a) 8 m, b) 6 m och c) 2 m. 28

29 5. Diskussion På uppdrag av MIUU har en undersökning genomförts för att ta reda på om ett så kallat profilinstrument (lättviktsanemometer) kan användas till turbulenta flödesberäkningar. Metoden som har använts är inertial dissipationsmetoden och resultaten har jämförts med värden från beräkning enligt turbulenta utbytesmetoden. Resultatet har presenterats i avsnitt 4 med avseende på val av spektralvärden från spektrum, z, vindhastighet, C D, våginflytande och val av effektiv Kolmogorovs konstant. Resultatet av turbulensmätningar från profilinstrumentet blev att det fungerar bäst under nära neutrala förhållanden, vid höga vindhastigheter och under uppbyggande sjö. Värde på effektiv Kolmogorovs konstant rekommenderas enligt appendix 2. Resultaten (avsnitt 4) är påverkade av flera olika faktorer som dessutom interagerar med varandra. Till exempel bestämmer vindhastighet och temperaturskillnad mellan vatten och luft CD, vilken i sin tur bestämmer det uppskattade u som har avgörande betydelse för värdet på z (ekvation 2. men med bulkformulering för IDM u (ekvation 2.). IDM ' w' θ v ) som påverkar beräkningen av Vindhastigheten har ett ganska tydligt inflytande på värdet på CD (figur 4.9). Vindhastigheten påverkar även den rådande vågåldern (avsnitt 4.5) som har speciellt inflytande på u vid låga vindhastigheter. Det verkar då som om u får ett högre värde än IDM vad det egentligen borde ha (jämfört med ). Dyning tillför ett positivt tillskott till u ECM rörelsemängden underifrån och på så sätt borde u minska, vilket också u ECM gör (avsnitt 4., tabell 2). I IDM finns antaganden och approximationer i beräkningen av u att ifrågasätta. I IDM antas ofta att lokal produktion balanseras av lokal dissipation, Φ ( z imb ) =. Bland forskare har inertial dissipationsmetodens trovärdighet ifrågasatts just på grund av detta antagande. Wyngaard och Coté (97) föreslår approximativ balans mellan lokal produktion och dissipation över land. Edson et. al (99) får samma resultat över hav. (arge och Pond, 98) använder sig av McBean och Elliott (975) som visade att lokal produktion och dissipation tenderade att vara i balans med varandra. Yelland och Taylor (996) menar att antagandet om approximativ lokal balans måste vara felaktigt. Detta grundas på att de kommer fram till att vindhastighet över 7 m/s och ökande instabila förhållanden ger ett underskattat u, vilket skulle ha med Φ ( z imb ) -termen att göra. iknande samband fås även här (figur 4.9). För att balansera TKE när Φ ( z imb ) rekommenderar till exempel Dupuis et. al (997), Φ ( z imb ) = -.65 z. 29

30 I TKE ingår även φ m, den normaliserade vindgradienten. Värdet på φ m är taget från Högström (996) som menar att ekvation 2.8 åtminstone är giltig till z = -2.. För mer instabila situationer är ekvation 2.8 inte lika självklar. I stabila förhållanden gäller ekvation 2.9 som Högström (996) rekommenderar då z.5. Dessa vär den p å φ m gäller för förhållanden i ytskiktet över land och det är möjligt att det över hav blir ett annat förhållande. Till exempel Sjöblom och Smedman (2) föreslår att det φ m som används i IDM borde korrigeras för havsförhållanden, eftersom φ m annars kan bli beräknad via ett z som i sin tur inte beräknats med hänsyn till eventuell dyning. φ m riskerar då bli mindre än vad det egentligen är och på så vis påverka beräkningen av u. IDM I avsnitt 4.2 diskuterades valet av spektralvärden. Dessa valdes manuellt inom den del av spektrum som representerar inertial subrange. En jämförelse av spektra beräknat från profilinstrumentet vid ett lågvinds- respektive högvindsfall visade en markant skillnad i utseende hos spektra, där spektrum baserade på mätningar vid höga vindhastigheter, framförallt på 2 m-nivån gav bättre information om inertial subrange än de övriga spektra som studerades. Villkoret för att spektralvärden skulle tas med var att spektralkurvan 2 uppvisade lutningen n ± % och att frekvensvärdet, n,. Hz. Detta gr änsvillkor för frekvensen är ett värde som är klart lägre än de som normalt brukar förknippas med inertial subrange. Bland de spektra som togs fram ur vindhastighetsdata från profilinstrumentet, visade vissa upp utseende som skulle kunna förknippas med våginflytande. Våginflytande karakteriseras ofta av att spektralkurvan planar ut och liknar en platå för att sedan falla igen. Ett sätt att komma undan våginflytande är att försöka välja spektralvärden i den högfrekventa delen av inertial subrange, vilket är möjligt med en ljudanemometer som mäter med 2 Hz. Valet av effektiv Kolmogorovs konstant, α eff presenterades i avsnitt 4.6. α eff har ett större vindhastighets- och stabilitetsberoende på 8 m än på 6 och 2 m eftersom spridningen ökar signifikant (figur 4.2- b och c). För att ytterligare förbättra användandet av profilinstrumentet till turbulenta flödesberäkningar skulle nedanstående punkter behöva studeras: Ytterligare studera inverkan av vågor genom att redan vid valet av spektralvärden undersöka om ett våginflytande kan indikeras, ta fram en korrektion i beräkningen i IDM av Φ ( z imb ) istället för att anta att lokal produktion alltid balanseras av lokal dissipation, anpassa den normaliserade vindgradienten, φ m så att denna görs gällande för havsförhållanden och slutligen testa de rekommendationer som ges här på en oberoende datamängd från Östergarnsholm. Sammanfattningsvis kan sägas att med bakgrund av undersökningen verkar profilinstrumentet kunna användas till turbulenta flödesberäkningar enligt inertial dissipationsmetoden med de rekommendationer som ges. Samtidigt måste ytterligare arbete läggas ned för att kunna korrigera för till exempel våginflytande.

31 Tack! Denna vår som snart går mot sommar och min tid med det här examensarbetet har gått så fort. Jag har lärt mig så mycket under den här intensiva och roliga terminen. Min handledare, Dr. Anna Sjöblom, har stöttat mig med råd, tips och erfarenhet. Hennes hjälp har varit ovärderlig. Även Dr. Cecilia Johansson har med sina synpunkter varit ett stort stöd. Jag vill också tacka Prof. Ann-Sofi Smedman för hennes synpunkter och för att jag blev erbjuden det här examensarbetet. Tack till Prof. Emeritus Ulf Högström för givande kommentarer och idéer. Tack till Dr. Hans Bergström för den fina bilden på framsidan, hjälpen med mätdatan och fakta om profilinstrumentet. Tack också till övrig personal på MIUU för en givande tid som meteorologistudent! Jag vill också passa på att tacka nära och kära, släkt och vänner för allt stöd under min studietid. Tack till mitt motto: Det blir vad man gör det till! som alltid stämmer.

32 6. Referenser Bergström, H., undin, K.: 99, Climatological mean wind and turbulence measurements using a high quality cup anemometer system. European community wind energy conference 8-2 march 99, ubeck-travemunde, Germany. Deacon, E..: 988, The streamwise Kolmogoroff constant. Boundar- layer meteorology 42, pages 9-7. Donelan, M. A., Drennan, W. M. och Katsaros, K. B.: 997, The air-sea momentum flux in conditions of wind sea and swell. Journal of physical oceanography, vol. 27, pages Drennan, W. M., Graber, H. C. och Donelan, H. C.: 999, Evidence for the effects of swell and unsteady winds on marine stress. Journal of physical oceanography, vol. 29, pages Dupuis, H., Taylor, P., Weill, A. och Katsaros, K.: 997, Inertial dissipation method applied to derive turbulent fluxes over the ocean during the Surface of the ocean, Fluxes and interactions with the Atmosphere/Atlantic Stratocumulus Transition Experiment (SOFIA/ASTEX) and Structure des Echanges Mer-Atmosphere, Proprietes des Heterogeneites Oceaniques: Recherce Experimentale (SEMAPHORE) experiments with low to moderate windspeeds. Journal of geophysical research, vol. 2, pages Edson, J. B., Fairall, C. W.: 99, A study of the Inertial-Dissipation Method for Computing Air-Sea Fluxes. Journal of geophysical research, vol. 96, pages Högström, U.: 988, Non-dimensional wind and temperature profiles in the atmospheric surface layer: A re-evaluation. Boundary-layer meteorology, 42, pages Högström, U., Smedman, A.: 989, Kompendium Atmosfärens gränsskikt, del. Turbulensteori och skikten närmast marken. Andra reviderade upplagan, Uppsala 989. Högström, U.: 996, Review of some basic characteristics of the atmospheric surface layer. Boundary-layer meteorology 78,pages Janssen, P. A. E. M.: 999, On the effect of ocean waves on the kinetic energy balance and consequences for the inertial dissipation technique. Journal of physical oceanography, vol. 29, pages Johansson, C.: 2, Influence of external factors of the turbulence structure in the boundary layer. Acta Universatis Upsaliensis, 4 pp. arge, W. G., Pond, S.: 98, Open ocean momentum flux measurements in moderate to strong winds. Journal of physical oceanography, vol., pages arge, W. G., Pond, S.: 982, Sensible and latent heat flux measurements over the ocean. Journal of physical oceanography, vol. 2, pages

33 undin, K., Smedman, A. och Högström, U.: 99, A system for wind and turbulence measurements in a wind farm. European community wind energy conference, -4 September 99, Madrid, Spain. McBean, G. A. och Elliott, J. A.: 975, The vertical transport of kinetic energy by turbulence and pressure in the boundary layer. Journal of atmospheric sciences vol. 2, pages Obukhov, A., M.: 97, Turbulence in an atmosphere with a non-uniform temperature. Boundary-layer meteorology, 2, Pierson, W. J. Jr., och Moskowitz,.: 964, A proposed spectral form for fully developed wind seas based on the similarity theory of S. A. Kitaigorodskii. Journal of geophysical research, vol 69, pages Sjöblom, A., Smedman, A.: 22, The turbulent kinetic energy budget in the marine atmospheric surface layer. Journal of geophysical research, vol. 7, no. C, 42, doi:.29/2 JC6. Sjöblom, A., Smedman, A.: 2, Comparision between eddy-correlation and inertial-dissipation methods in the marine atmospheric surface layer. Boundar- layer meteorology, in press. Smedman, A., Högström, U., Bergström, H., Rutgersson, A., Kahma, K. K., och Pettersson, H.: 999, A case study of air-sea interaction during swell conditions. Journal of geophysical research, vol. 4, pages , S. D.: 988, Coefficients for sea surface wind stress, heat flux and wind profiles as a function of wind speed and temperature. Journal of geophysical research, vol. 9, no. C2, pages 5, 467-5,472., S., D., Fairall, C., W., Geernaert, G.,. och utz, H.: 996, Air-sea fluxes: 25 years of progress. Boundary-layer meteorology, 78, Wyngaard, J. C. och Coté, O. R.: 97, The budgets of turbulent kinetic energy and temperature variance in the atmospheric surface layer. Journal of atmospheric sciences vol. 28, pages 9-2. Yelland, M. och Taylor, P. K.: 996, Wind stress measurements from the open ocean. Journal of physical oceanography, vol. 26,

Inverkan av det interna gränsskiktets höjd på turbulensstrukturen i ytskiktet

Inverkan av det interna gränsskiktets höjd på turbulensstrukturen i ytskiktet Examensarbete vid Institutionen för geovetenskaper ISSN 165-6553 Nr 5 Inverkan av det interna gränsskiktets höjd på turbulensstrukturen i ytskiktet Ulrika Hansson Sammanfattning Syftet med den här studien

Läs mer

Stadsklimateffekter i Uppsala Andreas Karelid

Stadsklimateffekter i Uppsala Andreas Karelid Examensarbete vid Institutionen för geovetenskaper ISSN 165-6553 Nr 47 Stadsklimateffekter i Uppsala Andreas Karelid SAMMANFATTNING Studierna av de lokala klimattyperna i våra städer blir allt viktigare

Läs mer

Konstruktion & Produktion

Konstruktion & Produktion Projektering & Etablering Konstruktion & Produktion Drift & Underhåll Nätintegration En ny modell för turbulensen i atmosfärens gränsskikt Antonio Segalini Johan Arnqvist johan.arnqvist@geo.uu.se Mål och

Läs mer

Vädrets Makter! Föreläsning 8 - Lokalväder. Vädrets makter: Lokalväder. Per Axelsson

Vädrets Makter! Föreläsning 8 - Lokalväder. Vädrets makter: Lokalväder. Per Axelsson Vädrets Makter! Föreläsning 8 - Lokalväder Vädrets makter: Lokalväder Per Axelsson per@misu.su.se Energibalansen vid ytan - lokal temperatur Gränsskiktet Urbana värmeöar Sjöbris Bergsvindar 2 Vad är det

Läs mer

1 Potentiallösningen för strömningen kring en cylinder

1 Potentiallösningen för strömningen kring en cylinder Föreläsning 9. 1 Potentiallösningen för strömningen kring en cylinder I denna föreläsningen ska vi behandla strömningen kring en kropp som inte är strömlinjeformad och som ett speciellt exempel ska vi

Läs mer

The Arctic boundary layer

The Arctic boundary layer The Arctic boundary layer Interactions with the surface, and clouds, as learned from observations (and some modeling) Michael Tjernström Department of Meteorology & the Bert Bolin Center for Climate Research,

Läs mer

Svar och anvisningar

Svar och anvisningar 160322 BFL102 1 Tenta 160322 Fysik 2: BFL102 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Centripetalkraften ligger i horisontalplanet, riktad in mot cirkelbanans mitt vid B. A B b) En centripetalkraft kan tecknas:

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

Potentialbedömning av marin strömkraft i Finnhamn

Potentialbedömning av marin strömkraft i Finnhamn Potentialbedömning av marin strömkraft i Finnhamn Fältmätningar och resultat Nicole Carpman, Uppsala universitet, Innehållsförteckning Bakgrund 3 Instrument 3 Metod 3 Tvärsnittsmätningar 3 Långtidsmätningar

Läs mer

Statistiska samband: regression och korrelation

Statistiska samband: regression och korrelation Statistiska samband: regression och korrelation Vi ska nu gå igenom något som kallas regressionsanalys och som innebär att man identifierar sambandet mellan en beroende variabel (x) och en oberoende variabel

Läs mer

Laboration 1 Mekanik baskurs

Laboration 1 Mekanik baskurs Laboration 1 Mekanik baskurs Utförs av: Henrik Bergman Mubarak Ali Uppsala 2015 01 19 Introduktion Gravitationen är en självklarhet i vår vardag, de är den som håller oss kvar på jorden. Gravitationen

Läs mer

Influence of fog on stratification and turbulent fluxes over the ocean

Influence of fog on stratification and turbulent fluxes over the ocean Examensarbete vid Institutionen för geovetenskaper ISSN 165-6553 Nr 8 Influence of fog on stratification and turbulent fluxes over the ocean Linda Lennartsson Abstract In this thesis a case of advection

Läs mer

Kundts rör - ljudhastigheten i luft

Kundts rör - ljudhastigheten i luft Kundts rör - ljudhastigheten i luft Laboration 4, FyL VT00 Sten Hellman FyL 3 00-03-1 Laborationen utförd 00-03-0 i par med Sune Svensson Assisten: Jörgen Sjölin 1. Inledning Syftet med försöket är att

Läs mer

Vindpotentialen i Sverige på 1 km-skala

Vindpotentialen i Sverige på 1 km-skala Vindpotentialen i Sverige på 1 km-skala Beräkningar med MIUU-modellen Version 2007 Hans Bergström Institutionen för geovetenskaper, luft och vattenlära Uppsala universitet hans.bergstrom@met.uu.se 1. Inledning

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM

STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 7,5 hp, för FK2002 Onsdagen den 15 december 2010 kl. 9-14. Skrivningen består av två delar A och B. Del A innehåller enkla frågor och

Läs mer

Kapitel 3. Standardatmosfären

Kapitel 3. Standardatmosfären Kapitel 3. Standardatmosfären Omfattning: Allmänt om atmosfären Standardatmosfären Syfte med standardatmosfären Definition av höjd Lite fysik ISA-tabeller Tryck-, temp.- och densitetshöjd jonas.palo@bredband.net

Läs mer

Andra EP-laborationen

Andra EP-laborationen Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med

Läs mer

Luftens strömning i och över en skog Utvärdering av en mixing-layer hypotes

Luftens strömning i och över en skog Utvärdering av en mixing-layer hypotes Examensarbete vid institutionen för geovetenskaper ISSN 1650-6533 Nr 177 Luftens strömning i och över en skog Utvärdering av en mixing-layer hypotes Johan Arnqvist Copyright Johan Arnqvist och Institutionen

Läs mer

Frågeställningar vid vindkartering: Var blåser det? Varför blåser det som det gör?

Frågeställningar vid vindkartering: Var blåser det? Varför blåser det som det gör? VINDKARTERINGEN Vilken nytta har vi av den och hur använder vi den Hans Bergström Institutionen för geovetenskaper, luft-, vatten- och landskapslära Uppsala universitet Hans.Bergstrom@met.uu.se Frågeställningar

Läs mer

Fysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt

Fysikaliska modeller. Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment. Peter Andersson IFM fysik, adjunkt Fysikaliska modeller Skapa modeller av en fysikalisk verklighet med hjälp av experiment Peter Andersson IFM fysik, adjunkt På denna föreläsning Vad är en fysikalisk modell? Linjärisering med hjälp av logaritmer

Läs mer

EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER

EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER EXPERIMENTELLT PROBLEM 2 DUBBELBRYTNING HOS GLIMMER I detta experiment ska du mäta graden av dubbelbrytning hos glimmer (en kristall som ofta används i polariserande optiska komponenter). UTRUSTNING Förutom

Läs mer

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska

Läs mer

Havsytan och CO 2 -utbytet

Havsytan och CO 2 -utbytet Havsytan och CO 2 -utbytet Anna Rutgersson 1, Gaelle Parard 1, Sindu Parampil 1 Tiit Kutser 2, Melissa Chierici 3 1 Air-Water Exchange Platform, Uppsala University, anna.rutgersson@met.uu.se 2 Estonian

Läs mer

SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL

SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL Institutionen för fysik 2012-05-21 Umeå universitet SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL SAMMANFATTNING Ändamålet med experimentet är att undersöka den matematiska modellen för en fysikalisk pendel. Vi har mätt

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS

WALLENBERGS FYSIKPRIS WALLENBERGS FYSKPRS FNALTÄVLNG 3 maj 2014 SVENSKA FYSKERSAMFUNDET LÖSNNGSFÖRSLAG 1. a) Fasförskjutningen ϕ fås ur P U cosϕ cosϕ 1350 1850 ϕ 43,1. Ett visardiagram kan då ritas enligt figuren nedan. U L

Läs mer

Linnéuniversitetet Institutionen för fysik och elektroteknik

Linnéuniversitetet Institutionen för fysik och elektroteknik Linnéuniversitetet Institutionen för fysik och elektroteknik Ht2015 Program: Naturvetenskapligt basår Kurs: Fysik Bas 1 delkurs 1 Laborationsinstruktion 1 Densitet Namn:... Lärare sign. :. Syfte: Träna

Läs mer

There and back again: En forskares berättelse om en resa till ishavet

There and back again: En forskares berättelse om en resa till ishavet There and back again: En forskares berättelse om en resa till ishavet 1 Michael Tjernström, 1 Peggy Achtert, 2 Barbara Brooks, 2 Ian Brooks, 3 Paul Johnston, 3 Matthew Shupe, 3 Ola Persson, 2 John Prytherch,

Läs mer

Lösningar 15 december 2004

Lösningar 15 december 2004 Lösningar 15 december 004 Tentamensskrivning i Fysikexperiment, 5p, för Fy1100 Onsdagen den 15 december 004 kl. 9-13(14). B.S. 1. En behållare för förvaring av bensin har formen av en liggande cylinder

Läs mer

HYDRAULIK (ej hydrostatik) Sammanfattning

HYDRAULIK (ej hydrostatik) Sammanfattning HYDRAULIK (ej hydrostatik) Sammanfattning Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära För VVR145, 4 maj, 2016 NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View VVR145 Vatten/ Hydraulik sammmanfattning 4 maj 2016

Läs mer

Autokorrelation och Durbin-Watson testet. Patrik Zetterberg. 17 december 2012

Autokorrelation och Durbin-Watson testet. Patrik Zetterberg. 17 december 2012 Föreläsning 6 Autokorrelation och Durbin-Watson testet Patrik Zetterberg 17 december 2012 1 / 14 Korrelation och autokorrelation På tidigare föreläsningar har vi analyserat korrelationer för stickprov

Läs mer

Grundläggande aerodynamik, del 5

Grundläggande aerodynamik, del 5 Grundläggande aerodynamik, del 5 Motstånd Totalmotstånd Formmotstånd Gränsskiktstypens inverkan på formmotstånd 1 Motstånd Ett flygplan som rör sig genom luften (gäller alla kroppar) skapar ett visst motstånd,

Läs mer

TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER. Kursnamn Fysik 1. Datum LP Laboration Balkböjning. Kursexaminator. Betygsgränser.

TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER. Kursnamn Fysik 1. Datum LP Laboration Balkböjning. Kursexaminator. Betygsgränser. TENTAPLUGG.NU AV STUDENTER FÖR STUDENTER Kurskod F0004T Kursnamn Fysik 1 Datum LP2 10-11 Material Laboration Balkböjning Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Sammanfattning Denna

Läs mer

Vädrets makter. Föreläsning 6 Djup konvektion, superceller och tromber Tropisk meteorologi och orkaner Väderprognoser

Vädrets makter. Föreläsning 6 Djup konvektion, superceller och tromber Tropisk meteorologi och orkaner Väderprognoser Vädrets makter Föreläsning 6 Djup konvektion, superceller och tromber Tropisk meteorologi och orkaner Väderprognoser Skalor i atmosfären Anticyklon 500-5000 km Fullt utvecklad " mellanbreddscyklon 1500-3000

Läs mer

Beräkning av vågklimatet utanför Trelleborgs hamn II

Beräkning av vågklimatet utanför Trelleborgs hamn II Rapport Nr. 2008-59 Beräkning av vågklimatet utanför Trelleborgs hamn II Ekaterini Kriezi och Walter Gyllenram Pärmbild. Bilden föreställer Rapport Författare: Uppdragsgivare: Rapportnr: E. Kriezi och

Läs mer

Omtentamen Meteorologi 2006-01-09 sidan 1 ( 6 ) Chalmers Institutionen för Sjöfart och Marin Teknik

Omtentamen Meteorologi 2006-01-09 sidan 1 ( 6 ) Chalmers Institutionen för Sjöfart och Marin Teknik Omtentamen Meteorologi 2006-01-09 sidan 1 ( 6 ) 1. Svara kort men också fullständigt innebörden/betydelsen av följande ord/benämningar och hur de används/betyder inom meteorologin och till sjöss. a Isobar

Läs mer

3. Mekaniska vågor i 2 (eller 3) dimensioner

3. Mekaniska vågor i 2 (eller 3) dimensioner 3. Mekaniska vågor i 2 (eller 3) dimensioner Brytning av vågor som passerar gränsen mellan två material Eftersom utbredningshastigheten för en mekanisk våg med största sannolikhet ändras då den passerar

Läs mer

Kontroversen om regressionsmetoden, Trenberth och Dessler mot Spencer. Bakgrundsmaterial

Kontroversen om regressionsmetoden, Trenberth och Dessler mot Spencer. Bakgrundsmaterial Kontroversen om smetoden, Trenberth och Dessler mot Spencer. Bakgrundsmaterial av Pehr Björnbom Varför ger den direkta smetod som både Trenberth och Dessler förespråkar i samband med studier av klimatkänsligheter

Läs mer

Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3

Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3 Experimentella metoder 2013, Räkneövning 3 Problem 1: Fem studenter mätte längden av ett rum, deras resultat blev 3,30 m, 2,90 m, 3,70 m, 3,50 m, och 3,10 m. Inga uppgifter om mätnoggrannheten är kända.

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x

Läs mer

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1 Experimentella metoder 04, Räkneövning Problem : Tio mätningar av en resistans gav följande resultat: Mätning no. Resistans (Ω) Mätning no Resistans (Ω) 0.3 6 0.0 00.5 7 99.98 3 00.0 8 99.80 4 99.95 9

Läs mer

Korrelation och autokorrelation

Korrelation och autokorrelation Korrelation och autokorrelation Låt oss begrunda uttrycket r = i=1 (x i x) (y i y) n i=1 (x i x) 2 n. i=1 (y i y) 2 De kvadratsummor kring de aritmetiska medelvärdena som står i nämnaren är alltid positiva.

Läs mer

Finansiell statistik

Finansiell statistik Finansiell statistik Föreläsning 5 Tidsserier 4 maj 2011 14:26 Vad är tidsserier? En tidsserie är en mängd av observationer y t, där var och en har registrerats vid en specifik tidpunkt t. Vanligen görs

Läs mer

Analys av samvariationen mellan faktorer som påverkar vattennivåerna i Karlstad

Analys av samvariationen mellan faktorer som påverkar vattennivåerna i Karlstad Rapport Nr. 54 Analys av samvariationen mellan faktorer som påverkar vattennivåerna i Karlstad Sten Bergström, Johan Andréasson Pärmbild. Bilden av Karlstad från luften är tagen 2003 av Lars Furuholm (lars.furuholm@lansstyrelsen.se).

Läs mer

Energitransport i biologiska system

Energitransport i biologiska system Energitransport i biologiska system Termodynamikens första lag Energi kan inte skapas eller förstöras, endast omvandlas. Energiekvationen de sys dt dq dt dw dt För kontrollvolym: d dt CV Ändring i kontrollvolym

Läs mer

SVENSK STANDARD SS-ISO 8756

SVENSK STANDARD SS-ISO 8756 Handläggande organ Fastställd Utgåva Sida Allmänna Standardiseringsgruppen, STG 1997-12-30 1 1 (9) SIS FASTSTÄLLER OCH UTGER SVENSK STANDARD SAMT SÄLJER NATIONELLA, EUROPEISKA OCH INTERNATIONELLA STANDARDPUBLIKATIONER

Läs mer

Ljudutbredning Påverkan av väder och vind

Ljudutbredning Påverkan av väder och vind Regionalt öppet seminarium Ljud från vindkraftverk 15 oktober 2012 Högskolan på Gotland Ljudutbredning Påverkan av väder och vind Conny Larsson Strömnäs, Norrbotten Foto Conny Larsson Kunskapen om både

Läs mer

Snövattenekvivalentuppskatning med markradar

Snövattenekvivalentuppskatning med markradar Snövattenekvivalentuppskatning med markradar Nils Sundström, LTU Distribuerade system för förbättrade snöoch avrinningsprognoser minska volymfelet i avrinningsprognoser förbättra tidsbestämningen av den

Läs mer

Neutronaktivering. Laboration i 2FY808 - Tillämpad kvantmekanik

Neutronaktivering. Laboration i 2FY808 - Tillämpad kvantmekanik Neutronaktivering Laboration i 2FY808 - Tillämpad kvantmekanik Datum för genomförande: 2012-03-30 Medlaborant: Jöns Leandersson Handledare: Pieter Kuiper 1 av 9 Inledning I laborationen används en neutronkälla

Läs mer

1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder

1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder Föreläsning 9 1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder I denna föreläsning ska vi kortfattat behandla potentialströmning, som traditionellt varit ett stort område inom aerodynamiken, men

Läs mer

Final i Wallenbergs Fysikpris

Final i Wallenbergs Fysikpris Final i Wallenbergs Fysikpris 26-27 mars 2010. Teoriprov Lösningsförslag 1. a) Vattens värmekapacitivitet: Isens värmekapacitivitet: Smältvärmet: Kylmaskinen drivs med spänningen och strömmen. Kylmaskinens

Läs mer

Svar och anvisningar

Svar och anvisningar 170317 BFL10 1 Tenta 170317 Fysik : BFL10 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Den enda kraft som verkar på stenen är tyngdkraften, och den är riktad nedåt. Alltså är accelerationen riktad nedåt. b) Vid kaströrelse

Läs mer

Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN

Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN Spridningsdiagrammen nedan representerar samma korrelationskoefficient, r = 0,8. 80 80 60 60 40 40 20 20 0 0 20 40 0 0 20 40 Det finns dock två

Läs mer

Preliminära resultat. Ljudutbredning Påverkan av väder och vind. Vad bestämmer ljudutbredningen? Hur väl stämmer beräkningsmetoden?

Preliminära resultat. Ljudutbredning Påverkan av väder och vind. Vad bestämmer ljudutbredningen? Hur väl stämmer beräkningsmetoden? Ljudutbredning Påverkan av väder och vind Vad bestämmer ljudutbredningen? Hur väl stämmer beräkningsmetoden? Preliminära resultat Conny Larsson Strömnäs, Norrbotten Foto Conny Larsson Kunskapen om både

Läs mer

FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 10,5 högskolepoäng, FK4009 Tisdagen den 17 juni 2008 kl 9-15

FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 10,5 högskolepoäng, FK4009 Tisdagen den 17 juni 2008 kl 9-15 FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 1,5 högskolepoäng, FK49 Tisdagen den 17 juni 28 kl 9-15 Hjälpmedel: Handbok (Physics handbook eller motsvarande) och räknare

Läs mer

7.5 Experiment with a single factor having more than two levels

7.5 Experiment with a single factor having more than two levels 7.5 Experiment with a single factor having more than two levels Exempel: Antag att vi vill jämföra dragstyrkan i en syntetisk fiber som blandats ut med bomull. Man vet att inblandningen påverkar dragstyrkan

Läs mer

Simulering av soldrivet torkskåp

Simulering av soldrivet torkskåp Simulering av soldrivet torkskåp Ivana Bogojevic och Jonna Persson INTRODUKTION Soltork drivna med enbart solenergi börjar bli ett populärt redskap i utvecklingsländer, då investeringskostnader är låga

Läs mer

Bernoullis ekvation Rörelsemängdsekvationen Energiekvation applikationer Rörströmning Friktionskoefficient, Moody s diagram Pumpsystem.

Bernoullis ekvation Rörelsemängdsekvationen Energiekvation applikationer Rörströmning Friktionskoefficient, Moody s diagram Pumpsystem. 010-04-6 Sammanfattning Bernoullis ekvation Rörelsemängdsekvationen Energiekvation applikationer Rörströmning Friktionskoefficient, Moody s diagram Pumpsystem BERNOULLI S EQUATION p V z H const. g Quantity

Läs mer

TFEI02: Vågfysik. Tentamen : Svar och anvisningar. t 2π T x. s(x,t) = 2 cos [2π (0,4x/π t/π)+π/3]

TFEI02: Vågfysik. Tentamen : Svar och anvisningar. t 2π T x. s(x,t) = 2 cos [2π (0,4x/π t/π)+π/3] TFEI0: Vågfysik Tentamen 14100: Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Vågen kan skrivas på formen: vilket i vårt fall blir: s(x,t) =s 0 sin t π T x + α λ s(x,t) = cos [π (0,4x/π t/π)+π/3] Vi ser att periodtiden

Läs mer

Ballistisk pendel laboration Mekanik II

Ballistisk pendel laboration Mekanik II Ballistisk pendel laboration Mekanik II Utförs av: William Sjöström 19940404 6956 Philip Sandell 19950512 3456 Uppsala 2015 05 09 Sammanfattning Ett sätt att mäta en gevärkulas hastighet är att låta den

Läs mer

F3 Introduktion Stickprov

F3 Introduktion Stickprov Utrotningshotad tandnoting i arktiska vatten Inferens om väntevärde baserat på medelvärde och standardavvikelse Matematik och statistik för biologer, 10 hp Tandnoting är en torskliknande fisk som lever

Läs mer

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA) Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 3/9 2009 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.

Läs mer

Lö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp

Lö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp Sid (7) Lö sningsfö rslag till tentamen i matematisk statistik Statistik öch kvalitetsteknik 7,5 hp Uppgift Nedanstående beräkningar från Minitab är gjorda för en Poissonfördelning med väntevärde λ = 4.

Läs mer

Drift och underhåll för svenska förhållanden

Drift och underhåll för svenska förhållanden Drift och underhåll för svenska förhållanden Johan Arnqvist Uppsala Universitet Earth Sciences - Wind Energy Dep. of Earth Sciences Campus Gotland Campus Uppsala Stefan Ivanell, Assoc. Prof. Anna Rutgersson,

Läs mer

Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10. Laboration. Regressionsanalys (Sambandsanalys)

Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10. Laboration. Regressionsanalys (Sambandsanalys) Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10 Laboration Regressionsanalys (Sambandsanalys) Grupp A: 2010-11-24, 13.15 15.00 Grupp B: 2010-11-24, 15.15 17.00 Grupp C: 2010-11-25,

Läs mer

Demonstration av laboration 2, SF1901

Demonstration av laboration 2, SF1901 KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion

Läs mer

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Föreläsning 7. Statistikens grunder. Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande

Läs mer

Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum:

Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum: Lösningar/svar till tentamen i MTM113 Kontinuumsmekanik Datum: 00-06-0 Observera att lösningarna inte alltid är av tentamenslösningskvalitet. De skulle inte ge full poäng vid tentamen. Motiveringar kan

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.

Läs mer

LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse

LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse LÄRARHANDLEDNING Harmonisk svängningsrörelse Utrustning: Dator med programmet LoggerPro LabQuest eller LabPro Avståndsmätare Kraftgivare Spiralfjäder En vikt Stativmateriel Kraftgivare Koppla mätvärdesinsamlaren

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Labbrapport svängande skivor

Labbrapport svängande skivor Labbrapport svängande skivor Erik Andersson Johan Schött Olof Berglund 11th October 008 Sammanfattning Grunden för att finna matematiska samband i fysiken kan vara lite svårt att förstå och hur man kan

Läs mer

Kort om mätosäkerhet

Kort om mätosäkerhet Kort om mätosäkerhet Henrik Åkerstedt 14 oktober 2014 Introduktion När man gör en mätning, oavsett hur noggrann man är, så får man inte exakt rätt värde. Alla mätningar har en viss osäkerhet. Detta kan

Läs mer

2 Dataanalys och beskrivande statistik

2 Dataanalys och beskrivande statistik 2 Dataanalys och beskrivande statistik Vad är data, och vad är statistik? Data är en samling fakta ur vilken man kan erhålla information. Statistik är vetenskapen (vissa skulle kalla det konst) om att

Läs mer

EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):

EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN): Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF50: Matematisk statistik för L och V OH-bilder på föreläsning 7, 2017-11-20 EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):

Läs mer

Forskningsmetodik 2006 lektion 2

Forskningsmetodik 2006 lektion 2 Forskningsmetodik 6 lektion Per Olof Hulth hulth@physto.se Slumpmässiga och systematiska mätfel Man skiljer på två typer av fel (osäkerheter) vid mätningar:.slumpmässiga fel Positiva fel lika vanliga som

Läs mer

1. Lära sig plotta en beroende variabel mot en oberoende variabel. 2. Lära sig skatta en enkel linjär regressionsmodell

1. Lära sig plotta en beroende variabel mot en oberoende variabel. 2. Lära sig skatta en enkel linjär regressionsmodell Datorövning 1 Regressions- och tidsserieanalys Syfte 1. Lära sig plotta en beroende variabel mot en oberoende variabel 2. Lära sig skatta en enkel linjär regressionsmodell 3. Lära sig beräkna en skattning

Läs mer

BFL122/BFL111 Fysik för Tekniskt/ Naturvetenskapligt Basår/ Bastermin Föreläsning 7 Kvantfysik, Atom-, Molekyl- och Fasta Tillståndets Fysik

BFL122/BFL111 Fysik för Tekniskt/ Naturvetenskapligt Basår/ Bastermin Föreläsning 7 Kvantfysik, Atom-, Molekyl- och Fasta Tillståndets Fysik Föreläsning 7 Kvantfysik 2 Partiklars vågegenskaper Som kunnat konstateras uppträder elektromagnetisk strålning ljus som en dubbelnatur, ibland behöver man beskriva ljus som vågrörelser och ibland är det

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Stokastiska processer med diskret tid

Stokastiska processer med diskret tid Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna

Läs mer

Värdering av vattenomsättningen i Valdemarsviken

Värdering av vattenomsättningen i Valdemarsviken Författare: Uppdragsgivare: Sture Lindahl Valdemarsviks kommun/envipro Granskare: Granskningsdatum: Dnr: Version: Cecilia Ambjörn 2003-08-27 2003/603/204 1.0-5 Rapport Värdering av vattenomsättningen i

Läs mer

Bilaga 4.1 Uppskattning av antalet erforderliga provpunkter och analyser vid detaljundersökningen. Bakgrund. Metod. Konfidensintervallens utveckling

Bilaga 4.1 Uppskattning av antalet erforderliga provpunkter och analyser vid detaljundersökningen. Bakgrund. Metod. Konfidensintervallens utveckling 1 (17) Bilaga 4.1 Uppskattning av antalet erforderliga provpunkter och analyser vid detaljundersökningen Nedanstående material utgick från resultatet av förundersökningen och har legat till grund för dimensioneringen

Läs mer

Två parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge

Två parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 28-9-3 Normalfördelningen, X N(µ, σ) f(x) = e (x µ)2 2σ 2, < x < 2π σ.4 N(2,).35.3.25.2.5..5

Läs mer

F18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT

F18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT 1.1, 13.1-13.6, 13.8-13.9) Modell för multipel linjär regression Modellantaganden: 1) x-värdena är fixa. ) Varje y i (i = 1,, n) är

Läs mer

Laboration 1: Gravitation

Laboration 1: Gravitation Laboration 1: Gravitation Inledning Försöket avser att påvisa gravitationskraften och att bestämma ett ungefärligt värde på gravitationskonstanten G i Newtons gravitationslag, m1 m F = G r Lagen beskriver

Läs mer

DELPROV 2/TENTAMEN STRÖMNINGSLÄRA FÖR W, VVR OKTOBER 2003, 08:00-11:00 (Delprov), 08:00-13:00 (Tentamen)

DELPROV 2/TENTAMEN STRÖMNINGSLÄRA FÖR W, VVR OKTOBER 2003, 08:00-11:00 (Delprov), 08:00-13:00 (Tentamen) Joakim Malm Teknisk Vattenresurslära LTH DELPROV /TENTAMEN STRÖMNINGSLÄRA FÖR W, VVR0 4 OKTOBER 003, 08:00-:00 (Delprov), 08:00-3:00 (Tentamen) Tillåtna hjälpmedel: Kom ihåg: För samtliga uppgifter: Rättning:

Läs mer

10.1 Enkel linjär regression

10.1 Enkel linjär regression Exempel: Hur mycket dragkraft behövs för att en halvledare skall lossna från sin sockel vid olika längder på halvledarens ben. De halvledare vi betraktar är av samma storlek (bortsett benlängden). 70 Scatterplot

Läs mer

Utredning angående havssaltsandelen av PM 10 på bakgrundsstationen Råö

Utredning angående havssaltsandelen av PM 10 på bakgrundsstationen Råö RAPPORT Utredning angående havssaltsandelen av PM 1 på bakgrundsstationen Råö För Naturvårdsverket Martin Ferm Karin Persson Karin Sjöberg Kjell Peterson 27-9-24 U 2156 Box 216, SE-1 31 Stockholm Box 532,

Läs mer

Uppskattning av vindklimat Implementering och utvärdering av en metod för normalårskorrektion

Uppskattning av vindklimat Implementering och utvärdering av en metod för normalårskorrektion Examensarbete vid Institutionen för geovetenskaper ISSN 1650-6553 Nr 191 Uppskattning av vindklimat Implementering och utvärdering av en metod för normalårskorrektion Irene Helmersson Copyright Irene Helmersson

Läs mer

Laboration 1: Gravitation

Laboration 1: Gravitation Laboration 1: Gravitation Inledning Försöket avser att påvisa gravitationskraften och att bestämma ett ungefärligt värde på gravitationskonstanten G i Newtons gravitationslag, m1 m F = G r Lagen beskriver

Läs mer

Prov Fysik 2 Mekanik

Prov Fysik 2 Mekanik Prov Fysik 2 Mekanik Instruktion för elevbedömning: Efter varje fråga finns tre rutor. Rutan till vänster ska ha en lösning på E-nivå. Om det går att göra en lösning som är klart bättre - på C-nivå - då

Läs mer

τ ij x i ρg j dv, (3) dv + ρg j dv. (4) Detta samband gäller för en godtyckligt liten kontrollvolym och därför måste det + g j.

τ ij x i ρg j dv, (3) dv + ρg j dv. (4) Detta samband gäller för en godtyckligt liten kontrollvolym och därför måste det + g j. Föreläsning 4. 1 Eulers ekvationer i ska nu tillämpa Newtons andra lag på en materiell kontrollvolym i en fluid. Som bekant säger Newtons andra lag att tidsderivatan av kontrollvolymens rörelsemängd är

Läs mer

Sammanfattning till Extremregn i nuvarande och framtida klimat

Sammanfattning till Extremregn i nuvarande och framtida klimat Sammanfattning till Extremregn i nuvarande och framtida klimat SAMMANFATTNING till Klimatologirapport nr 47, 2017, Extremregn i nuvarande och framtida klimat Tre huvudsakliga resultat från rapporten är:

Läs mer

Kriterier och riktlinjer för evidensbaserad bedömning av mätinstrument

Kriterier och riktlinjer för evidensbaserad bedömning av mätinstrument Kriterier och riktlinjer för evidensbaserad bedömning av mätinstrument Evidens för instrument kan mätas med liknande kriterier som vid mätning av evidens för interventioner 1. Nedan finns en sammanfattning

Läs mer

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA)

Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1. SI-enheter (MKSA) Sammanfattning av räkneövning 1 i Ingenjörsmetodik för ME1 och IT1 Torsdagen den 4/9 2008 SI-enheter (MKSA) 7 grundenheter Längd: meter (m), dimensionssymbol L. Massa: kilogram (kg), dimensionssymbol M.

Läs mer

Föreläsning 8. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 8. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 8 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Enkel linjär regression (kap 17.1 17.5) o Skatta regressionslinje (kap 17.2) o Signifikant lutning? (kap 17.3, 17.5a) o Förklaringsgrad

Läs mer

Magnetiska fält laboration 1FA514 Elektimagnetism I

Magnetiska fält laboration 1FA514 Elektimagnetism I Magnetiska fält laboration 1FA514 Elektimagnetism I Utförs av: William Sjöström 19940404 6956 Oskar Keskitalo 19941021 4895 Uppsala 2015 05 09 Sammanfattning När man leder ström genom en spole så bildas

Läs mer

Storskalig cirkulation (Hur vindar blåser över Jorden)

Storskalig cirkulation (Hur vindar blåser över Jorden) ! http://www.matnat.org Klimatmodeller Klimatmodeller Klimatmodeller, eller GCM s (General Circulation Models, även lite slarvigt kallade Global Climate Models), är ett viktigt arbetsredskap när forskare

Läs mer

Integraler av vektorfält Mats Persson

Integraler av vektorfält Mats Persson Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på

Läs mer

Analys av egen tidsserie

Analys av egen tidsserie Analys av egen tidsserie Tidsserieanalys Farid Bonawiede Samer Haddad Michael Litton Alexandre Messo 9 december 25 3 25 Antal solfläckar 2 15 1 5 5 1 15 2 25 3 Månad Inledning Vi har valt att betrakta

Läs mer

Rapport från refraktions- och reflektionsseismiska mätningar i. området Färgaren 3, Kristianstad

Rapport från refraktions- och reflektionsseismiska mätningar i. området Färgaren 3, Kristianstad Rapport från refraktions- och reflektionsseismiska mätningar i området Färgaren 3, Kristianstad Emil Lundberg, Bojan Brodic, Alireza Malehmir Uppsala Universitet 2014-06-04 1 Innehållsförteckning 2 1.

Läs mer