En av matematikens stora idéer är att skriva tal i positionssystem och att
|
|
- Johannes Jonsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kerstin Larsson & Niclas Larson Räkning en kul historia Att arbeta med att synliggöra olika talsystem öppnar möjligheter att beakta ett (kultur)historiskt perspektiv på matematiken. Författarna ger konkreta exempel på hur en medveten variation av skilda talsystem i undervisningen också bidrar till elevers förståelse av vårt tiobassystem. En av matematikens stora idéer är att skriva tal i positionssystem och att använda nollan som en symbol för en tom mängd. Vi använder i dag ett positionssystem som är baserat på basen tio och många ser det som en självklarhet och reflekterar aldrig över detta. Som lärare i grundskolan finns det emellertid flera anledningar till att uppmärksamma och reflektera över vårt positionssystem. Att hjälpa eleverna att få grepp om positionssystemet är oerhört viktigt, många elever hamnar i matematiksvårigheter just för att de inte ser själva systemet bakom hur vi skriver våra tal. Stora civilisationer har genom tiderna uppfunnit olika system för att skriva tal. En del är positionssystem, andra är det inte. Bara att inse att talsystem inte är givna av högre makter eller naturen utan en levande mänsklig konstruktion, som det står i kursplanen, är en viktig aspekt för att förstå matematik (Skolverket, 2000). I den kommande läroplanen, Lgr 11, betonas den historiska aspekten mycket tydligt då den lyfts fram som ett centralt innehåll i samliga skolår (Skolverket, 2010). Variation med talsystem som inte är positionssystem Det gamla Egypten Ett lättillgängligt talsystem som inte är ett positionssystem fanns i det gamla Egypten. Deras talsystem var rent additivt och med tio som bas. De hade en symbol för ett, en för tio, en för hundra osv. Med dessa symboler kan man skriva tal genom att helt enkelt ta så många tusental, hundratal, tiotal och ental som man behöver och sätta samman dem. Eftersom man räknar varje talsort för sig och summerar dem spelar det egentligen ingen roll i vilken ordning man skriver symbolerna. Talet 32 kan lika gärna skrivas som. Vi har arbetat med det egyptiska systemet med en grupp elever i åk 3 som hade problem med att hantera positionssystemet och hänga med i den ordinarie matematikundervisningen. De tyckte också att matematik var svårt och tråkigt. Under en period fick eleverna undervisning i en mindre grupp i syfte att stärka både deras matematiska kunskaper och deras självförtroende. Eleverna fick skriva tal med de egyptiska tecknen, tolka varandras tal samt addera och subtrahera. De tyckte att detta sätt att skriva tal var mycket enklare och tydligare än vårt eget sätt och kände sig snabbt väldigt säkra. När de adderade och 48 Nämnaren nr
2 subtraherade hände det att de var tvungna att växla, vilket de klarade galant. Genom att arbeta med dessa symboler och samtidigt sätta ord på vad de gjorde, kunde vi tillsammans börja jämföra hur vi kan göra då vi adderar och subtraherar i vårt eget talsystem och vad växlingen av femton ental till ett tiotal och fem ental egentligen innebär. En viktig faktor för just dessa elever var att de tyckte att detta var nytt och spännande, de fick lära sig ett hemligt sätt att skriva tal som var gruppens eget. De gamla romarna Det romerska systemet är också ett additivt system med basen tio, men det skiljer sig från det egyptiska genom att det har fem som en slags mellanbas. För att skriva tal använde man så många tecken man behövde av ett, fem, tio, femtio etc. När vi i dag använder romerska siffror skriver vi vanligtvis med ett modifierat additivt system, där ett lägre tal till vänster om ett högre tal innebär en slags subtraktion. Nu skriver vi oftast IX i stället för VIIII för att beteckna 9, men ursprungligen var romarnas talsystem rent additivt 1. Förslag på uppgifter att arbeta med i det romerska talsystemet kan vara subtraktioner och öppna additionsutsagor i talområdet Genom att lösa uppgifter av typen VIII II = och II + = VIIII ges eleverna möjlighet att träna uppdelning av tal och att se talens struktur. För de äldre eleverna kan det vara utmanande att arbeta med addition och subtraktion i talområdet och fundera över växlingar som uppstår. Variation med talsystem som är positionssystem med annan bas än tio Hos mayaindianerna Mayaindianerna hade en högkultur för ca år sedan på Yucatanhalvön i Centralamerika. De skrev tal med hjälp av tre olika skrivtecken: en prick, ett streck och en oval. Man brukar ofta säga att pricken symboliserade ett majskorn, strecket symboliserade en pinne och ovalen ett snäckskal. Talen 0 19 skrevs: 1 Exempel på hur man kan arbeta med detta talsystem i kombination med att använda fingertal har bland annat beskrivits av Dagmar Neuman (1989). Det finns mycket erfarenhet från länder där man använder sig av abacus (se t ex Zhou & Peverly, 2005) som visar hur kraftfull mellanbasen fem är för att hjälpa yngre elever att bygga upp en gedigen taluppfattning. Nämnaren nr
3 De byggde alltså upp siffersymboler genom att additivt använda pricken som ett ental och strecket som ett femtal. Det betyder också att tillsammans med ovalen, som symboliserar nollan, använde mayaindianerna 20 olika symboler för att skriva tal. Detta kan jämföras med att vi endast använder tio symboler, siffrorna 0 9. När mayaindianerna skulle skriva talet 20 hände något som i detta sammanhang är bland det mest intressanta. Här växlar man nämligen från 19 ental i lägsta positionen och skriver en prick i nästa position, för att beteckna att man har ett tjugotal. För att visa att man har växlat till nästa position lägger man en oval i den första positionen, som därmed symboliserar 0 ental. Basen i mayaindianernas talsystem är alltså tjugo. En annan skillnad mot vårt talsystem är att en högre position skrivs ovanför en lägre i stället för till vänster om den. Principen är dock exakt densamma som vår och detta tydliggör vad som menas med ett positionssystem Genom att använda mayaindianernas talsystem tvingas eleverna tänka på vad positionerna egentligen står för och hur varje symbols värde varierar med dess position i talet. På det viset tydliggörs både själva idén med symbolernas olika positioner och det faktum att man växlar genom att höja värdet i närmast högre position med ett steg, t ex när man har nitton ental och ska skriva det närmast högre talet. Våra erfarenheter med att arbeta i detta talsystem med elever från åk 4 till 7 är att eleverna upptäcker en hel del av hur positionssystem egentligen fungerar. Vi har låtit dem arbeta praktiskt med bönor som symboliserar pricken, träpinnar som symboliserar strecket och snäckskal för nollan. De har översatt tal mellan vårt sätt att säga eller skriva tal och mayaindianernas. Efter att ha arbetat ett tag i de två första positionerna ställer vi, eller någon av eleverna, frågan hur mycket en böna med två snäckskal under sig är värd. Det brukar kunna bli en intressant diskussion innan eleverna är med på att den bönan är värd 400. Då är det dags att utmana tankarna igen. Vi ber dem att lägga det största tal de kan, men bara hålla sig inom de två första positionerna. För en del tar det en liten stund medan andra snabbt lägger två nitton över varandra eftersom nitton ju är den siffra som har störst värde. När vi ber eleverna översätta detta tal till vårt talsystem beräknar de flesta När de får värdet 399 inser en del att det går att finna svaret på ett snabbare sätt, nämligen genom att det måste vara ett mindre är talet 400 eftersom det minsta talet skrivet med tre positioner är just 400. Några kanske också inser detta utan att behöva utföra beräkningen. Här brukar det bli en aha-upplevelse hos en del elever och den bidrar förhoppningsvis till att de kan se vårt talsystem med nya ögon. 50 Nämnaren nr
4 1 2 3 osv I Babylon Ett annat talsystem som är intressant här är det babyloniska. Under rubriken centralt innehåll för åk 4 6 i Lgr 11 pekar man också ut det babyloniska som ett exempel på tal system som använts i historiska kulturer. Babylonierna använde endast två olika tecken, som betyder ett respektive tio. Med hjälp av tecknen byggdes siffersymboler för talen från 1 till 59 på ett additivt sätt, liknande mayaindianernas. Tecknen placerades i grupper för att underlätta avläsning med en snabb blick på ett liknande sätt som vi läser av prickarna på en tärning. För tal högre än 59 växlar man och 60 skrivs alltså på samma sätt som 1, där ettan symboliserar ett sextiotal. Talet 61 skrivs då som ett sextiotal och ett ental. En nackdel med talsystemet är att babylonierna inte använde sig av nollan 2. Det gör att det i vissa fall kan vara svårt att tolka vilken position symbolerna står skrivna i. Hur kunde de utan nollan som hjälp veta om betyder 60 eller 1 eller kanske till och med 3 600? Detta vet vi inte med säkerhet, men eftersom deras bas är så stor blir det också stora skillnader mellan tal som skulle kunna blandas ihop och förmodligen kunde de avgöra av sammanhanget vilket tal som avsågs. Man kan jämföra genom att avgöra om betecknar 2 eller 120 utifrån sammanhang via våra nutida sporter. Om det handlar om antalet mål i en fotbollsmatch är det knappast 120 utan troligen 2. Men om det är en basketmatch är det troligare att ena laget har gjort 120 poäng. Det här är ett tydligt exempel på att man inte bara ska utföra beräkningar utan att man också måste fundera över kontexten och hur rimligt ett svar är i förhållande till denna. Genom att låta eleverna arbeta med det babyloniska talsystemet, så tvingas de att tänka igenom vad varje position betyder för att kunna tolka de skrivna talen. De uppmärksammas också på hur viktig nollan är i vårt talsystem, vilket inte är en självklarhet för alla elever. Våra erfarenheter är att elever upplever det babyloniska talsystemet som knepigare än mayaindianernas gamla talsystem. De svårigheter som uppstår brukar ofta vara förknippade med att basen är 60 och därmed blir tal som använder flera positioner relativt stora. Det binära talsystemet De flesta elever har nog på ett eller annat sätt hört talas om det binära talsystemet, eftersom det används i datorer. Det är en anledning till att det är lämpligt som arbetsområde. Dessutom finns det binära talsystemet som centralt innehåll för åk 4 6 i den nya kursplanen. Det binära talsystemet, ett positionssystem med basen 2, använder endast de två siffrorna 0 och 1. Från höger till vänster blir siffrornas platsvärde ental, tvåtal, fyratal, åttatal etc TVÅ betyder alltså = 13 i bas tio. Vi har arbetat i elevgrupper med att eleverna får visa hur tal upp till 15 skrivs med hjälp av en levande räknedisplay, där fyra elever får agera ettor och nollor genom att sträcka upp en arm för att visa en etta och stå med armarna nedåt 2. Så småningom började babylonierna att använda ett tecken för att symbolisera tomma positioner inuti tal. Dock använde man aldrig tecknet i slutet av tal. Nämnaren nr
5 när de visar en nolla. Här får eleverna också tänka på vad varje position har för värde för att kunna skriva rätt tal. Övningen öppnar också för att se mönster som att entalet måste räcka upp handen för vartannat tal och ta ned handen för vartannat tal, tvåtalet vilar på noll och ett, har armen uppe på två och tre osv. Hur arbetar då fyratalet? Hur arbetar de olika positionerna när vi skriver i bas tio? Här finns också anledning att fundera över vilket som är det högsta talet vi kan skriva med ett visst antal positioner och att sedan jämföra detta tal med vilket värde nästa position kommer att ha. Variationsteori Vi har hämtat inspiration från variationsteorin som mycket förenklat kan sägas utgå från idén att i varje lärandesituation skapas ett lärandeobjekt som det är möjligt för den lärande att urskilja, erfara och förstå. Genom att medvetet utforma en lärandesituation så att kritiska aspekter av lärandeobjektet varieras är det möjligt för den lärande att urskilja, erfara och förstå lärandeobjektet. Utifrån variationsteoretisk inspiration har vi enkelt uttryckt identifierat vårt positionssystem med bas tio som ett lärandeobjekt. En kritisk aspekt av detta lärandeobjekt är att uppfatta att det är ett positionssystem och vad det innebär. Denna aspekt försöker vi sätta i fokus genom att kontrastera det dels mot talsystem som inte är positionssystem och dels mot talsystem som är positionssystem men använder en annan bas. Vi menar att det talsystem som vi använder till vardags synliggörs genom att vi varierar hur talsystem kan vara konstruerade. Vi vill lyfta fram just att det är ett positionssystem genom att exemplifiera med aspekter som utmärker ett system som inte är positionsbaserat. Vi vill fördjupa synen på vad ett positionssystem är genom att arbeta praktiskt med andra talsystem, inte i första hand för att eleverna ska lära sig de talsystemen utan för att synliggöra vad som utmärker vårt tiobassystem. Vi försöker alltså variera en kritisk aspekt av positionssystemet. Sammanfattning Vi vill uppmuntra lärare att i sin undervisning utnyttja kulturskatten som de gamla talsystemen utgör. Det är en rik källa att ösa ur och det finns otroligt mycket mer att göra än de exempel vi har lyft fram. Det finns fler talsystem från förr och nu. Kanske borde det finnas ett talsystem i seriefigursvärlden som bygger på basen åtta. Titta efter så ser ni att Kalle Anka och hans vänner bara har fyra fingrar på varje hand. Detta talsystem kanske dina elever kan beskriva och hitta på tecken till? Litteratur Emanuelsson, G. m fl (red) (1996). NämnarenTe m a : Matematik ett kommunikationsämne. NCM, Göteborgs universitet. Häggström, J. (2008). Teaching systems of linear equations in Sweden and China: What is made possible to learn? (Doktorsavhandling). Acta Universitatis Gothoburgensis. Göteborgs universitet. Lindberg, D. & Kuijl, B. (1991). Fakta om hur man räknade förr. Solna: Almqvist & Wiksell. Marton, F. & Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur. Neuman, D. (1989). Räknefärdighetens rötter. Stockholm: Utbildningsförlaget. Skolverket (2000). Grundskolans kursplaner och betygskriterier. Skolverket (2010). Lgr 11. Kursplan i matematik i grundskolan. Zhou, Z. & Peverly, S. T. (2005). Teaching addition and subtraction to first graders: A Chinese perspective. Psychology in the Schools, 42(3), Nämnaren nr
Lathund, procent med bråk, åk 8
Lathund, procent med bråk, åk 8 Procent betyder hundradel, men man kan också säga en av hundra. Ni ska kunna omvandla mellan bråkform, decimalform och procentform. Nedan kan ni se några omvandlingar. Bråkform
Läs merErfarenheter från ett pilotprojekt med barn i åldrarna 1 5 år och deras lärare
Erfarenheter från ett pilotprojekt med barn i åldrarna 1 5 år och deras lärare I boken får vi följa hur barn tillsammans med sina lärare gör spännande matematikupptäckter - i rutinsituationer - i leken
Läs merVi skall skriva uppsats
Vi skall skriva uppsats E n vacker dag får du höra att du skall skriva uppsats. I den här texten får du veta vad en uppsats är, vad den skall innehålla och hur den bör se ut. En uppsats är en text som
Läs merAvsikt På ett lekfullt sätt färdighetsträna, utveckla elevers känsla för hur vårt talsystem är uppbyggt samt hitta mönster som uppkommer.
Strävorna 4A 100-rutan... förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande.... grundläggande
Läs merSnabbslumpade uppgifter från flera moment.
Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr
Läs merMatematikboken. alfa. Lennart Undvall Christina Melin Jenny Ollén
Matematikboken alfa Lennart Undvall Christina Melin Jenny Ollén Matematikboken Alfa ISBN 978-91-47-10193-1 Författare: Lennart Undvall, Christina Melin och Jenny Ollén 2011 författarna och Liber AB Illustrationer:
Läs mer2005-01-31. Hävarmen. Peter Kock
2005-01-31 Hävarmen Kurs: WT0010 Peter Kock Handledare: Jan Sandberg Sammanfattning Om man slår upp ordet hävarm i ett lexikon så kan man läsa att hävarm är avståndet mellan kraften och vridningspunkten.
Läs merMål Blå kurs Röd kurs
Bråk Mål När eleverna har arbetat med det här kapitlet ska de kunna läsa och skriva bråk veta vad som menas med täljare och nämnare känna till och kunna använda begreppen bråkform och blandad form kunna
Läs merGemensam problemlösning. Per Berggren och Maria Lindroth 2013-03-12
Gemensam problemlösning 2013-03-12 Strategispel Hur ska du spela för att vinna dessa strategispel? Nim Tactical Att arbeta som en matematiker Först vill matematiker ha ett intressant problem. Matematiker
Läs merFrån min. klass INGER BJÖRNELOO
Från min klass INGER BJÖRNELOO Vi har nu följt Inger Björneloos klass under två år. Klassen börjar i höst på sitt sista lågstadieår, åk 3. Denna årgång av NÄMNAREN kommer att följa upp vad de gör och hur
Läs mer10.03.2010. Översikt. Rapport från skolverket. Förändring av matematikprestationerna 1995 2003-2007. Grundtankar bakom Pixel
Översikt Hur är situationen i Sverige och Norge när det gäller matematik-kompetensen? Är det nödvändigt att undervisa på andra sätt än vi gjort tidigare? Förändring av matematikprestationerna 1995 2003-2007
Läs merBoken om Teknik. Boken om Teknik är en grundbok i Teknik för åk 4 6.
Boken om Teknik Boken om Teknik är en grundbok i Teknik för åk 4 6. PROVLEKTION: Teknikens arbetssätt att göra på riktigt Följande provlektion är ett utdrag ur Boken om Teknik. Uppslaget som är hämtat
Läs merSambanden mellan räknesvårigheter och lässvårigheter under de första skolåren hur hänger de ihop? Görel Sterner 2007 05-29
Sambanden mellan räknesvårigheter och lässvårigheter under de första skolåren hur hänger de ihop? Görel Sterner 2007 05-29 Jämförelseord Storlek: stor, större, störst liten, mindre, minst Antal: många,
Läs merSyftet med en personlig handlingsplan
Syftet med en personlig handlingsplan Gör idéerna konkreta Ger dig något att hålla dig till mellan mötena Skapar tillförlitlighet i utvecklingen Hjälper dig att fokusera på några områden Påminnelse om
Läs merVarför är det så viktigt hur vi bedömer?! Christian Lundahl!
Varför är det så viktigt hur vi bedömer?! Christian Lundahl! Fyra olika aspekter! Rättvisa! Reflektion och utvärdering av vår egen undervisning! Motivation för lärande! Metalärande (kunskapssyn)! 1. Rättvisa!
Läs merBedömning för lärande. Workshop för nyckelpersoner i Sundsvalls kommun 2013-09-12
Bedömning för lärande Workshop för nyckelpersoner i Sundsvalls kommun 2013-09-12 Workshop 2013 är elevens år eleverna ska känna sig förtrogna med formativ bedömning... de ska i alla fall veta skillnaden
Läs merDEMOKRATI 3 DEMOKRATINS VILLKOR
SIDA 1/8 WORKSHOP I KLASSRUMMET TEMA: DEMOKRATI LÄRARMANUAL I det här dokumentet finns allt du behöver veta för att hålla workshopen. Här ser du också tydligt i vilka moment du använder det arbets- och
Läs mer4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel?
4-3 Vinklar Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig allt om vinklar: spetsiga, trubbiga och räta vinklar. Och inte minst hur man mäter vinklar. Att mäta vinklar och sträckor är grundläggande
Läs merSammanfatta era aktiviteter och effekten av dem i rutorna under punkt 1 på arbetsbladet.
Guide till arbetsblad för utvecklingsarbete Arbetsbladet är ett verktyg för dig och dina medarbetare/kollegor när ni analyserar resultatet från medarbetarundersökningen. Längst bak finns en bilaga med
Läs merGruppenkät. Lycka till! Kommun: Stadsdel: (Gäller endast Göteborg)
Gruppenkät Du har deltagit i en gruppaktivitet! Det kan ha varit en tjej- / killgrupp, ett läger eller ett internationellt ungdomsutbyte. Eller så har ni kanske ordnat ett musikarrangemang, skött ett café,
Läs merDEN LILLA RÖDA HÖNAN
1 DEN LILLA RÖDA HÖNAN 1 2 3 4 5 6 4 Sagan används för begreppsinlärning, problemlösning och för att tala matematik. Se lhdl s. 96-99. 7 8 9 10 Den som är lat får ingen mat. Problemlösning 1 Arbeta två
Läs merKiwiböckerna metod och begrepp
Kiwiböckerna metod och begrepp kiwiböckerna nyckeln till livslångt lärande Läsa för, tillsammans med och självständigt. Grunden för läsinlärning är att läsa för barnet, tillsammans med barnet och vara
Läs merLaborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28
Laborativ matematik som bedömningsform Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28 Kul matematik utan lärobok Vilka förmågor tränas Problemlösning (Förstå frågan i en textuppgift, Använda olika strategier
Läs merStatsbidrag för läxhjälp till huvudmän 2016
Statsbidragsenheten 1 (5) Statsbidrag för läxhjälp till huvudmän 2016 Skolverket lämnar statsbidrag enligt förordning (2014:144) om statsbidrag för hjälp med läxor eller annat skolarbete utanför ordinarie
Läs merMatematiken har alltid funnits omkring
katarina brännström & åsa pesula På tredje plats i mitten Personalen på Karungi förskola arbetar med barnens känsla för lägesbegrepp med hjälp av sånger, teckningar och andra material. Med fokus på matematik
Läs merVärldshandel och industrialisering
Pedagogisk planering i historia: Världshandel och industrialisering I vår moderna värld finns många som är rika och många som är fattiga. Flera orsaker finns till detta, men många av dem ligger långt tillbaka
Läs merVÄRDERINGSÖVNINGAR. Vad är Svenskt?
VÄRDERINGSÖVNINGAR Vad är Svenskt? Typ av övning: Avstamp till diskussion. Övningen belyser hur svårt det är att säga vad som är svenskt och att normen vad som anses vara svenskt ändras med tiden och utifrån
Läs merEnkätresultat för elever i åk 9 i Borås Kristna Skola i Borås hösten 2012. Antal elever: 20 Antal svarande: 19 Svarsfrekvens: 95% Klasser: Klass 9
Enkätresultat för elever i åk 9 i Borås Kristna Skola i Borås hösten 2012 Antal elever: 20 Antal svarande: 19 Svarsfrekvens: 95% Klasser: Klass 9 Skolenkäten Skolenkäten går ut en gång per termin till
Läs merTräning i bevisföring
KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar
Läs merOmvandla Vinklar. 1 Mattematiskt Tankesätt
Omvandla Vinklar 1 Mattematiskt Tankesätt (Kan användas till mer än bara vinklar) 2 Omvandla med hjälp av Huvudräkning (Snabbmetod i slutet av punkt 2) 3 Omvandla med Miniräknare (Casio) Läs denna Först
Läs merSubtraktion - Analys och bedömning av elevarbeten
Analys och bedömning av elevarbete 1 Eleven anpassar sitt val av metoder efter de ingående talen genom att använda flera olika metoder för beräkningar; räknar uppåt när talen ligger nära varandra, räknar
Läs merAlgebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument
Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12
Läs merKURSPLAN,! KUNSKAPSKRAV! ELEVARBETEN!
KURSPLAN, KUNSKAPSKRAV och exempel på ELEVARBETEN KURSPLAN enligt Lgr11 I undervisningen skall du få möjlighet att uttrycka tankar och idéer med hjälp bilder, du skall få möjlighet att skapa egna bilder
Läs merGRUNDERNA I SJÄLVLEDARSKAP
Bli ditt bästa jag GRUNDERNA I SJÄLVLEDARSKAP ANDREAS ODHAGE Innehåll Bli ditt bästa jag 5 Reflektera mera 9 Varför ska jag reflektera? 10 Meditation gör dig fokuserad 14 Balans i livet 17 Vad gör du egentligen?
Läs merKursplan i Matematik för Alsalamskolan
Kursplan i Matematik för Alsalamskolan Vi kommer att använda oss av följande nyanserade ord, Känna till, Kunna och Förstå. Att känna till är att ha hört talas om, att kunna är att kunna använda och förstå
Läs mer4-6 Trianglar Namn:..
4-6 Trianglar Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat med parallellogrammer. En sådan har fyra hörn och motstående sidor är parallella. Vad händer om vi har en geometrisk figur som bara har tre hörn?
Läs merDOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3
Bråktal Uppgift nr En limpa delas i 4 lika stora delar. Hur stor del av limpan blir varje del? Uppgift nr 2 Hur många tiondelar behövs för att det skall räcka till en hel? Uppgift nr Hur läser man ut bråket
Läs merFacit åk 6 Prima Formula
Facit åk 6 Prima Formula Kapitel 3 Algebra och samband Sidan 95 1 a 12 cm (3 4 cm) b Han vet inte att uttrycket 3s betyder 3 s eller s + s + s 2 a 5x b 6y c 12z 3 a 30 cm (5 6 cm) b 30 cm (6 5 cm) Sidan
Läs merHar vi lösningen för en bättre hemtjänst? Självklart.
Har vi lösningen för en bättre hemtjänst? Självklart. Låt oss prata om Självklarhetsmetoden. Låt oss prata om Självklarhetsmetoden! 164 000 äldre är beroende av hemtjänsten i sin vardag. Och det är du
Läs merMR 5 FRÅN FÖRBUD TILL RÄTTIGHET WORKSHOP I KLASSRUMMET TEMA: MÄNSKLIGA RÄTTIGHETER (MR)
SIDA 1/7 WORKSHOP I KLASSRUMMET TEMA: MÄNSKLIGA RÄTTIGHETER (MR) LÄRARMANUAL I det här dokumentet finns allt du behöver veta för att hålla workshopen. Här ser du också tydligt i vilka moment du använder
Läs merKärnan. Halmstad 29 augusti 2014. Hej!
Kärnan Halmstad 29 augusti 2014 Hej! Här kommer information ifrån oss på Kärnan (F-2). Varannan vecka berättar vi lite om hur vi har det på skolan, vad vi har arbetat med och vad som händer de kommande
Läs merSystematiskt kvalitetsarbete
Systematiskt kvalitetsarbete Rapport År: 2016 Organisationsenhet: NYEFSK/FSK Nye Förskola Fokusområde: Demokrati och värdegrund Övergripande mål: Normer och värden Deluppgift: Klassens kvalitetsrapport
Läs merFöräldrabroschyr. Björkhagens skola - en skola med kunskap och hjärta. Vad ska barnen lära sig i skolan?
Föräldrabroschyr Björkhagens skola - en skola med kunskap och hjärta. Vad ska barnen lära sig i skolan? Vad ska barnen lära sig i skolan? Tanken med den här broschyren är att ge Er föräldrar en bild av
Läs merEnkätresultat för elever i år 2 i Nösnäsgymnasiet 2 i Stenungsund våren 2014
Enkätresultat för elever i år 2 i Nösnäsgymnasiet 2 i Stenungsund våren 2014 Antal elever: 47 Antal svarande: 40 Svarsfrekvens: 85% Klasser: 12BAa, 12BAb, 12LL Skolenkäten Skolenkäten går ut en gång per
Läs merBoll-lek om normer. Nyckelord: likabehandling, hbt, normer/stereotyper, skolmiljö. Innehåll
1 Boll-lek om normer Nyckelord: likabehandling, hbt, normer/stereotyper, skolmiljö Innehåll Materialet bygger på en övning där eleverna, genom en lek med bollar, får utmana sin förmåga att kommunicera
Läs mer912 Läsförståelse och matematik behöver man lära sig läsa matematik?
912 Läsförståelse och matematik behöver man lära sig läsa matematik? Med utgångspunkt från min egen forskning kring läsförståelse av matematiska texter kommer jag att diskutera olika aspekter av läsning
Läs merKvalitetsrapport Så här går det
Kvalitetsrapport Så här går det Uppföljning av det systematiska kvalitetsarbetet på Lärkan förskola, Öja Verksamhetsåret 2013/2014 Kort sammanfattning av enhetens kvalitetsarbete under verksamhetsåret
Läs merUTMANINGAR OCH MÖJLIGHETER HAR DU 730 DAGAR OCH ETT STARKT DRIV DÅ HAR VI EN LEDARROLL TILL DIG
UTMANINGAR OCH MÖJLIGHETER HAR DU 730 DAGAR OCH ETT STARKT DRIV DÅ HAR VI EN LEDARROLL TILL DIG VÄLKOMMEN TILL BERENDSEN Tack för att du vill lägga lite tid på att lära känna oss - det kan löna sig. För
Läs merEnkätresultat för elever i år 2 i Mega Musik gymnasium hösten 2014. Antal elever: 47 Antal svarande: 46 Svarsfrekvens: 98% Klasser: MM13
Enkätresultat för elever i år 2 i Mega Musik gymnasium hösten 2014 Antal elever: 47 Antal svarande: 46 Svarsfrekvens: 98% Klasser: MM13 Skolenkäten Skolenkäten går ut en gång per termin till de skolor
Läs merPraktisk programmering
KUNGLIGA TEKNISKA HÖGSKOLAN Praktisk programmering Daniel Workinn [2012-09-07] workinn@kth.se Introduktionskurs i datateknik, II1310 Sammanfattning Rapporten sammanfattas enklast med ett par substantiv.
Läs merEnkätresultat för elever i år 2 i Praktiska Skövde i Praktiska Sverige AB hösten 2014
Enkätresultat för elever i år 2 i Praktiska Skövde i Praktiska Sverige AB hösten 2014 Antal elever: 18 Antal svarande: 13 Svarsfrekvens: 72% Klasser: År 2 Skolenkäten Skolenkäten går ut en gång per termin
Läs merTvå konstiga klockor
strävorna C Två konstiga klockor resonemang geometri Avsikt och matematikinnehåll Det som kan göra det svårt för barn att avläsa en analog klocka är att förstå att den består av två skalor som är beroende
Läs merKampanj kommer från det franska ordet campagne och innebär att man under en tidsbegränsad period bedriver en viss verksamhet.
EN LITEN KAMPANJSKOLA Kampanj kommer från det franska ordet campagne och innebär att man under en tidsbegränsad period bedriver en viss verksamhet. Finns det något man kan tänka på när man ska sprida ett
Läs merSamtals- och dokumentationsunderlag Språk och erfarenheter
Kartläggningsmaterial för nyanlända elever Samtals- och dokumentationsunderlag Språk och erfarenheter Steg 1 2 3 Samtals- och dokumentationsunderlag Steg 1 Information till elev och vårdnadshavare före
Läs merLäraren som moderator vid problemlösning i matematik
Läraren som moderator vid problemlösning i matematik Cecilia Christiansen 9 oktober 2012 Kursplanen för matematik: matematisk verksamhet är till sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet
Läs merRepetitivt arbete ska minska
Repetitivt arbete ska minska Ett repetitivt arbete innebär att man upprepar en eller några få arbetsuppgifter med liknande arbetsrörelser om och om igen. Ofta med ett högt arbetstempo. Ett repetitivt arbete
Läs merVerksamhetsplan HT -09 och VT -10
Verksamhetsplan HT -09 och VT -10 Vi på Solen har under hösten märkt att det finns en nyfikenhet och lust i barngruppen på att titta närmare på detaljer, upptäcka skillnader, mäta och jämföra. Barnen har
Läs merTränarguide del 1. Mattelek. www.mv-nordic.se
Tränarguide del 1 Mattelek www.mv-nordic.se 1 ATT TRÄNA MED MATTELEK Mattelek är ett adaptivt träningsprogram för att träna centrala matematiska färdigheter såsom antalsuppfattning, den inre mentala tallinjen
Läs merIndividuellt Mjukvaruutvecklingsprojekt
Individuellt Mjukvaruutvecklingsprojekt RPG-spel med JavaScript Författare Robin Bertram Datum 2013 06 10 1 Abstrakt Den här rapporten är en post mortem -rapport som handlar om utvecklandet av ett RPG-spel
Läs merNämnarens adventskalendern 2007
Nämnarens adventskalendern 2007 1 När det närmar sig jul är det kallt. Då behöver de tre tomtenissarna både halsduk och mössa när de leker i snön. I korgen ligger en röd, en blå och en randig halsduk.
Läs merIntroduktion till Open 2012
Introduktion till Open 2012 av Lisbeth Rydén Funktionen med OPEN som jag ser den Alla har sin egen idé med att åka till OPEN. Någon framförallt för att lära sig något om de ämnen som ska avhandlas (kurs),
Läs merDu kommer känna igen en del av området och få chansen att repitera detta men samtidigt kommer du att stöta på lite nytt.
Aritmetik för år 9 Under några veckor kommer vi att arbeta med området Tal. Du kommer känna igen en del av området och få chansen att repitera detta men samtidigt kommer du att stöta på lite nytt. Som
Läs merLokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8
Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8 Arbetsområde 2. Algebra Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera över matematikens
Läs merP-02/03 säsongen 2016
P-02/03 säsongen 2016 AGENDA DU ÄR VÄRDEFULL IDROTTENS VÄRDEGRUND LAGANDA = VI TILLSAMMANS VINNARE I LÄNGDEN DU ÄR VÄRDEFULL 1. VARFÖR ÄR VI TRÄNARE & VARFÖR SPELAR NI FOTBOLL? (grupperna skriver varsin
Läs merVad är det att vara en bra brandman? Vad kan man då?
Vad är det att vara en bra brandman? Vad kan man då? Vad säger omvärlden? Youtube? Bra brandman? Google? Bra brandman? Varför bedömning som lärande? Många föreställningar och erfarenheter Inget är så dåligt
Läs merHT 2011 FK2004 Tenta Lärare delen 4 problem 6 poäng / problem
HT 2011 FK2004 Tenta Lärare delen 4 problem 6 poäng / problem Problem 1 (6p) En undersökning utfördes med målet att besvara frågan Hur stor andel av den vuxna befolkningen i Sverige äger ett skjutvapen?.
Läs merL(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1
L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1 Lisa och Pelle leker med svarta och vita byggklossar. Deras pedagogiska föräldrar vill att de lär sig matematik samtidigt som de håller på och leker.
Läs merSkillnaden mellan betygsresultat på nationella prov och ämnesbetyg i årskurs 9, läsåret 2010/11
Utbildningsstatistik 2011-12-08 1 (20) Dnr Skillnaden mellan betygsresultat på nationella prov och ämnesbetyg i årskurs 9, läsåret 2010/11 Skolverket publicerar i SIRIS, Skolverkets internetbaserade resultat-
Läs merPRÖVNINGSANVISNINGAR
Prövning i Matematik 5 PRÖVNINGSANVISNINGAR Kurskod MATMAT05 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik 5 Skriftligt prov, 4h Teoretiskt prov Bifogas Provet består av två delar.
Läs merVad är Skrivrummet? *Se även sid. 38 39
Vad är Skrivrummet? Skrivrummet är utarbetat för att hjälpa elever i åk 4, 5 och 6 att utveckla sitt skrivande så att de kan nå kunskapskraven för skrivande. I kursplanerna för ämnet svenska och svenska
Läs merHandledning för digitala verktyg Talsyntes och rättstavningsprogram. Vital, StavaRex och SpellRight
Handledning för digitala verktyg Talsyntes och rättstavningsprogram Vital, StavaRex och SpellRight Elevens namn:.. Skola: Datum:.. Varför behövs en handledning? Denna handledning är tänkt att användas
Läs merNationella prov i årskurs 3 våren 2013
Utbildningsstatistik 1 (8) Nationella prov i årskurs 3 våren 2013 Syftet med de nationella proven är i huvudsak att dels stödja en likvärdig och rättvis bedömning och betygsättning i de årskurser där betyg
Läs merSannolikhet och Odds
Sannolikhet och Odds Sannolikhet Tärning (Orange) och (Blå) 0 0 0 Om man satsat sina pengar på rätt summa multipliceras oddset med insatsen (pengarna man satsar) Odds Utfall (summan av två tärningar) Sannolikhet
Läs merVäga paket och jämföra priser
strävorna 2AC 3AC Väga paket och jämföra priser begrepp rutinuppgifter tal geometri Avsikt och matematikinnehåll Den huvudsakliga avsikten med denna aktivitet är att ge elever möjlighet att utveckla grundläggande
Läs merNATIONELLA MATEMATIKTÄVLING
NATIONELLA MATEMATIKTÄVLING PRATA OM SPELS EN KURS I SANNOLIKHET 1 INLEDNING Sannolikhetskursen består av sju olika steg där det sista steget utgörs av själva tävlingsmomentet. Det är upp till pedagogen
Läs merHa det kul med att förmedla och utveckla ett knepigt område!
Kul med pizzabitar Första gången eleverna får materialet i handen bör dem få sin egen tid till att undersöka det på det viset blir dem bekanta med dess olika delar. Det kan också vara en god idé att låta
Läs mer1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det stämmer. Motivera ditt val av tecken.
Modul: Taluppfattning och tals användning. Del 3: Det didaktiska kontraktet Likhetstecknet Ingrid Olsson, fd lärarutbildare Mitthögskolan Läraraktivitet. 1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det
Läs merSvenska Du kan med flyt läsa texter som handlar om saker du känner till. Du använder metoder som fungerar. Du kan förstå vad du läser.
Svenska Du kan med flyt läsa texter som handlar om saker du känner till. Du använder metoder som fungerar. Du kan förstå vad du läser. Du berättar på ett enkelt sätt om det du tycker är viktigt i texten.
Läs merRapport uppdrag. Advisory board
1 Rapport uppdrag Advisory board 2 Advisory board AB är en dialogmodell som på ett stukturerat sätt ger möjlighet till samråd och dialog med unga i utvecklingsarbeten/verksamhetsutveckling inom kommunen,
Läs merOM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är
OM KOMPLEXA TAL Inledning. Vilka olika talområden finns det? Jag gör en snabb genomgång av vad ni tidigare stött på, bl.a. för att repetera standardbeteckningarna för de olika talmängderna. Positiva heltal,
Läs merMätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång.
Mätningar på op-förstärkare. Del 3, växelspänningsförstärkning med balanserad ingång. Denna gång skall vi titta närmare på en förstärkare med balanserad ingång och obalanserad utgång. Normalt använder
Läs merLärarmaterial. Vad handlar boken om? Lgr 11 - Centralt innehåll och förmågor som tränas: Eleverna tränar följande förmågor: har lim pa skorna
SIDAN 1 Författare: Per Straarup Søndergaard Vad handlar boken om? Boken handlar om Anton och hans vänner Emil, Olle och Max, som har klättrat upp i ett träd. Vännerna har klättrat högt och nu vill de
Läs merKulturmöten. Det var vi som gjorde det.
Fröknegårdskolan Kristianstad Projektarbete inom ITiS Cederfjäll Tonny, Hedin Håkan, Sandgren Bo, Svensson Fredrik Kulturmöten Det var vi som gjorde det. Inledning Hösten 1999 började 54 nya årskurs 6-
Läs merDet är bra om även distriktsstyrelsen gör en presentation av sig själva på samma sätt som de andra.
Modul: Föreningspresentation Ett stort blädderblocksblad delas upp i fyra rutor. Deltagarna, som under detta pass är indelade föreningsvis, får i uppgift att rita följande saker i de fyra rutorna: Föreningsstyrelsen
Läs merSerieliknande bilder som visar olika påståenden om ett begrepp eller en situation i en vardaglig kontext.
Begrepps bilder 1 Serieliknande bilder som visar olika påståenden om ett begrepp eller en situation i en vardaglig kontext. Publikrekord avrundning Millgate House Education Åsikter presenteras visuellt
Läs merALGEBRAISKT TÄNKANDE EN KORT HISTORISK EXPOSÉ ÖVER BEGREPP, UTTRYCKSSÄTT OCH ANVÄNDNINGSOMRÅDEN
ALGEBRAISKT TÄNKANDE EN KORT HISTORISK EXPOSÉ ÖVER BEGREPP, UTTRYCKSSÄTT OCH ANVÄNDNINGSOMRÅDEN MEN FÖRST något om kursens algebradel och den nya läroplanens mål angående algebra. SYFTE Syftet med kursens
Läs merMatematik. Bedömningsanvisningar. Vårterminen 2009 ÄMNESPROV. Delprov B ÅRSKURS
ÄMNESPROV Matematik ÅRSKURS 9 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 4 kap. 3 sekretesslagen. Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 2009-06-30. Vid sekretessbedömning
Läs merATT KUNNA TILL. MA1050 Matte Grund. 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1050 Matte Grund 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov G1 Kunna ställa upp och beräkna additions-, subtraktions-, multiplikations- och divisuionsuppgifter
Läs merMargareta Picetti Siw Elofsdotter Meijer. Matte. Safari. Direkt. Lärarhandledning BONNIERS. Andra upplagan, reviderade sidor
Matte Direkt Margareta Picetti Siw Elofsdotter Meijer Safari 2A Lärarhandledning BONNIERS 2 Plus och minus Kapitlet behandlar addition och subtraktion inom talområdet 0-100 med uppgifter som 42 + 3 och
Läs merStatistik, sannolikhet, algebra och funktioner, 3 hp. Studenter i lärarprogrammet F-3 III
Grundläggande matematik II 7,5 högskolepoäng Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Statistik, sannolikhet, algebra och funktioner, 3 hp Studenter i lärarprogrammet F-3 III TentamensKod: Tentamensdatum:
Läs merDatorövning 2 Statistik med Excel (Office 2007, svenska)
Datorövning 2 Statistik med Excel (Office 2007, svenska) Denna datorövning fokuserar på att upptäcka samband mellan två variabler. Det görs genom att rita spridningsdiagram och beräkna korrelationskoefficienter
Läs merDialogens innehåll en översikt
Dialog Trygghet Av 5 kap. 4 andra stycket i socialtjänstlagen framgår det att socialnämnden ska verka för att äldre personer får möjlighet att leva och bo självständigt under trygga förhållanden. Innan
Läs merInvisible Friend 2013-02-18 Senast uppdaterad 2013-02-19
Invisible Friend 2013-02-18 Senast uppdaterad 2013-02-19 Jenny Axene och Christina Pihl driver företaget Invisible Friend som skänker dockor till barn som sitter fängslade för att dom är födda där, barn
Läs merDEMOKRATI 2 DEN SKÖRA VALFRIHETEN
SIDA 1/8 WORKSHOP I KLASSRUMMET TEMA: DEMOKRATI LÄRARMANUAL I det här dokumentet finns allt du behöver för att hålla workshopen och i vilka moment du använder arbets- och visningsmaterial som ingår. Workshopen
Läs merINSTUDERINGSFRÅGOR TILL PROVET
INSTUDERINGSFRÅGOR TILL PROVET Svara så utförligt som möjligt på alla frågor. Skriv inte av exakt från boken utan försök formulera dina svar med egna ord. PowerPointen finns på bloggen. LYCKA TILL! /Therese
Läs merVetenskapliga begrepp. Studieobjekt, metod, resultat, bidrag
Vetenskapliga begrepp Studieobjekt, metod, resultat, bidrag Studieobjekt Det man väljer att studera i sin forskning Nära sammankopplat med syftet Kan vara (fysiska) ting och objekt: Datorspel, Affärssystem,
Läs merDetta är vad vi kom fram till efter en solig söndags diskuterande och räknande:
ÖREBRO LÄNS KONSTNÄRSFÖRBUND Hej styrelsen, På ÖLKFs årsmöte 20130228 diskuterades Konstens Vecka, dels ur ett historiskt perspektiv och dels eventuella framtida evenemang. Årsmötet gav oss, Richard Brixel
Läs merPresentation vid dialogmöte i Råneå 2015 10 20 av Arbetsgruppen för Vitåskolan. Presentationen hölls av Ingela Lindqvist
Presentation vid dialogmöte i Råneå 2015 10 20 av Arbetsgruppen för Vitåskolan. Presentationen hölls av Ingela Lindqvist 1 2 Luleå kommun är en till ytan liten och tätbefolkad kommun. Förutsättningarna
Läs merSANNOLIKHET. Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar.
SANNOLIKHET Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar. tomas.persson@edu.uu.se SANNOLIKHET Grundpremisser: Ju fler möjliga händelser, desto mindre sannolikhet att en viss händelse
Läs merPresentationsövningar
Varje möte då temadialog används bör inledas med en presentationsövning. har flera syften. Både föräldrar och ledare har nytta av att gå igenom samtliga deltagares namn och dessutom få en tydlig bild av
Läs mer