Memory Det kombinatoriska spelet

Transkript

1 Institutionen för naturvetenskap och teknik Memory Det kombinatoriska spelet Simon Sjölund & Erik Åstrand

2 Örebro universitet Institutionen för naturvetenskap och teknik Matematik C, högskolepoäng Memory Det kombinatoriska spelet Simon Sjölund & Erik Åstrand Juni 2013 Handledare: Niklas Eriksen Examinator: Marcus Sundhäll Självständigt arbete, 15 hp Matematik, Cnivå, hp

3 Sammanfattning Uppsatsen handlar om spelet Memory där vi utgår från vissa regler som gör det möjligt att räkna sannolikheter av olika strategier. Vi använder oss av 2 strategier, säker och vågad strategi, för att utifrån olika positioner i spelet beräkna hur många par en spelare kan förväntas få. Vi gör en jämförelse mellan strategierna och undersöker vilken strategi är bäst att använda sig av i olika lägen i spelet. Det vi har gjort i vårt arbete är att utveckla Erik Alfthans [1] grundidé, att spelarna har oändligt minne och att spelet bara innehåller par. Där har vi gjort två förgreningar där den ena handlar om att spelarna har begränsat minne. I den andra har spelplanen inte bara par utan också singelkort som inte kan paras med något kort. Som en ingång till teorierna inom Memoryspelet har vi ett kapitel om intervallhalvering. Där visar vi hur spelaren kan maximera sin vinstchans i ett till synes helt slumpartat spel.

4

5 Innehåll 1 Inledning 5 2 Intervallhalvering Spelregler Beräkningar Regler, denitioner och strategier Regler Dessa regler gäller Strategier i spelet Memory Vågat spel Säkert spel Memory med begränsat minne Memory med singelkort Denitioner Memory med begränsat minne Formler vågat spel Formler för säkert spel Exempel med begränsat minne Memory med singelkort Formler vågat spel Formler för säkert spel Exempel med singelkort Strategival Strategival för intervallhalvering Strategival för memory med minne Strategival för memory med singelkort Slutord

6

7 Kapitel 1 Inledning Memory är det kända spelet där två eller er spelare försöker att samla på sig så många par som möjligt på en gemensam spelplan av okända kort. I varje omgång måste spelaren vända upp två kort. Om korten matchar får spelaren behålla paret och fortsätta spelet. Om korten inte matchar går turen över till spelaren som står på tur. Spelat är slut när alla par på spelplan är upplockade. Alfthan [1] har utarbetat formler för ett Memoryspel där minnet är obegränsat. Vi har då omformulerat hans tankar till två olika fördjupningar inom memoryspelet. I den första fördjupningen så använder vi oss av begränsat minne istället för det obegränsade som Alfthan [1] använde. I vår andra fördjupning så valde vi istället att lägga till kort som inte hörde ihop med något annat, det vill säga singelkort. Vi har även skapat formler för att göra det möjligt att räkna på de nya lägena som uppstår i spelet när vi har bergränsat minne eller spel med singelkort. 5

8 Kapitel 2 Intervallhalvering Intervallhalvering går ut på att gissa ett specikt tal på ett intervall [a, b]. Spelet innehåller två spelare och en spelledare. Låt oss säga att spelledaren väljer intervallet [1, 10] och talet 7. Spelledaren inleder med att avslöja intervallet för spelarna. Nu är det upp till spelare A och B att gissa på talet spelledaren tänker på. Om spelare A inleder spelet med en gissning nns det tre olika utfall, spelare A gissar på talet 7, gissningen är < 7 eller så är den > 7. Spelledaren ger då denna information till spelarna och det är spelare B:s tur att gissa. Finns det någon speciell strategi att använda sig av eller får man helt förlita sig på tur? Vi har valt att göra beräkningar på sannolikheter där båda spelarna spelar det optimala spelet. Detta är gjort för att kunna göra beräkningarna på ett så bra sätt som möjligt. Vi har även tagit bort möjligheten att spelledaren sitter inne på någon utslagsgivande information om spelare eller hyser några sympatier för någon av dom. 2.1 Spelregler Tre spelare (två gissar, en spelledare). Spelarna turas om gissa på det tal spelledaren tänker på. Den spelare som gissar rätt tal vinner. Gissar spelaren över säger spelledaren att gissningen är över det tänkta talet. Gissar spelaren under säger spelledaren att gissningen är under det tänkta talet. 6

9 2.1.1 Beräkningar Lemma De tre olika utfallen i intervallet n om spelaren gissar på talet k + 1 är Sannolikheten att spelledaren tänkte på det tal spelaren gissat på = 1 n Sannolikheten att spelledaren tänkte på ett tal under det tal spelaren gissat på = k n Sannolikheten att spelledaren tänkte på ett tal över det tal spelaren gissat på = n k 1 n Bevis. Antalet möjliga utfall för alla tre utfall är n. Antalet gynsamma utfall är det som skiljer dem ifrån varandra. Antalet gynsamma utfall för att spelledaren tänkt på talet k + 1 är alltså bara ett av de n tal spelledaren har att tänka på. Vi får då sannolikheten 1 n. Det nns k antal tal under talet k + 1. Det är alltså k gynsamma utfall att spelledaren tänker på ett tal under k + 1. Vi får då sannolikheten k n. Det nns n k 1 antal tal över talet k + 1. Det är alltså n k 1 gynsamma utfall att spelledaren tänker på ett tal över k + 1. Vi får då sannolikheten n k 1 n. 2 tal Vi denierar sannolikheten att vinna när spelaren gissar på talet k + 1 av n antal tal till P (n, k + 1) Sannolikheten att vinna i detta läge om spelaren gissar på det lägre talet är enligt lemma (2.1.1). P (2, 1) = = Gissar spelaren rätt direkt har spelaren alltså redan vunnit och därför multiplicerar vi 1 2 med 1. I detta läge förlorar spelaren även automatiskt om den gissar fel. Därför Multiplicerar vi med 0. Sannolikheten att vinna då spelaren istället gissar på det övre talet blir P (2, 2) = = Det vi ser är alltså att oavsett vad spelaren väljer i detta läge så är det 1 2 sannolikhet att den vinner. 3 tal Sannolikheten att vinna i detta läge om spelaren gissar på det lägre talet är enligt lemma (2.1.1). P (3, 1) = = 2 3

10 I detta läget blir skillnaden att spelare B inte vinner direkt om spelare A missar sin gissning. Det blir istället så att spelare B hamnar i ett läge där den har två tal att gissa på. P (3, 2) = = P (3, 3) = = Det är alltså bättre att gissa på antingen det högsta eller det lägsta talet när spelaren har tre tal att gissa på. 4 tal P (4, 1) = = 1 2 P (4, 2) = = 1 2 P (4, 3) = = 1 2 P (4, 4) = = 1 2 Här ser vi att det alltid verkar vara 1 2 chans att gissa rätt då spelarna har ett jämnt antal tal att gissa på oavsett vilket tal de väljer. Som i fallet då spelaren hade två tal att gissa på så spelar det här heller ingen roll vilket tal spelaren gissar på. 5 tal P (5, 1) = = 3 5 P (5, 2) = = 2 5 P (5, 3) = = 3 5 P (5, 4) = = 2 5 P (5, 5) = = 3 5 Vi tycker oss från dessa beräkningar se att när spelarna har ett udda antal tal att gissa på ger det en typ av utfall och när de har ett jämnt antal tal att gissa på så ges ett annat typ av utfall. Därför kategoriserar vi antalet tal i udda och jämnt. Vid jämna antal tal har vi redan nämnt att det alltid ser ut att vara 1 2 chans att vinna. Vid ojämnt antal tal nns det också ett mönster där varannat tal ger samma sannolikhet att vinna. Därför delar vi upp talen i udda och jämna tal. Strategin som bör användas är att gissa på 8

11 samma typ av tal som kanttalet är. Med kanttal menas det första eller sista talet i intervallet. Det nns här likheter med det fortsatta arbetet med Memory. Användandet av olika strategier för att kunna kategorisera beräknandet. Vi har även använt oss av väntevärden då vi när vi räknar behöver använda oss av de nya lägena som uppstår i beräkningarna. I dessa beräkningar har vi använt oss av lagen om total sannolikhet. Dessa två tillsammans med Lemma (2.1.1) ger oss en formel för sannolikheten att vinna. P (k) står för sannolikheten för spelare B att vinna i det läge han får då spelare A gissat på ett tal över det tal spelledaren tänkte på. P (n k 1) står för sannolikheten för spelare B att vinna i det läge han får då spelare A gissat på ett tal under det tal spelledaren tänkte på. P (n, k + 1) = 1 n + k n n k 1 (1 P (k)) + (1 P (n k 1)) n 9

12 Intervall [a,a + n 1] Bra val Oberoende val Dåliga val n=3 a,a+2 a+1 n=4 a,a+1,a+2,a+3 n=5 a,a+2,a+4 a+1,a+3 n=6 a,a+1,...,a+5 n=7 a,a+2,a+4,a+6 a+1,a+3,a+5 n=8 a,a+1,...,a+7 n=9 a,a+2,a+4,a+6,a+8 a+1,a+3,a+5,a+7 Sats Sannolikheten att vinna intervallhalveringsspelet är { 1 P (n) = 2 om n är jämn; om n är udda. n+1 2n Bevis. För att bevisa denna formel så delar vi upp den i fyra olika fall. Då spelarna har ett jämnt antal tal att gissa på så kan det antingen vara ett jämnt antal tal under det tal spelaren gissade på och ett udda antal tal över det tal spelaren gissade på. Annars kan det vara tvärtom så att det är ett udda antal tal under det tal spelaren gissade på och ett jämnt antal tal över det tal spelaren gissade på. För att då bevisa det för dessa två olika val så använder vi oss av induktion. Vidare då spelaren har ett udda antal tal att gissa på så är det antingen ett udda antal tal på båda sidor om det tal spelaren gissat på eller jämnt på båda sidor. P (1, 1) = = 1 1 P (2, 1) = (1 1) = 1 2 P (2, 2) = (1 1) =

13 Vi börjar med läget då både n och k + 1 är jämnt. Om k + 1 är jämnt blir alltså k udda. P (n, k + 1) = 1 n + k n k 1 (1 P (k)) + (1 P (n k 1)) n n = (enligt antagande) = 1 n + k n (1 k + 1 2k ) + n k 1 n = 1 n + k n k 1 2k + n k 1 1 n 2 = 1 n + k 1 2n + n k 1 = 1 2n n + k 1 + n k 1 2n = 1 n + n 2 2n = 1 n + n 2 2n = 2 2n + n 2 2n = n 2n = 1 2 (1 1 2 ) Vi använder oss av samma bastal och går vidare till läget då n är jämnt och k + 1 är ojämnt. P (n, k + 1) = 1 n + k n k 1 (1 P (k)) + (1 P (n k 1)) n n = (enligt antagande) = 1 n + k n (1 1 2 ) + n k 1 n = 1 n + k n n k 1 n k 2 n 2(n k 1 = 1 n + k 2n + n k 2 = 1 2n n + k n k 2 2n = 1 n + n 2 2n = 1 n + n 2 2n = 2 2n + n 2 2n = n 2n = 1 2 (1 n k 2(n k 1 ) Nästa läge vi använder induktionsbeviset på blir då antalet tal n är udda och även talet spelaren gissar på k + 1 som är udda. P (n, k + 1) = 1 n + k n n k 1 (1 P (k)) + (1 P (n k 1)) n = (enligt antagande) = 1 n + k n (1 1 2 ) + n k 1 (1 1 n 2 ) = 1 n + k 2n + n k 1 = 2 2n 2n + n 1 2n = n + 1 2n Det sista induktionsbeviset vi gör behandlar läget då vi har ett udda antal 11

14 tal n och att spelaren gissar på k + 1 som är jämnt. P (n, k + 1) = 1 n + k n k 1 (1 P (k)) + (1 P (n k 1)) n n = (enligt antagande) 1 n + k n (1 k + 1 2k ) + n k 1 (1 n k n 2(n k 1) ) = 1 n + k 1 2n + n k 2 = 2 2n 2n + n 3 2n = n 1 2n Det vi får ut av detta bevis är att när spelaren har ett jämnt antal tal att gissa på så spelar det ingen roll vad spelaren gissar på då det alltid är 1 2 sannolikhet att vinna. När det istället är ett ojämnt antal tal att gissa på nns det ett dåligt och ett bra val. Det bra valet är att gissa på samma typ av tal som kanttalet. Det dåliga valet är att gissa på den andera typen av tal än kanttalet. 12

15 Kapitel 3 Regler, denitioner och strategier 3.1 Regler För att skapa ett Memoryspel där det blir möjligt att beräkna hur många par en spelare kan förväntas få i en viss position kommer vi konstruera ett antal regler. Vi använder oss bara av två spelare samt att strategierna tvingar spelarna att hela tiden ta upp något okänt kort för att spelet inte ska bli oändligt. Ingen av spelarna kommer göra några misstag eller dåliga val utifrån de strategier vi studerar Dessa regler gäller Två spelare. Spelarna turas om att vända två kort, ett kort i taget. Vänder spelaren två kort som är lika behåller spelaren paret och får vända kort igen. Spelaren som plockar est par vinner. Spelet är slut när alla par på spelplanen är upplockade. Ingen spelare får vända två kända kort som ej bildar ett par. Ingen spelare vänder först ett känt kort och sedan ett okänt kort. Spelarna väljer alltid den strategin som förväntas ge mest antal kort. 13

16 3.2 Strategier i spelet Memory För att nu kunna räkna med dessa variabler behöver vi strategier för vilka drag spelarna bör använda inom spelet. Vi denierar de drag som är tillåtna inom spelet och kommer endast räkna på dessa. Det enda som går att välja mellan är att antingen öppna ett känt kort eller ett okänt kort. För att spelet inte ska bli oändligt så får spelarna inte ta upp två redan kända kort, vilket kan vara ett lockande alternativ då spelaren har mycket att förlora på att ge någon ny information till motspelaren. Vi kommer inte heller ta med i beräkningen då spelaren först tar upp ett känt kort och sedan ett okänt kort, för det är inget läge i spelet då detta är optimalt. Vi fokuserar istället på att spelarna antingen tar upp två okända kort eller att spelarna först tar upp ett okänt och sedan ett känt kort. Spelaren som är på tur tar upp ett okänt kort. Om det matchar ett tidigare känt kort (trä) så tar spelaren upp det par som bildas och får testa sin lycka igen. Annars använder spelaren sig av någon av nedanstående två strategier Vågat spel Om spelaren vänder upp ett kort som inte matchar ett tidigare känt kort (miss) så vänder spelaren upp ett nytt okänt kort. Kortet kan då antingen matcha det tidigare kort spelaren vände upp (miss,trä), matcha ett tidigare känt kort men inte det spelaren just vände upp (miss, dålig trä) eller missa också det andra kortet (miss, miss). Spelet görs med risken att motspelaren får användbar information i nästa drag Säkert spel Om spelaren vänder upp ett kort som inte matchar ett tidigare känt kort (miss) så vänder spelaren upp ett redan känt kort. Detta för att spelaren enligt strategin inte vill ge någon information till motspelaren. Samtidigt tappar spelaren möjligheten att plocka ett par när första kortet är miss. 14

17 3.2.3 Memory med begränsat minne Då vi spelar med begränsat minne så kräver det att vi sätter vissa bestämmelser kring hur minnet i vårt spel ska fungera. Vi har valt att spelarna inte glömmer kort förrän turen blir överlämnad, dvs. om spelaren vänder upp två nya kort efter att spelarna nått maxminne så glöms det inga kort förrän nästa spelare startar sin tur. Vi har även bestämt att spelarna glömmer samma kort. De kort som glöms väljs ut ur en likformig fördelning över korten i minnet. Låt oss säga att en spelare har fyra kort i minnet och är på maxminne när två nya kort plockas upp. Spelaren kommer sedan med likformig fördelning glömma två av det fyra tidigare kända korten Memory med singelkort När vi spelar med singelkort förändras inte strategierna. Spelarna använder sig av den vågade och säkra strategin. Däremot uppstår nya möjliga utfall som behöva beräknas, eftersom spelarna kan missa genom att plocka singelkort. 15

18 3.3 Denitioner n: Antalet par på bordet (2n är då antalet kort på bordet). j: Antalet okända par på bordet (2j är då antalet okända kort på bordet). För övriga par är ett kort känt. m: Det minne spelarna har (alltså hur många kort som får plats i deras minne). Läge i spelet: (n, j, m) Beskriver det läge i spelet spelaren är i vid just den tidpunkten innan något kort dragits i Memory med begränsat minne.(n, f, k, f) beskriver läget i singel Memory. Förväntat antal par: E j n är det antalet par spelarna förväntas få från resterande spel utifrån det läge spelarna benner sig i, alltså läge (n, j, m) eller (n, j, k, f). Spelarna: Vi benämner våra spelare till spelare A och spelare B. Där spelare A startar och spelare B står på tur. Trä: När spelaren får upp ett okänt parkort som bildar par med ett kort som spelaren känner till sedan tidigare. Miss: När spelaren får upp ett okänt parkort som inte bildar par med något tidigare känt kort. Bom: får upp en okänd singel. k: Antalet singlar på bordet. f: Antalet okända singlar på bordet. 16

19 Kapitel 4 Memory med begränsat minne 4.1 Formler vågat spel För att beräkna E j n använder vi oss av lagen om total sannolikhet [2] för att dela upp beräkningarna i ett antal disjunkta händelser. För varje händelse beräknas sannolikheten för händelsen och den förväntade vinsten givet händelsen. Då vi har begränsat minne så kommer våra formler bli annorlunda i jämförelse med Alfthans [1] formler. Det som skiljer sig är just minnes delen som kräver några ytterligare delar till formlerna. Spelaren kan komma ihåg alla kort som blivit kända på bordet, glömma ett kort eller glömma två kort beroende på hur nära maxminne spelaren benner sig. För att deniera hur nära spelaren är maxminne skriver vi m (n j) vilket är antalet kort spelaren kan ha i minnet m minus antalet kända kort på bordet (n j).vid val av vågat spel nns en rad av olika utfall: trä; miss,trä; miss,miss; miss,dålig trä. Trä första kortet Detta sker när spelaren i sitt första drag träar ett av de (n j) kända korten av alla kort (n + j) på spelplanen. Spelaren kan då plocka upp ett par för att sedan fortsätta sin tur. Efter att ha tagit paret är väntevärdet E j n. En j (n j) (trä) = (n + j) (1 + Ej n 1 ) (4.1) 17

20 Miss första kortet, trä andra I första draget vänder spelaren upp ett av de 2j okända korten som inte matchar ett tidigare känt kort. I nästa drag vänder spelaren av de kvarvarande (n + j 1) det enda kortet som matchar första kortet. Spelaren får då ett par och får fortsätta spelet från den nya positionen. E j n (miss,trä) = Missa båda korten = 2j (n + j) 1 (1 + Ej 1 n 1 (n + j 1) ) (4.2) 2j (1 + Ej 1 n 1 (n + j)(n + j 1) ) Spelaren vänder först upp ett av de 2j okända korten som inte matchar ett tidigare känt kort och i nästa drag ett till av de då 2(j 1) okända korten som inte matchar ett tidigare känt kort av de som nns kvar. Formel om m (n j) 2 E j n (miss,miss,2) = = 2j (n + j) 2(j 1) (n Ej 2 n ) (n + j 1) 4j(j 1) (n Ej 2 n ) (n + j)(n + j 1) (4.3) Formel om m (n j) = 1 E j n (miss,miss,1) = = 2j (n + j) 2(j 1) (n Ej 1 n ) (n + j 1) 4j(j 1) (n Ej 1 n ) (n + j)(n + j 1) (4.4) Formel om m (n j) = 0 E j n (miss,miss,0) = = 2j (n + j) 2(j 1) (n + j 1) (n Ej n) 4j(j 1) (n + j)(n + j 1) (n Ej n) (4.5) Miss första kortet, dålig trä andra För att detta ska ske vänder spelaren först upp ett av dom 2j okända korten som inte matchar ett tidigare känd kort, för att i andra draget plocka upp ett matchande kort (n j) till ett redan känt par. Spelaren på tur kan nu i sin tur först plocka upp ett par samt fortsätt spelet från den nya positionen. 18

21 Eftersom vi räknar med att spelarna har begränsat minne kan de bara ha ett antal kort i minnet. Formel om m (n j) 2 En j (miss,dålig trä,2) = 2j = Formel om m (n j) = 1 (n + j) (n j) (n (1 + Ej 1 n 1 (n + j 1) )) (4.6) 2j(n j) (n (1 + Ej 1 n 1 (n + j)(n + j 1) )); En j (miss,dålig trä,1) = 2j (n + j) (n j) (n j 1) (n + j 1) (n j) + 2j (n + j) (n j) (n + j 1) 2j(n j 1) = (n (1 + Ej 1 n 1 (n + j)(n + j 1) )) + Formel om m (n j) = 0 2j (n Ej 1 n ) (n + j)(n + j 1) 1 (n Ej 1 n ) (n j) (n (1 + E j 1 n 1 )) (4.7) En j (miss,dålig trä,0) = 2j (n + j) (n j) (n j 2) (n + j 1) (n j) + 2j (n + j) (n j) (n + j 1) 2 (n j) (n Ej n) 2j(n j 2) = (n (1 + Ej+1 n 1 (n + j)(n + j 1) )) + 4j (n + j)(n + j 1) (n Ej n) (n (1 + E j+1 n 1 )) (4.8) Formel för E j n I våra formler ovan nns det lägen där spelare B hamnar i precis samma läge som spelare A var i innan. Detta betyder att spelare B teoretiskt sett kan göra samma drag som spelare A. På så vis kan spelet bli oändligt långt om spelarna antingen missar två kort hela tiden och glömmer två kort, eller om exempelvis spelare A missar och får en dålig trä på andra och spelare B glömmer det par som bildas via den dåliga träen (detta gör att draget blir en missa båda korten). Därför har vi tagit in de lägen där minnet är eller 19

22 kan vara fullt och brutit ut E j n så att det bara nns en sådan variabel. Här följer den beräkningen. E j n = (n j) (n + j) (1 + Ej n 1 ) + 2j (n + j)(n + j 1) (1 + Ej 1 n 1 ) 4j(j 1) + (n + j)(n + j 1) (n 2j(n j 2) Ej n) + (n (1 + Ej+1 n 1 (n + j)(n + j 1) )) 4j + (n + j)(n + j 1) (n Ej n) En j 1 = 4j 2 (4j(j 1)n + 2j(1 + Ej 1 n 1 + (n + j)(n + j 1) ) + 2j(n j 2)(n (1 + E j+1 n 1 )) + 4jn + (n j)(n + j 1)(1 + Ej n 1 )) (4.9) 4.2 Formler för säkert spel I den säkra strategin blir det färre möjliga utfall, nämligen att spelaren missar eller träar första kortet. Om spelaren missar säkrar spelaren genom att plocka ett redan känt kort, något som inte ger motståndaren mer information. Vid trä plockar spelaren upp ett par och fortsätter sin tur. Trä första kortet Om spelaren i sitt första drag tar upp ett kort som matchar ett av de redan kända korten (n j) plockas paret upp och spelaren fortsätter spelet i den nya positionen. Miss första kortet En j (n j) (trä) = (n + j) (1 + Ej n 1 ) (4.10) Vid (miss) vänder spelaren ett okänt kort (2j) tillhörande ett av de okända paren, för att sedan vända ett känt kort. Något som skapar ett läge med ett mer känt par på bordet, förutsatt att spelarna inte är på maxminne och glömmer kort. Formel om m (n j) 1 E j n (miss,1) = Formel om m (n j) = 0 2j (n Ej 1 n ) (4.11) (n + j) 20

23 E j n (miss,0) = 2j (n + j) (n Ej n) (4.12) Formel för E j n Även i säkert spel kan läget uppstå där spelarna hela tiden glömmer information som teoretiskt skulle kunna skapa ett oändligt spel. En j = 2j (n + j) (n (n j) Ej n) + (n + j) (1 + Ej n 1 ) (4.13) En j 1 = (3j + n) (2jn + (n j)(1 + Ej n 1 )) 4.3 Exempel med begränsat minne Vi tar oss an ett exempel när vi spelar med begränsat minne och illustrerar hur dessa formler används. Exempel 1a - vågat spel Vi har valt att använda läget då det nns fyra par på bordet, tre okända par och tre i maxminne, alltså läge (4, 3, 3). Det som sedan görs för att beräkna hur många par spelaren kan förväntas få ur detta läge är att vi lägger ihop de relevanta formlerna. För att då veta vilka formler som ska användas kollar vi på hur nära maxminne spelaren är. I exemplet har vi tre i maxminne och vi har tre okända par av fyra par på bordet. Det betyder att vi har ett känt par (n j). Att ett par är känt betyder att ett kort av paren ligger i minnet och att spelarna vet vart det ligger. Alltså har vi ett kort i minne och vi kan ha tre som max. Detta betyder att vi ligger två kort ifrån maxminne m (n j) = 2. Då väljs de formler som fungerar på alla minnen och de som har begränsningen m (n j) 2. Först tänker vi gå igenom beräkningen om spelarna bara kör vågat spel. 21

24 Detta ger oss en summa av formlerna(4.1),(4.2),(4.3) och (4.6). Då kommer hela formeln se ut såhär. En j 4j(j 1) = (n + j)(n + j 1) 2j(n j) + (n + j)(n + j 1) (n Ej 2 n ) + 2j (1 + Ej 1 n 1 (n + j)(n + j 1) ) (n j) (n (1 + Ej 1 n 1 )) + (n + j) (1 + Ej n 1 ) Sätter vi in de värden vi har för läget vi är i (n, j, m) = (4, 3, 3) får vi då. E (3 1) = (4 + 3)( ) 2 3(4 3) + (4 + 3)( ) (4 E3 2 4 ) (1 + E (4 + 3)( ) ) (4 3) (4 (1 + E )) + (4 + 3) (1 + E3 4 1) = (4 E1 4) (1 + E2 3) (4 (1 + E2 3)) (1 + E3 3) För att beräkna detta krävs det att vi har kunskap om vad de nya lägena (E4 1, E2 3 och E3 3 ) har för värden. Då vi redan har beräknat dessa och även gjort ett program i Matlab som ger oss värden på alla olika lägen så kan vi bara fylla i även dessa värden ( ) ( ) (4 ( )) ( ) = Då får vi alltså ut att det förväntade antal par spelaren får av de fyra på bordet i läge (4, 3, 3) är , 75. Väntevärdet blir då 1, 75 ett värde nära heltalet 2 när denna strategin används i detta läge. 22

25 Exempel 1b - säkert spel I detta exempel använder vi oss istället av det säkra sättet att spela. I den strategin så väljer spelaren om den missat första kortet att vända upp ett känt andra kort för att inte riskera att ge bort mer information till motståndaren. Vi har fortfarande samma läge som i det föregående exemplet (exempel 1a - vågat spel). I säkert spel tar spelaren i princip alltid bara upp ett okänt kort per tur. Detta gör att formlerna anpassar sig runt minnet på ett annorlunda sätt än om vi skulle spela med den vågade strategin. Detta betyder att vi även bara glömmer ett kort. Detta gör att vi i det här läget använder oss av formlerna (4.10) och (4.11) En j = 2j (n j) (n Ej 1 n ) + (n + j) (n + j) (1 + Ej n 1 ) Vi sätter in variablerna n = 4, j = 3 och får då. E4 3 = 2 3 (4 3) (4 E3 1 4 ) + (4 + 3) (4 + 3) (1 + E3 4 1) = 6 7 (4 E2 4) (1 + E3 3) = ( ) ( ) = Det antal par spelaren förväntas få ut när den gör ett säkert drag i detta läge är , 81. 1, 81 är i sin tur närmare 2 och större än 1, 75 som vi ck ut vid användning av den vågade strategin i detta läge (exempel 1a). Detta betyder att det alltså är fördelaktigt att använda den säkra strategin i detta läge. 23

26 Exempel 2a - vågat spel I detta exempel använder vi istället läge (4, 1, 3). Vi har alltså fortfarande fyra par på bordet och tre kort som vi max kan hålla i minnet samtidigt. Det som är nytt är att vi bara har ett okänt par. Vad detta betyder är att vi nu redan har tre kort i minnet, vi ligger alltså på maxminne. Då vi tidigare använt formlerna som fungerar för alla minnen och formlerna som är till för läget då m (n j) 2 så använder vi nu istället de formler som fungerar då m (n j) = 0 eftersom det är läget vi nu arbetar med. Detta läge är problematiskt eftersom vi har några speciella fall som behöver förklaras. Vi kan börja med att konstatera vilka formler vi ska använda oss av. De formlerna är (4.1),(4.2),(4.5),och (4.8). Fallet då vi missar två kort (4.5) är speciellt eftersom det inte kan hända då vi inte har två okända par att vända upp. Detta visas även i formeln genom att sannolikheten för att det ska hända blir noll. Sedan är fallet där vi missar ett kort, träar det andra dåligt och spelarna glömmer ett kort till det par som bildades (4.8) är också speciellt för att då hamnar nästa spelare i precis samma läge som föregående spelare var i. Eftersom det nns en sannolikhet att spelaren som nu är på tur gör drag (4.8) så är det möjligt att det går runt och runt i oändligheten, om än en liten möjlighet. På grund av detta har vi konstruerat en formel 24

27 som gör det möjligt att beräkna detta,(4.9) formel för E j n i vågat spel. Där har vi dragit ut variabeln som går runt, runt och gjort så att den bara nns på ett ställe och då blir det möjligt att räkna på. Här är den med de insatta variablerna (n, j, m) = (4, 1, 3) E4 1 1 = (4 1(1 1) (1 + E (4 + 1)( ) ) (4 1 2)(4 (1 + E )) + (4 1)( )(1 + E1 4 1) (1 + E3) (4 (1 + E3)) (1 + E3)) 1 Vi gör som tidigare och sätter in variablerna för de nya lägena som kan uppstå och får då (0 + 2(1 + 3) (4 ( )) + 12(1 + )) = Det förväntade antal par spelaren får i läge (4, 1, 3) är alltså , 52. Väntevärdet blir då ett tal mellan heltalen 2 och 3. Exempel 2b - säkert spel Nu återvänder vi till att använda oss av den säkra strategin igen men denna gången använder vi läget från Exempel 2a. Samma princip gäller som i det föregående exemplet eftersom det även här nns möjlighet att bli ett oändligt spel. Därför har vi gjort en formel att använda då detta fenomen händer även för den säkra strategin. 25

28 E j n = 1 (3j + n) (2jn + (n j)(1 + Ej n 1 ))) (4.19) vi sätter in variablerna n = 4 och j = 1 och får. E 1 4 = 1 ( ) ( (4 1)(1 + E1 3)) = 1 7 (8 + 3( )) = 6 42 = Vi får alltså ut att det antal par spelaren förväntas få i läge (4, 1, 3) är , 93. Då kan vi se att den vågade strategin har högre chans att resultera i ett större förväntat antal par. Eftersom väntevärdet med den vågade strategin är 2,

29 Kapitel 5 Memory med singelkort 5.1 Formler vågat spel Trä första kortet Detta sker när spelarens kort i sitt första drag träar ett av de (n j) redan kända korten, spelaren kan då plocka upp ett par för att sedan fortsätta sin tur. k (n j) f Ej n (trä) = (n + j + f) (1 + k f Ej n 1 ) (5.1) Miss första kortet, bra trä andra Spelaren vänder först upp ett av dom 2j okända korten som inte matchar ett tidigare känt kort. I nästa drag vänder spelaren ett av det kvarvarande (n + j 1), det enda kortet som matchar första kortet. Spelaren plockar då ett par och får fortsätta spelet från den nya positionen. k f Ej n (miss,trä) = Miss båda korten = 2j (n + j + f) 1 (n + j + f 1) (1 + k f Ej 1 n 1 ) (5.2) 2j (n + j + f)(n + j + f 1) (1 + k f Ej 1 n 1 ) Spelaren vänder först upp ett av de 2j okända korten som inte matchar ett tidigare känt kort. I nästa drag vänds ett till av dom då 2(j 1) okända korten som inte matchar ett tidigre känt kort av de som nns kvar. k f Ej n (miss,miss) = = 2j (n + j + f) 2(j 1) (n + j + f 1) (n k f Ej 2 4j(j 1) (n + j + f)(n + j + f 1) (n k f Ej 2 n ) n ) (5.3) 27

30 Bom första kortet När spelaren börjar med en bom vänds sedan ett känt kort, bommen är ett singel kort utan match så vid optimalt spel ska ingen onödig information ges till motståndaren. k f Ej n (bom) = Miss första kortet, bom andra f (n + j + f) (n k f 1 Ej n) (5.4) Spelaren vänder först upp ett av de okända korten som inte matchar ett tidigare känt kort, för att i andra vända ett okänt singelkort. Detta skapar samma position för spelare B som om spelare A skulle bomma första, missa andra. k f Ej n (miss,bom) = = 2j (n + j + f) f (n + j + f 1) (n k f 1 Ej 1 2jf (n + j + f)(n + j + f 1) (n k f 1 Ej 1 n ) n ) (5.5) Miss första kortet, dålig trä andra För att detta ska ske måste spelaren först vända upp ett av de okända korten som inte matchar ett tidigare känd kort. För att i andra draget vända upp ett matchande kort till ett redan känt par. Spelaren på tur kan nu först plocka upp ett par samt fortsätt spelet. k 2j f Ej n (miss,dålig trä) = = (n + j + f) (n j) (n + j + f 1) (n (1 + k f Ej 1 n 1 )) 2j(n j) (n + j + f)(n + j + f 1) (n (1 + k f Ej 1 n 1 )) (5.6) 5.2 Formler för säkert spel Trä första kortet Om spelaren följer den säkra strategin och inte missar kommer spelaren träa ett kort matchande de redan kända. Då kan spelaren plocka upp ett par samt fortsätta spelet. k (n j) f Ej n (trä) = (n + j + f) (1 + k f Ej n 1 ) (5.7) 28

31 Miss första kortet Vid missat kort måste spelaren vända ett okänt kort tillhörande ett av de okända paren, för att sedan vända ett känt kort. Något som skapar ett läge med ett mer känt par på bordet. Bom första kortet k f Ej n (miss) = 2j (n + j + f) (n k f Ej 1 n ) (5.8) När spelaren börjar med en bom vänds sedan ett känt kort, bommen är ett singel kort utan trä så vid optimalt spel ska ingen onödig information ges till motståndaren. Tvungna drag k f Ej n (bom) = f (n + j + f) (n k f 1 Ej n) (5.9) Det bör nämnas att när det inte nns några kända kort på bordet så kommer den vågade strategin användas. Med de regler vi satt upp för spelet nns inga andra alternativ eftersom spelarna måste ta upp två olika kort per omgång. Det här gör att vi inom Memory med singelkort har två drag som blir möjliga i både vågat och säkert spel som annars inte skulle kunna hända. I ett läge av spelet utan några kända kort och spelaren bommar första kortet kan ju den turen inte rendera i ett par eftersom bommen är ett singelkort. I fallet när det nns kända kort på bordet vänder spelaren ett sådant, men i detta läge nns inga. Spelaren får då ta ett till okänt kort som i dessa fall kan vara bom eller miss. Möjligheten till trä nns ej eftersom spelplanen inte innehåller några kända kort. Bomma båda korten k f Ej n (bom,bom) = Bom första kortet, miss andra = k f Ej n (bom,miss) = = f (n + j + f) (f 1) (n + j + f 1) (n k f 2 Ej n) f(f 1) (n + j + f)(n + j + f 1) (n k f 2 Ej n) f (n + j + f) 2j (n + j + f 1) (n k f 1 Ej 1 2jf (n + j + f)(n + j + f 1) (n k f 1 Ej 1 n ) n ) (5.10) (5.11) 29

32 5.3 Exempel med singelkort Exempel 1 - vågat spel För att göra spelet med singelkort mer överskådligt kommer här ett scenario som förklarar hur beräkningarna av antal förväntade par går till. För att kunna använda våra formler behövs kunskap om i vilken position k f Ej n spelaren benner sig i. Här har vi ett läge där det nns tre möjliga par att plocka på bordet, två av dessa är okända. Utöver det nns också två okända singel kort, alltså position 2 2 E2 3. Om spelare A i detta fall spelar efter den vågade strategin nns en rad olika utfall från denna position. En summering av de formlerna (5.1),(5.2),(5.3),(5.4),(5.5) och (5.6) ger de antal par spelare A kan förvänta sig i denna position vid spel av vågad strategi. k f Ej n = 4j(j 1) (n + j + f)(n + j + f 1) (n k f Ej 2 n ) + f (n + j + f) (n k f 1 Ej n) 2jf + (n + j + f)(n + j + f 1) (n k f 1 Ej 1 n ) 2j(n j) + (n + j + f)(n + j + f 1) (n (1 + k f Ej 1 n 1 ) 2j + (n + j + f)(n + j + f 1) (1 + k (n j) f Ej 1 n 1 ) + (n + j + f) (1 + k f Ej n 1 ) Här ser vi att det behövs information från andra positioner för möjligheten att beräkna antal förväntade par. 30

33 Exempel 1 - säkert spel Med säkert spel uppstår färre lägen, tre möjliga i detta scenario. Missa, bomma eller träa första kortet. Vid miss eller bom vänds ett redan känt kort, vid trä plockas ett par. En summering av de formlerna (5.7),(5.8) och (5.9), ger de antal par spelare A kan förvänta sig i denna position spelades säker strategi. k f Ej n = (n j) (n + j + f) (1+k f Ej n 1 )+ 2j (n + j + f) (n k f Ej 1 Exempel 2 - vågat spel n 1 )+ f (n + j + f) (n k f 1 Ej n) I detta exempel görs beräkningarna, spelare A benner sig i position 2 1 E1 3. I denna position nns bara ett okänt par, så missa båda korten kan inte hända vilket formel (5.3) visar. Gör vi beräkningen så får vi noll, som sannolikheten är att (miss,miss) inträar i detta läget. Att (missa första) och sedan (bomma andra) går emellertid. I detta läge nns två av fem kort att missa, om det händer nns sedan ett av fyra kort att bomma. Multiplicerat blir det en sannolikhet av 1 10 och ger spelare B position 2 0 E0 3, vilket skulle innebära 0 okända kort på bordet och spelare B kan plocka resterande par. Ett bättre utfall men ändå inte bra för spelare A är (missa första), (träa andra dålig). Läget uppstår där 0 okända par nns kvar på spelplan men fortfarande ett okänt singelkort som gör att spelare B ej är garanterad alla kvarvarande par i position 2 1 E0 2. Spelare B kan också räkna till ett givet par 31

34 i sin omgång. Sannolikheten för detta är 2 5 att (missa första kortet) och 1 2 att sedan (träa andra dåligt). Multiplicerat blir det 1 5. Spelare A har även möjlighet att plocka par, antingen (träa första kortet) vilket har 2 5 sannolikhet. Möjligheten nns även att (missa första), (träa andra kortet bra) till sannolikheten I första läget plockas ett par och spelare A fortsätter i position 2 1 E1 2. I det andra fallet får spelare A en bättre position 2 1 E0 2, men kan fortfarande inte vara säker på att plocka resterande par. Ett sista utfall är att spelare A vänder ett singelkort och tvingas ta ett känt kort. Då går turen över till spelare B som startar i position 2 0 E1 3 som ej innehåller några okända singelkort. 2 1E = ( )( ) (3 2 0E3) 0 2 1(3 1) ( )( ) (3 ( E2) 0 (3 1) + ( ) ( E2) ( )( ) ( E2) ( ) (3 2 0E3) 1 Vi behöver värden för positionerna 2 0 E0 3, 2 1 E0 2, 2 1 E1 2, och 2 0 E E = ( )( ) (3 3) 2 1(3 1) (3 (1 + 1) ( )( ) (3 1) + ( ) ( ) ( )( ) (1 + 1) + 1 ( ) (3 5 3 ) = 0 + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = 7 5 Då i läge 2 1 E1 3 fås ett väntevärde på 7 5 heltalen 1 och 2. = 1, 4. Ett tal som ligger mellan Exempel 2 - säkert spel Med säkert spel missar, träar eller bommar spelare A första kortet, oberoende på (bom) eller (miss) vänder spelaren upp ett känt kort. Vid trä till en sannolikhet av 2 5 plockas ett par och spelaren fortsätter i position 2 1 E1 2. Vid miss i 2 5 av gångerna går turen över till spelare B som då startar i position 2 1 E0 3 och vid bom 1 5 i position 2 0 E1 3 i båda fallen nns okända kort på spelplan och spelare B kan inte vara garanterad att rensa spelplan. 2 1E 1 3 = (3 1) ( ) ( E 1 2) ( ) (3 2 1E 0 3) + 1 ( ) (3 2 0E 1 3) 32

35 Vi behöver värden för positionerna 2 1 E1 2, 2 1 E0 3 och 2 0 E E3 1 = ( ) + ( ) + ( ) = = Då fås i läge 2 1 E med den säkra staregin ett väntevärde på 10 = 1, 9. Ett värde som ligger nära heltalet 2. Det kan konstateras att spelaren bör använda sig den säkra strategin i läge 2 1 E1 3. Där väntevärdet är 1, 9 med den säkra strategin medan 1, 4 med den vågade strategin. 33

36 Kapitel 6 Strategival 6.1 Strategival för intervallhalvering För att kunna göra strategivalen denierar vi talen i två kategorier, nämligen jämna och udda tal. Vi denierar även antalet tal i två olika kategorier, också där använder vi udda och jämnt antal tal. Vi kom fram till att när det är ett udda antal tal att gissa på så är det bäst att gissa på den kategori av tal som är i samma kategori som kanttalen är. Alltså om intervallet är från tal 1 till tal 5 så är kanttalen udda och det är bäst att gissa på udda tal. Spelaren får här om den väljer rätt strategi n+1 2n sannolikhet att få rätt. Detta läge är att föredra framför ett jämnt antal tal att gissa på där det oavsett vad spelaren väljer för tal endast ger 50 procents chans att tillslut vara den som gissar på rätt tal. 34

37 6.2 Strategival för memory med minne Tabell 6.1: I denna tabell har vi tre i maxminne och vi går från n = 1, j = 1 till n = 20, j = 20. Talet 0 i tabellen står för att det är bäst att göra ett säkert drag i det läget. Talet 1 står för att det är bäst att göra ett vågat drag i det läget. Talet 2 står för att det inte spelar någon roll vad spelaren väljer. n\j Vi tittar nu på memory då spelarna har minnet m = 3. I tabell (6.1) anges den optimala strategin för varje tillåten kombination av n och j, där 0 n, j 20. En nolla anger att den säkra strategin är optimal att använda, en etta att den vågade strategin är optimal och en tvåa att de är lika bra. Tabellen ger oss ett tydligt mönster över hur spelarna bör spela. Diagonalen med tvåor syftar på att det inte nns några alternativ utan måste spela med den vågade strategin eller i vissa fall att det förväntade antalet par för både den vågade och säkra strategin är samma. Annars ser vi att det är när spelarna ligger på ett eller två kort i minne som spelarna bör spela den säkra strategin. Den säkra strategin illustreras här av nollorna, det nns dock undantag. Det första undantaget är då det bara nns ett okänt par på bordet, då är det bättre att spela den vågade strategin oavsett hur många kort som nns i minnet. Det andra undantaget är då det nns fyra okända par på bordet och spelarna har ett kort i minnet, då bör även den vågade strategin spelas. Till sist så ska spelarna även spela den vågade strategin då denne ligger på fullt minne oavsett hur många kort det nns på bordet. Detta syns på diagonalen av ettor. 35

38 Tabell 6.2: I denna tabell har vi sex i maxminne och vi går från n = 1, j = 1 till n = 20, j = 20. Talet 0 i tabellen står för att det är bäst att göra ett säkert drag i det läget. Talet 1 står för att det är bäst att göra ett vågat drag i det läget. Talet 2 står för att det inte spelar någon roll vad spelaren väljer. n\j I tabell (6.2) är minnesstorleken m = 6 och även här ser vi att diagonalen med tvåor existerar. Spelarna är fortfarande tvungna att spela den vågade strategin då alla kort på borden är okända. Vi ser dock en antydan till att spelarna ska spela den vågade respektive den säkra strategin vid udda respektive jämna antal okända par på bordet vid lägen då det är ett litet antal okända par på bordet. När det börjar bli er okända par på bordet så övergår det mer och mer till att spelarna alltid ska spela den säkra strategin förutom då n = j, dvs. antalet par på bordet är lika många som antalet okända par på bordet. 36

39 Tabell 6.3: I denna tabell har vi tolv i maxminne och vi går från n = 1, j = 1 till n = 20, j = 20. Talet 0 i tabellen står för att det är bäst att göra ett säkert drag i det läget. Talet 1 står för att det är bäst att göra ett vågat drag i det läget. Talet 2 står för att det inte spelar någon roll vad spelaren väljer. n\j I tabell (6.3) är minnesstorleken m = 12. Vi ser här ett tydligare mönster av att spelarna ska spela den vågade strategin när de har ett udda antal par på bordet. Tvärtom är det i högre grad så att spelarna ska spela den säkra strategin när det är ett jämnt antal kort på bordet. I denna tabell är detta mönster otydligast centralt i tabellen och när vi tar oss ut till höger eller vänster så blir mönstret tydligare och tydligare. Ett annat mönster som visas är att det blir bättre att använda sig av den säkra strategin när spelarna närmar sig maxminne. Det nns ett par lägen då det är ett fåtal okända par på bordet då det är bättre att använda sig av den vågade strategin vid maxminne. Annars syns det i både tabell (6.2) och tabell (6.3) ett sådant mönster. Tydligast blir det i tabell (6.2) då det nns er lägen då spelarna ligger nära maxminne. Undantaget är då tabell (6.1) där det alltid är bäst med den vågade strategin då spelarna ligger på maxminne. 37

40 Tabell 6.4: I denna tabell har vi maxminne och vi går från n = 1, j = 1 till n = 20, j = 20. Talet 0 i tabellen står för att det är bäst att göra ett säkert drag i det läget. Talet 1 står för att det är bäst att göra ett vågat drag i det läget. Talet 2 står för att det inte spelar någon roll vad spelaren väljer. n\j I tabell (6.4) är minnesstorleken m =. Detta är även tabellen som Alfthan [1] använder sig av eftersom han inte hade några begränsningar på minnet i sin avhandling. När spelarna har minne så blir mönstret att de ska köra vågat spel då de har ett udda antal par att gissa på och säkra strategin då de har ett jämnt antal par att välja på ännu tydligare. 38

41 6.3 Strategival för memory med singelkort Tabell 6.5: I denna tabell har vi k = 2, f = 2 går och ifrån n = 1, j = 1 till n = 20, j = 20. Talet 0 i tabellen står för att det är bäst att göra ett säkert drag i det läget. Talet 1 står för att det är bäst att göra ett vågat drag i det läget. Talet 2 står för att det inte spelar någon roll vad spelaren väljer n\j Tabell (6.5) illustrerar ett spel då vi har de fasta variablerna k = 2 och f = 2. Här nns det ett tydligt mönster där spelarna då det är ett udda antal okända par på bordet bör spela den vågade strategin. Då blir det även tvärtom att när det är ett jämnt antal okända par på bordet så bör spelarna använda sig av den säkra strategin. Vi har även kvar diagonalen av tvåor som representerar att spelarna antingen måste spela den vågade strategin eller att båda strategierna har samma antal förväntade par då alla kort på bordet är okända. 39

42 Tabell 6.6: I denna tabell har vi k = 2, f = 1 och går ifrån n = 1, j = 1 till n = 20, j = 20. Talet 0 i tabellen står för att det är bäst att göra ett säkert drag i det läget. Talet 1 står för att det är bäst att göra ett vågat drag i det läget. Talet 2 står för att det inte spelar någon roll vad spelaren väljer n\j Tabell (6.6) visar istället ett spel då vi har de fasta variablerna k = 2 och f = 1. När det är mindre än sju okända par på bordet så är tabellen avvikande från resterande. För j > 6 så har vi att diagonalen som annars har bestått av tvåor nu istället är ettor. Spelarna blir alltså inte tvingade till den vågade strategin men den är i detta fallet den bästa strategin. Vidare så är det bäst att använda den säkra strategin för udda j:n och tvärtom för jämna j:n så är det bäst att använda sig av den vågade strategin. Det nns dock undantag vid låga antal av j. Vi ser att vid j = 1, n = 1 och j = 2, n = 2 ger den säkra och osäkra strategierna samma mängd förväntade antal par vilket representeras av tvåorna. Vi har även vid j = 4 och n = 4, n = 5 att spelarna ska spela den säkra strategin, vilket bryter mot de mönstrer vi satt upp att spelarna ska spela den vågade strategin vid jämna j. Samma sak gäller vid j = 6 och n = 7, n = 8, n = 9, n = 10, n =

43 6.4 Slutord Vi kom in på att kombinera både singelkort och begränsat minne till ett sammanslaget Memoryspel. Detta visade sig vara utanför ramen för vårt arbete. Vi anser dock att det kan bli en bra utvecklingsmöjlighet på detta arbete. Vidare fördjupningar som vi anser vara intressanta kan exempelvis vara att ha spelare med olika minnen. Detta för att få en än mer realistisk version av spelet. 41

44 Litteraturförteckning [1] Erik Alfthan (2007). Optimal strategy in the childrens game Memory.Stockholm: Stockholm Mathematics Department of the Royal Institute of Technology. [2] Gunnar Blom, Jan Enger, Gunnar Englund, Jan Grandell, och Lars Holst(2011). Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar. Studentlitteratur AB,Lund. 42