Dedekinds snitt definierar de reella talen
|
|
- Ellen Fransson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Fakulteten för teknik- och naturvetenskap Maria Lundqvist Dedekinds snitt definierar de reella talen Dedekind cuts define the real numbers Matematik C-uppsats Datum/Termin: 7-3-6/VT-7 Handledare: Thomas Martinsson Examinator: Martin Brundin Karlstads universitet Karlstad Tfn 54-7 Fax Information@kau.se
2 Sammanfattning Dedekinds snitt definierar de reella talen Uppsatsen riktar sig till personer som har läst minst en termin matematik på universitetet. Det var först på mitten av 8-talet som man kunde ge en godtagbar definition för de irrationella talen, typ. Dessa hade sedan länge använts ändå bland annat i Babylonien, Indien och Kina. Uppsatsens inledningskapitel ger en snabb historielektion i form av en genomgång av räkningen och användandet av främst. Huvuddelen av uppsatsen är en redogörelse för metoden Dedekinds snitt, vilken är den mest kända av de metoder som definierar de irrationella talen. Utan de irrationella talen skulle det vara omöjligt att använda supremumegenskapen och de, inom matematiken, klassiska satserna som mellanliggande värde. Sidan av 3
3 Innehållsföreteckning Dedekinds snitt definierar de reella talen Sammanfattning... Inledning Historik Babylonien Indien Kina Grekland med Alexandria Orienten och medeltida Europa Dedekind och de irrationella talens bevisning Satsen om mellanliggande värde gäller ej Förklaringar till symboler och begrepp... 9 De reella talen.... Dedekinds snitt.... Några grundläggande satser i envariabelanalys... 7 Litteraturförteckning... 3 Sidan 3 av 3
4 Inledning Uppsatsen riktar sig till personer som har läst minst en termin (A-nivå) matematik på universitetet. Arbetet är indelat i två kapitel. Det första är detta inledningskapitel medan kapitel två är själva huvuddelen av uppsatsen. Inledningskapitlet är i sig indelat i olika delkapitel, med fokusering på historia. Det är uppdelat i kortare avsnitt, vilka är indelade efter geografiskt område och placerade i någorlunda åldersordning. I avsnitten visas hur man räknat kvadratrötter, främst, och hur man hanterat de irrationella talen. Efter denna historik kommer information om hur Dedekind löste problemet med att ge de irrationella talen en klar definition. Här finns även exempel som visar varför de irrationella talen behövs. Som avslutning på inledningskapitlet kommer en förteckning över använda symboler och dylikt. I detta kapitel finns flera olika varianter av fotnoter. Främst sådana som ger information om källan till texten och sådana som ger mer information om nämnda personer. Det finns även noter som förklarar ord, som ger lite mer information och som hänvisar till litteratur för vidare läsning. Årtal är efter Kristus om inget annat nämns. Huvuddelen är som sagt kapitel två och här är det mesta hämtat från boken Introduction to Real Analysis av Michael J. Schramm. Kapitlet har, för förståelse och bättre beskrivning, utökats med satser och definitioner från annan litteratur. För fullständig information om vilken litteratur som använts hänvisas läsaren till litteraturförteckningen sist i uppsatsen. De fotnoter som finns i denna del är ordförklaringar och hänvisningar till litteratur för vidare läsning.. Historik Behovet av att räkna ut längden av diagonalen i en kvadrat har funnits länge. I de fyra tongivande kulturområdena Babylonien, Egypten, Indien & Kina fanns framstående matematiker som använde sig av metoder som liknar den som vi idag kallar Pythagoras sats. Men de saknade kunskap om de irrationella talen och använde sig av bråkhantering och fick närmevärden med vilka de kom riktigt nära. I Egypten och Babylonien hade man tabeller med kvadrater och kvadratrötter, dock var det endast av de irrationella talen som var med. Troligtvis för att det är ett så vanligt förekommande tal, då diagonalen i en kvadrat alltid är kvadratens sida multiplicerat med just... Babylonien Babylonierna hade en metod för att bestämma kvadratrötter och i de fall de var irrationella användes ett närmevärde. Deras värde för ; 4 5 vilket är skrivet sexagesimalt (med basen 6). Räknar man om det decimalt (med basen tio) får man att 4 5 = + + +, 44, där 5 decimaler är signifikanta Richard Dedekind tysk matematiker som levde Babylonierna skrev med kilskrift och använde inget tecken, typ semikolon eller kommatecken, för att markera siffrornas position, utan placerade bara ut dem i positionsordning. Sammanhanget fick ge positionsbetydelsen. Sidan 4 av 3
5 Den algoritm de använde för att få fram detta närmevärde är den vi idag brukar kalla Newton- Raphsons metod. En metod där man genom successiva approximationer bestämmer närmevärden till rötterna för ekvationen f ( x) =. Vilket för kan medföra att man utgår ifrån < <. + 3 Då väljs första närmevärdet som medelvärdet till och, det vill säga =. Eftersom = kan vi skriva om det som att a b =, vilket medför att om a > så är b < och om a < så är b >. 3 Om vi nu säger att a är första närmevärdet, alltså a = > så måste b <. 4 Av a b = får vi att b =. Sätter vi nu in närmevärdet får vi att b = = = <. a Vi har nu < <. 3 Vi väljer nu medelvärdet till 3 4 och 3 som nästa närmevärde, vilket är = 7 =, alltså på god väg mot =, Med babyloniernas skrivsätt blir ; 4 5. a = a + + a a = = = ; 3 =, 5 a + ; 3 + a ; 3 7 a = = = ; 5 =, a + ; 5 + a ; a 3 = = = ; 4 5 =, Med dagens beteckningar kan vi beskriva den algoritm babylonierna använde för att beräkna a för a >. Startvärdet kallar vi, medan a är det tal vi söker roten till. Eftersom a a = a väljer vi a a a a = + a a och allmänt a bättre approximation för a än a k, där k =,, 3,.... k a = + k ak a som är en Sidan 5 av 3
6 .. Indien Det finns två skriftserier i Indien, Sulvasutra och Siddhanta. Det finns flera versioner av båda och de är inte i första hand av matematisk karaktär, men ändå källor till den indiska matematiken. I skrifterna finns inga bevis, utan man visar hur man räknar med olika matematiska regler. Här finns heller ingen definition av begreppet irrationella tal, men man räknade med samma räkneregler för dessa som för heltal, och man accepterade bland annat kvadratrötter som lösningar. Sulvasutra 3 kan översättas med Manual om repsträckning och skrevs omkring 5- f. Kr. Det är främst en handledning för konstruktion av altare men innehåller en del matematiska regler. Handledningen består av flera skrifter. I en av dem finns det med hur man beräknar diagonalen i en kvadrat med sidan längdenhet. Man förlänger måttet med en tredjedel och sedan med en fjärdedel av den senare och förminskar med en trettiofjärdedel av nämnda fjärdedel. 4 Skrivet decimalt (med basen ) ger detta ett närmevärde vilket, skrivet som stambråk, = ger decimalutvecklingen,44 (där alla fem decimaler är korrekta)...3 Kina Under tredje århundradet f. Kr. fanns i Kina en praktisk handbok Nio kapitel för arkitekter, ingenjörer, köpmän och offentliga befattningshavare. Boken saknar bevis men har en mängd problem som hjälper läsaren. I första kapitlet finns bland annat areamätning och i kapitel fyra 3 beräknas kvadrat- och kubikrötter där man löser ekvationer som x = a och x = b. Metoden som användes generaliserades av den kinesiska matematikern Chhin 5 till allmänna andra- och tredjegradsekvationer i en avhandling som gavs ut år 47. Metoden återupptäcktes år 89 av Horner 6 och omnämns därför numer som Horners metod 7. Metoden för att räkna roten ur beskrivs nedan 8. Vi skall beräkna 784, med andra ord så gäller det att hitta den positiva lösningen till ekvationen x 784 =. Metoden man använder sig av är lite av en försöksmetod där man testar olika värden. Tar man x = är vänsterledet negativt medan det för x = 3 är positivt. Roten ligger alltså mellan och 3. Därför tar vi nu och sätter y = x det vill säga x = y + och sätter in det i den ekvation vi vill lösa och får y + 4y 384 =. För denna nya ekvation kan man konstatera att roten ligger mellan 6 och 7. Av detta får vi ekvationen z = y 6, som vi omformulerar till y = z + 6. Detta sätts in i andragradsekvationen, vilket ger z + 5z 44 =. 3 Stavas ibland Sulbasutra. 4 Thompson (99) s Chhin Chiu-Shao kinesisk matematiker som levde på -talet. 6 William George Horner engelsk skollärare och rektor som levde för mer information om och räkning med Horners metod hänvisar jag till Thompson (99) s hämtat från Matematiklexikon (99) s. 9. Sidan 6 av 3
7 När man söker gränser på samma sätt som ovan visar det sig att denna ekvation endast ger en rot, vilken är z = 8. Detta ger att y = = 68 och att x = 68 + = 68 och därigenom är alltså 784 = 68. Exakt hur kineserna räknade ut låter jag vara osagt. En möjlig metod för att få fram detta tal, men ändå använda metoden ovan, är att istället beräkna och sedan dividera svaret med...4 Grekland med Alexandria Under antiken kände man till bråkbegreppet och de tal vi idag benämner som de rationella m talen (de som kan skrivas som en kvot av heltal där n ). Men Euklides 9 visade år 35 n m m f. Kr. att ekvationen m = n, som kan skrivas = eller =, saknade heltalslösning. Därmed finns inget rationellt tal vars kvadrat var. n n Aristoteles hade ställt kravet att det i varje vetenskap värd namnet skall finnas hypoteser som garanterar existens av ingående begrepp, vilket medförde att inte kunde accepteras som ett tal av honom eller övriga greker. Man var dock tvungen att använda talet som om det existerade...5 Orienten och medeltida Europa De arabiska insatserna inom matematiken var främst att de översatte de grekiska och indiska verken från originalspråken till arabiska. Arbetet startade på 8-talet och medförde att texterna räddades till eftervärlden. Från mitten av -talet spreds översättningarna till Europa där texterna översattes till latin. På 6-talet skapade matematikerna den symboliska abstraktionen, som kom att utvecklas till den moderna algebran. I motsats till grekerna men i likhet med indierna fortsatte man som araberna redan gjort att använda som ett definierat tal (med andra ord som om det vore rationellt).. Dedekind och de irrationella talens bevisning Det var först i slutet av 8-talet som och alla de andra irrationella talen skulle komma att definieras. Det kom som en del av den utveckling som följde efter att matematikerna börjat bekymra sig över att grundläggande begrepp inte var klart definierade. Bland annat saknade man en fast grund för de irrationella talen. 9 Euklides grekisk matematiker verksam omkring 3 f. Kr. Olsson (999) s. 99 Aristoteles grekisk (natur-) filosof som levde f. Kr. Thompson (99) s. 5. Sidan 7 av 3
8 Den fasta grunden kom dock till slut genom att den tyske matematikern Richard Dedekind definierade de reella talen. Metoden kallas Dedekinds snitt och publicerades år 87 i Stetigkeit und irrationale Zahlen 3 där han karakteriserade de irrationella talen vilket blir starten för denna uppsats (kapitel ). Till sin hjälp för att finna lösningen på problemet använde sig Dedekind av Eudoxos 4 definition av proportionalitet för inkommensurabla 5 storheter. Denna ger att två irrationella tal ξ och η är lika, om och endast om för varje rationellt tal n m gäller: m m m m < ξ < η och > ξ > η. Detta innebär att varje irrationellt tal ξ entydigt n n n n bestäms av två klasser av rationella tal, / / de mindre än ξ och de större än ξ. 6 Dedekind var dock inte den ende som bevisade de reella talen. Samma år kom även Cantor 7 med en definition 8. Landsmannen Hilbert 9 publicerade år 899 den axiomatiska metoden för att framställa det reella talsystemet. Ett exempel på att matematikerna var i behov av de irrationella talen kan ges genom att nämna det som drabbade Cauchy. När han skulle bevisa sin allmänna konvergensprincip blev det inte helt rätt. Han insåg inte att beviset kräver mer kunskap om de reella talens egenskaper än vad man kände till vid den tiden, däribland existensen av supremum för en uppåt begränsad talmängd. Först när man har en matematisk korrekt definition av de reella talen och därmed existensen av supremum kan hans konvergensprincip bevisas (vi återkommer till detta i samband med sats :). 3.3 Satsen om mellanliggande värde gäller ej Dedekind täppte med sitt snitt igen hålen på tallinjen så att man kan bevisa satsen om mellanliggande värde. Det är en sats man lär sig använda på gymnasiet, men som inte förklaras förrän man läser matematik på universitetet. Satsen om mellanliggande värde visar att en ekvation har en lösning och anger ett område där lösningen finns. Observera Låt f : Q Q vara given som f ( x) = x. Trots att f är kontinuerlig, negativ i x = och positiv i x =, så är f inte noll i något element på domänen, eftersom är irrationellt. 3 Översatt till svenska blir titeln Beständighet och irrationella tal. 4 Eudoxos grekisk matematiker som levde omkring f. Kr. 5 Inkommensurabla = saknar ett gemensamt mått. 6 Sjöberg (995) s Georg Cantor tysk matematiker som levde för mer information se Sjöberg (995) s David Hilbert tysk matematiker som levde för mer information se Sjöberg (995) s Augustin Louis Cauchy fransk matematiker som levde för mer information om Cauchys konvergensprincip hänvisar jag till Parzynski & Zipse (987) s Sjöberg (995) s Sidan 8 av 3
9 Detta visar att satsen om mellanliggande värde enbart är sann då vi arbetar med funktioner av reella tal. Om man bara använder de rationella talen (vilka var de enda tal som de tidigare civilisationerna kände till) kan man inte lösa en så enkel ekvation som x =. Vi återkommer till detta i delkapitel., efter att vi visat att de irrationella talen existerar..4 Förklaringar till symboler och begrepp N Naturliga tal {,,, 3, } Z Hela tal {, -3, -, -,,,, 3, } R Reella tal Q Rationella tal (av latinets ratio som betyder kvot) Betecknar tal som kan skrivas som ett bråktal a av två heltal ( a, b Z ; b ), vars b decimalutveckling är periodisk. Q är en delmängd till R ( Q R ) varför det finns reella tal som inte hör till Q ( R \ Q), de kallas irrationella tal. Till dessa hör för att nämna de vanligaste, e och π. Q Q och R R läses från till union ex: A B = mängden element som tillhör minst en av A och B. snittet ex: A B = mängden element som tillhör både A och B. \ differens ex: A \ B = mängden element som tillhör A men inte B. delmängd i ex: A B = alla element i A finns i B har som delmängd ex: A B = alla element i B finns i A ( a, b) öppet intervall [ a, b) halvöppet intervall ( a, b] halvöppet intervall [ a, b] stängt intervall tomma mängden (innehåller ingenting) {}... mängdklamrar det finns, existerar för alla, för varje medför ekvivalent med skilt från : sådant att tillhör tillhör inte < mindre än > större än mindre än eller lika med större än eller lika med Sidan 9 av 3
10 De reella talen Detta är själva huvuddelen av uppsatsen och är i sig indelad i två delkapitel. Vi startar med Dedekinds snitt, som hjälper oss att identifiera alla reella tal (alltså både de irrationella och rationella talen). Dedekinds idé är att låta vissa delmängder av Q, som han kallade snitt, vara de objekt som skall definiera de reella talen. Han definierade och bevisade därför räkneregler för dessa snitt. Delkapitlet avslutas med supremumegenskapen, vilken används i det andra delkapitlet för att bevisa några av de grundläggande satserna inom matematiken.. Dedekinds snitt För att få de reella talen används metoden med Dedekinds snitt. Vi antar att alla de rationella talen är kända, men att de irrationella ännu inte är definierade. Definition : En mängd C, som är en delmängd till de rationella talen Q, är ett snitt om den uppfyller följande tre krav: I. att C Q och C Det vill säga C måste innehålla minst ett rationellt tal, men inte alla rationella tal. II. om p C och q < p q C q p C Det vill säga om q är mindre än p och p finns hos C då finns även q hos C. III. om p C så q : q > p och q C Det vill säga mängden C har inget största rationellt tal. Vi kallar mängden av alla snitt för D, som sedan identifieras med mängden av alla reella tal efter att vi definierat addition, ordning och multiplikation för snitt. Innan vi går vidare måste vi definiera att tal och snitt hänger ihop. Definition : För varje rationellt tal p definieras snittet p = { q Q : q < p} alla negativa rationella tal. *. Speciellt är * mängden av Varje p Q ger upphov till ett snitt p *. Med andra ord varje rationellt tal motsvarar ett snitt. Men notera att varje snitt inte ger ett rationellt tal. Sidan av 3
11 Eftersom tanken är att bevisa att de reella talen existerar, så vill vi att R = D. Med andra ord kan vi säga att vi vill visa att R (och därmed D) är en utvidgning av de rationella talen Q. För att de skall kunna vara det måste R ha samma egenskaper som Q, man skall alltså kunna använda samma räkneregler för dem. För att visa att detta är möjligt måste vi visa att D är en kropp och för det måste följande nio villkor vara uppfyllda. Definition :3. ( a + b) + c = a + ( b + c) associativ för addition. : a + = + a = a a är additivt neutralt element 3. { a ( a) : a + ( a) = } additiv invers 4. a + b = b + a addition är kommutativ 5. ( a b) c = a ( b c) associativ under multiplikation 6. a ( b + c) = ab + ac distributiv för addition 7. a b = b a kommutativ under multiplikation 8. : a = a = a a är multiplikativt neutralt element 9. a a : a a = multiplikativ invers (det vill säga saknar nolldelare ) Anmärkning: Om villkor -3 gäller kallas mängden en Grupp och ihop med villkor 4 kallas den en Abelsk Grupp. Lägger man även till villkoren 5 och 6 benämns den som en Ring. Uppfylls även villkor 7 blir det en Kommutativ Ring och villkor 8 gör det till en Kommutativ Ring med Etta. När alla 9 villkoren är uppfyllda kallas mängden en Kropp. För att kunna visa att D är en kropp måste vi först definiera addition av snitt och visa att även det är ett snitt. Definition :4 Om A och B är snitt, definieras deras summa A + B = p + q : p A och q B. { } A + B som Notera att p * + q* = ( p + q)* för alla p, q Q. Sats : Om A och B är snitt så är även A + B ett snitt. För att bevisa detta måste de tre kraven i definition : visas vara uppfyllda. I. A och B måste innehålla något element, alltså är A + B. Låt p och q tillhöra komplementen till A respektive B. På grund av krav II gäller att för alla p A och q B att p > p och q >. Då är + q > p för alla sådana p och q, och det medför att q p + q p + q A + B. Alltså är A + B Q. 4 Nolldelare: a och/eller b är nolldelare om a, b : a b = b a =. Sidan av 3
12 II. Låt r A + B, s < r, och d = r s Q. Eftersom r A + B så finns p A och så att r = p + q. Då är s = r d = ( p d ) + q A + B eftersom p d A. q B III. Låt r = p + q A + B, och p < p A. Då är r < p + q A + B. Nu kan vi börja undersöka om de nio villkoren gäller för D (även om inte alla bevisas). Att addition av snitt är associativ och kommutativ följer av definitionen och räknereglerna för Q. Vi skall dock visa att D har ett additivt neutralt element, även kallat nollelement. Sats : * är nollelement i D, det vill säga för A D är A + * = A. Om p A och z *, då är z <, varför p + z < p och p + z A. Alltså A + * A. För att fastställa att A + * A, måste vi visa att varje element i A kan skrivas som en summa av ett element i A och ett negativt tal (ett element av * ). Tag p A p A så att p > p. Sätt r = p p då är p = p + r A + *. Alltså A A + *. Innan vi kan visa att D har den additiva inversen ( A) bevisa att även detta är ett snitt. Definition :5 För ett snitt A definieras ( A ) = { p : r < } måste vi definiera vad ( A) är och Q p sådant att p q < rp + för q A}. Sats :3 Om A är ett snitt så är även ( A ) ett snitt. För att bevisa detta måste de tre kraven i definition : visas vara uppfyllda. I. Välj p # # A och sätt p = p. För varje q A har vi att p + q = q eftersom är # p > # p < q. Alltså p A (vi kan ta r = ), varför A. Om q A, då q A (eftersom q + ( q) = ), varför A Q. p II. Låt p A och r < vara som i definitionen. Om för alla q A, alltså p A. p p < p, så är p + q < p + q < rp III. Låt p och rp vara som ovan och låt p = p rp. Notera att p > p eftersom rp <. Då har vi q A q + p = q + p rp < rp rp = rp, och med rp = r p följer att p A. Sidan av 3
13 Sats :4 Varje element A i D har additiv invers ( A). Låt q A och p A. Då r < så att p q < r < alltså q + p *, och p + p A + ( A) *. Att visa att * A + ( A) är svårare. Låt p *. Vi måste skriva p som en summa av ett element i A och ett element i ( A). Låt r = p. Nu är r >, och därför finns ett heltal n sådant att n r A men ( n + ) r A (eftersom de rationella talen har Arkimediska egenskapen 5 ). Låt s = ( n + ) r. För q A gäller att q < ( n + ) r och q + s = q ( n + ) r = q ( n + ) r r < r < (eftersom ( n + ) r A är det större än q ). Slutligen är n r + s = n r n r r = p A + ( A). Alltså * A + ( A). Av ovanstående gäller att addition av snitt är en Abelsk grupp. För att kunna visa att D är en kropp behöver vi definiera multiplikation av snitt i D, men innan vi kan göra detta behöver vi en ordningsrelation. För rationella tal finns en ordningsrelation så att om a, b Q så är a = b, a < b eller a > b. Om a > kallas a positiv och om a < kallas a negativ. Dessutom gäller att om a < så är a > och vice versa samt att summan av två positiva tal är positiv. Vi definierar nu ordningen i D med samma egenskaper. Definition :6 Snittet A sägs vara mindre än snittet B om A är äkta delmängd till B detta skrivs även A < B eller B > A. Notera att om A < B så q B och q A. q A B Kombinationen av denna definition och följande sats medför att vi alltid kan jämföra två snitt. 5 Arkimediska egenskapen: Om a och b är två tal sådana att < a < b då n N : an > b. Sidan 3 av 3
14 Sats :5 För två snitt A och B gäller ett och endast ett av följande alternativ: i) A = B ii) A < B iii) A > B Antag att i) och ii) inte gäller. Då p A och p B. Om q B så är q < p och q A alltså är B < A, det vill säga A > B. Två fall kan inte gälla samtidigt. Definition :7 Om A > * sägs A vara positiv och om A < * sägs A vara negativ. Sats :6 Om A och B är positiva så är A + B positiv. p > ; p A och q > ; q B p + q > A + B > *. Sats :7 För varje A * gäller att antingen är A positiv och ( A) negativ eller är A negativ och ( A) positiv. Med B = * i sats :5 gäller att A är antingen positiv eller negativ. Om A är positiv kan inte ( A) vara positiv ty enligt sats :6 vore då * = A + ( A) > *. Det gäller även att ( A ) * ty annars vore A = ( A) = * = *. Om A är negativ följer analogt att ( A) är positiv. Nu är vi klara med ordningsrelationen i D och som nämnts innan måste vi för att kunna visa att D är en kropp först även definiera multiplikation av snitt, samt visa att detta är ett snitt. Definition :8 Om A eller B är lika med * så är A B = * i) Om A > * och B > * så är A B = { pq : p A, q B, p > och q > } { p : p }. ii) Om A > * och B < * så är A B = A ( B) ] iii) Om A < * och B > * så är A B = [ ( A) B] iv) Om A < * och < * så är A B = A B B ( ) ( ) Notera att p * q* = ( p q)* för alla p, q Q. Sidan 4 av 3
15 När vi nu skall visa att även produkten är ett snitt räcker det att visa detta för fallet i). Eftersom, som visas i satsen, fallen ii) och iii) kan omformuleras till fallet i) genom att lägga till ett minustecken. Vad gäller fall iv) så ingår där två minustecken som tar ut varandra och därför kan bortses. Sats :8 Om A och B är snitt så är även A B ett snitt. För att bevisa detta måste de tre kraven i definition : visas vara uppfyllda. I. Då A och B är positiva så A B alltså A B. # # Tag p > och q > så att p # A och q # B. # # För p A så är p < p och q B så är q < q. # # Alltså är p q < p q för alla p >, q > som tillhör A respektive B. # # # # Eftersom p q > gäller att p q A B alltså A B Q. II. Låt r = p q A B, där p, q > och p A och q B. s s Välj s så att < s < r och s kan skrivas som s = r = p q. r r Tag r A B och s < r. Om s så gäller att s A B. Om < s < r är r = p q där p > och q > och p A och q B. s s s Vi kan skriva s som s = r = p q = p q. r r r s r s s Då < < = gäller att < p < p och p A alltså s A B. r r r r III. Tag r A B. Om r = p q där p A, q B och p > och q >. Nu finns p A och q så att p > och q >. B p q = p q < p q A B. Då är r Om r så tas p A och Då är r < p q A B. q B så att p > och q >. Vi har nu bevisat att även produkten av två snitt är ett snitt. Av definitionen för multiplikation a b c = a b c, och kommutativ, a b = b a. är det helt klart att produkten är associativ, ( ) ( ) För rationella tal gäller distributiva lagen, som säger att a ( b + c) = a b + a c. Direkt av definitionen av addition respektive multiplikation av snitt följer att A ( B + C) = A B + A C för godtyckliga snitt A, B och C. Nu har vi visat att D är en kommutativ ring. Genom att bevisa att * är det multiplikativa neutrala elementet kan vi bygga på det och säga att D är en kommutativ ring med etta. Sidan 5 av 3
16 Sats :9 * är multiplikativt neutralt element i D, det vill säga A D är A * = A. Antag att A > *. Vi behöver bara betrakta de positiva talen i A respektive *. Om p A och p > samt z * och z > så är p z < p och p z A. Alltså A * A. Tag p A p och p >. Då p A och p > p. Sätt r =. Då gäller att r * och p = pr A *. Detta medför att A A *. Om < * gäller att p A A * = ( A) * = ( A) = A. Nu återstår bara att visa det sista av de nio villkoren för en kropp, nämligen att varje snitt A * har en multiplikativ invers. Men först måste vi definiera A samt bevisa att det är ett snitt. Detta görs på liknande sätt som för additiv invers 6. Definition :9 Om A > * är A = { p Q, p > och A ( ) < * är A = A. < : q A r p gäller att p q r } (,] p. Om Sats : Om A är ett snitt så är även A ett snitt. et är analogt med beviset för sats :3. Sats : För varje snitt A * gäller att A A = *. Fall om A > så gäller enligt definitionerna av produkt, A och * att A A *. För att visa det omvända väljer vi p *. Det intressanta att undersöka är om < p <. (om p < p * *). Vi måste skriva p som en produkt av ett element i A och ett element i A. Låt = p ( n+ ) Låt s = r r. Då är r > och det finns ett heltal n så att. För q A gäller att q < r n+ och ( ) s q r ( n+ ) r n A men r n + A. n n+ att s A och p = r = r r A A. Alltså * A A och A A = *. Fall om A < så är > A och således A = A ( A) r n+ = r <. Detta medför ( ) = ( A)( A) = * A. Vi har nu bevisat att D är en kropp. Genom att låta varje snitt vara ett reellt tal får vi en väldefinierad konstruktion av de reella talen som utvidgning av Q. 6 Jämför definition :9 med definition :5, sats : med sats :3 och sats : med sats :4. Sidan 6 av 3
17 Definition : Mängden av reella tal är lika med mängden av snitt, där varje rationellt tal r identifieras med snittet r *. Vi skall nu visa att R, och därmed D, har supremumegenskapen. Vilket till exempel medför, som nämndes i delkapitel., att Cauchys konvergensprincip kan bevisas. Sats : Varje uppåt begränsad icke-tom mängd M i R har en minsta övre begränsning. Denna kallas supremum av M och skrivs supm. Låt M = { A α :α I} vara en icke-tom mängd av snitt, det vill säga reella tal, som är begränsade uppåt. Eftersom M är begränsad uppåt, finns ett snitt A så att Aα A för alla α I. Detta betyder att Aα A för alla α I. Låt B = U α I Aα. Det är lätt att se att B är ett snitt, det vill säga reellt tal, och att det är en övre begränsning för M. Antag att C är en övre begränsning för M; sådant att Aα C ( Aα C) för alla α. Då är B = U α I Aα C ; med andra ord B C. Härav är B minsta övre begränsning för M.. Några grundläggande satser i envariabelanalys Många av de viktigaste satserna för kontinuerliga funktioner kräver supremumegenskapen för att kunna bevisas. Här följer fyra vanliga satser, däribland satsen om största och minsta värde. Men vi börjar med satsen om mellanliggande värde. I detta avsnitt behandlar vi enbart funktioner f : R R. Sats :3 Antag att f är en kontinuerlig funktion på ett intervall I och att a, b I. Låt μ vara ett tal mellan a och b. Då finns det minst en punkt x mellan a och b så att f x ) = μ. f ( ) () f ( y y=f(x) f(x )=μ a x b x Det räcker att bevisa fallet då a b f ( a) < f ( b) <,. Om a = b är μ = f (a) och x = a. Om a > b döper vi bara om a till b och b till a. Om f ( a) = f ( b) är μ = f (a) och x = a. Om f ( a) > f ( b) kan man istället studera f. Sidan 7 av 3
18 Om μ = f (a) väljer vi x = a och om μ = f (b) väljer vi x = b. Vi kan därför anta att f ( a) < μ < f ( b). Sätt M = { x : a x b, f ( x) < μ}. Då tillhör a mängden M, ty f (a) < μ. Därför är M inte tom. Talet b är en majorant till M, så M är uppåt begränsad. Då har M en minsta majorant som vi döper till x, det vill säga x = supm. Vi skall visa att f ( x ) = μ. Först visar vi då att () f ( x ) μ och därefter () f ( x ) μ. Då följer att f ( x ) = μ. () f x ) μ ( Antag motsatsen att f ( x ) < μ. Eftersom μ < f (b) måste x b. Därför är x < b. Eftersom är kontinuerlig i så finns det en omgivning U av x sådan att f x I f (x < μ x < x < μ x M x x U ). I U måste det finnas ett så att x < b. Men då gäller f ( x ), så att. Detta är orimligt eftersom är en majorant till M. () f x ) μ ( Antag motsatsen att f ( x ) > μ. Eftersom f (a) < μ måste vi ha att a < x. Eftersom f är kontinuerlig i finns det en omgivning V av x sådan att x V I f (x) > μ. I V måste det finnas ett K så att x a < K < x. Eftersom sup = x x V f ( x M så finns ett x M så att K < x x. Men då gäller att I. Därför är ) > μ. Detta är omöjligt eftersom M. x En vanligare variant av denna sats är att man söker nollställen till funktionen μ = och då kan vi istället formulera denna följdsats. Följdsats :4 Om f är en kontinuerlig funktion definierad på ett intervall, och f har ett positivt värde i en punkt a och ett negativt värde i en punkt b då finns en punkt c mellan a och b där f c =. (Inget krav att a och b är ändpunkter). () Med andra ord en kontinuerlig funktion kan bara byta tecken vid ett nollställe. I inledningsavsnittet.3 nämndes att satsen om mellanliggande värde endast var sann då man arbetar med funktioner av reella tal. Vi kan nu återknyta till detta eftersom vi nu har utökat från de rationella talen Q till de reella talen R, och skriva om vårt exempel som: Låt f : R R vara given som f ( x) = x. Då är f kontinuerlig, och har negativt värde för x = och positivt värde för =, så finns så att x Äntligen har vi ett väl definierat tal vars kvadrat är. x ( x ) = f det vill säga x =. Om vi vänder på det kan vi med satsen visa att alla intervall är sammanhängande. Sidan 8 av 3
19 Definition : En mängd C är sammanhängande om satsen om mellanliggande värde är sann för varje kontinuerlig reell funktion f : C R. Sats :5 S är en sammanhängande delmängd av den reella tallinjen om och endast om S är ett intervall.,. Vi kan välja en av dessa genom att specificera huruvida de är begränsade uppåt eller nedåt, samt om de innehåller infimum eller supremum. Det finns nio typer av intervall ( a, b)[ a, b]( a, b][ a, b)( a, )[ a, )(, b)(, b] och ( ) Vi väljer att bevisa fallet då S är en begränsad sammanhängande mängd på den reella tallinjen utan vare sig infimum eller supremum. Eftersom S är begränsad, har den en minsta övre och största undre begränsning som vi kallar respektive. Vi vill nu visa att S = a,b. b a ( ) Låt z ( a, b), eftersom a < z < b så garanterar egenskaperna för infimum och supremum att det existerar element x och x i S sådan att a x < z < x b. Låt f ( x) = x z. Då är f kontinuerlig och får ett negativt värde i x S och ett positivt i x S. Eftersom S är sammanhängande, finns det en punkt t S med f ( t) =. Men f ( x) = endast för x = z. Härav är z = t S och ( a, b) S. På sättet som a och b valdes vet vi att S [ a, b]. Men vi antog att S varken innehåller eller, med andra ord att S a,b och även S = a,b. a b ( ) ( ) Innan vi går vidare skall vi titta närmare på några funktioner för att se om de är uppåt eller nedåt begränsade samt om de antar största eller minsta värde (presenteras i tabell nedan). De två första funktionerna är på slutna intervall [ a, b], medan funktionerna 3 och 4 är på öppna intervall ( a,b). Funktion : Funktion : Funktion 3: Funktion 4: Sidan 9 av 3
20 Det finns oändligt antal varianter att ge som exempel, men följande två är exempel på funktioner som går mot oändligheten. x x Funktion 5: f ( x) = På intervallet (, ) - Funktion 6: f ( x) = x a) På intervallet (, ) b) På intervallet (,] Tabell : Är funktion -6 begränsade uppåt eller nedåt och antar de största eller minsta värde? Funktion Uppåt begränsad Nedåt begränsad Antar största värde Antar minsta värde Ja Ja Ja Ja Ja Ja Ja Ja 3 Ja Ja Nej Nej 4 Ja Ja Ja Nej 5 Nej Nej Nej Nej 6a Nej Ja Nej Nej 6b Nej Ja Nej Ja f ( ) [ ] Om x är kontinuerlig på ett slutet begränsat intervall a, b så blir det alltid Ja i kolumnerna och, enligt sats :6, och i kolumnerna 3 och 4, enligt sats :7. f är kontinuerlig på det slutna begränsade intervallet [ a, b] så är f begrän- Sats :6 Om funktionen sad på [ a,b]. Vi använder supremumaxiomet och bildar M = { x [ a, b] : f är begränsadi[ a, x]}. Nu är M icke-tom, eftersom den innehåller åtminstone punkten a, och M är uppåtbegränsad av punkten b. Av supremumaxiomet får vi då existensen av x = supm. Sidan av 3
21 Eftersom f är kontinuerlig i x finns det ett tal δ > så att x δ < x x f ( x) f ( x ) +. Eftersom supm = x kan vi finna ett x M sådant att x δ < x. Det följer att f är begränsad av ( f ( x ) +) på intervallet [ x, x ]. Eftersom x M är f även begränsad på [ ]. Därför är begränsad på a, x = a, x x,. Återstår att bevisa att x = b. a, f [ ] [ ] [ ] x x Vi gör nu ett indirekt bevis och antar att x < b. Nu är f kontinuerlig i x och alltså finns för ε = ett δ > sådant att x x < δ och x [ a, b] f ( x) f ( x ). Men då är speciellt ( ) ( ) ε f x f x + om x x x + δ b. Alltså är begränsad i intervallet a, x + δ vilket strider mot definitionen av att x = supm. Vi har en motsägelse. Alltså är x = b. < f [ ) Vi skall nu visa satsen om största och minsta värde, som visar att man under lämpliga villkor kan vara säker på att ett största och ett minsta värde existerar. Satsen är ett viktigt hjälpmedel vid lösning av extremproblem 7, och beviset av den bygger på supremumegenskapen. Först måste vi dock definiera begreppen för största och minsta värde. Definition : Vi säger att f har det största värdet S om () f ( x) S x D f () det finns x med f ( x ) = S Analogt sägs f ha det minsta värdet m om () f ( x) m x D f ' ' () det finns x med f ( x ) = m Observera att om f har det största värdet S så är sup f ( x) = S. Och analogt om f har det minsta värdet i m så är f. Sats :7 Antag att f är en kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat intervall I. Då har f ett största värde och ett minsta värde på I. Vi visar endast att f har ett största värde på intervallet I. et för att f har ett minsta värde är analogt. Vi gör ett indirekt bevis och antar att f saknar största värde på I, det vill säga att f x < G = sup f x x I. ( ) ( ) x I 7 För mer om detta hänvisar jag läsaren till kapitel 4 i Frennemo, Löfström, Tobiasson (974) Elementär analys i en dimension. Sidan av 3
22 Vi kan då bilda funktionen g( x) = som är kontinuerlig (den är sammansatt av G f ( x) kontinuerliga funktioner) på det slutna begränsade intervallet I. Enligt satsen är g begränsad på I. Det vill säga det finns ett positivt tal B så att g( x) = B x I. G f x B G = G x I. B B Detta är en motsägelse mot att G = sup x I f ( x). Alltså är antagandet felaktigt och f har ett största värde på I. Detta innebär att B ( G f ( x) ) x I det vill säga f ( x) ( ) Vi har, med metoden Dedekinds snitt, visat att de reella talen existerar. Samt att de har supremumegenskapen, vilken vi använt för att bevisa några viktiga satser inom matematiken. Och härmed är uppsatsen slut. Sidan av 3
23 Litteraturförteckning Dedekinds snitt definierar de reella talen Frennemo, Lennart och Jörgen Löfström och Leif Tobiasson, Elementär analys i en dimension, Almqvist & Wiksell 974. Ifrah, Georges, Räknekonstens kulturhistoria ( delar), Wahlström & Widstrand 4. Johansson, Bo Göran, Matematikens historia, Studentlitteratur 4. Matematiklexikon, Wahlström & Widstrand 99. Olsson, Stig, Matematiska nedslag i historien, Ekelunds förlag AB 999. Parzynski, William R. och Philip W. Zipse, Introduction to mathematical analysis, McGraw- Hill Book Company 987. Schramm, Michael J., Introduction to Real Analysis, Prentice Hall 996. Sjöberg, Boris, Från Euklides till Hilbert, Åbo 995. Thompson, Jan, Historiens matematik, Studentlitteratur 99. Sidan 3 av 3
Block 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merPeanos axiomsystem för de naturliga talen
5B1493, lekt 3, HT06 P1. Det finns ett naturligt tal 0. Peanos axiomsystem för de naturliga talen P2. Varje natutligt tal n har en s.k. efterföljare n +. P3. Om n + = m + så är n = m. P4. Inget naturligt
Läs merGrundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är tal Z och α 0.
5B2710, lekt 4, HT07 Konstruktion av de rationella talen Q (AEE 2.3) Grundidén är att våra intuitiva rationella tal (bråk) alltid kan fås som lösningar till ekvationer av typen α ξ = β, där α och β är
Läs merÖvningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet
Läs merÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4
VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt
Läs merDenna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Analysens grunder. Om de reella talen. MatematikCentrum LTH
Analys 60 En webbaserad analyskurs Analysens grunder Om de reella talen Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om de reella talen () Introduktion Den matematiska analysen är intimt förenad
Läs merTal och polynom. Johan Wild
Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................
Läs mer1 Att läsa matematik.
1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer
Läs merMER TOPOLOGI OCH KONVERGENS
MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS SVANTE JANSON 1. Kompakta mängder Definition. En delmängd av R n kallas kompakt om den är sluten och begränsad. Sats 1. Om K är en kompakt mängd i R n och {x i } är en följd
Läs merKontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet
Kontinuerliga funktioner. Ytterligare en ekvivalent formulering av supremumaxiomet är följande: SATS. (Intervallinkapslingssatsen) Låt I k = [a k, b k ], k = 1, 2,... vara en avtagande följd av slutna
Läs merNågra satser ur talteorin
Några satser ur talteorin LCB 997/2000 Fermats, Eulers och Wilsons satser Vi skall studera några klassiska satser i talteori, vilka är av betydelse bland annat i kodningsteknik och kryptoteknik. De kan
Läs merMer om reella tal och kontinuitet
Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer
Läs merFöreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar
Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar Tal Tal är organiserade efter några grundläggande egenskaper: Naturliga tal, N De naturliga talen betecknas med N och innehåller alla positiva heltal, N =
Läs merMängder och kardinalitet
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen
Läs merBisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2
Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man
Läs merÖvningshäfte 3: Funktioner och relationer
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har
Läs merLMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013
LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning
Läs merDefinitionsmängd, urbild, domän
5B1493, lekt 5, HT06 Funktioner Definition av begreppet Definition: Låt X och Y vara två mängder. En funktion f av typ X Y är detsamma som en delmängd av X Y, sådan att 1. Om (x, y) och (x, z) f, så är
Läs merHela tal LCB 1999/2000
Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs merLinnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson
Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Tentamen i Matematikens utveckling, 1MA163, 7,5hp fredagen den 28 maj 2010, klockan 8.00 11.00 Tentamen består
Läs merMer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns
Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom
Läs merIntervju med Stefan, testingenjör på Sony
s. 10 TALSYSTEMETS Intervju med Stefan, testingenjör på Sony Fråga: Använder du matematik på ditt jobb? Svar: Jag använder matematik när jag testar hur stor brandbredd mobiltelefoner klarar av. Hastigheten
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar egreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs mer1.1. Fördjupning: Jämförelse av oändliga mängder
Kapitel 1 Kardinalitet Den här texten är tagen från boken Diskret matematik av Asratian Björn Turesson (och delvis modifierad) Av den anledningen finns det visa hänvisningar på en del ställen som är ersatta
Läs merFixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).
Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot
Läs merKTHs Matematiska Cirkel. Reella tal. Joakim Arnlind Tomas Ekholm Andreas Enblom
KTHs Matematiska Cirkel Reella tal Joakim Arnlind Tomas Ekholm Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Mängdlära 7 1.1 Mängder...............................
Läs merLösningsförslag till övningsuppgifter, del II
Lösningsförslag till övningsuppgifter del II Obs! Preliminär version! Ö.1. För varje delare d till n låt A d var mängden av element a sådana att gcd(a n = d. Partitionen ges av {A d : d delar n}. n = 6:
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) = b) 0 =0 c) 5 = 5 Alltså x 0 et av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0 et av x är lika med det
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merMängdteori och aritmetik för MM4000. Torbjörn Tambour 17 mars 2015
Mängdteori och aritmetik för MM4000 Torbjörn Tambour 17 mars 2015 1 Innehåll 1 Mängdteori 3 1.1 Grundbegrepp............................ 4 1.2 Operationer på mängder....................... 5 1.3 Russells
Läs merANDREAS REJBRAND NV3ANV Matematik Matematiskt språk
ANDREAS REJBRAND NV3ANV 2006-02-14 Matematik http://www.rejbrand.se Matematiskt språk Innehållsförteckning MATEMATISKT SPRÅK... 1 INNEHÅLLSFÖRTECKNING... 2 INLEDNING... 3 MÄNGDER... 4 Att uttrycka en mängd...
Läs merAbstrakt algebra för gymnasister
Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merFULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE
FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE JAN-FREDRIK OLSEN I detta dokumentet ämnar vi bevisa följande två satser: Sats 1 (Satsen om mellanliggande
Läs merNotera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.
SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER Definition (Kontinuitet i en punkt { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim f ( a } a eller ekvivalent: { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim lim f ( a a a+
Läs merALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...
ALA-a 2005 Innehåll 1 Lite teori 3 RÄKNEÖVNING VECKA 7 1.1 Kapitel 7....................................... 3 1.2 Kapitel 12....................................... 3 1.3 Kapitel 13.......................................
Läs merLOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER
LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER KOMPLETTERANDE STUDIEMATERIAL TILL MMA121 MATEMATISK GRUNDKURS VÅRTERMINEN 2014 ERIK DARPÖ 1. Utsagor, implikation och ekvivalens En utsaga är en påstående, formulerat med
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merLösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 1 juni 2011 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik moment B för D2 och F SF63 och SF63 den juni 2 kl 8.- 3.. Examinator: Olof Heden tel. 7354789. Hjälpmedel: Inga
Läs merOm konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Läs mer1. (3p) Ett RSA-krypto har parametrarna n = 77 och e = 37. Dekryptera meddelandet 3, dvs bestäm D(3). 60 = = =
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF63 och SF630, den 20 maj 2009 kl 08.00-3.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna
Läs merRelationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
Läs mer(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.
Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden
Läs merExempel. Komplexkonjugerade rotpar
TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck
Läs merDen matematiska analysens grunder
KTH:s Matematiska Cirkel Den matematiska analysens grunder Katharina Heinrich Dan Petersen Institutionen för matematik, 2012 2013 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Grundläggande
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs merLäsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 13 Grupper Det trettonde kapitlet behandlar grupper. Att formulera abstrakta begrepp som grupper
Läs mer(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C
Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merGrupper och RSA-kryptering
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 26 oktober 2007 Grupper och RSA-kryptering Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen
Läs merTentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna
Läs merLösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL och Media, SF60 och 5B8, onsdagen den 7 augusti 0, kl 4.00-9.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga
Läs merKapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner
Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merAxiom för de reella talen
Axiom för de reella talen Sara Maad Sasane Matematikcentrum Lunds universitet 28 augusti 2017 1 Kroppsaxiomen (räknelagar) 2 Ordningsaxiomen 3 Axiomet om övre gräns Kroppsaxiomen del 1 Axiom (Kroppsaxiomen)
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merÖvningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer
LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 31 augusti 2016 Att göra denna vecka Översikt över modul 1 Funktion Definitionsmängd Värdemängd Udda, jämn Begränsad Absolutbelopp, Trigonometri, Polynom Gränsvärde
Läs merI kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental.
Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart ndersson Föreläsningsanteckningar EDF10 4 Mängder 4.1 Motivering Mängden är den mest grundläggande diskreta strukturen. Nästan alla matematiska begrepp går
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merOm relationer och algebraiska
Om relationer och algebraiska strukturer Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Även i analysen behöver man en del algebraiska begrepp. I den här artikeln definierar vi
Läs mer2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)
De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merMatematiska strukturer - Satser
Matematiska strukturer - Satser April 2, 2018 I detta dokument har jag samlat och översatt de flesta satser som ingår i kursen Matematiksa Strukturer (FMAN65) från kursboken Set Theory and Metric Spaces
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merModul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merLösning av tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, tisdagen den 27 maj 2014, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning av tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, tisdagen den 27 maj 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel
Läs merFöreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)
Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Antalet element i en mängd Kardinalitet Humes princip Cantors teorem Den universella mängden Några mängdteoretiska paradoxer
Läs merKapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner
Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs merLäsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 15 Ringar, kroppar och polynom Det fjortonde kapitlet behandlar ringar. En ring har till skillnad
Läs merSvar till vissa uppgifter från första veckan.
Svar till vissa uppgifter från första veckan. Svar till kortuppgifter F:. Ja! Förhoppningsvis så ser man direkt att g fx) är ett polynom. Vidare så gäller det att g fα) = gfα)) = gβ) = 0. Använd faktorsatsen!
Läs merExplorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT. Övning A
Explorativ övning 4 ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Första delen av övningen handlar om begreppet funktion. Syftet är att bekanta sig med funktionsbegreppet som en parbildning. Vi koncentrerar oss på tre viktiga
Läs merLösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001
Institutionen för matematik, KTH Mats Boij Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001 1. Ange kvot och rest vid division av 5BE med 1F där båda talen är angivna i hexadecimal
Läs merMängdlära. Kapitel Mängder
Kapitel 2 Mängdlära 2.1 Mängder Vi har redan stött på begreppet mängd. Med en mängd menar vi en väldefinierad samling av objekt eller element. Ordet väldefinierad syftar på att man för varje tänkbart objekt
Läs merTALBEGREPPET AVSNITT 11
AVSNITT 11 TALBEGREPPET Vi har redan mött olika typer av tal: naturliga, hela, rationella, reella och komplexa, betecknade med N, Z, Q, R resp. C. Vad är det som skiljer olika talmängder? Finns det andra
Läs merEn bijektion mellan två mängder A och B som har ändligt antal element kan endast finnas om mängderna har samma antal element.
BIJEKTION, INJEKTION, SURJEKTION NUMRERBARA (eller UPPRÄKNELIGA) MÄNGDER Allmän terminologi. I samband med variabelbyte vid beräkning av integraler har vi en avbildning mellan två mängder A och B, dvs
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs merPolynomekvationer (Algebraiska ekvationer)
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har
Läs merPOLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER
Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.
Läs merTATM79: Föreläsning 4 Funktioner
TATM79: Föreläsning 4 Funktioner Johan Thim augusti 08 Funktioner Vad är egentligen en funktion? Definition. En funktion f är en regel som till varje punkt i en definitionsmängd D f tilldelar precis ett
Läs merFöreläsning 5. Deduktion
Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske
Läs mer