Rotationsanalys av asteroid 4179 Toutatis
|
|
- Alexandra Lundberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Rotationsanalys av asteroid 4179 Toutatis Teknisk fysik, Chalmers tekniska högskola - Sverige Alexander Grabowski Robin Andersson alegra@student.chalmers.se robiand@student.chalmers.se maj 2013 Sammanfattning Analysen är huvudsakligen numeriskt inriktad och behandlar hur två olika stelkroppsapproximationer av asteroiden Toutatis 4179 beter sig utan inverkan av externt vridmoment. Syftet med undersökningen är att simulera rotationen för modellerna med hjälp av Eulers rörelseekvationer och kunna dra slutsatser om rotationens och precessionens beteende för modellerna. Undersökningen innehåller också en jämförelse mellan teori och numeriska resultat för konservation av kinetisk energi och rörelsemängdsmoment.
2 Innehåll 1 Del 1 - Euler s ekvationer Uppgift 1a Uppgift 1b Uppgift 1c Fall i Fall ii Asteroid 4179 Toutatis Metod Den symmetriska modellen Den asymmetriska modellen Resultat Diskussion A MATLAB-kod 10 A.1 Kod för den symmetriska kroppen A.2 Kod för den asymmetriska kroppen A.3 Kod för geometriska figurer A.4 Funktionsfilen för ode45 problemet B Kamratbedömning 14
3 1 Del 1 - Euler s ekvationer Då man inför ett kroppsfixt koordinatsystem ξηζ innebär det att tröghetsmatrisen I får icke tidsberoende värden. Vilket kan göra både analytiska och numeriska beräkningar enklare. Vid härledning av ett förhållande mellan L och vridmomentet M, där L = Iω = I(ω ξ ˆξ + ωηˆη + ω ζ ˆζ), samt I = fås per definition, ( ) dl M = dt I ξξ I ηη I ζζ ξηζ, ω = ω ξ ˆξ + ωηˆη + ω ζ ˆζ, + Ω L = ( L ξ ˆξ + Lηˆη + L ζ ˆζ) + Ω L. Då huvudtröghetsaxlarna sammanfaller med det kroppfixa koordinatsystemet så gäller att Ω = ω. Beräkning av kryssprodukten och följt av uppdelning i komponenterna Mξ, Mη, Mζ, ger då möjligheten att rörelseekvationerna kan då tecknas enligt följande [1], Mξ = I ξξ ω ξ (I ηη I ζζ )ω η ω ζ, Mη = I ηη ω η (I ζζ I ξξ )ω ζ ω ξ, Mζ = I ζζ ω ζ (I ξξ I ηη )ω ξ ω η. Om det antas att det externa vridmomentet är 0, samt att två tröghetsmoment är lika, d.v.s. I ξξ = I ηη, så gäller följande, Mξ = 0 I ξξ ω ξ = (I ηη I ζζ )ω η ω ζ, Mη = 0 I ηη ω η = (I ζζ I ξξ )ω ζ ω ξ, Mζ = 0 I ζζ ω ζ (I ξξ I ηη )ω ξ ω η = 0 ω ζ = 0. }{{} =0 Men om det tidigare antagandet att I ξξ = I ηη inte längre följer, utan vi antar istället att I ξξ I ηη, I ξξ I ζζ samt I ηη I ζζ. Med följande tre definierade konstanter γ ξ, γ η och γ ζ, enligt så gäller då γ ξ = I ηη I ζζ I ξξ, γ η = I ζζ I ξξ I ηη, γ ζ = I ξξ I ηη I ζζ, ω ξ = γ ξ ω η ω ζ, ω η = γ η ω ζ ω ξ, ω ζ = γ ζ ω ξ ω η. (1) 1
4 2 Asteroid 4179 Toutatis 2.1 Metod Den symmetriska modellen För den symmetriska kroppen har ett kroppsfixt koordinatsystem ξ, η, ζ införts med origo i tyngdcentrum för kroppen. Med det koordinatsystemet så sammanfaller huvudtröghetsmomentsaxlarna med koordinataxlarna ξ, η, ζ av symmetriskäl. Kroppen består av två olika sfärer med radier r 1 = 1500 m respektive r 2 = 2500 m och massorna m 1 respektive m 2. Koordinaterna ξ, η, ζ motsvarar koordinaterna för tyngdpunkten G, med avseende på kontaktpunkten mellan sfärerna som är ett tillfälligt origo i denna beräkning för tröghetsmomenten. I denna symmetri behövs enbart ζ beräknas enligt i ζ = m ir i, m 1 + m 2 ty, η = ξ = 0 av symmetriskäl (se figur 1). Kring tyngdpunkten G beräknades sedan tröghetsmomenten I ξξ, I ηη och I ζζ enligt, I ξξ = I ηη = I 1 + I 2, I ζζ = 2 5 ( ) m 1 r1 2 + m 2r2 2. Med hjälp utav parallella-axel-teoremet för deras respektive parallella axlar fås att I 1 och I 2 uttryckt kring G blir då I 1 = 2m 1r m 1 (r 1 + ζ) 2, I 2 = 2m 2r m 2 ( ζ r 2 ) 2. I ξξ = I ηη = I 1 +I 2 = m 1 ( 2 5 r2 1 + (r 1 + ζ) 2 ) +m 2 ( 2 5 r2 2 + ( ζ r 2 ) 2 ). Massorna m 1 och m 2 är delmassor av asteroidens totala massan m [2]. Låt asteroidens ha en densitet ρ = 1 kgm 3. Då gäller m 1 = r3 1 r1 3 + m, m 2 = r3 2 r3 2 r1 3 + m. r3 2 Med de beräknade värdena för de tre tröghetsmomenten och differentialekvationerna (se ekvation 1) är systemet lösbart. Problemet löses sedan numeriskt med MATLAB, vilket ger vinkelhastigheterna ω ξ, ω η och ω ζ för den symmetriska modellen. 2
5 Figur 1: Figuren visar de två modeller som har använts för approximationerna. Den vänstra modellen som är den symmetriska består av två sfärer med radier r 1 = 1500 m respektive r 2 = 2500 m, vilka båda är i kontakt i en punkt. Den högra modellen, den asymmetriska, är en ellipsoid med halvaxellängderna a = 1200 m, b = 2500 m, c = 3500 m. Båda kropparna har orienterade axlar enligt figur Den asymmetriska modellen Den asymmetriska modellen är en ellipsoid med halvaxellängderna a = 1200 m, b = 2500 m och c = 3500 m och massan m = kg [2], se figur 1. Jämfört med den symmetriska modellen i samma figur så är tyngdpunkten i den asymmetriska kroppen belägen i kroppens centrum. Med koordinatsystemet enligt figur 1 beräknas tröghetsmomenten enligt [1] I ξξ = 1 5 m(b2 + c 2 ), I ηη = 1 5 m(a2 + c 2 ), I ζζ = 1 5 m(a2 + b 2 ). 3
6 Med de erhållna tröghetsmomenten användes sedan MATLAB (se appendix A.2) för att åter igen lösa differentialekvationerna enligt ekvation 1. Detta ger vinkelhastigheterna Ω ξ, Ω η och Ω ζ för den asymmetriska modellen. 2.2 Resultat Utifrån de utförda beräkningar observerades olika resultat mellan den symmetriska- och asymmetriska modellen. Mer specifikt observerades att den symmetriska modellen att har en konstant rotationsvektor i ζ-riktningen jämfört den asymmetriska modellen vars ζ-komponent varierar i storlek. Vinkelhastigheterna i ξ- och η-riktningarna för respektive modeller uppvisar liknande sinusoidala svängningar. Dock observeras olika storlekar på de två komponenterna Ω ξ och Ω η för den asymmetriska, vilket den symmetriska ej indikerar. Periodtiderna mellan modellerna är olika, dock är skillnaden mellan dom liten, se figurer 2 och 3. Om koordinataxlarna ξ, η, ζ för ett system sammanfaller med huvudtröghetsaxlarna för en stel kropp kan rörelsemängdsmomentet L och rotationsenergin E k uttryckas enligt följade, [1] L = I ξξ ω ξ ξ + Iηη ω η η + Iζζ ω ζ ζ, E k = 1 2 (I ξξω 2 ξ + I ηηω 2 η + I ζζω 2 ζ ). Eftersom det externa vridmomentet M är noll, och arbetet W som M hade utfört under en rotationsvinkel dθ på kroppen beskrivs enligt, [1] W = E k = M dθ, så följer att W = 0, vilket implicerar att rotationsenergin förblir konstant. I sin tur är tidsderivatan av rörelsemängdsmomentet dl = M = 0 = L konstant. dt Teoretiskt sett förblir alltså både rörelsemängdsmomentet och den kinetiska energin av den stela kroppen konstant. Detta bekräftas även numeriskt i figur 4, som visar L samt E k för båda modellerna. Alltså kan E k teoretiskt sett öka i inertialsystemet (t.ex. om parametern v ökar), dock gäller det att 1 2 Iω2 förblir konstant. Beräkningen av längden på vektorerna ω och Ω enligt Ω = Ω 2 ξ + Ω2 η + Ω 2 ζ, ω = ωξ 2 + ω2 η + ωζ 2, 4
7 ger olika resultat för den symmetriska respektive asymmetriska modellen. För den symmetriska modellen observerades att ω konstant, vilket skiljer den från den asymmetriska, där Ω istället varierade sinusoidalt. Det observerades att den symmetriska modellens resulterande rotationsvektor utför en cirkelformad precessionsrörelse runt ζ-axeln. Däremot uppvisar den asymmetriska modellen en elliptisk precessionsrörelse runt ζ-axeln, samt att dess resulterande rotationsvektor Ω varierar i längd, som beräknat ovan. Anledningen till detta fenomen är för att den asymmetriska kroppen har tre olika tröghetsmoment, vilket gör det möjligt att L är konstant trots att Ω ej är konstant. 5
8 2 Vinkelhastigheter, symmetrisk modell ω ξ 1.5 ω η ω [rad/dygn] ω ζ ω t [dagar] Precessionsrörelse, symmetrisk modell ωζ [rad/dygn] ω η [rad/dygn] ω ξ [rad/dygn] Figur 2: Vinkelhastigheterna och precessionsrörelsen för den symmetriska kroppen. Den horisontella linjen i översta grafen motsvarar ω ζ och man ser att den har en konstant vinkelhastighet. Men de två andra kurvorna som motsvarar ω ξ och ω η, varierar båda två sinusodialt. Med denna modell får ω ξ och ω η två nästan lika rotationsperioder, nämligen τ ξ = 7.16 dagar respektive τ η = 7.14 dagar. Den nedre figuren illustrerar precessionsrörelsen för kroppen, och det kan observeras att den resulterande rotationsvektorn utför en cirkelformad precessionsrörelse runt ζ-axeln. Notera att Ω är konstant. 6
9 2 Vinkelhastigheter, asymmetrisk modell Ω ξ 1.5 Ω η Ω [rad/dygn] Ω ζ Ω t [dagar] Precessionsrörelse, asymmetrisk modell Ωζ [rad/dygn] Ω ξ [rad/dygn] Ω η [rad/dygn] Figur 3: Vinkelhastigheterna och precessionsrörelsen för den asymmetriska kroppen. Här skiljer sig Ω ξ och Ω η med att de har olika amplituder, vilket var förväntat ty I ηη I ξξ. Här har även Ω ζ fått en periodtid och är alltså inte längre konstant. Precessionsrörelsen ser också nu annorlunda ut relativt figur 2, ty Ω ζ c, där c är en godtycklig konstant. Istället för en cirkelformad precession som den symmetriska kroppen hade, observeras nu en elliptisk precessionsrörelse. Notera i figuren att Ω ej är konstant längre, den varierar (dock är variationen väldigt liten). 2.3 Diskussion Utifrån den utförda analys så dras slutsatsen att båda modellerna är bra approximationer sett utifrån de uppmätta periodtiderna för asteroiden. Ty, båda modeller visar periodtider på cirka 7 dagar vilket kan observeras i figur 2 och 3. Jämfört med den givna periodtiden t = 7.35 dagar för asteroiden är detta bra värden. Förutom konservering av rotationsenergi och rörelsemängdsmoment är det svårt att dra några andra slutsatser gällande storheter för asteroiden i inertialsystemet, 7
10 x Konservering av storheter, symmetrisk modell L (kg m 2 s 1 ) E k (J) x t [dagar] Konservering av storheter, asymmetrisk modell L (kg m 2 s 1 ) E k (J) t [dagar] Figur 4: Ovan illustreras konserveringen av rörelsemängdsmomentet L och rotationsenergin E k. Storleken på dom beror på att massan i vår modell är m = , se appendix (2). 8
11 då det saknas data om övriga storheter. Referenser [1] Physics Handbook, Carl Nordling & Jonny Österman Moments of inertia for ellipsoid 173, Rotational energy for principal systems 167, Work for plane turning 167, Angular momentum for principal systems 168, Euler s equations of motion in a corotating principal system 168. [2] Wikipedia, unknown author, the mass m of the asteroid. 9
12 A MATLAB-kod A.1 Kod för den symmetriska kroppen %% symmetric body R1=1500; R2=2500; mtotal=5*10^(13); m1=(r1^3)/(r1^3+r2^3)*mtotal; m2=(r2^3)/(r1^3+r2^3)*mtotal; xmasscenter= (m2*r2-m1*r1)/mtotal; % the x coordinate of the mass center, % x-axis is defined such as positive % direction towards the larger sphere % it extends from the contact point of % the two spheres. IXiXi=(2/5)*(m1*R1^2+m2*R2^2)+m1*(R1+xMassCenter)^2+ m2*(r2-xmasscenter)^2; IEtaEta=IXiXi; IZetaZeta=(2/5)*(m1*R1^2+m2*R2^2); w0x=pi*20/180; w0y=pi*32/180; w0z=pi*98/180; startvalues=[w0x w0y w0z IXiXi IEtaEta IZetaZeta] ; time=[0 10]; options=odeset( RelTol,1e-15, AbsTol,1e-15); [t w]=ode45(@toutatis,time,startvalues,options); figure(1); subplot(2,1,1); hold on; grid on; plot(t,w(:,1), --r, LineWidth,2); plot(t,w(:,2), k, LineWidth,2); plot(t,w(:,3), -.b, LineWidth,2); plot(t,sqrt((w(:,1)).^2+(w(:,2)).^2+(w(:,3)).^2),... Color, [0.0, 0.8, 0.0], LineWidth,2); h_legend=legend( \omega_\xi,... \omega_\eta, \omega_\zeta, \omega ); set(h_legend, FontSize,15); title( Vinkelhastigheter, symmetrisk modell,... Interpreter, LaTex, FontSize,18); xlabel( $t$ [dagar],... Interpreter, LaTex, FontSize,15); ylabel( $\omega$ [rad/dygn],... Interpreter, LaTex, FontSize,15); figure(1); subplot(2,1,2); hold on; grid on; plot3(w(:,1),w(:,2),w(:,3), k, LineWidth,2); title( Precessionsr\"{o}relse, symmetrisk modell,... Interpreter, LaTex, FontSize,18); 10
13 xlabel( $\omega_\xi$ [rad/dygn],... Interpreter, LaTex, FontSize,15); ylabel( $\omega_\eta$ [rad/dygn],... Interpreter, LaTex, FontSize,15); zlabel( $\omega_\zeta$ [rad/dygn],... Interpreter, LaTex, FontSize,15); axis([ ]); %% conservation of energy figure(4); subplot(2,1,1); hold on; grid on; title( Konservering av storheter, symmetrisk modell,... Interpreter, LaTex, FontSize,18); xlabel( $t$ [dagar], Interpreter,... LaTex, FontSize,15); plot(t,sqrt((ixixi*w(:,1)).^2+(ietaeta*w(:,2)).^2+... (IZetaZeta*w(:,3)).^2), --b, LineWidth,2); plot(t,0.5*ixixi*w(:,1).^2+0.5*ietaeta*w(:,2).^ *IZetaZeta*w(:,3).^2, k, LineWidth,2); h_legend=legend( L (kg\cdot m^2\cdot s^-^1), E_k (J) ); set(h_legend, FontSize,15); A.2 Kod för den asymmetriska kroppen %% asymmetric body x=1200; y=2500; z=3500; mtotal=5*10^(13); IXiXi=(1/5)*mTotal*(y^2+z^2); IEtaEta=(1/5)*mTotal*(x^2+z^2); IZetaZeta=(1/5)*mTotal*(x^2+y^2); w0x=pi*20/180; w0y=pi*32/180; w0z=pi*98/180; startvalues=[w0x w0y w0z IXiXi IEtaEta IZetaZeta] ; time=[0 10]; options=odeset( RelTol,1e-15, AbsTol,1e-15); [t w]=ode45(@toutatis,time,startvalues,options); figure(2); subplot(2,1,1); hold on; grid on; plot(t,w(:,1), --r, LineWidth,2); plot(t,w(:,2), k, LineWidth,2); plot(t,w(:,3), -.b, LineWidth,2); plot(t,sqrt((w(:,1)).^2+(w(:,2)).^2+(w(:,3)).^2),... Color, [0.0, 0.8, 0.0], LineWidth,2); h_legend=legend( \Omega_\xi, \Omega_\eta,... 11
14 \Omega_\zeta, \Omega ); set(h_legend, FontSize,15); title( Vinkelhastigheter, asymmetrisk modell,... Interpreter, LaTex, FontSize,18); xlabel( $t$ [dagar], Interpreter, LaTex, FontSize,15); ylabel( $\Omega$ [rad/dygn], Interpreter,... LaTex, FontSize,15); figure(2); subplot(2,1,2); hold on; grid on; axis equal; plot3(w(:,1),w(:,2),w(:,3), k, LineWidth,2); axis([ ]); title( Precessionsr\"{o}relse, asymmetrisk modell,... Interpreter, LaTex, FontSize,18); xlabel( $\Omega_\xi$ [rad/dygn], Interpreter,... LaTex, FontSize,15); ylabel( $\Omega_\eta$ [rad/dygn], Interpreter,... LaTex, FontSize,15); zlabel( $\Omega_\zeta$ [rad/dygn], Interpreter,... LaTex, FontSize,15); %% conservation of energy, asymmetric figure(4); subplot(2,1,2); hold on; grid on; title( Konservering av storheter, asymmetrisk modell,... Interpreter, LaTex, FontSize,18); xlabel( $t$ [dagar], Interpreter, LaTex, FontSize,15); plot(t,sqrt((ixixi*w(:,1)).^2+(ietaeta*w(:,2)).^2+... (IZetaZeta*w(:,3)).^2), --b, LineWidth,2); plot(t,0.5*ixixi*w(:,1).^2+0.5*ietaeta*w(:,2).^ *IZetaZeta*w(:,3).^2, k, LineWidth,2); h_legend=legend( L (kg\cdot m^2\cdot s^-^1), E_k (J) ); set(h_legend, FontSize,15); A.3 Kod för geometriska figurer %% plot spheres and ellipsoid figure(3); hold on; grid on; axis equal; [sx,sy,sz] = sphere(50); [ex,ey,ez] = ellipsoid(0,0,0,x/1000,y/1000,z/1000); surf(r1/1000*sx-r1/1000-r2/1000,r1/1000*sy,r1/1000*sz-r1/1000,sy); surf(r2/1000*sx-r1/1000-r2/1000,r2/1000*sy,r2/1000*sz+r2/1000,sy); surf(ex+1,ey,ez+0.8,ey); alpha(0.3); shading faceted; title( Visualisering av modeller,... 12
15 Interpreter, LaTex, FontSize,18); xlabel( $\xi\;$[km], Interpreter, LaTex, FontSize,15); ylabel( $\eta\;$[km], Interpreter, LaTex, FontSize,15); zlabel( $\zeta\;$[km], Interpreter, LaTex, FontSize,15); A.4 Funktionsfilen för ode45 problemet function f = toutatis(t,z) f=zeros(6,1); f(1,1)=((z(5)-z(6))/(z(4)))*z(2)*z(3); f(2,1)=((z(6)-z(4))/(z(5)))*z(3)*z(1); f(3,1)=((z(4)-z(5))/(z(6)))*z(1)*z(2); f(4,1)=z(4); f(5,1)=z(5); f(6,1)=z(6); 13
16 B Kamratbedömning Kommentarer till inlämningsuppgift av (namn,grupp): Alexander Grabowski, Robin Andersson, grupp 7 Kommentarer av (namn,grupp): Jesper Johansson, Isabel Harrysson Rodrigues, grupp 20 Formalia Bra, inga anmärkningar! Utformning Godkänt, fungerar vid utskrift. Figurmodellen kunde varit placerad tidigare i rapporten. Textkommentar Godkänt, figurtexterna är lite för långa. Fysikalisk modellering Väl godkänt. Begreppsförståelse och tydlighet Väl godkänt. 14
Stelkroppsrörelse i rummet
Stelkroppsrörelse i rummet Inlämningsuppgift 2016: Mekanik F, del 2 (FFM521) 11 april 2016 Martin Cederwall, Hans Malmström Målet med denna uppgift är att undersöka rotationsrörelsen hos en stel kropp
Läs merLösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520)
Lösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520) Tid och plats: Tisdagen den juni 2014 klockan 08.0-12.0 i M-huset. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. Ren summering över de fyra
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del FFM50 Tid och plats: Måndagen den 3 maj 011 klockan 14.00-18.00 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. a 1 och är identiska vid ekvatorn. Centripetalaccelerationen
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 21 maj 2012 klockan 14.00-18.00 i M. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. Lösningsstrategi: Använd arbete-energi principen
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 16 augusti 2010 klockan 14.00-18.00 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén. Obligatorisk del 1. Rätt svar på de sex deluppgifterna: SFF SFS.
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 24 augusti 2009 klockan 08.30-12.30 i V. Lösningsskiss: Christian Forssén. Obligatorisk del 1. Rätt svarsalternativ på de sex frågorna är:
Läs merAndra EP-laborationen
Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med
Läs merArbete och effekt vid rotation
ˆ F rˆ Arbete och effekt vid rotation = Betrakta den masslösa staven med längden r och en partikel med massan m fastsatt i änden. Arbetet som kraften ሜF uträttar vid infinitesimal rotation d blir då: ds
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del (FFM51 och 50 Tid och plats: Lösningsskiss: Fredagen den 17 januari 014 klockan 08.30-1.30. Christian Forssén Obligatorisk del 1. Endast kortfattade lösningar redovisas. Se avsnitt
Läs merHärled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B = v A + ω AB
. Härled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B v A + ω AB motsvarande samband för accelerationer: a B a A + ω ω AB + a AB. Tolka termerna i uttrycket för specialfallet plan rörelse
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tid och plats: Tisdagen den 27 augusti 2013 klockan 14.00-18.00. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta samt en egenhändigt handskriven A4 med valfritt innehåll (bägge
Läs merLaboration 2 Ordinära differentialekvationer
Matematisk analys i en variabel, AT1 TMV13-1/13 Matematiska vetenskaper Laboration Ordinära differentialekvationer Vi skall se på begynnelsevärdesproblem för första ordningens differentialekvation u =
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Lördagen den 7 januari 2012 klockan 08.30-12.30 i V. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Lexikon, typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tid och plats: Tisdagen den 27 augusti 2013 klockan 14.00-18.00. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. Lösningsskiss Använd arbete-energi principen.
Läs merDe fysikaliska parametrar som avgör periodtiden för en fjäder
De fysikaliska parametrar som avgör periodtiden för en fjäder Teknisk Fysik, Chalmers tekniska högskola, Sverige Robin Andersson Email: robiand@student.chalmers.se Alexander Grabowski Email: alegra@student.chalmers.se
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Lördagen den 19 januari 2013 klockan 08.30-12.30 i M. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med valfritt
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP00, Fysikprogrammet termin 2 Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Lödag 29 maj 200, kl 8 30 3 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merMatlab övningsuppgifter
CTH/GU TMA976-28/29 Matematiska vetenskaper Matlab övningsuppgifter Inledning Vi skall först se hur man beräknar numeriska lösningar till differentialekvationer. Därefter skall vi rita motsvarigheten till
Läs merTillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4- sida med valfritt innehåll.
Tentamen i Mekanik för F, del B Tisdagen 17 augusti 2004, 8.45-12.45, V-huset Examinator: Martin Cederwall Jour: Ling Bao, tel. 7723184 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat,
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Hjälpmedel: Examinator: Jourhavande lärare: Måndagen den 16 augusti 2010 klockan 14.00-18.00 i V. Physics Handbook, Beta, Lexikon, typgodkänd miniräknare
Läs merSystem av ordinära differentialekvationer
CTH/GU LABORATION 5 MVE16-1/13 Matematiska vetenskaper 1 Inledning System av ordinära differentialekvationer Vi skall se lite på system av ordinära differentialekvationer av typen u (t) = f(t, u(t)) och
Läs merÖvningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt
Övningstenta 015 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt tillsammans med begynnelsevillkoret v(0) = 0. Vi får: v(t) = 0,5t dt = 1 6 t3 + C och vi bestämmer
Läs merRotationsrörelse laboration Mekanik II
Rotationsrörelse laboration Mekanik II Utförs av: William Sjöström Oskar Keskitalo Uppsala 2015 04 19 Sida 1 av 10 Sammanfattning För att förändra en kropps rotationshastighet så krävs ett vridmoment,
Läs merKapitel extra Tröghetsmoment
et betecknas med I eller J används för att beskriva stela kroppars dynamik har samma roll i rotationsrörelser som massa har för translationsrörelser Innebär systemets tröghet när det gäller att ändra rotationshastigheten
Läs merLösning. (1b) θ 2 = L R. Utgå nu från. α= d2 θ. dt 2 (2)
Lösningar till dugga för kursen Mekanik II, FA02, GyLärFys, KandFys, F, Q, W, ES Tekn-Nat Fak, Uppsala Universitet Tid: 7 april 2009, kl 4.00 7.00. Plats: Skrivsalen, Polacksbacken, Uppsala. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen
2010-10-23 Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen
010-01-14 Tentamen i SG1140 Mekanik II KTH Mekanik 1. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! Problemtentamen Triangelskivan i den plana mekanismen i figuren har en vinkelhastighet
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen
2011-10-22 Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Problemtentamen Den kvadratiska skivan i den plana mekanismen i figuren har
Läs merFöreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: e y e z. e z )
1 Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: H O = "I xz e x " I yz e y + I z e z H G = "I xz ( ) ( G e x " I G yz e y + I G z e z ) # (fixt origo, kroppsfix bas) # (kroppsfix
Läs merBallistisk pendel laboration Mekanik II
Ballistisk pendel laboration Mekanik II Utförs av: William Sjöström 19940404 6956 Philip Sandell 19950512 3456 Uppsala 2015 05 09 Sammanfattning Ett sätt att mäta en gevärkulas hastighet är att låta den
Läs merMekanik III, 1FA103. 1juni2015. Lisa Freyhult 471 3297
Mekanik III, 1FA103 1juni2015 Lisa Freyhult 471 3297 Instruktioner: Börja varje uppgift på nytt blad. Skriv kod på varje blad du lämnar in. Definiera införda beteckningar i text eller figur. Motivera uppställda
Läs merCTH/GU LABORATION 1 MVE /2013 Matematiska vetenskaper. Mer om grafritning
CTH/GU LABORATION 1 MVE16-1/13 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om grafritning Vi fortsätter att arbeta med Matlab i matematikkurserna. Denna laboration är i stor utsträckning en repetition och
Läs merLABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel
Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer
Läs merMer om geometriska transformationer
CTH/GU LABORATION 4 TMV141-1/13 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om geometriska transformationer Vi fortsätter med geometriska transformationer och ser på ortogonal (vinkelrät) projektion samt spegling.
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del (FFM50) Tid och plats: Tisdagen den 5 maj 010 klockan 08.30-1.30 i V. Lösningsskiss: Per Salomonsson och Christian Forssén. Obligatorisk del 1. Rätt svar på de fyra deluppgifterna
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Lördagen den 1 september 2012 klockan 08.30-12.30 i M. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med valfritt
Läs merLinjära ekvationssystem
CTH/GU LABORATION MVE0-0/0 Matematiska vetenskaper Inledning Linjära ekvationssystem Redan i första läsperioden löste vi linjära ekvationssystem Ax = b med Matlab. Vi satte ihop koefficentmatrisen A med
Läs merNewtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.
1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2
Läs merMekanik I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av
Mekanik 2 Live-L A TEX:ad av Anton Mårtensson 2012-05-08 I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av ṗ = m r = F Detta är ett postulat och grundläggande för all Newtonsk
Läs merTentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen
010-06-07 Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1 Problemtentamen En homogen mast med massan M och längden 10a hålls stående i vertikalt
Läs merParametriserade kurvor
CTH/GU LABORATION 4 TMV37-4/5 Matematiska vetenskaper Inledning Parametriserade kurvor Vi skall se hur man ritar parametriserade kurvor i planet samt hur man ritar tangenter och normaler i punkter längs
Läs merInlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Läs mer9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar
9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar 9.5 Frilägg hjulet och armen var för sig. Normalkraften kan beräknas med hjälp av jämvikt för armen. 9.6 Frilägg armen, och beräkna normalkraften. a) N µn
Läs merChalmers Tekniska Högskola och Mars 2003 Göteborgs Universitet Fysik och teknisk fysik Kristian Gustafsson Maj Hanson. Svängningar
Chalmers Tekniska Högskola och Mars 003 Göteborgs Universitet Fysik och teknisk fysik Kristian Gustafsson Maj Hanson Svängningar Introduktion I mekanikkurserna arbetar vi parallellt med flera olika metoder
Läs merInlupp 3 utgörs av i Bedford-Fowler med obetydligt ändrade data. B
Inlupp Sommarkurs 20 Mekanik II En trissa (ett svänghjul) har radie R 0.6 m och är upphängd i en horisontell friktionsfri axel genom masscentrum.. Ett snöre lindas på trissans utsida och en konstant kraft
Läs merLabbrapport svängande skivor
Labbrapport svängande skivor Erik Andersson Johan Schött Olof Berglund 11th October 008 Sammanfattning Grunden för att finna matematiska samband i fysiken kan vara lite svårt att förstå och hur man kan
Läs merMEKANIK II 1FA102. VIK detta blad om bladen med dina lösningar. Se till så att tentamensvakterna INTE häftar samman lösningsbladen.
UPPSALA UNIVERSITET Inst för fysik och astronomi Allan Hallgren TENTAMEN 08-08 -29 MEKANIK II 1FA102 SKRIVTID: 5 timmar, kl 8.00-13.00 Hjälpmedel: Nordling-Österman: Physics Handbook Råde-Westergren: Mathematics
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
170418 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 170418 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Vi är intresserade av största värdet på funktionen x(t). Läget fås genom att integrera hastigheten, med bivillkoret att x(0) = 0.
Läs merGrafritning och Matriser
Grafritning och Matriser Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1, ht11 1 Inledning Vi fortsätter under läsperiod och 3 att arbete med Matlab i matematikkurserna Dessutom kommer vi göra projektuppgifter
Läs merTillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat, samt en egenhändigt skriven A4-sida med valfritt innehåll.
Tentamen i Mekanik förf, del B Måndagen 12 januari 2004, 8.45-12.45, V-huset Examinator och jour: Martin Cederwall, tel. 7723181, 0733-500886 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, kalkylator i fickformat,
Läs merInstitutionen för Fysik och Astronomi! Mekanik HI: Rotationsrörelse
Rotationsrörelse I denna laboration kommer vi att undersöka dynamik rotationsrörelse för stela kroppar. Experimentellt kommer vi att undersöka bevarandet av kinetisk rotationsenergi och rörelsemängdsmoment
Läs merBeräkningsuppgift I. Rörelseekvationer och kinematiska ekvationer
1 Beräkningsuppgift I Vi skall studera ett flygplan som rör sig i xz planet, dvs vi har med de frihetsgrader som brukar kallas de longitudinella. Vi har ett koordinatsystem Oxyz fast i flygplanet och ett
Läs merMekanik F, del 2 (FFM521)
Mekanik F, del (FFM51) Ledningar utvalda rekommenderade tal Christian Forssén, christianforssen@chalmersse Uppdaterad: April 4, 014 Lösningsskissar av C Forssén och E Ryberg Med reservation för eventuella
Läs merLaboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem
Lennart Edsberg NADA 3 april 007 D11, M1 Laboration 4 A Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem Denna laboration ger 1 bonuspoäng. Sista bonusdatum 7 april 007 Efter den här laborationen
Läs mer= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O
1 KOMIHÅG 15: --------------------------------- Definitioner: Den potentiella energin, mekaniska energin Formulera: Energiprincipen ---------------------------------- Föreläsning 16: FLER LAGAR-härledning
Läs merStelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra
Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra Rörelse relativt mass centrum Allmänt partikelsystem Stel kropp translation + rotation (cirkelrörelse) För att kunna beskriva och förstå
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Måndagen den 23 maj 2011 klockan 14.00-18.00 i V. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Lexikon, typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4 med
Läs merLÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102
LÖSNINGAR TENTAMEN 16-10-20 MEKANIK II 1FA102 A1 Skeppet Vidfamne 1 har en mast som är 11,5 m hög. Seglet är i överkant fäst i en rå (en stång av trä, ungefär horisontell vid segling). För att kontrollera
Läs merMekanik FK2002m. Repetition
Mekanik FK2002m Föreläsning 12 Repetition 2013-09-30 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 12 Förflyttning, hastighet, acceleration Position: r = xî+yĵ +zˆk θ = s r [s = θr] Förflyttning: r
Läs merRepetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen
Repetion Jonas Björnsson Sammanfattning Detta är en kort sammanfattning av kursen Mekanik. Friläggning Friläggning består kortfattat av följande moment 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från
Läs merIntroduktion. Torsionspendel
Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet November 00 Fysik och teknisk fysik Kristian Gustafsson och Maj Hanson (Anpassat för I1 av Göran Niklasson) Svängningar Introduktion I mekanikkursen
Läs merTentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1
Linköpings universitet tekniska högskolan IEI/mekanik Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten Torsdagen den 9 april 205, klockan 4 9 Kursadministratör Anna Wahlund, anna.wahlund@liu.se, 03-2857 Examinator Joakim
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
150821 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 150821 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Sträckan fås genom integration: x = 1 0 sin π 2 t dt m = 2 π [ cos π 2 t ] 1 0 m = 2 π m = 0,64 m Svar: 0,64 m b) Vi antar att loket
Läs merGeometriska transformationer
CTH/GU LABORATION 5 TMV6/MMGD - 7/8 Matematiska vetenskaper Inledning Geometriska transformationer Vi skall se på några geometriska transformationer; rotation, skalning, translation, spegling och projektion.
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520) Tid och plats: Onsdagen den 13 januari 2010 klockan 08.30-12.30 i V. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, Lexikon, typgodkänd miniräknare samt en egenhändigt skriven A4
Läs merMagnetiska fält laboration 1FA514 Elektimagnetism I
Magnetiska fält laboration 1FA514 Elektimagnetism I Utförs av: William Sjöström 19940404 6956 Oskar Keskitalo 19941021 4895 Uppsala 2015 05 09 Sammanfattning När man leder ström genom en spole så bildas
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 26 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 26 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 6 Minsta kvadrat problem. Polynom. Interpolation. Rötter. Tillämpningar:
Läs merTFYA16/TEN :00 13:00
Link opings Universitet Institutionen f or fysik, kemi och biologi Marcus Ekholm TFYA16/TEN2 Ovningstentamen Mekanik 2015 8:00 13:00 Tentamen best ar av 6 uppgifter som vardera kan ge upp till 4 po ang.
Läs mer7,5 högskolepoäng. Provmoment: tentamen. Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 1. Tentamensdatum: 2012-03-12 Tid: 09.00-13.
Mekanik rovmoment: tentamen Ladokkod: TT8A Tentamen ges för: Högskoleingenjörer årskurs 7,5 högskolepoäng Tentamensdatum: -3- Tid: 9.-3. Hjälpmedel: Hjälpmedel vid tentamen är hysics Handbook (Studentlitteratur),
Läs merLaboration 3 Numerisk Analys
Laboration 3 Numerisk Analys Josefine Klintberg, Louise Abrahamsson Kwetczer 3 oktober 018 1 Innehåll 1 Hamiltonska system 3 1.1 Jämförelse mellan metoder...................... 4 1. Energin som funktion
Läs mer" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar
KOMIHÅG 2: 1 Cylinderkomponenter: Hastighet v = r e r + r" e " + z e z Acceleration: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z Naturliga komponenter: v = ve t a = v e t + v 2 " e n ------------------------------------
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merMålsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.
1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller
Läs merFöreläsning 5: Acceleration och tidsderivering (kap ) . Sambandet mellan olika punkters hastigheter i en stel kropp: v A
1 Föreläsning 5: Acceleration och tidsderivering (kap 212-215) Komihåg 4: Vinkelhastighetsvektorn " = # e z Skillnadsvektorn mellan två punkter i stel kropp kan bara vrida sig: r BA = " # r BA Sambandet
Läs merI Bedford-Fowler, som var kursbok för Mekanik II ges en utförlig beskrivning vad vi menar med en stel kropp. Här tar vi ut två viktiga punkter.
. Stel kropps allmänna rörelse. Inledning. Repetera gärna partikelsystems mekanik genom att läsa. kapitel 9. Där ges en excellent samlad repetition av partikelsystems dynamik Se särskilt sid 9-4 och punkterna
Läs merTransformationer i R 2 och R 3
Linjär algebra, I / Matematiska vetenskaper Inledning Transformationer i R och R 3 Vi skall se på några geometriska transformationer; rotation, skalning, translation och projektion. Rotation och skalning
Läs merOrdinära differentialekvationer
CTH/GU STUDIO 3 MVE465-8/9 Matematiska vetenskaper Inledning Ordinära differentialekvationer Vi skall se på begynnelsevärdesproblem för första ordningens differentialekvation u = f(t,u), a t b u(a) = u
Läs mer=v sp. - accelerationssamband, Coriolis teorem. Kraftekvationen För en partikel i A som har accelerationen a abs
1 Föreläsning 7: Fiktiva (tröghets-)krafter (kap A) Komihåg 6: Absolut och relativ rörelse för en partikel - hastighetssamband: v abs = v O' + # r 1 42 4 3 rel + v rel =v sp - accelerationssamband, Coriolis
Läs merMekanik FK2002m. Rotation
Mekanik FK2002m Föreläsning 9 Rotation 2013-09-20 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 9 Introduktion Idag ska vi börja titta på rotation. - Stela kroppar som roterar kring en fix rotationsaxel.
Läs merPartiklars rörelser i elektromagnetiska fält
Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält Handledning till datorövning AST213 Solär-terrest fysik Handledare: Magnus Wik (2862125) magnus@lund.irf.se Institutet för rymdfysik, Lund Oktober 2003 1 Inledning
Läs merProjekt Finit Element-lösare
Projekt Finit Element-lösare Emil Johansson, Simon Pedersen, Janni Sundén 29 september 2 Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Matematik TMA682 Tillämpad Matematik Inledning Många naturliga fenomen
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 11, 2017 12. Tensorer Introduktion till tensorbegreppet Fysikaliska
Läs merRapportexempel, Datorer och datoranvändning
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Datorer och datoranvändning Institutionen för datavetenskap 2014/1 Rapportexempel, Datorer och datoranvändning På de följande sidorna finns en (fingerad) laborationsrapport som
Läs merDatorlaboration i differentialekvationer
Umeå Universitet --5 Matematiska instutitionen Datorlaboration i differentialekvationer Umeå universitet --5 Inledning Laborationen består av fyra uppgifter och för detaljer och givna ekvationer i uppgifterna
Läs merGemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund
Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska
Läs merRoterande obalans Kritiskt varvtal för roterande axlar
Roterande obalans Kritiskt varvtal för roterande axlar Rotation, krit. varvtal, s 1 m 0 Roterande obalans e Modeller för roterande maskiner ej fullständigt utbalanserade t ex tvättmaskiner, motorer, verkstadsmaskiner
Läs merGrafik och Egna funktioner i Matlab
Grafik och Egna funktioner i Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1, ht11 Moore: 5.1-5.2 och 6.1.1-6.1.3 1 Inledning Vi fortsätter med läroboken Matlab for Engineers av Holly Moore. Först
Läs merTillåtna hjälpmedel: Physics Handbook, Beta, typgodkänd kalkylator, lexikon, samt en egenhändigt skriven A4-sida med valfritt innehåll.
Tentamen i Mekanik för F, del 2 (gäller även som tentamen i Mekanik F, del B) Tisdagen 29 maj 2007, 08.30-12.30, V-huset Examinator: Martin Cederwall Jour: Per Salomonson, tel. 7723231 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 2 november 2015 Sida 1 / 23
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 2 november 2015 Sida 1 / 23 Föreläsning 2 Index. Kolon-notation. Vektoroperationer. Summor och medelvärden.
Läs merLEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4
LEDNINAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4 LP 4.3 Tyngdkraften, normalkraften och friktionskraften verkar på lådan. Antag att normalkraftens angreppspunkt är på avståndet x från lådans nedre vänstra hörn. Kraftekvationen
Läs mer9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar
9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,
Läs merKurvor, fält och ytor
CTH/GU STUDIO 7 MVE7-7/8 Matematiska vetenskaper Kurvor, fält och ytor Inledning Vi skall se hur man ritar parametriserade kurvor i planet r : R R och i rummet r : R R. Därefter skall vi approximera en
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merHanno Essén Lagranges metod för en partikel
Hanno Essén Lagranges metod för en partikel KTH MEKANIK STOCKHOLM 2004 1 Inledning Joseph Louis Lagrange (1763-1813) fann en metod som gör det möjligt att enkelt ta fram rörelseekvationerna för system
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll
Läs merMekanik F, del 2 (FFM521)
Mekanik F, del 2 (FFM521) Föreläsningsanteckningar av Christian Forssén Kursbok: Föreläsare: Kontaktinfo: Engineering Mechanics, Dynamics (7th ed), Meriam and Kraige Christian Forssén Rum F8006, Email:
Läs merTentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08
Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08 Onsdagen den 13 augusti 2008, kl. 8-12 Examinator: Jonas Stålhand Jourhavande lärare: Jonas Stålhand, tel: 281712 Tillåtna hjälpmedel: Inga hjälpmedel Tentamen
Läs meruniversity-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11
Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 03 18 1 / 11 Översikt Friläggning Newtons 2:a lag i tre situationer jämvikt partiklar stela kroppars plana rörelse Energilagen Rörelsemängd
Läs merKarta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara
Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår
Läs mer