CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA OCH GÖTEBORGS UNIVERSITET Teoretisk fysik och mekanik Göran Niklasson

Transkript

1 CHALMRS KNISKA HÖGSKOLA OCH GÖBORGS UNIVRSI eoretisk fysik och ekanik Göran Niklasson entaen i erodynaik och statistisk fysik för F (FF0) id och lats: Onsdagen den 5 augusti 00 kl i V-huset. xainatorer: Mikael Fogelströ (tel ), Göran Niklasson (tel. 77 9, ). Hjäledel: Physics Handbook, BA, erodynaiska tabeller (utdelade), forelblad ed Allänna relationer för enkoonentsyste och Kanonisk fördelning (utdelat), egenhändigt skriven A-sida ed valfritt innehåll (inga koior eller askinskrift) sat valfri räknedosa i fickforat. Bedöning: Varje ugift ger högst 0 oäng vardera. Poäng från inläningsugifter adderas till tentaensoängen enligt utdelad forel. För godkänt krävs 0 oäng. Lösningar: Anslås å entrédörren till trahuset oedelbart efter skrivningens slut. Rättningsrotokoll: Anslås i entréhallen Fysik senast åndagen den 6 seteber. Rättningsgranskning: Onsdagen den 8 seteber kl i ru 7B i Origohusets norra flygel (Göran Niklassons tjänsteru).. På östra sidan av Kliiga Bergen uträder ibland en stark, torr och var vind so går under nanet Chinook. Den koer uifrån bergen och blåser nedför sluttningarna ot Denver och angränsande oråden. Fastän det är kallt ue i bergen är vinden ycket var när den når Denver ( chinook är ett indianskt ord so betyder snöätare ). Liknade vindar uträder bland annat i Alerna ( föhnvindar ) och i södra Kalifornien ( Santa Anas ). (a) Förklara varför vindens teeratur stiger när den blåser nedför sluttningarna! Varför är det väsentligt att vinden är stark (d.v.s. att luftströen är snabb)? (b) Anta att en vind börjar blåsa ot Denver (höjd 60 över havet) från Grays Peak (en bergsto 80 k väster o Denver å höjden 50 över havet). Luftrycket å Grays Peak är 56,0 kpa och luftteeraturen är -5 C. I Denver är lufttrycket 8, kpa och teeraturen,0 C innan det börjar blåsa. Med hur ånga grader stiger teeraturen i Denver när chinooken anländer?. För en klassisk ideal gas bestående av ickeväxelverkande atoer i terisk jävikt är de kartesiska koonenterna för hastigheten statistiskt oberoende variabler. I tre diensioner gäller ( / πσ ) ( ) ( σ ) ( vx, vy, vz ) ex vx + vy + vz / där σ k /. nergin för en ato är v /. (a) Vad är sannolikhetsfördelningen () för energin för en ato i en trediensionell gas? (b) Antag att gasen är tvådiensionell. Vad är () i så fall? (c) Vad är () o gasen är endiensionell? (d) Beskriv skillnaderna ellan de tre fallen.

2 . I en aluiniubehållare so är diensionerad för att tåla ett övertryck å 5 at förvaras flytande dietyleter i jävikt ed tillhörande gasfas. Vilken är den axiala teeratur so behållaren får utsättas för, o det axiala trycket inte skall överskridas? Kokunkten för dietyleter vid at är,5ºc. Ångbildningsentaliteten kan sättas till 7,0 kj/ol i det aktuella teeraturorådet. I avsaknad av ytterligare data är du tvungen att göra vissa förenklande aroxiationer och antaganden i beräkningen. Dessa skall tydligt förklaras.. N stycken väteolekyler H i terisk jävikt vid teeraturen har absorberats å en flat yta ed arean A. På ytan beter olekylerna sig so en tvådiensionell icke växelverkande gas. Molekylernas rotationsrörelse är ed andra ord helt bunden till ytans lan. Rotationsrörelsens kvanttillstånd beskrivs av ett rotationskvanttal so kan anta värdena 0, ±, ±, ±,.... Det finns ett kvanttillstånd för varje värde av. Rotationsenergin skrivs ε / I där I är tröghetsoentet. (a) Skriv ned rotationsdelen av artitionsfunktionen för en olekyl! (b) Vad är kvoten ellan sannolikheterna () och ()? (c) Vad är sannolikheten att o energin är ε 9 / I? Vad är sannolikheten att o ε / I? (d) Hur stort är rotationsenergins bidrag till gasens inre energi vid höga teeraturer, d.v.s. då k / I? 5. Figuren visar rincien för en turbo. Innan bränsleblandningen srutas in i otorn korieras den i koressorn, vilken drivs av en turbin so utnyttjar de vara avgaserna. Hur stort är trycket efter korieringen, o både koressorn och turbinen antas arbeta reversibelt och adiabatiskt? Bränsleblandningen får antas bestå av enbart luft, och den får behandlas so en ideal gas ed konstant värekaacitet. Ändringen av antalet ol vid förbränningen i otorn får försuas, likso den ändliga utströningshastigheten. Siffervärden för tryck och teeratur tas från figuren. ngine Power out 70 kpa 650ºC Coressor urbine Inlet air 00 kpa 0ºC xhaust P 00 kpa

3 6. n endiensionell kedja sätts iho av N identiska länkar ed längden l. Vinkeln ellan två å varandra följande länkar kan vara 0 eller 80. Inre energin är oberoende av vilken vinkeln är. Man kan för enkelhetens skull säga att o vinkeln är 0 så lägger vi till (+) längden l till kedjans totala längd edan o vinkeln är 80 så subtraheras (-) längden l från totala längden. Vi har totala antalet länkar N (n + + n - ) och totala längden av kedjan ( ) L l n n l n N + + (a) Använd den ikrokanoniska enseblen för att beräkna kedjans entroi so funktion av N och n +. (b) Finn ett uttryck för sännkraften τ i kedjan. Detta uttryck blir en funktion av teeraturen sat av N och n +. Notera att sännkraften i en endiensionell kedja blir en otsvarighet till trycket i ett trediensionellt syste. (c) Vad blir längden av kedjan uttryckt i τ, N och?

4 CHALMRS KNISKA HÖGSKOLA OCH GÖBORGS UNIVRSI eoretisk fysik och ekanik Göran Niklasson entaen i erodynaik och statistisk fysik för F Rättningsrotokoll: Anslås i entréhallen Fysik senast åndagen den 6 seteber. Rättningsgranskning: Onsdagen den 8 seteber kl i ru 7B i Origohusets norra flygel (Göran Niklassons tjänsteru). Lösningar Ugift (a) O luftrörelsen är snabb hinner det inte ske något nänvärt väreutbyte ed ogivningen, d.v.s. rocessen blir adiabatisk. fterso trycket blir större å lägre höjd korieras luften. Vid adiabatisk koression av en gas ökar teeraturen. (b) Beteckningar: begynnelseteeratur (7 5) K 58 K begynnelsetryck 56,0 kpa slutteeratur? sluttryck 8, kpa C /C V, för luft Vid adiabatisk rocess gäller sabandet vilket ger konstant, 8, 56,0 58 K 87 K C eeraturen i Denver stiger alltså från C till C, d.v.s ed grader. Svar: eeraturen stiger ed C. Ugift (a) Vi börjar ed att bestäa sannolikheten P() för att energin skall vara. Den finner vi geno att integrera (v x,v y,v z ) över det oråde där v /. Integrationen genoförs enkelt o vi inför de sfäriska koordinaterna v, θ och ϕ i hastighetsruet: / π π / v / k P sinθ dθ dϕ v e dv π k Med variabelsubstitutionen ε v / kan detta oforas till / ε ε / k ε / k / / 0 π 0 P π e dε ε e dε π k k Den sökta sannolikhetsfördelningen () fås geno derivering: dp e d π / k ( k ) /

5 (b) I två diensioner gäller att ( πσ ) ( ) ( σ ) ( vx, vy ) ex vx + vy / Vi gör otsvarande oforningar so i tre diensioner en ed användning av olära koordinater v och ϕ: 0 ε / k π / v / k ε / k P dϕ v e dv π e dε π k π k k e dε / e dp d (c) I en diension gäller att vilket ger ( πσ ) / k k ( vx) ex vx / σ 0 ε / k / v / k ε / k P e dv e dε π k π k ε e π k dε ε / e dp d 0 0 k π k (d) Den est arkanta skillnaden ellan de tre fallen ser an vid låga energier. I tre diensioner fallet går () ot noll so, i två diensioner går () ot ett konstant värde, och i en diension går () ot oändligheten so / Svar: (a) (b) (c) e π e k / k ( k ) / k / k e π k / (d) Se beskrivningen ovan. Ugift Vi antar att ängden eter är sådan att behållaren hela tiden innehåller både vätske- och gasfas, d.v.s. vi rör oss längs ångkurvan. Då beror trycket av teeraturen enligt Clausius-Claeyrons ekvation: d l d v v ( g v ) där l är ångbildningsentaliteten, v g är gasfasens voly och v v är vätskefasens voly, allt räknat er ol.

6 Aroxiationer: vi försuar v v i jäförelse ed v g och använder ideala gaslagen för att bestäa v g : v g R d l l d v R g O l antages vara konstant kan vi geno integration bestäa sabandet ellan och. So randvillkor använder vi 0 at och 0 (7,5+,5) K 07,65 K. 0 0 l ln 0 R0 R ln 0 l 0 d l d R Insättning av 5 at, R 8, J/Kol och l 7,00 J/ol ger 6,0 K 89,8ºC. Svar: 90ºC Ugift (a) illståndssuan (artitionsfunktionen) för en väteolekyl är rot ( ex / ) + ex ( / ) Z Ik j Ik (b) Den sökta kvoten är ( ) j 0 ( Ik ) ( Ik ) ex 9 / ex 5 / ex / ( Ik ) (c) O energin är 9 / I så åste vara antingen + eller -. Båda dessa öjligheter är lika sannolika och någon annan öjlighet finns inte. Alltså finner vi att den sökta sannolikheten är O ε blir då 9 ε I / I finns öjligheterna -, 0 och +. Sannolikheten för + ( Ik ) ( ) ( ) ex / ε I + ex / Ik ex / Ik + (d) I högteeraturgränsen, d.v.s. o en integral: k / I, kan tillståndssuan göras o till

7 rot ex ( / ) ex ( / ) Z Ik x Ik dx Ik Ik π Ik ex ( z ) dz π Ur detta kan rotationsrörelsernas bidrag till Helholtz fria energi, entroin och energin bestäas: π Ik k π Ik Frot k ln Zrot k ln ln dfrot k π Ik k Srot ln + d rot Frot + Srot k För N olekyler fås rot Nk Svar: Se forlerna ovan. Ugift 5 Det arbete W so uträttas av turbinen är lika ed inskningen i entali för gasen. För en ol av en ideal gas ger detta W C där C är den isobariska värekaaciteten er ol. eeraturen är inte given en kan beräknas ur givna data för trycket. fterso rocessen i turbinen är adiabatisk finner vi att W C där är den adiabatiska koefficienten ( C /C V ). Hela arbetet W utnyttjas för att driva koressorn. Den fungerar i rinci å saa sätt so turbinen, fast baklänges. Vi finner följande saband: W C W C Geno att jäföra de två uttrycken för W får vi en ekvation ur vilken det obekanta trycket kan beräknas:

8 + + /( ) För luft gäller att,0. Övriga siffervärden: 00 kpa, 70 kpa, 0 K, 9 K. Insättning ger resultatet 8 kpa. Svar: 8 kpa Ugift 6 Utskriven lösning saknas. Notera analogin ed det araagnetiska sinnsysteet i kaitel i kursboken! Svar (a) S N, n+ kn lnn N n+ ln N n+ n+ lnn+ (b) ( N n ) k n,, + ln l N n+ τ + (c) L Nl tanh l τ k I gränsen k >> lτ ger detta Hookes lag, d.v.s. att förlängningen blir roortionell ot Nl sännkraften: L k τ