Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22

Transkript

1 Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillörande sidor i läroboken (se arbetsscemat) särskilt definitioner, satser oc betydelsen av alla fetstilta begrepp Lös nu samtliga teorifrågor (från emsidan) med svar som ämtas ur läroboken oc föreläsningsanteckningarna Ovanstående tre punkter kan tas i valfri ordning då de ändå änger iop. Nu är du redo för att studera tidigare kontrollskrivningar oc tentamina såsom denna alltså efter att ovanstående ar bearbetats Komplettera till sist med uppgifter från arbetsscemat

2 Peter Holgersson, ITN Linköpings Universitet Tel Tentamen inom Envariabelanalys 1 Kompletterande tentamen 1 för kursen HT2018 Examination: TEN 1, TNIU22 Max: 21 p betyg 5: 16 p betyg 4: 12 p betyg 3: 8 p Bonus: 0-2 p grundad på KTR1 inom ett år tillbaka Lösningar: Fullständiga med tydliga förklaringar/beräkningar oc tydligt angivna svar. Notera att uppgifterna ej nödvändigtvis är sorterade i svårigetsgrad. Hjälpmedel: Skrivdon, passare, gradskiva, kurvmall oc linjal Skrivtid: , kl. 08:00 13:00 Jour: Peter Holgersson, Låt 4 x + x) f(x) = x a) Bestäm samtliga asymptoter. Höger- oc vänstergränsvärde mot origo ger lodrät asymptot x = 0 Polynomdivision ger f(x) = x närmar sig den sneda, asymptoten y = x 1 då x ± b) Beräkna samtliga stationära punkter. f (x) = 1 +, 3 ger stationära punkter i x = ±2 c) Skissa grafen med tillörande asymptoter.

3 Asymptoter, stationära punkter samt ytterligare punkter med jälp av värdetabell ger följande skiss: 2. Lös följande obestämda integraler: a) 5 8x cos x dx Partiell integration ger cos x 5 sin x dx 8x sin x + 8 cos x + C Derivatan av nämnaren i täljaren ger ln sin x + C b) 5(cos(tan x))(1/ cos ) x) dx Substitution y = tan x eller kedjeregeln baklänges ger svaret sin(tan x) + C

4 3. a) Bestäm f (x) med jälp av derivatans definition om f(x) = x + + ln 3x Derivatans definition oc två standardgränsvärden ger f E (x) G H f(x + ) f(x) G H ((x + ) + + ln 3(x + )) (x + + ln 3x) J (x + )+ x + + G H L x+ + 4x M + 6x ) ) + 4x M + + x + + G H ln(3x + 3) ln 3x K 3x + 3 ln 3x O G H 4x M + 6x ) + 4x ) + M + ln S1 + x T UVVWVVX x YZ[ 1 x = 4x M + 1 x b) Bestäm f (x) om f(x) = arctan x med jälp av den kända derivatan till funktionens invers. y = arctan x tan y = x för x d π 2, π 2 g Derivering ledvis enligt kedjeregeln ger (1 + tan ) y) dy dx = 1 dy dx = 1 1 UVVWVVX + tan ) y H = x ) f (x) = x )

5 4. En fårage med fyra lika stora ytor, utmed Göta kanal, skall a taggtråd till en långsida oc fem kortsidor enligt: Göta Kanal Bestäm agens maximala area om taggtrådens totala längd är 600 m. A(x) = x(600 5x) = 600x 5x ), 0 x 120 A E (x) = x = 0 för x = 60 Den stationära punkten oc ändpunkterna kontrolleras genom teckenstudium oc globalt maximum fås för x = 60. A(60) = = Svar: m 2 5. Funktioner oc begrepp a) Ge exempel på en funktion som ar f EE (1) = 0 utan att x = 1 är en inflexionspunkt, motivera ditt svar. Svar: Till exempel f(x) = (x 1) + med f EE (x) = 12(x 1) ) ar f EE (1) = 0 utan att f EE (x) skiftar tecken i x = 1 oc är positiv för alla andra värden. b) Ge exempel på en funktion som ar olika vänster- oc ögerderivata i x = 1, motivera ditt svar. x 1, x 0 Svar: Till exempel f(x) = x 1 = m 1 x, x < 0 som ar ögerderivatan 1 oc vänsterderivatan -1 för x = 1

6 c) Ge exempel på en funktion saknar både vänster- oc ögerderivata i x = 1, motivera ditt svar. q Svar: Till exempel f(x) = x 1 tillörande f (x) = (,tu)v M 3 q = (x 1) r q är kontinuerlig för alla x R men = u M(,tu) 3 = q u q är ej definierad i just x = 1. M w(,tu) 3 6. Visa att funktionen ar minst en stationär punkt: f(x) = arcsin x 2 arctan x + e,3, 1 x 1 Man noterar att ändpunkterna ger lika funktionsvärde f( 1) = f(1) = e. Dessutom är funktionen f(x) deriverbar på ela intervallet. Enligt Rolles sats (villkoren är uppfyllda enligt ovan) gäller att det finns minst en inre punkt x = ξ inom intervallet ] 1, 1[ sådant att f E (ξ) = 0 oc därmed ar funktionen ovan minst en stationär punkt. 7. Para iop funktion (a-d) med korrekt påstående (i-iv) genom att studera lämpliga gränsvärden: a) f(x) = x) arctan 1 x, x 0 0, x = 0 i) Varken öger- eller vänsterkontinuerlig i x = 0 oc därmed inte deriverbar i x = 0 b) f(x) = arctan 1 x ), x 0 0, x = 0 ii) Kontinuerlig oc deriverbar i x = 0 c) f(x) = x arctan 1 x, x 0 0, x = 0 iii) Högerkontinuerlig men inte vänsterkontinuerlig i x = 0 oc därmed inte deriverbar i x = 0 d) f(x) = ~ arctan 1 x π 2, x 0, x = 0 iv) Både öger- oc vänsterkontinuerlig i x = 0 men inte deriverbar i x = 0

7 f(x) f(0) x ) 1 arctan lim x 0 Funktion a) x arctan 1 = 0, H UVWVX x ä Detta visar att funktionen är deriverbar i x = 0 (funktionen ar till oc med en stationär punkt i origo) oc därmed är funktionen också kontinuerlig i x = 0 då kontinuitet automatiskt följer om funktionen är deriverbar vilket är ett strängare krav. Påstående ii) stämmer. Funktion b) lim arctan 1 ) = π 2 f(0) Detta visar att funktionen inte är kontinuerlig i x = 0 oc därmed inte eller är deriverbar i x = 0 ty deriverbaret är är ett strängare krav än kontinuitet. Påstående i) stämmer. Funktion c) lim x arctan 1 = 0 = f(0), H UVWVX x ä Detta visar att funktionen är kontinuerlig i x = 0. 1 f(x) f(0) x arctan lim x 0 Man ser nu att lim, Hˆ arctan u, = ), H arctan 1 x medan lim, H v arctan u, = ) Alltså olika öger- oc vänsterderivata i x = 0. Detta visar att funktionen inte är deriverbar i x = 0. Påstående iv) stämmer. Funktion d) lim arctan 1 G Hˆ x = π 2 = f(0) lim arctan 1, H v x = π 2 f(0) Detta visar att funktionen är ögerkontinuerlig i x = 0 men inte vänsterkontinuerlig i x = 0 oc därmed är funktionen inte eller deriverbar i x = 0 då deriverbaret är ett strängare krav än kontinuitet. Påstående iii) stämmer.