3.12. Kvantstatistik: bosoner

Transkript

1 3.12. Kvantstatistik: bosoner [Understanding Physics: 20.12,20.13, ] På s. 297 visades, att för ett system av identiska partiklar vid temperaturen T gäller, att antalet partiklar i ett tillstånd med energin E följer Maxwell Boltzmanns fördelningsfunktion F M B (E) = Ae E/kT, där A är en konstant. I den klassiska behandlingen är det underförstått, att partiklarna kan skiljas åt, och att de rör sig oberoende av varandra. Detta förutsätter, att partiklarnas vågfunktioner inte täcker varandra nämnvärt, vilket kan tänkas gälla för gasmolekyler i en sluten behållare, men inte för elektroner i en atom eller metall. I Maxwells och Boltzmanns teori behandlas sannolikhetsfördelningen för varje partikel skilt från alla de övriga partiklarna, och således är fördelningsfunktionen i stort sett den samma för en partikel som för ett stort antal partiklar. Då vi diskuterade system av identiska partiklar i kvantmekaniken märkte vi att det kvantmekaniska kravet på oskiljaktighet för identiska partiklar leder till kravet att inga förändringar skall kunna iakttas i systemet, då partiklarna byter plats. En följd av detta är att varje partikel i ett kvantmekaniskt system påverkas av alla de övriga. Partiklarna kan inte anses vara oberoende. Systemet måste behandlas som en helhet, vilket leder till fördelningsfunktioner som beror på det totala antalet partiklar i systemet. Detta observerade vi också när vi tillämpade Pauliprincipen på energinivåerna för en elektrongas. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

2 Ett energitillstånd är endast tillgängligt för en elektron, då det inte är upptaget av en annan elektron. Fördelningsfunktionens form beror därför på antalet partiklar i systemet. Vi konstaterade också, att kravet på att inga observerbara storheter förändras, då identiska partiklar byts ut, leder till vissa symmetrikrav på systemet. Som vi såg, finns det två olika slags partiklar: bosoner, som har symmetriska egenfunktioner, och gärna uppehåller sig i samma tillstånd, samt fermioner, som har antisymmetriska egenfunktioner, och inte kan uppehålla sig i samma tillstånd (Pauliprincipen). Det behövs därför också skilda fördelningsfunktioner för dessa partiklar. Fördelningsfunktionen för fermioner är Fermi Diracs funktion F F D (E) = 1 αe E/kT + 1 Värdet av α i denna ekvation beror på antalet partiklar i systemet. Vi har naturligtvis redan tidigare använt denna funktion när vi studerade elektronernas beteende i metaller då T > 0 K: F (E) = 1 e (E E F )/kt + 1 I denna form av ekvationen är α = e E F /kt, så att F (E) = 1 2 då E = E F. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

3 Fördelningsfunktionen för bosoner kallas Bose-Einsteins fördelningsfunktion F B E (E) = 1 αe E/kT 1 Också här beror α på antalet partiklar i systemet. Elektromagnetiska vågor i en kavitet kan behandlas som ett system av bosoner (en fotongas, alltså) och således kan man använda Bose Einsteins fördelningsfunktion för att härleda Plancks lag för svartkroppsstrålningen. I fig (se nedan) har Maxwell Boltzmanns, Fermi Diracs och Bose Einsteins fördelningsfunktioner för α = 1 e uppritats och jämförts med varandra. uppkallad efter Satyendra Bose och Albert Einstein, som på 1920 talet studerade teorin för svartkroppsstrålningen Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

4 Observera, att då E kt övergår både Fermi Diracs och Bose Einsteins fördelningsfunktion till en Maxwell Boltzmanns fördelning: α 1 e E/kT. Således kommer alla tre funktioner att sammanfalla vid höga energier, fastän de skiljer sig markant vid låga energier. Observera också, att värdet av Fermi Diracs funktion aldrig överskrider 1, och därtill är mycket lägre än värdet av Maxwell Boltzmanns funktion. Å andra sidan är värdet av Bose Einsteins funktion mycket större än värdet av Maxwell Boltzmanns funktion vid låga energier. Bose Einsteins statistik gynnar hög besättning av de lägsta energitillstånden. Därför kommer bosonerna att samlas i det lägsta energitillståndet. Vi kan åskådliggöra de karaktäristiska egenskaperna för ett system av bosoner genom att studera egenskaperna hos fotoner som produceras av en laser. Liksom bosoner, strävar fotoner att samlas i tillstånd med samma rörelsemängd, energi och fas. Eftersom de strävar efter samma rörelsemängd, kommer de alla att röra sig i samma riktning och avvika mycket litet från denna riktning (en kollimerad stråle). På grund av att fotonerna befinner sig i samma energitillstånd, och således (E = hf) i samma frekvenstillstånd, så kommer laserljuset att vara starkt monokromatiskt. Dessutom har alla fotonerna samma fas, dvs de är mycket koherenta. Laserfotonernas egenskaper är därför typiska för bosoner. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

5 3.13. Supraledning Supraledare kallas material som har en speciell ledningsförmåga, då de kyls ned under en temperatur, som kallas den kritiska temperaturen T c. Den kritiska temperaturen för ett ämne är en materialkonstant. Supraledningen upptäcktes av den holländska fysikern Heike Kamerlingh Onnes år I fig visas t.ex. resistiviteten för kvicksilver som funktion av temperaturen. Som vi ser, så faller resistiviteten brant mot noll, då temperaturen faller under 4.15 K. Kvicksilver blir supraledande vid denna temperatur och leder elström utan värmeutveckling. Många andra metaller blir också supraledande vid låg temperatur. Eftersom det inte sker effektförluster då resistansen är noll, så leder supraledaren ström hur länge som helst om temperaturen understiger den kritiska temperaturen. Supraledning uppstår pga elektronernas växelverkan med vibrerande joner i gittret, och förklaras genom BCS-teorin (1957), uppkallad efter John Bardeen, Leon Cooper och John Schrieffer. En elektron som passerar förbi jonerna i gittret kan överföra (en del av) sin rörelsemängd till jonerna. Jonerna kommer därför att röra sig närmare varandra, vilket leder till ett område med förhöjd laddningstäthet. På grund av gittrets elastiska egenskaper, så kan kan detta område fortplanta sig som en våg med förhöjd laddningstäthet, som drar till sig en annan elektron. Nettoresultatet är att två elektroner har bytt ut sin rörelsemängd. Detta leder till en svag attraktion mellan elektroner, som befinner sig i närheten av Ferminivån. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

6 Som en följd av denna effekt, kommer de växelverkande elektronerna att gruppera sig i par (Cooperpar) med motsatta elektronspinn, så att totalspinnet blir noll. Cooperparen har därför heltaligt spinn, och uppför sig som bosoner (kvasipartiklar). Cooperpar som uppstår på detta sätt kan vara på långt avstånd från varandra, så att de binds samman till ett enda system av bosoner. Eftersom de befinner sig i bundna tillstånd, har de lägre energi än fria elektroner, och det behövs därför energi för att dela upp ett par. Detta leder till ett energigap i ledningsbandet nära Ferminivån (se fig nedan). Storleken av detta energigap är lika med Cooperparens bindningsenergi. Energigapets temperaturberoende bekräftas av experimentella data. Bardeen, Cooper och Schrieffer visade, att eftersom Cooperparen är bosoner, så samlas de i samma energitillstånd. Paren kondenseras till detta tillstånd, då metallens temperatur faller under den kritiska temperaturen T c. Bosontillståndet är mycket koherent, så att paren rör sig på samma sätt (dvs i samma fas) då de utsätts för ett elektriskt fält. På detta sätt uppstår supraledning. Hela detta koherenta tillstånd måste sönderfalla, för att det skall förlora sin energi. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

7 Elektrisk resistans, som uppstår på grund av elektronernas växelverkan med de vibrerande jonerna i gittret, kan inte alstra den energi som behövs för att bromsa upp ett stort antal elektronpar samtidigt. Det finns därför inte något sätt på vilket elektronparen kan förlora energi, de kommer oavlåtligt att röra sig i en supraledande krets. Ända till 1986 var legeringen Nb 3 Ge det material som hade den högsta kända kritiska temperaturen (23.2 K). År 1986 upptäckte Bednorz och Müller att en kopparförening (La 2 x(ba,sr)cuo 4 ) hade den kritiska temperaturen 30 K. Senare fann man andra föreningar med kritiska temperaturer högre än 100 K. Någon annan mekanism än den vanliga gitterväxelverkan krävs för att bilda Cooperparen i dessa supraledare vid hög temperatur. Möjligen kan det ha något att göra med förekomsten av endimensionella CuO-keder i dessa material. De senaste teorierna för supraledare vid höga temperaturer involverar fluktuerande magnetfält. Cooperparen i en supraledare bildar ett kondenserat energitillstånd. Dylika tillstånd studerades av Bose och Einstein redan på 1920 talet, och fenomenet förutsades av Einstein år Enligt deras teori kan partiklar som rör sig tillräckligt långsamt (en s.k. Bose gas) vid mycket låg temperatur kondenseras till ett och samma energitillstånd och kan då beskrivas av en enda kvantmekanisk vågfunktion. Detta tillstånd, som numera kallas Bose Einstein kondensation har man länge försökt åstadkomma experimentellt, men först 1995 lyckats det för Cornell, Wieman och Ketterle, som fick nobelpriset 2001 för sin prestation. Metoden baserar sig på laserkylning av ytterst förtunnade ångor av rubidiumatomer ned till 100 nanokelvin. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

8 Kapitel 4. Kärnfysik och partikelfysik I detta kapitel skall vi studera olika modeller för kärnornas struktur, radioaktivt sönderfall, kärnreaktioner, subnukleära partiklar och deras struktur, kvarkteorin, stjärnornas utveckling och kosmologi. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

9 4.1. Atomkärnornas egenskaper I början av kapitel 2 beskrev vi hur Rutherford, Geiger och Marsden genom att sprida α partiklar från guld och silver lyckades visa, att atomens massa är koncentrerad i en ytterst liten kärna med en diameter omkring m. Vi skall nu studera egenskaperna, dvs strukturen för denna atomkärna. Atomkärnornas storlek kan bestämmas genom att bombardera dem med elektroner, vilkas de Broglie våglängd är mindre än kärnans dimensioner. Rörelsemängden för en elektron, vars totala energi är 250 MeV, är 250 MeV/c. Dylika elektroner är således lämpliga för ändamålet, eftersom de har en de Broglie våglängd omkring 5 fm. Elektronerna växelverkar med protonerna i kärnan på grund av Coulombkraften och därigenom kan protondistributionen studeras. Det visar sig, att medelradien R för en godtycklig kärna kan uttryckas R = R 0 A 1/3, där A är atomkärnans masstal (totala antalet nukleoner), och R fm är en konstant (fm kallas även fermi). Om kärnorna antas vara sfäriska, så är deras volym är 4 3 πr3, och uttrycket för R visar då, att volymen är proportionell mot A. På grund härav är nukleonernas täthet (ρ N ) i det närmaste konstant i alla kärnor. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

10 Tätheten kan approximeras med ρ N = massan volymen = AM 3AM = 4πR3 4πR0 3A = 3 3M, 4πR0 3 där M = kg är massan för en nukleon. Således är ρ N kg/m 3. Nukliderna (dvs atomkärnorna) betecknas med A ZX, där X är elementets kemiska symbol, Z är ordningstalet (antalet protoner) och A masstalet (antalet nukleoner). Antalet neutroner i en kärna är därför N = A Z. Nuklider med samma Z, men olika N, kallas isotoper. Förutom att isotoperna av ett element har samma antal protoner, så har de också samma antal elektroner, och därigenom samma kemiska egenskaper. Egenskaperna för isotopernas kärnor är däremot mycket olika. I allmänhet är bara några få isotoper av varje element stabila (ofta bara en av de lätta nuklidernas isotoper). Fig visar neutrontalet som funktion av Z för de 284 kända stabila nukliderna. Vi kan se, att nukliderna föredrar vissa bestämda värden av Z, och N, som t.ex Z = 20, 28 och 50 (sådana tal kallas magiska). Dessutom är nuklider som har ett jämnt antal protoner och neutroner ofta stabila. Av de 284 kända stabila nukliderna har 166 jämna värden både av N och Z, 57 har jämnt N och udda Z, 53 har udda N och jämnt Z, men bara 8 har har udda N och udda Z. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

11 Förutom de stabila nukliderna i figuren, finns det ett stort antal instabila nuklider, kallade radionuklider, som alstras i kärnsönderfall och kärnreaktioner. Radionuklider har livstider, som varierar från nanosekunder till miljarder år. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

12 Observera att stabila kärnor för lätta element vanligen innehåller lika många protoner och neutroner, och de ligger därför nära linjen N = Z, som utritats i figuren. För högre värden av A, avviker stabilitetskurvan från denna linje. Dessa kärnor behöver flere neutroner än protoner för att behålla sin stabilitet. Kärnornas massor kan bestämmas med en noggrannhet av 10 8 med hjälp av masspektroskopi (se sid. 498). Dessa mätningar visar, att massan av en godtycklig kärna är (vanligen med omkring 1 %) mindre än summan av vilomassorna för nukleonerna. Detta beror på bindningsenergin, som är associerad med den starka kärnkraften, den kraft som håller ihop nukleonerna i kärnan. De stora negativa energierna reducerar den totala energin, och således även vilomassan för systemet av bundna nukleoner i kärnan. Genom mätningar kan man få reda på hur mycket den totala massan i en kärna reduceras, och detta ger information om kärnstrukturen. Experimentellt kan man visa, att många kärnor har ett inre impulsmoment, som kallas kärnspinn, och ett magnetiskt dipolmoment. Det kärnmagnetiska dipolmomentet för en atomkärna kan mätas genom att man studerar växelverkan mellan det kärnmagnetiska dipolmomentet och atomens magnetfält. Denna växelverkan är analog med spinn banväxelverkan i atomerna, som vi studerat tidigare. Växelverkan med det kärnmagnetiska dipolmomentet åstadkommer ytterst små uppspjälkningar i atomspektret, som kallas hyperfinstruktur. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

13 L. I den motsvarande formeln för det kärnmagnetiska dipolmomentet ersätts elektronmassan av nukleonmassan. De kärnmagnetiska momenten är därför ungefär 2000 gånger mindre än de atommagnetiska dipolmomenten. Det kärnmagnetiska dipolmomentet försvinner för kärnor med jämnt Z och N. Dessa spjälkningar är mycket mindre än finstrukturspjälkningarna, på grund av att de kärnmagnetiska dipolmomenten är mycket mindre än de atommagnetiska dipolmomenten, vilket vi kan förstå om vi studerar ekvationen som uttrycker det magnetiska dipolmomentet för elektronen i en atom med hjälp av banimpulsmomentet: m = e 2me Kärnorna har också karaktäristiska fotonspektra, liksom atomerna, men våglängderna ligger i γ området av det elektromagnetiska spektret. Liksom atomerna, har också kärnorna ett stort antal kvantiserade energinivåer. När en kärna övergår från ett tillstånd till ett annat, utsänds en foton (dvs ett γ-kvantum). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

14 4.2. Kärnornas bindningsenergier Vi konstaterade nyss, att kärnans massa är mindre än totala massan av de nukleoner, som den består av. När kärnan uppstår genom att nukleonerna förenas (fusion), så frigörs energi, som motsvarar minskningen av systemets energi. Eftersom man vanligen väljer tillståndet när nukleonerna är separerade till nollnivå för systemets energi, så blir energin för det bundna systemet negativ. Absoluta värdet av denna energi kallas för kärnans bindningsenergi E b, och den är lika med den energi, som måste tillföras kärnan för att den skall sönderfalla i sina beståndsdelar. Summan av kärnmassan och den massa, som svarar mot bindningsenergin (E b /c 2 ) är alltså lika med summan av nukleonmassorna. I fig visas kärnmassan, dividerad med antalet nukleoner som funktion av antalet nukleoner A. Om kärnans bindningsenergi skulle ha varit obetydlig, så skulle denna storhet helt enkelt vara medelmassan m medel = (Zm p + Nm n )/A, där m p är protonens massa, och m n är neutronens massa. Om vi uppritar m medel som funktion av A får vi (nästan) en rät linje (m medel 940 MeV/c 2 ). Avvikelsen mellan summan av nukleonmassorna och kärnans massa kallas massdefekten m = Zm p + Nm n M Z,A, där M Z,A betecknar kärnmassan. Med hjälp av massdefekten kan kärnans bindningsenergi per nukleon uttryckas som E b /A = mc 2 /A (se fig. nedan). Bokens m är den negativa massdefekten! Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

15 Figuren visar, att bindningsenergin per nukleon är grovt taget densamma för alla kärnor, den varierar endast mellan 7.5 och 8.8 MeV för tyngre kärnor. Observera dock, att vissa kärnor är stabilare än andra (t.ex 4 2 He och 16 8 O). Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

16 För lätta kärnor minskar bindningsenergin per nukleon mycket brant, då A avtar. Bindningsenergin per nukleon avtar också långsamt för tunga kärnor (stort A), då A växer. Kärnor med medelstort masstal är därför stabilast. Den största bindningsenergin (ca 8.79 MeV per nukleon) har kärnor med masstalet A 50 60, vilket svarar mot isotoper av järn. Två kärnprocesser, som ger energiminskning, är kärnfusion, då lätta kärnor smälter samman för att bilda en tyngre kärna, samt kärnfission, då tunga kärnor bryts ner, och nukleoner ordnar sig på nytt och bildar kärnor med medelstort masstal. Dessa båda processer som frigör mycket energi, kommer senare att diskuteras mera ingående. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

17 4.3. Kärnmodeller I vätskedroppmodellen (Niels Bohr 1937) förklaras bindningsenergin per nukleon genom addition av en serie korrektionstermer till medelenergin m medel. Av uttrycket för massdefekten följer att kärnmassan kan uttryckas som skillnaden mellan nukleonmassorna och massan som svarar mot bindningsenergin: M Z,A = Zm p + Nm n m = Zm p + (A Z)m n E b /c 2 Som vi har konstaterat, är nukleontätheten och även bindningsenergin per nukleon approximativt konstant för de flesta kärnor. Motsvarande egenskaper är också typiska för vätskedroppar. Den molekylära tätheten i en droppe är konstant överallt (liksom nukleontätheten i kärnan). Varje molekyl i droppen hålls kvar på grund av att den attraheras av de närmaste grannarna. Såsom visas i fig. 21.3, verkar dessa krafter i alla riktningar (utom vid ytan), och har kort räckvidd, liksom kärnkraften. Varje molekyl i droppen utsätts därför för samma bindningsenergi, liksom nukleonerna i en kärna. Om modellen tillämpas på en kärna uppstår en bindningsenergi som är proportionell mot kärnans volym, dvs proportionell mot R 3, och således också proportionell mot antalet nukleoner A. Bindningsenergin per nukleon blir därför i stort sett konstant. Om vi subtraherar en sådan term (volymtermen) från m medel, så kommer den totala energin att minska med detta belopp. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

18 För en vätskedroppe måste vi också beakta, att molekylerna vid ytan saknar grannar ovanför ytan, och kommer därför att vara svagare bundna. Detta ger upphov till ytspänning, som kommer att minska den totala bindningsenergin. Bidraget från denna term, som är proportionellt mot droppens yta 4πR 2, är alltså positivt. Om detta tillämpas på kärnan, finner vi att energibidraget blir proportionellt mot (A 1/3 ) 2 = A 2/3. Om vi beräknar denna korrektion per nukleon, så får vi en term (yttermen), som är proportionell mot A 2/3 /A = A 1/3, och kommer att höja energin för låga masstal (se fig. 21.4). Kärnorna har dessutom en elektrisk laddning Ze. Därför måste vi också tillägga en Coulombterm, som beskriver Coulombrepulsionen mellan protonerna i kärnan. Coulombenergin frigörs, om alla protonerna flyttas oändligt långt bort. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

19 I exempel 5.2 (s. 111) visade sig gravitationsenergin för en sfär med massan M och radien R vara proportionell mot M 2 /R. Analogt kan man visa, att kärnans Coulombenergi är proportionell mot (Ze) 2 /R, eller alltså Z 2 /R. Genom att utnyttja uttrycket för R finner vi att den är proportionell mot Z 2 /A 1/3. Coulombtermen är viktig för kärnor med stort antal protoner. Den ger upphov till en korrektion till bindningsenergin per nukleon, som är proportionell mot Z 2 /A 4/3, och som växer för stora värden av A (se fig. 21.4). Coulombtermen förklarar varför kärnor med ett stort antal protoner kommer att innehålla ett överskott av neutroner. Om Z är litet, så kommer varje proton som läggs till en kärna att attrahera alla de andra nukleonerna, på grund av den starka kärnkraften, och repellera alla protoner, på grund av den mycket svagare Coulombkraften. Då antalet protoner växer, kommer adderade protoner att attrahera endast ett mindre antal nukleoner, eftersom kärnkraften har en kort räckvidd, men repellera alla protoner, eftersom Coulombkraften har en lång räckvidd. Detta leder till ett repulsivt energitillskott, som är proportionellt mot Z 2. Då Z växer, är det därför fördelaktigare att lägga till neutroner än protoner. Därför är vanligen N 0.6A för stora värden av Z. Då Z > 92, vinner Coulombrepulsionen över kärnkraften, och stabila kärnor kan inte längre bildas. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

20 Det finns ytterligare två termer som skall beaktas i massformeln. Dessa kallas för asymmetritermen och parningstermen, och har kvantmekaniskt ursprung. Asymmetritermen är proportionell mot (Z A/2) 2 /A och har medtagits för att förklara tendensen för stabila nuklider att innehålla lika många protoner och neutroner. Då N = Z (om Z = A/2) så försvinner denna term, men då Z växer, och således (Z A/2) 2 blir större, kommer den att ge upphov till ett allt större positivt bidrag. Parningstermen är proportionell mot xa 1/2, där x kan anta värdena 0, ±1. Den förklarar empiriskt tendensen för Z och N att anta jämna värden. Konstanten x har således värdet 1 då både Z och N är jämna, 0 då antingen Z eller N är udda, och +1, då både Z och N är udda. Om vi samlar ihop alla dessa termer får vi den halvempiriska massformeln M Z,A = Zm p + (A Z)m n a 1 A + a 2 A 2/3 Z 2 + a 3 A + a (Z A/2) 2 1/3 4 A + 8 < : 9 = 1 om både Z och N är jämna 0 om Z eller N är udda ; a 5A 1/2, +1 om Z och N är udda där m p och m n betecknar massorna för protonen, respektive neutronen, och parametrarna a 1, a 2, a 3, a 4 och a 5 är empiriskt valda. C.F. von Weizsäcker, Z. Physik 96, 431 (1935) Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

21 Då vi studerade diagrammet över de stabila nukliderna i fig. 21.1, konstaterade vi att de är speciellt stabila för vissa värden av N eller Z. Sådana nuklider, som t.ex. 4 2 He och 16 8O har också speciellt stor bindningsenergi. Dylika speciella värden av N och Z (2, 8, 20, 28, 50, 82 och 126) kallas magiska tal. De dubbelt magiska kärnorna, där både N och Z är magiska (t.ex. 4 2 He, O, 20Ca och 82 Pb ) är speciellt stabila. Detta påminner om atomernas slutna elektronskal, som är speciellt stabila för vissa värden av Z (2, 10, 18, 36, 54 och 86). Vi leds alltså fram till skalmodellen för atomkärnorna (Maria Goeppert Mayer, 1948). Analogin med atomerna bekräftas av experiment, där man försöker ta reda på hur mycket energi som krävs för att avlägsna den lösast bundna nukleonen från en kärna. Det visar sig då, att nukleonen är lättast att avlägsna, om Z eller N är ett magiskt tal ökat med 1 (t.ex analoga med alkaliatomerna. O och Kr). Sådana kärnor är alltså Atommodellen, som tidigare beskrevs i grova drag för atomer med flere elektroner, är en oberoende partikel modell (elektrongasmodell). Elektronerna rör sig oberoende av varandra i ett centralt elfält, som alstras av kärnan och de övriga elektronerna. Växelverkningar med de andra elektronerna behandlas som sekundära effekter. Om vi tillämpar denna modell på en kärna, verkar den i första hand att strida mot droppmodellen, där nukleonerna växelverkar kraftigt med sina närmaste grannar. De båda modellerna kan emellertid förenas, om vi minns att protonerna och neutronerna i en kärna är ett system av fermioner, som uppfyller Pauliprincipen. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

22 Då två identiska fermioner växelverkar, kan de i allmänhet inte byta ut sina energier, eftersom det inte finns några lediga energinivåer, utom i närheten av Ferminivån. Den enda möjligheten är att kvanttillstånden byts ut, men eftersom partiklarna är identiska, kommer detta inte att ge upphov till observerbara effekter, och nukleonerna kan därför uppfattas som oberoende partiklar. Med hjälp av uttrycket för Fermienergin för en elektrongas kan Fermienergin för neutronerna i en atomkärna uppskattas till ca 44 MeV (se exempel 21.1). Eftersom bindningsenergin för de flesta nukleoner är omkring 7 MeV, så är potentialbrunnens djup 44+7 MeV, dvs ca 50 MeV. Fermigasmodellen förklarar också, varför kärnorna innehåller lika många protoner och neutroner, då Coulombkraften är försumbar. Den starka kärnkraften har samma verkan på neutroner och protoner, dvs den är laddningsoberoende. Potentialbrunnarna för protoner och neutroner är därför identiska, men oberoende vad Pauliprincipen anbelangar. Vardera brunnen fylls till Ferminivån (se fig. 21.6) med lika många protoner och neutroner. Observera, att varje nivå i vardera brunnen rymmer två partiklar, eftersom kärnspinnet för en neutron eller en proton, analogt med elektronen i en atom med flere elektroner eller i en ledare, kan ha två värden ( upp eller ner ). I skalmodellen antas därför, att protonerna och neutronerna bildar två skilda fermionsystem, som rör sig oberoende av varandra i ett sfäriskt symmetriskt fält, som alstras av den sammanlagda effekten av alla kärnväxelverkningar med de övriga nukleonerna. Den effektiva kärnpotentialen U(r) kan approximeras med en kvadratisk brunn (fig ). Om Coulombkraften beaktas, minskar protonbrunnens djup med MeV Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

23 Modellen är analog med den som användes på en atom med flera elektroner, och kan därför studeras genom att man löser Schrödingerekvationen för denna potential. Om man prövar olika former av U(r) (t.ex. Woods-Saxon potentialen : U(r) = U 0 [1 + e (r R)/a ] 1 ) och beaktar andra egenskaper hos den starka kärnkraften (t.ex. spinn ban växelverkan) kan ett energidiagram beräknas för kärnans grundtillstånd. Liksom för atomerna, fylls nivåerna enligt växande energi med beaktande av Pauliprincipen. Även de magiska talen kan bestämmas genom en sådan analys. De svarar mot sådana fyllda skal, där energigapet mellan skalet och närmast högre energinivå är speciellt stort. Skalmodellen kan också användas för att bestämma spinnet för nukleonerna i deras grundtillstånd. Det totala kärnspinnet är det totala impulsmomentet för kärnan som erhålls (liksom för en flerelektronatom) genom att addera impulsmomenten för både protoner och neutroner enligt de kvantmekaniska reglerna för vektoraddition av impulsmoment. Benämningen kärnspinn är kanske något missvisande i detta fall eftersom det inkluderar både spinn och banimpulsmoment för nukleonerna. Vi skulle vänta oss, att skalmodellen skulle ge ganska noggranna värden för de kärnmagnetiska momenten, eftersom de kan relateras till kärnspinnen. Skalmodellen ger dock ganska onogranna värden av dipolmomenten, som visar att den har sina begränsningar. Enligt skalmodellen kommer kärnspinn och magnetiska dipolmoment för nukleoner med motsatta värden av dessa storheter att ta ut varandra (dvs paras ut), vilket motsvarar elektronparningen i den kovalenta bindningen eller i Cooperparen. R.D. Woods och D.S. Saxon, Phys. Rev. 95, (1954) Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius

24 Det magnetiska dipolmomentet för en atomkärna kommer därför att bestämmas av de yttersta, oparade nukleonerna. Då det kärnmagnetiska dipolmomentet beräknas enligt skalmodellen som en funktion av nukleonernas kärnspinn, får man värden grupperade på två linjer (Schmidt linjerna), men då de beräknade värdena jämförs med observationerna, ser man att de experimentella värdena för dipolmomentet oftare ligger mellan Schmidt linjerna, än på dem. Detta beror på, att vi inte har beaktat att de yttre nukleonerna attraherar nukleonerna i innerkärnan, och därigenom polariserar den. En modell som beaktar dessa effekter är den kollektiva kärnmodellen, som utvecklades av Aage Bohr (Niels Bohrs son) och Ben Mottelson på 1960 talet. För sin forskning tilldelades de 1975 Nobelpriset. I den kollektiva modellen, liksom i skalmodellen, antas nukleonerna röra sig i ofyllda skal oberoende av varandra i en effektiv kärnpotential, som alstras av innerkärnan, bildad av de fyllda subskalen. Denna potential är dock inte sfäriskt symmetrisk på grund av att den kan deformeras genom nukleonernas kollektiva rörelser i innerkärnan. I detta avseende påminner kärnan om en vätskedroppe. Betrakta t.ex. en nukleon som rör sig nära kärnans yta. Genom sin rörelse kommer den att påverka innerkärnans yta på grund av växelverkningar med innerkärnans nukleoner. Det uppstår ett tidvattensfenomen som leder till en distortion av kärnpotentialen. Schrödingerekvationen blir besvärlig att lösa, men de observerade magnetiska momenten kan beskrivas noggrannare. Kärnfysiken innehåller många exempel på modellberäkningar. Endel enkla modeller, lånade från andra områden av fysiken, kan vara till hjälp för att tolka vissa av systemets egenskaper och göra förutsägelser. De kan dock inte leda till en fullständig beskrivning, och tillämpningarna är begränsade. Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius