Biomekanik, 5 poäng Kinematik

Transkript

1 Dynamik Handlar om kroppar med föränderlig rörelse. Dynamiken indelas traditionellt i kinematik och kinetik. : Enbart rörelsebeskrining, centrala begrepp är sträcka (inkel) hastighet och acceleration. Kinetik: Till rörelsen kopplas äen krafter och moment liksom massor och masströghetsmoment. Translations- och rotationsrörelser Translation innebär att alla delar på en kropp rör sig på exakt samma sätt. Translationen kan ara Rätlinjig, ds. längs en rät linje kurolinjär eller kroklinjig, ds. i en böjd bana (t ex kastparabel) Rotationsrörelse (inkelrörelse) uppstår då kroppen rör sig kring en rotationsaxel (-punkt). Alla delar a kroppen går lika stor inkel, i samma riktning, på samma tid. Delarna beskrier koncentriska cirklar (cirklar med samma medelpunkt) i ett plan. P. Carlsson 1

2 Ofta är rörelsen en kombination a både translations- och rotationsrörelse. Translationsrörelse uppstår (från ila) då de finns en obalanserad kraft, ds. då Σ F, och rotationsrörelse då det finns ett obalanserat moment, ds. då Σ M. Jämför med illkoren för statisk jämikt: Σ F = och Σ M =! innebär enbart rörelsebeskrining. centrala begrepp är sträcka (inkel) hastighet och acceleration. sträckor, hastigheter och accelerationer är ektorer Rätlinjig rörelse Det enklaste fallet studeras först: Rätlinjig rörelse för en partikel (den kropp som studeras antas ha försumbar utsträckning). Vi lägger in en koordinataxel längs den linje som partikeln rör sig utefter. P. Carlsson

3 Hastighet Medelhastighet = Δs Δt Om i låter punkten P närma sig P kan i låta medelhastigheten,ia en gränsöergång, gå öer i det man kallar partikelns hastighet id tiden t, nämligen Δs lim Δt = Δ t eller, om s är en derierbar funktion a tiden t: = ds Inom mekaniken är det anligt med ett förkortat skrisätt för olika tidsderiator. = ds = s& Tidsderiator betecknas alltså med en prick oanför aktuell storhet. P. Carlsson 3

4 Acceleration Acceleration säger hur snabbt hastigheten arierar då partikeln rör sig. Vi får på samma sätt som förut medelacceleration: a = Δ Δt Och, genom en gränsöergång där tiden Δt går mot noll: a Δ lim Δt = Δ t = d = & Sedan tidigare et i att = ds ilket ger a d d ds = = d s = = & s Obserera att a och inte behöer ha samma tecken, de kan alltså ara motriktade. Hittills har partikelns läge s, dess hastighet och dess acceleration a setts som funktioner a tiden t. Vi har alltså att s= s(t), =(t) os. Ser i istället hastigheten som en funktion a sträckan s gäller =(s) och för accelerationen a att a=a(s), där s i sin tur är en funktion a tiden t. Vi får då de sammansatta sambanden = a = a ( s() t ) ( s() t ) P. Carlsson 4

5 Kedjeregeln för deriering ger då följande uttryck för accelerationen a: d d ds d a = = = = ds ds Uttrycken d a = = ds 1 d ds ( ) 1 d ds ( ) är mycket anändbara id lösning a olika problem. Grafik framställning Allt detta gäller för goyckliga uttryck för hastigheter och accelerationer! P. Carlsson 5

6 Ex 1. När luftmotståndet inkluderas blir y- komponenten a accelerationen för en boll som rör sig i ertikal led: a u = & y = g k där k är en positi konstant och är hastigheten i m/s. Om bollen kastas uppåt med en hastighet a = 3 m/s, beräkna hur högt den kommer från marken innan den änder igen. Hur högt skulle den komma om luftmotståndet försummades? Antag att k =,6 m -1 och att g är konstant. Sar: k h = 1 ln(1 + ) = 36, 5m, utan luftmotstånd h = 45,9 m k g Ex. Ett jet-driet passagerarplan landar med en hastighet a km/h och har 6 m på sig att minska sin hastighet till 3 km/h. Beräkna hur stor genomsnittlig acceleration a som kräs för åstadkomma inbromsningen. Sar: a = -,51 m/s P. Carlsson 6

7 Luftmotstånd - Vätskemotstånd Luftmotstånd En generell (något förenklad) formel för luftmotståndet ges a F L 1 = AP C D ρ där F L är luftmotstånd A P är den projicerade arean i rörelseriktningen är hastigheten C D är en konstant som representerar strömlinjeformen ρ är mediets densitet (täthet) Oanstående fall kan i en del fall äen anändas för ätskemotstånd. Vätskemotstånd Vätskemotstånd beskris ofta med sambandet: a ätska = k där k är en positi konstant. För den fritt fallande kulan i röret gäller t.ex. a y = g k P. Carlsson 7

8 Konstant acceleration Vid konstant acceleration a kan följande samband härledas: = + a t Sträckan kroppen färdas på tiden t med konstant acceleration a fås ur formeln s = s 1 + t + a t Dessutom gäller: = o + a( s s ) Obs att oanstående endast gäller id konstant acceleration! Ex 3. En mc-polis startar från ila id A, tå sekunder efter det att bilen har passerat med den konstanta hastigheten 1 km/h. Om polismannen accelererar med konstant acceleration a = 6 m/s till dess han når maxhastigheten 15 km/h och sedan behåller den hastigheten till dess han kommit ikapp bilen, beräkna hur lång sträcka s har kör under omkörningsmanöern. Sar: s = 911 m P. Carlsson 8

9 Ex 4. Ett tunnelbanetåg går mellan tå stationer med ett accelerationsförlopp enligt figuren. Bestäm a) det tidsinterall Δt, under ilket accelerationen är m/s. b) aståndet s mellan stationerna. Det förutsätts att tåget stannar helt id de båda stationerna. Sar: a) Δt = 6 s, b) s = 416 m P. Carlsson 9

10 Kaströrelse Kaströrelse återkommer i flera idrotter (om luftmotståndet försummas!). När kroppen lämnat marken följer tyngdpunkten obönhörligt kastparabelns kura. P. Carlsson 1

11 Kaströrelsen sätts ihop a en ågrät rörelse med konstant hastighet och en lodrät rörelse med konstant acceleration (hastighetens resultant i tangentens riktning). Bestämmande för rörelsens förlopp är utgångshastigheten och kastinkeln Θ. I figuren ser i att: a = a x y = g x y = = o o cos Θ sin Θ Sätts detta i de allmänna formlerna + a t s = 1 = s + t + a t får i (s = ): (Begynnelsehastigheter) x y = = cos Θ sin Θ g t x = y = cos Θ t sin Θ t 1 g t Kastidden fås ur uttrycket x = sin Θ g P. Carlsson 11

12 Jämförande bilder mellan en boll som faller rakt ned och en boll som fått en konstant hastighet åt höger samtidigt med att den börjar falla. Slutsatser som kan dras ur figuren: Bollarna faller lika snabbt ertikalt Rörelsen i horisontell och ertikal ledd sker oberoende a arandra En bolls bana sedd med olika referensramar P. Carlsson 1

13 Ex 5. En längdhoppare kommer till astampet id A med en horisontell hastighet x a 1 m/s. Bestäm den ertikala hastighetskomponenten y som hans tyngdpunkt måste ha för att genomföra hoppet i figuren. Hur stor sträcka h höjer sig hans tyngdpunkt under hoppet? Sar: y = 3,68 m/s, h =,69 m Ex 6. En åghalsig motorcyklist ska pröa att göra ett hopp enligt figuren nedan. Om jordaccelerationen g = 9,81 m/s, beräkna a) Hur stor utgångshastighet han måste ha för att kunna genomföra loppet b) Hur stor nedslagshastigheten f blir c) Vilken lutning backen bör ha id slutet a loppet för att ge ett mjukt nedslag Sar: a) = 37,44 m/s, b) f = 45,7 m/s, c) Θ = 35 o P. Carlsson 13

14 Maximal kastlängd Optimal utkastinkel är kopplad till utkasthöjden (och nedslagshöjden) Optimal utkastinkel = inkel för att få maximal kast- (hopp) längd etc. Samma kastlängd kan uppnås med tå olika utkastinklar! Samma utkasthastighet förutsätts! Inerkan a luftmotstånd P. Carlsson 14

15 Roterande rörelse Dierse samband Samband båglängd och inkel Θ s = Θr 1 ar = 36 gader = π radianer. Hastighetssamband fås efter deriering med aseende på tiden ds = r dθ = rω där ω är inkelhastigheten [rad/s]. Andra anliga mått på rotationshastigheten är t.ex. artalet n [ar/min]. Accelerationssamband fås efter ytterligare en deriering d dω = r a = rα Där α är inkelaccelerationen [rad/s ] Analogier mellan linjär och roterande rörelse (konstant a) Linjär rörelse = s t Roterande rörelse ω = Θ t = + a t = ω + α t ω = + a s ω = ω + α Θ s = 1 t + a t Θ = ω 1 t + α t P. Carlsson 15

16 Ex 7. En släggkastare sänger släggan i en cirkel med radien r = 1,4 m. Släggan släpps från ett läge 1,5 m oanför marken med utkastikeln 45 o, rör sig i en parabelbana och slår ner 68 m horisontellt från utgångspunkten. Beräkna släggans utgångshastighet, inkelhastighet id utkastet samt medelinkelaccelerationen om han roterat,5 ar från stillastående innan han nått max. inkelhastighet. Sar: = 5,55 m/s, ω = 18,5 rad/s, α = 1,6 rad/s P. Carlsson 16

17 Kroklinjig rörelse Vi talar här om en mer generell rörelse med arierande krökningsradier under rörelsen. Hastigheten under rörelsen kommer (som alltid) att ara riktad i tangentens riktning Accelerationen isar sig ara mer komplex, analys kommer att isa att det id rörelse i en krökt bana alltid kommer att finnas en accelerationskomponent i normalens riktning Detta gäller äen för rotationsrörelse med konstant hastighet! Naturliga riktningar Beskriningen a rörelsen (och därmed ekationerna) förenklas om man håller sig till de naturliga n- och t-riktningarna (normal- och tangentialriktningar). Under rörelsen förlopp passerar en partikel punkterna A, B och C. Som framgår a figuren kommer n- och t-riktningarna att ariera under banan. I arje punkt partikeln passerar under banan kan man lägga in en cirkel med en krökningsradie som öerensstämmer med banans krökning ρ i just den punkten. Det erkar alltså som att i kan analysera uppkomna accelerationer som de accelerationer en ren cirkelrörelse framkallar, och sedan öerföra resultaten till en goycklig rörelse, liknande den i figuren. Att obserera är att en acceleration inte bara behöer innebära att hastighetens belopp ändras. Det räcker att hastighetens riktning ändras, äen om hastigheten, till beloppet, fortfarande är lika stor! P. Carlsson 17

18 Härledning a accelerationskomponenter i n- och t-riktningar Vi antar att rörelsen under en iss punkt a banan beskris a cirkelrörelsen i figuren. Under analysen studerar i en smal tårtbit a cirkeln (obs att en sådan cirkel en momentan giltighet innan rörelsen beskris a en ny cirkel med annan radie och annat centrum). Vi ska isa att följande ekationer gäller för accelerationerna i n- och t-riktningarna: a a t n = d = r = rω dθ där ω = = Θ&, ds. inkelhastigheten som mäts i rad/s. P. Carlsson 18

19 Ex 8. För att simulera tyngdlöst tillstånd i kabinen flyger ett jettransportplan i en ertikal kura med en konstant hastighet a 8 km/h som isas i figuren. I ilken takt (inkeländringshastighet β & ) ska piloten låta synranden sjunka för att uppnå ett tyngdlöst tillstånd? Manöern sker på en höjd a 8 km öer marken och graitationen anses ara 9,79 m/s på den höjden. Jordens medeldiameter är 1.74 km. Sar: & β =,441 rad / s eller,5 grader/s Ex 9. Bilen C ökar sin hastighet med den konst. accelerationen 1,5 m/s medan den rundar kuran i figuren. Om storleken på den totala accelerationen är,5 m/s id punkt A, och kurans radie är m i den punkten, beräkna hur stor hastighet bilen har id A. Sar: = m/s eller 7 km/h P. Carlsson 19