3 Jämförelse mellan Polyas urna och en vanlig urna
|
|
- Max Persson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 LUNDS UNIVERSITET MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK 1 Förberedelser LABORATION 1: POLYAS URNMODELL MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT-01 Laborationen, som presenterar en urnmodell introducerad av Polya på 1920-talet, visar bland annat att man från helt olika utgångspunkter kan komma fram till en och samma modell. Läs igenom sid 71 och avsnitt 6.6, 9.2 och 9.3 i Blom A samt avsnitt i Tilläggskompendiet (TK). 2 En ovanlig urna Betrakta följande problem. En urna innehåller v vita och s svarta kulor. Man drar en kula ur urnan, betraktar den och lägger tillbaka den jämte c kulor av samma färg som den dragna, där c { 1, 0, 1, 2,...}. Därefter upprepas proceduren om och om igen. Sätt { 1, om man får en vit kula vid i:te dragningen, X i = 0, annars. Antalet vita kulor av totalt n dragna blir då Y n = X 1 + X X n. Teoriuppgift 1 (Härledning av Y n :s fördelning.) P(X 1 = 1) = P(X 1 = 1, X 2 = 1) = P(X 1 = 0, X 2 = 1) = P(X 2 = 1) = Har X 1 och X 2 samma fördelning? Svar: Är X 1 och X 2 oberoende? Svar: P(X 1 = X 2 = = X k = 1, X k+1 = X k+2 = = X n = 0) = P(X 1 = X 2 = = X n k = 0, X n k+1 = X n k+2 = = X n = 1) = P(Y n = k) = 3 Jämförelse mellan Polyas urna och en vanlig urna Den s.v. Y n som beskrevs ovan sägs vara Polya-fördelad med parametrarna v, s, c och n. (Polya är ungrare och uttalas alltså pååja.) Teoriuppgift 2 (Jämförelse med binomialfördelning.) Genom att ge c ett lämpligt värde kan man få Y n Bin(n, v/(v + s)), dvs binomialfördelningen blir ett specialfall av Polya-fördelningen. Vilket är detta c-värde?
2 Teoriuppgift 3 (Jämförelse med hypergeometrisk fördelning.) För ett annat värde på c erhålls den hypergeometriska fördelningen, Y n Hyp(v + s, n, v/(v + s)). Vilket c-värde? Anta fortsättningsvis att Y n svarar mot ett annat c-värde än de två Du angav i Teoriuppgift 2 3. Vi ska nu jämföra Polyas urnmodell med en binomialfördelning. Teoriuppgift 4 (Väntevärde) Om Y n är Polya-fördelad så är E(Y n ) = E(X 1 + X X n ) = Teoriuppgift 5 (Väntevärde, forts.) Om Z n Bin(n, v/(v + s)) så är och alltså E(Z n ) = E(Y n ) E(Z n ) (fyll i med ett av tecknen <, =, >). Teoriuppgift 6 (Varians) Tänk nu intuitivt ett tag! Förefaller det rimligt att tänka sig att V(Y n ) är större än, lika med eller mindre än V(Z n )? Svar: Intuitivt förefaller det rimligt att tänka sig att V(Y n ) V(Z n ) (fyll i med ett av tecknen <, =, >) ty Teoriuppgift 7 (Varians, forts.) Nu skall vi beräkna V(Y 2 ). (a) V(Y 2 ) = AV(X 1 ) + BC(X 1, X 2 ) där A = B = (b) V(X 1 ) = (c) C(X 1, X 2 ) = (d) Alltså blir efter förenkling V(Y 2 ) = 4 En tänkbar användning av Polyas urna Anta att en person genomgår n st lika svåra tentamina. Utfallet av den i:te tentamen betecknar vi X i, som kan anta värdena 1 (= lyckad tentamen) resp 0 (= misslyckad tentamen). Då blir Y n = n i=1 X i antalet lyckade tentamina för personen ifråga. 2
3 Teoriuppgift 8 Följer det av ovan givna förutsättningar att Y n bör beskrivas av en binomialfördelning? Om ej, vilken förutsättning saknas? Svar: Teoriuppgift 9 Ange någon fördelning som det vore rimligt att tänka sig att Y n har. (Ledning: Efter en lyckad tentamen blir man glad; om man är glad så ökar kanske chansen att man klarar en tentamen.) Svar: Teoriuppgift 10 Vilken kvantitet i föregående uppgift mäter hur duktig studenten är? Svar: Antag nu att tentamensstatistik för antalet lyckade tentamina verkligen kan beskrivas med den fördelning som Du angav som svar i Teoriuppgift 9. En tänkbar förklaring skulle kunna vara att studenterna är lika duktiga, och att vi påvisat förekomsten av en smittoeffekt för var och en av dem. I ett senare avsnitt kommer vi att se att det går att ge en helt annan förklaring. 5 Att starta MATLAB, användning av befintliga m-filer Gå in i MATLAB på det sätt som beskrivs i introduktionslaborationen. Väl inne i MATLAB anger du sedan >> mh_init( MAS101A ) Då skapas automatiskt en sökväg till underbiblioteket...\mas101a\, som innehåller alla m-filer som behövs för datorlaborationerna till kursen (se även appendix för de m-filer du behöver till just denna laboration). Filerna i...\mas101a\ listas med kommandot 1 >> what MAS101A Hjälptexten till en godtycklig fil från listan får du fram genom >> help... där... är namnet på den fil du vill ha hjälptexten för. Om du dessutom vill läsa in hela filen till MATLABs editor anger du >> edit... där återigen... står för filnamnet. Om du gör ändringar i den inlästa filen (ej nödvändigt för att genomföra laborationen) kan du sedan spara filen med ev. ändringar på ditt eget konto med Save As, såsom anges i introduktionslaborationen. 1 Det syns inte i den lista du får upp på skärmen att samtliga filer är av typen.m. 3
4 6 Simulering av urnan Med hjälp av funktionen polya_sim simuleras en dragningssekvens om n dragningar från en Polyaurna. Förutom att Y n beräknas, redovisas även en plot av relativa antalet dragna vita kulor, Y i /i, som funktion av i, då i genomlöper {1, 2,..., n}. Uppgift 1 (Simulering av en dragningssekvens.) För fyra olika värden på c, bland annat de två som angavs i Teoriuppgift 2 3, gör följande: Rita upp några plottar med relativa antalet vita kulor som funktion av antalet dragna från en dragningssekvens. Kommentera sedan de skillnader du ser mellan olika c-värden. Välj n så stort att den relativa frekvensen hinner svänga in sig. Vilken inskränkning på n måste man ha i det hypergeometriska fallet? För att endast förbruka 4 papper (ett per c-värde) är det lämpligt att använda kommandot subplot. Exempelvis fås ett 2 2 fönster av plottar genom kommandona >> subplot(2,2,1) >> polya_sim(n,v,s,c) >> subplot(2,2,2) >> polya_sim(n,v,s,c) >>... där du använder samma värden på n, v, s och c i varje delplot. Ett tips: För att lättare kunna se hur c inverkar på resultatet, använd samma n, v och s för åtminstone två olika c-värden. Om man vill generera flera olika slumptal från F Yn kan man upprepa polya_sim önskat antal gånger (dvs för varje slumptal simulerar man en hel dragningssekvens). Alternativt kan man utgå från den sannolikhetsfunktion Du fick fram i Teoriuppgift 1, och använda den allmänna metod för simulering av diskreta fördelningar som beskrivs i TK, avsnitt Denna senare (och snabbare) metod används i funktionen polyarnd, som presenterar de genererade slumptalen i ett stapeldiagram. Uppgift 2 (Hur påverkar c fördelningen?) Simulera ett stort (storleksordning 1000) antal slumptal från F Yn, för fixa värden på n, v och s, men med varierande c. (För att du ska kunna se ett mönster bör inte n väljas för litet.) Använd subplot, så att de olika stapeldiagrammen blir delplottar i samma figur. Diskutera resultatet: Uppgift 3 (Hur påverkar antalet kulor vid starten fördelningen?) Gör om samma sak, men med n, v/(v+s) (proportionen vita kulor vid starten) och c fixa och varierande v. Kommentera resultatet: 7 Slantsingling med mynt från en inhomogen population Man har en stor säck med mynt. Deras benägenhet att vid slantsingling visa krona varierar från mynt till mynt. Låt vara en stokastisk variabel som beskriver sannolikheten att ett slumpmässigt valt mynt visar krona. Antag nu att man tar ett mynt på måfå, singlar slant n gånger med det och låter Y n beteckna antalet gånger man får krona. 4
5 Lab 1: Polyas urnmodell Teoriuppgift 11 (a) P(Y n = k = p) = (b) Anta att är en diskret s.v. som kan anta värdena p 1, p 2,... med sannolikheterna P( = p 1 ), P( = p 2 ),.... Skriv ner ett uttryck för sannolikhetsfunktionen för Y n : (Ledning: Använd lagen om total sannolikhet, med A = Y n = k och H i = = p i, i = 1, 2,....) P(Y n = k) = (c) Anta att är en kontinuerlig s.v. med täthetsfunktion f (p). Ge ett uttryck för sannolikhetsfunktionen för Y n : (Ledning: Du får en integral av typen... f (p)dp.) P(Y n = k) = Vi ska nu anta att har en så kallad Betafördelning, vilket innebär att f (p) = p 1 (1 p) 1, 0 < p < 1,, > 0. B(, ) Här är B(, ) en normeringskonstant (den så kallade betafunktionen), som väljs så att f blir en täthetsfunktion. Med andra ord B(, ) = 1 0 p 1 (1 p) 1 dp. (1) Med en del besvär kan man visa att betafunktionen kan uttryckas med hjälp av gammafunktionen (se sid 71 i Blom A), B(, ) = ( ) ( ) ( + ). (2) får man en hel familj av täthetsfunktioner f. Kodbeteck- Genom att variera parametrarna och ningen är Beta(, ). Uppgift 4 (Plottning av betatätheter.) Plotta betatätheter för flera olika värden på (, ), med hjälp av kommandot betapdf: >> p = 1/100:1/100:99/100; % Vektor av p-värden tätheten räknas ut för >> subplot(3,3,1) >> plot(p,betapdf(p,alfa,beta)) % Med lämpliga alfa och beta >> subplot(3,3,2)... Kommentera resultatet: En viss förståelse av plottarna får man genom att beräkna väntevärde och varians för en betafördelad stokastisk variabel. 5
6 Lab 1: Polyas urnmodell Teoriuppgift 12 (Väntevärde och varians.) Beräkna E( ), E( 2 ) och V( ) genom att utnyttja (1) (2) och (utan bevis) formeln ( + k) ( ) = ( + 1)... ( + k 1), (3) som gäller för positiva heltal k. (Om är ett heltal följer (3) av att ( ) = ( 1)!) E( ) = E( 2 ) = V( ) = Teoriuppgift 13 (Samband med Polyafördelningen.) Räkna ut P(Y n = k) i Teoriuppgift 11c) då Beta(, ). Det visar sig att Y n blir Polyafördelad, om och väljs som lämpliga funktioner av c, v och s. (Ledning: Vi antar c > 0. Börja med att multiplicera varje faktor i täljare och nämnare med c 1 i det uttryck du fick för Polyafördelningens sannolikhetsfunktion i Teoriuppgift 1. Försök sedan att omforma integralen i Teoriuppgift 11c) till detta uttryck genom att utnyttja (1), (2) och (3).) Svar: För allmänt och får Y n sannolikhetsfunktionen P(Y n = k) = Om man speciellt väljer = = så erhålls en Polyafördelning med parametrarna n, v, s och c. Anta nu att vi har genererat ett stort antal slumptal från en Polyafördelning F Yn. Vi kan nu ge slumptalen en ny tolkning: Ett mynt tas upp ur säcken (där har en betafördelning), n slantsinglingar genomförs, man noterar antal krona (= det första slumptalet) och lägger tillbaka myntet. Därefter upprepas samma procedur för ett stort antal mynt. Varje kastserie med ett visst mynt svarar således mot en dragningssekvens av den typ som plottades i Uppgift 1. Uppgift 5 (Tolkning av tidigare plottar.) Om n är stor i Uppgift 2-3, varför bör plottarna i dessa uppgifter påminna om dem i Uppgift 4 (för lämpligt valda c, s, v, och )? (Ledning: Om man genomför många slantsinglingar med varje mynt så medför stora talens lag att... ) Teoriuppgift 14 (Frivillig uppgift.) Låt nu och gå mot oändligheten enligt det samband du fann i Teoriuppgift 13, genom att v och s hålls fixa medan c varieras. Därvid närmar sig alltmer en gränsfördelning. Vilken? Vilket c-värde svarar denna gränsfördelning mot och vilken fördelning på Y n? Jämför med plottarna i Uppgift 2. (Ledning: Titta på väntevärde och varians för att bestämma :s gränsfördelning.) 6
7 Teoriuppgift 15 (Frivillig uppgift.) Man kan visa att konvergerar mot en tvåpunktsfördelning då c enligt sambandet i Teoriuppgift 13. Vilken? (Ledning: Fördelningen har sin sannolikhetsmassa i punkterna 0 och 1. Utnyttja formeln för väntevärdet av en betafördelning för att bestämma vikterna.) Använd sedan resultatet i Teoriuppgift 11b) för att bestämma motsvarande fördelning för Y n. Kan du ge en motivering av detta resultat? Jämför även med plottarna i Uppgift 2. Då c konvergerar mot tvåpunktsfördelningen Då c konvergerar Y n mot tvåpunktsfördelningen Tolkning: 8 Tentamensresultat omigen Anta att antalet lyckade tentamina i en serie om n försök visar sig kunna beskrivas av en Polyafördelning. Vi har tidigare konstaterat att en tänkbar förklaring skulle kunna vara en smittoeffekt. Teoriuppgift 16 Kan du nu föreslå någon annan förklaring? Svar: 7
8 Appendix function [Y,X] = polya_sim(n,v,s,c) % Funktionen % % [Y,X] = polya_sim(n,v,s,c) % % simulerar en dragningssekvens om n dragningar från en Polyaurna med från % början v vita och s svarta kulor. Jämte den dragna kulan läggs c st av samma % färg tillbaka. % Utparametrar: Y - anger antal vita kulor efter n dragningar % X - en vektor som ger hela sekvensen av dragna kulor, % med 1 = vit och 0 = svart % Dessutom redovisas en plot av relativa antalet vita kulor som funktion av % antalet dragna i (1 <= i <= n). X = []; if c == -1, n = min(n,v+s); end; for i = 1:n if rand < v/(v+s) X = [X 1]; v = v+c; else X = [X 0]; s = s+c; end; end y_vec = cumsum(x); rel_frek = y_vec./(1:n); plot(1:n,rel_frek); Y = y_vec(n); function polyarnd(antal,n,v,s,c) % Funktionen % % polyarnd(antal,n,v,s,c) % % genererar antal st slumptal från en fördelning svarande mot antal % vita kulor vid n dragningar från en Polyaurna med från början v vita och % s svarta kulor, där den dragna kulan plus c kulor av samma färg läggs % tillbaka varje gång. % Slumptalen redovisas i form av ett stapeldiagram. % Beräkna sannolikhetsfördelningen för antal dragna vita kulor. if c == 0 p = binopdf([0:n],n,v/(v+s)); elseif c == -1 8
9 n = min(n,v+s); p = zeros(1,n+1); for k = max(0,n-s):min(n,v) p(k+1) = exp(sum(log(1:n))-sum(log((1:k)))-sum(log((1:n-k)))+sum(log((v:c:v+ (k-1)*c)))+sum(log((s:c:s+(n-k-1)*c)))-sum(log((v+s:c:v+s+(n-1)*c)))); end else for k = 0:n p(k+1) = exp(sum(log(1:n))-sum(log((1:k)))-sum(log((1:n-k)))+sum(log((v:c:v+ (k-1)*c)))+sum(log((s:c:s+(n-k-1)*c)))-sum(log((v+s:c:v+s+(n-1)*c)))); end end; % Generera, med inversa transformationsmetoden, antal st slumptal. for i = 1:antal Y(i) = disk_sim(p)-1; end; % Räkna ut de absoluta frekvenserna för olika värden samt rita stapeldiagram Z = zeros(1,n+1); for i = 1:antal Z(Y(i)+1) = Z(Y(i)+1)+1; end; bar(0:n,z); function [k] = disk_sim(p) % Funktionen [k] = disk_sim(p) genererar ett slumptal k från en diskret % fördelning med sannolikhetsfunktion p (som ska vara en ändlig radvektor) % med hjälp av inversa transformationsmetoden. L = length(p); F = cumsum(p); F_shift = [0 F(1:L-1)]; u = rand*ones(1,l); k = find((u <= F)&(u>F_shift)); % Beräkna fördelningsfunktionen % Hitta det värde k där födelningsfunk- % tionen hoppar förbi u
1 Förberedelser. 2 Teoretisk härledning av värmeförlust LABORATION 4: VÄRMEKRAFTVERK MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT-01
LUNDS UNIVERSITET MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 4: VÄRMEKRAFTVERK MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT-01 1 Förberedelser I denna laboration modelleras värmeförlusten i ett kraftverk
Läs mer1 Förberedelser. 2 Att starta MATLAB, användning av befintliga m-filer. 3 Geometriskt fördelad avkomma
LUNDS UNIVERSITET MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 2: FÖRGRENINGSPROCESSER MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT-01 1 Förberedelser Syftet med denna laboration är att du skall bli mer
Läs meratt genomföra laborationen) kan du sedan spara filen med ev. ändringar på ditt eget konto med Save As, såsom anges i introduktionslaborationen.
LUNDS UNIVERSITET MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3: SIMULERING AV MARKOVPROCESSER MED TILLFÖRLITLIGHETSTILLÄMPNING MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT-01 1 Förberedelser Denna laboration
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merLaboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 2: Om väntevärden och fördelningar 1 Syfte I denna laboration skall vi försöka
Läs merJörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 8 Binomial-, hypergeometrisk- och Poissonfördelning Exakta egenskaper Approximativa egenskaper Jörgen Säve-Söderbergh Binomialfördelningen
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler Jörgen Säve-Söderbergh Stokastisk variabel Singla en slant två gånger. Ω = {Kr Kr, Kr Kl, Kl Kr, Kl Kl}
Läs merDatorövning 1: Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, VT-17 Datorövning 1: Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet och
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Mer om Approximationer
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 7.A Mer om Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 10.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 10.02.2012 1 / 21 Repetition CGS Ofta
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Diskreta fördelningar Uwe Menzel, 2018 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 3: Transformation och simulering
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 3: Transformation och simulering Anna Lindgren 8+9 september 216 Anna Lindgren - anna@maths.lth.se FMS12/MASB3: transform 1/11 Stokastisk variabel Kvantil Stokastisk
Läs merbli bekant med summor av stokastiska variabler.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF20 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse för diskreta, bivariate
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska
Läs merrepetera begreppen sannolikhetsfunktion, frekvensfunktion och fördelningsfunktion
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF25: MATEMATISK STATISTIK KOMPLETTERANDE PROJEKT DATORLABORATION 1, 14 NOVEMBER 2017 Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska träna
Läs merKapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,
Läs merDATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03. bli bekant med summor av stokastiska variabler.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse
Läs merMatematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering
Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels
Läs merFöreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.
Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga
Läs merDatorövning 1 Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF20: MATEMATISK STATISTIK, ALLMÄN KURS, 7.5HP FÖR E, HT-15 Datorövning 1 Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 1 Mängdlära Grundläggande sannolikhetsteori Kombinatorik Deskriptiv statistik Jörgen Säve-Söderbergh Information om kursen Kom ihåg att
Läs mer1 Stora talens lag. Laboration 2 Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:A, HT Teori. 1.2 Uppgifter
Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 2 Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:A, HT-15 Syftet med denna laboration är att du skall bli förtrogen med två viktiga områden
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 7 15 november 2017 1 / 28 Lite om kontrollskrivning och laborationer Kontrollskrivningen omfattar Kap. 1 5 i boken, alltså Föreläsning
Läs merKapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merFöreläsning 3, Matematisk statistik Π + E
Repetition Kvantil Presentation Slumptal Transformer Inversmetoden Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 13 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F3 1/19 Repetition
Läs merVåra vanligaste fördelningar
Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver
Läs merSOS HT Slumpvariabler Diskreta slumpvariabler Binomialfördelning. Sannolikhetsfunktion. Slumpförsök.
Probability 21-9-24 SOS HT1 Slumpvariabler Slumpvariabler Ett slumpmässigt försök ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöket. Talet är alltså inte känt före försöket; det bestäms
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merStokastiska processer och simulering I 24 maj
STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd. Matematisk statistik 24 maj 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 maj 2016 9 14
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 4: Flerdim
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 4: Flerdim Johan Lindström 3+4 september 26 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS2 F4: Flerdim /5 Transformer Inversmetoden Transformation av stokastiska variabler
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs merKapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar 1 Multivariata sannolikhetsfördelningar En slumpvariabel som, när slumpförsöket utförs, antar exakt ett värde sägs vara
Läs merKapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 4 Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Kontinuerliga slumpvariabler En slumpvariabel som kan anta alla värden på något intervall sägs
Läs merKontrollera att följande punkter är uppfyllda innan rapporten lämnas in: Första sidan är ett försättsblad (laddas ned från kurshemsidan)
Statistiska institutionen VT 2012 Inlämningsuppgift 1 Statistisk teori med tillämpningar Instruktioner Ett av problemen A, B eller C tilldelas gruppen vid första övningstillfället. Rapporten ska lämnas
Läs merDatorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, HT-16 Datorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen Syftet med den här laborationen
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merFöreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler
Föreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler Marina Axelson-Fisk 20 april, 2016 Idag: Diskreta stokastiska (random) variabler Frekvensfunktion och fördelningsfunktion Väntevärde Varians Några
Läs mer17.1 Kontinuerliga fördelningar
7. Kontinuerliga fördelningar En SV X är kontinuerlig om F X (x) är kontinuerlig för alla x F X (x) är deriverbar med kontinuerlig derivata för alla x utom eventuellt för ändligt många värden Som vi tidigare
Läs mer1 Syfte. 2 Moment hos och faltning av fördelningar MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT Angående grafisk presentation
UNDS TEKNISKA ÖGSKOA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR, FMS 33, T-3!"$&' (*) 1 Syfte I den första delen av detta projekt skall vi försöka hitta begripliga tolkningar av
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F3: Slumpvariaber och fördelningar Diskret Kontinuerlig Slumpvariabler Slumpvariabler = stokastiska variabler = random variables = s.v. Heter ofta X, Y, T. Diskreta kan anta ändligt eller uppräkneligt
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Flerdimensionella Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Flerdimensionella Ett slumpförsök kan ge upphov till flera (s.v.): kast med
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merMer om slumpvariabler
1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse
Läs merFinansiell statistik, vt-05. Slumpvariabler, stokastiska variabler. Stokastiska variabler. F4 Diskreta variabler
Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-05 F4 Diskreta variabler Slumpvariabler, stokastiska variabler Stokastiska variabler diskreta variabler kontinuerliga
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 8. Approximationer av sannolikhetsfördelningar Jan Grandell & Timo Koski 11.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 11.02.2016 1 / 40 Centrala
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merSF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2
Matematisk Statistik SF1900 Sannolikhetsteori och statistik, HT 2017 Laboration 1 för CINEK2 1 Introduktion Denna laboration är inte poänggivande utan är till för den som vill bekanta sig med MATLAB. Fokusera
Läs merSF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011
Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i
Läs merProjekt 1: Om fördelningar och risker
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-02 Projekt 1: Om fördelningar och risker 1 Syfte I den första delen av detta projekt skall vi försöka
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merLaboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F OCH FYSIKER, FMS012/MASB03, VT15 Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärd funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs merDemonstration av laboration 2, SF1901
KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik: HT 2014 Lab 1 för CSAMHS, CINEKI, och CL
Matematisk Statistik SF1901 Sannolikhetsteori och statistik: HT 2014 Lab 1 för CSAMHS, CINEKI, och CL Introduktion Detta är handledningen till Laboration 1, ta med en en utskriven kopia av den till laborationen.
Läs merLaboration 2: Sannolikhetsteori och simulering
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 2 Matematisk statistik AK för Π och E, FMS012, HT14/VT15 Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här laborationen
Läs mer4. Stokastiska variabler
4. Stokastiska variabler En stokastisk variabel (s.v.) är en funktion som definieras i utfallsrummet. Varje stokastisk variabel har en viss sannolikhetsstruktur. Ex: Man kastar två tärningar. Låt X = summan
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 3 4 november 2016 1 / 28 Idag Förra gången Stokastiska variabler (Kap. 3.2) Diskret stokastisk variabel (Kap. 3.3 3.4) Kontinuerlig stokastisk
Läs mermodell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt
Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F5 Diskreta variabler Kursens mål beskriva/analysera data formellt verktyg strukturera omvärlden innehåll osäkerhet
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall
Läs merKap 3: Diskreta fördelningar
Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen
Läs merLaboration 3: Parameterskattning och Fördelningsanpassning
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 3: Parameterskattning och Fördelningsanpassning 1 Syfte Syftet
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs merFöreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar
Föreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Slumpvariabel? Resultatet av ett slumpmässigt försök utgörs
Läs merhistogram över 1000 observerade väntetider minuter 0.06 f(x) täthetsfkn x väntetid 1
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF5: Matematisk statistik för L och V OH-bilder på föreläsning 4, 27--8 EXEMPEL: buss. Från en busshållplats avgår en buss var 2 min (inga
Läs mer1 Syfte. 2 Moment hos och faltning av fördelningar MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-04. 2.2 Angående grafisk presentation
LUNDS TEKNISKA HÖSKOLA ATEATIKCENTRU ATEATISK STATISTIK ATEATISK STATISTIK, AK FÖR L, FS 33, HT-4!"$&' (*) 1 Syfte I den första delen av detta projekt skall vi försöka hitta begripliga tolkningar av begreppen
Läs merF5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)
Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merLotto. Singla slant. Vanliga missuppfattningar vad gäller slumpen. Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning
Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning Ingemar Holgersson Högskolan Kristianstad grupper elever Gr, 7, 9 och. grupp lärarstudenter inriktning matematik Ca i varje grupp Gjord i Israel
Läs merDatorövning 1: Fördelningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF45/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, VT-18 Datorövning 1: Fördelningar I denna datorövning ska du utforska begreppen sannolikhet och
Läs merMatematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS64/TMS63 Tentamen 29-8-2 Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merF6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P.
Stat. teori gk, ht 2006, JW F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.4-5.6) Binomialfördelningen Används som modell i situation av följande slag: Ett slumpförsök upprepas n gånger (oberoende upprepningar). Varje
Läs mer1 Syfte. 2 Förberedelseuppgifter DATORLABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-03
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 0, HT-0! "$&%')(+*,-./01.02% 1 Syfte Syftet med den här laborationen är att du ska bli
Läs merLaboration med Minitab
MATEMATIK OCH STATISTIK NV1 2005 02 07 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Silvelyn Zwanzig, Tel. 471 31 84 Laboration med Minitab I denna laboration skall du få stifta bekantskap med ett statistiskt
Läs merVeckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.
Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna
Läs merLaboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall
Läs merFöreläsning 4, Matematisk statistik för M
Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Erik Lindström 1 april 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 1/19 Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: Ett slumpmässigt försök med
Läs merträna på att använda olika grafiska metoder för att undersöka vilka fördelningar ett datamaterial kan komma från
Matematikcentrum Matematisk statistik MASB11: BIOSTATISTISK GRUNDKURS DATORLABORATION 1, 1 APRIL 215 FÖRDELNINGAR, SIMULERING OCH FÖRDELNINGSANPASSNING Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska
Läs merStokastiska signaler. Mediesignaler
Stokastiska signaler Mediesignaler Stokastiska variabler En slumpvariabel är en funktion eller en regel som tilldelar ett nummer till varje resultatet av ett experiment Symbol som representerar resultatet
Läs merSF1910 Tillämpad statistik, HT 2016 Laboration 1 för CSAMHS, CLGYM-TEMI
Matematisk Statistik Introduktion SF1910 Tillämpad statistik, HT 2016 Laboration 1 för CSAMHS, CLGYM-TEMI Detta är handledningen till Laboration 1, ta med en en utskriven kopia av den till laborationen.
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsning 2 732G70 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde (mellan
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics
Läs mer1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning
Föreläsning III. Diskret (Sannolikhets-)fördelning Med diskret menas i matematik, att något antar ett ändligt antal värden eller uppräkneligt oändligt med värden e.vis {, 2, 3,...}. Med fördelning menas
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F6: Betingade fördelningar Exempel: Tillförlitlighet Styrkan hos en lina (wire) kan modelleras enligt en stokastisk variabel Y. En tänkbar modell för styrkan är Weibullfördelning. Den last som linan utsätts
Läs merMonte Carlo-metoder. Bild från Monte Carlo
Monte Carlo-metoder 0 Målen för föreläsningen På datorn Bild från Monte Carlo http://en.wikipedia.org/wiki/file:real_monte_carlo_casino.jpg 1 Begrepp En stokastisk metod ger olika resultat vid upprepning
Läs merLaboration 1: Mer om Matlab samt Deskriptiv statistik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-02 Laboration 1: Mer om Matlab samt Deskriptiv statistik 1 Syfte Syftet med den
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 3 Johan Lindström 4 september 7 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 /3 fördelningsplot log- Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merLaboration 2: Sannolikhetsteori och simulering
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 2 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT13 Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här
Läs mer