Fysiska institutionen april 1983 Hans Linusson, Carl-Axel Sjöblom, Örjan Skeppstedt januari 1993 FY 2400 april 1998 Distanskurs LEKTION 26.

Transkript

1 GÖTEBORGS UNIVERSITET Fysiska institutionen april 1983 Hans Linusson, Carl-Axel Sjöblom, Örjan Skeppstedt januari 1993 FY 2400 april 1998 Distanskurs LEKTION 26 Delkurs 4 KÄRNSTRUKTUR I detta häfte ingår övningsuppgifter som Du skall lösa och sända in för rättning. Lösningar till uppgifterna Kä3 och Kä9 i övningskompendiet skall vara kursledaren tillhanda senast

2 2 (7) Kapitel 39 Kärnstruktur Kort historik Den experimentella vetenskapen kärnfysik är en mycket modern företeelse. Den kan sägas ha börjat med upptäckten av det radioaktiva sönderfallet och upptäckten av elektronen, vilket skedde åren Sedan elektronens massa och laddning bestämts stod det klart, att atomens massa huvudsakligen hör samman med den positiva laddning som atomen innehåller. Man ansåg också tidigt att det radioaktiva sönderfallet representerade förändringar i den del av atomen som vi numera kallar kärnan. Själva kärnbegreppet uppstod som en följd av de försök, som utfördes år 1909 av Rutherford, med spridning av alfapartiklar mot tunna guldfolier. Rutherford antog utgående från detta försök att den massiva positivt laddade atomkärnan hade en radie av storleksordningen m. Utanför denna kärna var de negativt laddade elektronerna fördelade (atomens radie är av storleksordningen m). När sedan Niels Bohr år 1913 lyckades förklara uppkomsten av atomspektra på grundval av Rutherfords modell kunde existensen av kärnan ej betvivlas. På 1930-talet kom kärnfysiken i modern mening i full gång. Redan i början av detta decennium gjordes en rad betydelsefulla upptäckter. Bl.a. upptäckte Chadwick neutronen år När neutronen var upptäckt dröjde det inte länge förrän Heisenberg framlade en hypotes, som vi fortfarande håller fast vid, nämligen att atomkärnan är uppbyggd av vätekärnor (protoner) och neutrala partiklar (neutroner). Betydelsefullt var också att man nu hade ett teoretiskt verktyg till sitt förfogande - kvantmekaniken. Verklig fart tog utvecklingen först i och med utvecklingen av maskiner, s k acceleratorer, som är i stånd att accelerera laddade partiklar upp till mycket höga hastigheter. Med hjälp av dessa partikelstrålar kunde man bestråla olika ämnen och se vad som hände. Det visade sig emellertid snart att kärnornas struktur inte är så enkel. Vi tänker oss visserligen fortfarande kärnorna uppbyggda av neutroner och protoner, men förutom dessa två partiklar har man på senare år upptäckt ett mycket stort antal partiklar, av vilka en del spelar roll som ett slags sammanhållande "länkar". Ur kärnfysiken har utvecklats en ny vetenskapsgren, elementarpartikelfysiken, som sysslar med egenskaperna hos dessa nya partiklar Inledning Läs igenom. Återvänd till Not 6.1 på sidan 114. Du är nu i ett bättre läge för att uppskatta ett och annat guldkorn jämfört med tidigare! Studera noten ordentligt Atomkärnan Kapitlet går igenom en del viktiga grundfakta om atomkärnan. Det skadar inte om Du i detta sammanhang kastar en blick på figur 40.1 på sidan Den åskådliggör bl.a. nedanstående viktiga (och sannolikt välkända) definitioner, som Du förstås måste känna till: Atomnumret Z anger antalet protoner i kärnan. Masstalet A är summan av antalet protoner och neutroner = antalet nukleoner i kärnan. Neutrontalet N = A - Z anger antalet neutroner i kärnan. Nuklidbeteckningen A Z X N, där X = kemiska beteckningen, kan, pga sambandet mellan Z och N, och pga att Z är entydigt bestämt av kemiska beteckningen X, skrivas enklare A X, t.ex. skriver man Na resp. Na

3 3 (7) Det är också dags att påminna om definitionen av 1 amu (atomic mass unit) eller bara 1 u = MeV. För det mesta räcker det med att använda siffran MeV. I Tefyma på sidan 97 står t.o.m MeV. En tabell över nuklidmassor (atommassor), dvs. inklusive elektroner skickas med det här brevet Egenskaper hos kärnan För konstanten r 0 i Eq (39.1) finns 2 värden angivna, 1, m beräknat ur massfördelningen och 1, m beräknat ur laddningsfördelningen. I exempel Kä1 i problemsamlingen i kärnfysik användes det senare värdet. I detta avsnitt införs också kärnspinn I och kärnmagneton N. Jämför Bohrmagnetonen B, Eq (23.24). Spinnet hos protoner och neutroner är halvtaligt, dvs 1 2h. Vi skall räkna igenom ett övningsexempel för att komma in bättre i tankevärlden: Kä1 Beräkna kärnradien för Ne, Zn, Sn, Yboch Th. Använd uppskattningen enligt Bohrs atommodell, r = n 2 Z a, där a 0 0 = Bohrradien (= 5, m), n = huvudkvanttalet och Z = atomnumret för att beräkna radien hos de innersta elektronbanorna i dessa nuklider. Jämför dessa med kärnradierna. Kan man dra någon slutsats om växelverkan mellan atomkärnan och de innersta elektronerna i de olika fallen? Lösning: Kärnradien beräknas med formeln r k = r 0 A 1 3 = 1, A 1 3, alltså: 20 10Ne r k = 1, = 3, 26 F resp. n = 1 r = , = 5, m 65 30Zn r k = 1, = 4, 82 F resp. n = 1 r = , = 1, m Sn r k = 1, = 5, 92 F resp. n = 1 r = , = 1, m Yb r k = 1, = 6,67 F resp. n = 1 r = , = 0, Th r k = 1, = 7, 37 F resp. n = 1 r = , = 0, Resultaten visar, att växelverkan mellan kärna och elektron ökar med ökande masstal och laddning. F.ö. är Bohrs atommodell en ganska dålig avbildning av "verkligheten". I själva verket är växelverkan större än vad som resultaten antyder Kärnornas bindningsenergi Formeln för bindningsenergi, Eq (39.4) är mycket viktig men bör skrivas om så att den använder atommassor i stället för kärnmassor, för som syns av den medsända tabellen är det atommassor som är tabellerade. Man lägger till och drar ifrån Z st elektronmassor m e enl. följande:

4 4 (7) = ( Z m p + Z m e + N m u M Z m e )c 2 = = ( Z (m p + m e ) + N m n (M + Z m e ))c 2 Q = ( Z M 1 a ( 1 H) + N m n M A a ( Z X) )c 2 där N = A Z M = kärnmassan för Z A X M a = atommassan Figur 39.2 är viktig för att Du skall kunna förstå fission och fusion (behandlas i nästa kapitel). Lägg huvuddragen på minnet. Även om bindningsenergins natur är komplicerad så kan man med enkla överväganden komma fram till rimliga uppskattningar. Som exempel på detta skall vi stegvis ta fram (härleda är ett för starkt ord) den s.k. Weizsäckers massformel (1934): 1) Figur 39.2 visar, att bindningsenergin per nukleon är ungefär konstant. Som en första appoximation kan man därför skriva för bindningsenergin hos en kärna med masstalet A = a 1 A 2) Nukleonerna nära kärnans yta har färre närmaste grannar att växelverka med än nukleonerna i dess inre. De ger alltså ett mindre bidrag till bindningsenergin. Eftersom deras antal är proportionellt mot ytan skall vi föra in en negativ term som är proportionell mot denna, dvs mot kärnradien i kvadrat. Enligt ekvation (39.1) kan därför energiformeln skrivas = a 1 A a 2 A 2 3 3) Protonerna i kärnan repellerar varandra, dvs de minskar kärnans totala bindningsenergi. Eftersom deras antal är Z och deras inbördes avstånd bör vara proportionellt mot kärnradien (som i sin tur är proportionell mot A 1 3 ) blir bindningsenergin, med den nya termen införd (Vi förutsätter att formlerna för elektrisk potential och potentiell energi är kända) = a 1 A a 2 A 2 3 a 3 Z 2 A 1 3 4) Den kinetiska energin E k hos nukleonerna minskar bindningsenergin. Man kan visa att E k beror av A genom att beräkna sambandet mellan den totala energin U och fermienergin m.hj.a. Fermi-Dirac statistik (det finns också andra sätt). Efter lite räkningar kommer man då fram till, att massformeln skall kompletteras med en term enligt följande = a 1 A a 2 A 2 3 a 3 Z 2 A 1 3 a 4 (A 2Z) 2 A 1

5 5 (7) 5) I princip är nu formeln fullständig, och vi kan försöka beräkna konstanterna a 1,K,a 4 genom anpassning till de värden som man kan räkna fram med ekvation (39.4) Om man gör detta för kärnor med udda masstal A, (dvs Z udda och N jämnt eller omvänt) så finner man, att så finner man att bindningsenergin för udda-udda kärnor (dvs Z och N udda) är systematiskt lägre och bindningsenergin för jämn-jämn kärnor (dvs Z och N jämna) är systematiskt högre. Om vi tar in detta, den s.k. parenergin, blir den slutliga formeln E = a A a A 2 a Z A b a A 2 1 Z A ± 1 2 ( 2 ) a A Om man kombinerar detta uttryck för bindningsenergin med uttrycket överst på sidan 4 i detta brev får man en formel för atommassan, dvs man får Weizsäckers massformel. Man kan naturligtvis undra över hur viktig en formel av denna typ är i dagens läge när kännedomen om kärnornas inre struktur är mycket bättre än Avsikten med att ställa upp den är som sagt att visa hur långt man kan komma med enkla överväganden och när man måste övergå till mera sofistikerade metoder. I princip blev det alltså möjligt att komma fram med klassiska beräkningar ända tills vi måste införa parenergin. Eftersom formeln är empirisk kan Du träffa på lite olika värden på konstanterna i massformeln. Om vi håller oss till data ur Physics Handbook sid 295 är dessa a 1 0, u a 2 0, u a 3 0, u a 4 0,02544 u a 5 0,036u där man använder enheten 1u = 1, kg. Boken är lite återhållsam med beräkningar i detta sammanhang, och vi skall råda bot på detta genom att räkna igenom ett par övningsexempel: Kä5 Använd Weizsäckers massformel för att beräkna skillnaden i massa mellan spegelkärnorna Na 12 och Mg 11. Jämför resultatet med vad som erhålls ur de experimentella värdena av massorna, vilka är 22,98977 u och 22,99412 u respektive. (C c = 0,70 MeV). Lösning: Vi börjar med att beräkna skillnaden mellan de experimentella värdena: M M 23 = 22, , = 0,00435 u Mg 23 Na Enligt Weizsäckers formel ovan, där a 3 = C c blir skillnaden i massa M M = M M + C c 23 Mg 23 Na H n (Z +1) 2 C c Z 2 = M 3 3 A A H M n + C c (2Z + 1) = 3 23 = 1, , , = 0, u 931, Som Du ser stämmer inte det sista värdet med svaret i övningskompendiet. Orsaken till detta är, att man egentligen skall använda produkten Z(Z-1) istället för Z 2 (se t.ex. problem 6 i

6 6 (7) exempelsamlingen. Detta problem berör också coulombenergin, men data i den medsända tabellen räcker bara till en av de tre deluppgifterna.) Kä8 Bestäm massorna för nukliderna 20 Ne, 16 O, 4 He och 2 H, då masspektrografiska mätningar ger massdifferenser för de dubbletter som anges i tabellen: Dubblett Massdifferens (i tusendelar av u) 2 H 2 4 He 25, C 2 H 4 20 Ne 63,968 2 H C 42,306 4 He O 7,750 Lösning: Vi utgår från definitionen M( 12 C) = 12, u, och arbetar oss igenom sambanden ovan. Det kända värdet ingår i det tredje av dessa, alltså (data är angivna med kemiska formeln för respektive molekyl, kompletterad med masstalet för resp. isotop) 3 M( 2 H) 1 M( 12 2 C) = 42, u M( 2 H) = 6, u = 2,014102u 3 Vi övergår sedan till det första sambandet, dvs 2 M( 2 H) M( 4 He) = 25, u M( 4 He) = 2 2, ,025600u = = 4, u Det andra ger: M( 12 C) + 4 M( 2 H) M( 20 He) =63, u M( 20 He) =12,000000u + 4 2,014102u -0,063968u =19, u Det sista sambandet ger 2 M( 4 He ) 1 2 M( 16 O) = 7, u M( 16 O) = 2 (2 4, ,007750)u = = 15,994916u Du kan jämföra dessa resultat med tabellen som följde med övningskompendiet - överensstämmelsen är ju ganska bra! 39.5 Kärnkrafter Studera avsnittet noga. Vi skall också räkna ett övningsexempel på Coulombrepulsion: Kä15 En alfapartikel har en kinetisk energi av 7,68 MeV och rör sig rakt mot en atomkärna av koppar. Beräkna det minsta avståndet mellan alfapartikeln och atomkärnan. Atomnumret för Cu är 29, masstalet är 63.

7 7 (7) Lösning: Du kommer säkert ihåg från mekaniken, att kopparkärnan kommer att sätta sig i rörelse när alfapartikeln närmar sig. Denna rörelse blir dock ganska liten, eftersom kopparkärnan är så mycket tyngre. Vi försummar alltså kopparkärnans kinetiska energi och antar att alfapartikelns kinetiska energi helt har förvandlats till elektrostatisk potentiell energi då kärnorna är närmast varandra, dvs E k,α = 1 Z α e Z Cu e r 4πε 0 r min = Z Z e 2 α Cu min 4πε 0 E k,α 2 29 (1, ) 2 r min = 4π 8, , , = 1, m 39.6 Deuteronens grundtillstånd 39.7 Neutron-protonspridning Läs kursivt Skalmodellen Studera avsnittet ordentligt, och lägg märke till att man kan få experimentellt stöd för existensen av spinn-bankoppling i kärnan. Det är ganska otillfredsställande att få läsa att det finns experimentella bevis utan att någonsin få se dem, men lite längre fram skall vi referera till ett bevis. Någon kvantitativ behandling av spinn-bankoppling krävs dock inte. Experimentellt stöd för spinn-bankoppling i kärnan En stråle av opolariserade protoner (dvs protoner vars spinn är orienterade slumpmässigt) infaller mot en heliumkärna (se figuren). På samma sätt som växelverkan mellan ett magnetfält och en magnetisk dipol innebär att dipolen påverkas av ett vridmoment τ r = M r B r (sidan 586) som strävar att rikta in dipolen parallellt med fältet (den potentiella energin anges av uttrycket E p = B r M r ) så kommer spinn-bankopplingen att innebära ett vridande moment som strävar att ställa in spinnet S r parallellt med banimpulsmomentet L r (spinn-bankopplingen ges av uttrycket f(r) L r S r ). Vi betraktar de protoner som sprids i figurens plan och använder heliumkärnan (dvs spridaren) som referens för att mäta banimpulsmomentet (banrörelsmängdsmomentet). De protoner som sprids längs bana (1) kommer att ha sina banimpulsmomentsvektorer "upp" och de som sprids längs bana (2) kommer att ha den "ner". Spinn-banväxelverkan mellan protonerna och heliumkärnan favoriserar protoner som har sina spinn S r parallella med L r längs var och en av banorna, vilket betyder att protoner som följer bana (1) företrädesvis har sina S r "upp" och de som följer bana (2) företrädesvis har sina S r "ner".

8 8 (7) Protonerna i stråle (1) sprids en andra gång mot en heliumkärna, och på samma sätt motsvarar bana (3) L r "upp" och bana (4) L r "ner", vilket i sin tur medför att protoner längs bana (3) även företrädesvis har sina S r "upp" och protoner längs bana (4) S r "ner". Men, eftersom stråle (1) inte var polariserad, utan hade en övervikt av protoner med S r "upp" borde fler protoner välja bana (3) än bana (4) och räknaren D 3 borde ange ett högre värde än räknaren D 4. Så är också fallet, vilket är ett starkt stöd för att spinn-bankoppling existerar! Kanske undrar Du över hur man så självklart kan säga att L r -vektorn är nedåt för de protoner som följer bana (2) och uppåt för dem som följer bana (1) etc. Detta följer av att man använder Hekärnan som origo när man beräknar rörelsemängdsmomentet ( L r = r p r ) och av att protonerna rör sig åt var sitt håll i förhållande till He-kärnan Kärnövergångar åtföljda av strålning Läs igenom. Avsnittet innehåller en del intressanta upplysningar om olika former av excitation. Det är dock inte särskilt strukturerat, vilket gör att Du kan läsa det översiktligt. Fenomenen i sig bör Du dock känna till. Vi återkommer till några av dessa frågor i nästa brev, som tar upp de två sista kapitlen i läroboken, 40 och 41. Insändningsuppgifter till detta brev är Kä3 och Kä9, som skall vara kursledaren tillhanda senast det datum som är angivet på första sidan.