Yatzy Optimala spelstrategier

Transkript

1 Institutionen för naturvetenskap och teknik Yatzy Optimala spelstrategier Robin Blom, Mathias Dimberg

2 Örebro universitet Institutionen för naturvetenskap och teknik Matematik C, högskolepoäng Yatzy Optimala spelstrategier Robin Blom, Mathias Dimberg Januari 2012 Handledare: Niklas Eriksen Examinator: Marcus Sundhäll Självständigt arbete, 15 hp Matematik, Cnivå, hp

3 Sammanfattning Denna uppsats redogör för olika begrepp, metoder och beräkningar som är nödvändiga för att optimera sin spelstrategi i tärningsspelet Yatzy. De begrepp som tas upp i denna uppsats är bl.a. vad Markov-kedjor, sållprincipen och framför allt vad väntevärden är för något, och hur vi kan tillämpa dessa begrepp i spelet Yatzy. Metoderna som har använts när vi beräknat väntevärden kommer i många fall vara relativt likvärdiga, men vi kommer även att påvisa skiljaktigheter. Tanken med uppsatsen är att i varje situation som kan uppstå under spelets gång, kunna välja den spelstrategi som leder till så optimala förhållanden som möjligt.

4

5 Innehåll 1 Inledning 6 2 Om Yatzy 8 3 Sannolikheten att få en kategori på ett kast 10 4 Om väntevärden och Markov-kedjor Om väntevärden Om Markov-kedjor Väntevärdesberäkningar Beräkning av väntevärden i kategorin Yatzy Beräkning av väntevärden i övriga kategorier Kåk och två par Chans Bonus Pascals triangel och sållprincipen Pascals triangel Principen om inklusion och exklusion (sållprincipen) Beräkningar av dubbla kategorier Beräkning av väntevärden för liten och stor stege Beräkning av väntevärden för liten/stor stege och Yatzy Korrelation/Synergieekter Synergieektsberäkningar Liten och stor stege Liten stege och Yatzy Stor stege och Yatzy A Stegar 31 A.1 Liten stege A.2 Stor stege

6 B Kategorier med n-tiplar 32 B.1 Ettor, tvåor etc B.2 Ett par B.3 Tretal B.4 Fyrtal B.5 Yatzy C Kåk och två par 36 C.1 Kåk C.2 Två par C.3 Två par/kåk-lista D Dubbla kategorier 50 D.1 Liten och stor stege D.2 Liten stege och Yatzy D.3 Stor stege och Yatzy

7

8 Kapitel 1 Inledning När man spelar Yatzy så har säkert många undrat över om det är en ren fråga om tur, eller om det faktiskt nns en del skicklighet stunden innan man plockar upp tärningarna och gör sitt nästa kast. Vi kommer i denna uppsats tydliggöra att man kan påverka resultatet till större del än vad man först kanske tror. Hur många gånger har man exempelvis inte slagit en Yatzy utan att ha reekterat över hur stor sannolikheten faktiskt var, och är det verkligen rätt beslut att försöka få en stege när du inför ditt andra kast behöver en fyra och femma? Detta och mycket mer kommer att ges svar på i denna uppsats. För att få reda på dessa frågor kommer vi dock behöva redogöra för en hel del mer än vad enbart fem tärningar kan visa. Uppsatsen kommer därför guida er genom en rad olika nödvändiga delar för att slutligen komma till resultatet. Vi kommer inleda med lite bakgrundsinformation om hur spelet Yatzy går till, för att sedan beräkna sannolikheten av att få poäng inom respektive kategori på ett kast. Vi kommer därefter att bygga vidare med hjälp av begrepp som väntevärden och Markov-kedjor och beräkna värdet av respektive kategori då vi har era kast på oss. Vi kommer även att göra en liten fördjupning om huruvida olika kategorier tillsammans kan påverka möjligheterna att uppnå högre poäng. Resultatdelen består i stort sett av olika väntevärdestabeller, som i denna uppsats valts att läggas som bilagor för att inte störa läsaren då tabellerna är ganska omfattande. I tabellerna kan man beroende på vilket utfall man väljer att studera få reda på vilket val som ger den bästa strategin. Det är med stor fördel om läsaren har en matematisk bakgrund och grundläggande kunskaper om sannolikhetslära, men vissa delar i uppsatsen och framför allt de resultat som publiceras i form av bilagor om vilka val som ger högst väntevärde riktar sig även till personer utan några direkta förkunskaper men som har ett intresse för spel och sannolikheter. Avslutningsvis så skulle vi bara vilja förtydliga att Yatzy kräver enorma mängder beräkningar och tid för att kunna analyseras fullständigt. Med full- 6

9 ständig analys menar vi situationer där tre eller era kategorier nns kvar att välja mellan. Då detta är en C-uppsats kommer en fullständig analys av Yatzy ej att kunna ges av tidsmässiga skäl. Förhoppningsvis kommer denna uppsats ändå ge er en djupare förståelse för hur grunden av Yatzy-analysen har gått tillväga och eventuellt även göra er till svårare motståndare inför nästa Yatzy-omgång. 7

10 Kapitel 2 Om Yatzy Yatzy är ett spel med fem eller sex tärningar. Vi kommer i denna uppsats utgå från fallet med fem tärningar. I Yatzy gäller det att få så hög poäng som möjligt genom att spara tärningar i olika kategorier. Man har tre kast på sig att lyckas få ihop rätt tärningar till en kategori. Yatzy kan även spelas i ordningsföljd, där man inte får hoppa mellan olika kategorier utan måste gå kategori efter kategori uppifrån och ner. De olika kategorierna lyder som följer: Ettor, tvåor etc. Innebär att du får poäng för alla ettor, tvåor och så vidare. Exempelvis har vi utfallet 3, 3, 3, 6, 6, som ger nio poäng på treor, eller tolv poäng på sexor. Bonus Om dina poäng på ettor, tvåor etc. är sextiotre eller mer, får du femtio bonuspoäng. Tre stycken ettor, tvåor etc. ger exakt sextiotre poäng. Om man spelar varianten där man inte får hoppa mellan olika kategorier så får man bonus vid 42 poäng eller mer, och sannolikheten att få bonus i detta fall är ungefär 60 procent (se Beräkningar av väntevärden i övriga kategorier/bonus). Ett par För att få ett par gäller det att man får två tärningar i samma valör, t.ex. två stycken fyror. Lägsta poäng man kan få från ett par är två, vilket inträar om man får två stycken ettor. Maxpoäng är tolv och inträar om man får två stycken sexor. Två par Innebär att man får två stycken par med olika valörer på paren. Exempelvis två stycken fyror och två stycken femmor. Man får alltså inte få t.ex. två stycken fyror på båda paren. Lägsta poäng man kan få från två par är sex, vilket inträar om man får två stycken ettor och två stycken tvåor. Maxpoäng är tjugotvå och inträar om man får två stycken sexor och två stycken femmor. Tretal Här gäller det att få tre stycken tärningar i samma valör, t.ex. tre stycken fyror. Lägsta poäng man kan få från tretal är tre vilket inträar 8

11 om man får tre stycken ettor. Maxpoäng är arton och inträar om man får tre stycken sexor. Fyrtal Precis som för tretal men med fyra stycken tärningar i samma valör, t.ex. fyra stycken femmor. Lägsta poäng man kan få från fyrtal är fyra vilket inträar om man får fyra stycken ettor. Maxpoäng är tjugofyra och inträar om man får fyra stycken sexor. Liten stege Innebär att man får valörerna 1, 2, 3, 4 och 5 på tärningarna. Alla tärningar måste alltså visa olika valörer, dock spelar det ingen roll vilken ordning valörerna kommer i. Att få 3, 5, 4, 1, 2 är också en liten stege. För liten stege får man femton poäng, vilket är summan av tärningarna. Stor stege Nästan samma som liten stege, skillnaden är bara att vi byter ettan mot sexan. För stor stege får man tjugo poäng. Kåk Kåk kan beskrivas som ett tretal tillsammans med ett par. Exempel på kåk kan vara att tärningarna visar 4, 4, 4, 5, 5. Lägsta poäng man kan få från kåk är sju vilket inträar om man får tre stycken ettor och två stycken tvåor. Maxpoäng är tjugoåtta och inträar om man får tre stycken sexor och två stycken femmor. Chans För chans krävs inga särskilda tärningar utan det är precis som det låter, en chans att få poäng även om man inte skulle lyckas få poäng på någon annan kategori. Exempelvis om man har kategorierna kåk och chans kvar och inte lyckas få en kåk kan då chansen bli en räddning att ändå få poäng. Lägsta poäng man kan få från chans är fem vilket inträar om man får fem stycken ettor. Maxpoäng är trettio och inträar om man får fem stycken sexor. Yatzy Yatzy är den kategori som genererar mest poäng av alla (om vi bortser från bonusen), och ges då man får alla fem tärningar i samma valör. För Yatzy kan man endast få femtio poäng trots att det nns era varianter av Yatzy. Exempelvis är fem stycken ettor lika mycket värda som fem stycken sexor och båda utfallen genererar således femtio poäng. Tilläggsregler När man talar om t.ex. fyrtal får det enligt vissa (internationella) regler inte räknas som ett tretal och likaså får ej en kåk räknas som ett par, två par eller tretal. Vi kommer ej ta hänsyn till denna aspekt utan kommer att använda de svenska (skandinaviska) reglerna och tillåta att exempelvis utfallet 4, 4, 6, 6, 6 får väljas som en kåk, ett tretal, ett två par eller ett par. 9

12 Kapitel 3 Sannolikheten att få en kategori på ett kast För att kunna beräkna vilken strategi som ger bäst poäng behöver vi börja med några grundläggande sannolikhetsberäkningar. Följande beräkningar avser sannolikheten att få respektive kategori på ett kast. Ettor, tvåor etc. Eftersom antalet tärningar man kan få av en valör är binomialfördelad, ser sannolikhetsfunktionen ut som följer: ( ) n p X (k) = p k (1 p) n k k enligt denition 3.7 i [3]. Därmed beräknas sannolikheten att ha j eller era stycken tärningar av valfri valör, där 0 j 5, enligt följande: 5 k=j ( 5 k )( 1 6 ) k ( ) 5 5 k. 6 Istället för att summera från exempelvis två till fem, kan man istället summera från noll till ett. Därefter använda sig av att den totala sannolikheten subtraherat med summan från noll till ett, ger samma resultat. Exempel Sannolikheten att få tre eller era sexor: 5 k=3 ( 5 k )( 1 6 ) k ( ) 5 5 k 0,

13 n P (n) 0 0, , , , , ,0001 Tabell 3.1: Sannolikhetstabell för första kastet, där n är antalet tärningar och P (n) är sannolikheten att få exakt n tärningar av ett givet värde. Vi kommer nu att avvika lite från den ordningsföljd av kategorier vi tidgare haft p.g.a. att det kommer underlätta för läsaren att följa med i beräkningarna som avser tretal, fyrtal och ett par på ett mer logiskt sätt. Tretal Vi börjar med ett beräkna sannolikheten för ett specikt tretal. Exempel Sannolikheten att få tretal i sexor beräknas precis som tidigare för ettor, tvåor etc. Vi får alltså: 5 k=3 ( 5 k )( 1 6 ) k ( ) 5 5 k 0, Sannolikheten att få ett godtyckligt tretal beräknas genom att multiplicera föregående exempel med sex: 6 5 k=3 ( 5 k )( 1 6 ) k ( ) 5 5 k 0, Fyrtal Sannolikheten att få fyrtal beräknas på liknande sätt som för tretal: 6 5 k=4 ( 5 k )( 1 6 ) k ( ) 5 5 k 0,02. 6 Exempel Sannolikheten att få fyrtal i sexor: 5 k=4 ( 5 k )( 1 6 ) k ( ) 5 5 k 0, Ett par Det är i detta läge kanske lätt att tänka att vi med liknande metod som för tretal och fyrtal även kan beräkna sannolikheten att få något ett par. Dock är detta ej möjligt av den anledningen att vi då kommer räkna vissa utfall upprepade gånger. Exempelvis så tar inte en beräkning för att få två sexor någon hänsyn till om vi i samma utfall även 11

14 får två femmor. Detta gör att en multiplikation med sex skulle ge oss en på tok för hög sannolikhet. Det blir uppenbart då man ska beräkna sannolikheten att få en tärning i en viss valör. Vi vet att sannolikheten att få en tärning i en viss valör är 0,402. Skulle vi då multiplicera med sex så får vi en sannolikhet på drygt 240 procent vilket blir absurt. Sannolikheten att få någon tärning i någon valör är givetvis 100 procent, eftersom en tärning alltid kommer att visa något. Sannolikheten att då få två eller era i någon valör beräknas istället med hjälp av: ,91, vilket är den totala sannolikheten minus sannolikheten att alla tärningar är olika. Exempel Sannolikheten att få er än en sexa beräknas dock enligt samma princip som för ettor, tvåor etc. 1 1 k=0 ( 5 k )( 1 6 ) k ( ) 5 5 k 0,20, 6 vilket är den totala sannolikheten minus att man får noll och en sexa. Liten stege Sannolikheten att få liten stege beräknas enligt följande: ,015, där den första tärningen får vara allt utom en sexa, nästa tärning får vara allt utom en sexa plus föregående tärning. Tärningen därefter får vara allt utom en sexa plus bägge föregående tärningar etc. Stor stege Sannolikheten att få stor stege beräknas på samma sätt som för liten stege: ,015, I kategorierna två par och kåk har vi använt oss av multinomialfördelningen istället för binomialfördelningen, skillnaden är inte stor men vi har valt att kort presentera hur multinomialkoecienterna räknas ut: [3] ( ) n = k 1,k 2,...,k r n! k 1!k 2! k r! 12

15 Två par Sannolikheten att få två par beräknas enligt följande: ( )( )( ) ,35, 2 2,2 6 där två par kan väljas ut på ( 6 2) sätt, eftersom vi har sex valörer och ska välja två utav dem. Sannolikhetsfunktionen för paren är binomialfördelad och man kan välja det första paret på ( 5 2) sätt och det andra paret på ( 3 2) sätt. Eftersom vi även räknar kåk som två par får den sista tärningen väljas på valfritt sätt. Exempel Sannolikheten att få två par i femmor och sexor: ( )( ) ,02. 2,2 6 Kåk Sannolikhetsfunktionen för kåk är binomialfördelad. Antalet kåkar som kan bildas med fem tärningar är trettio stycken. Tretalet kan väljas ut på ( ( 5 3) sätt och paret kan väljas ut på 2 2) sätt, vi får då följande beräkning: ( )( ) ,04, 3,2 6 Exempel Sannolikheten att få kåk med tretalet i sexor och paret i femmor: ( )( ) ,001. 3,2 6 Chans Sannolikheten att få chans på första kastet är 1, eftersom man alltid får poäng oavsett tärningarnas värde. Yatzy Sannolikheten att få Yatzy beräknas enligt följande: ,00077, där den första tärningen inte spelar någon roll vad den visar, huvudsaken är att resterande tärningar prickar in samma valör som den första tärningen. Exempel Sannolikheten att få Yatzy i sexor beräknas enligt följande: ( ) 1 5 0,

16 Kapitel 4 Om väntevärden och Markov-kedjor Vi vill beräkna väntevärden av respektive kategori för att se vad kategorin är värd. I detta kapitel kommer vi därför ta upp grundläggande principer om vad väntevärden och Markov-kedjor är för något och hur de kan användas. 4.1 Om väntevärden För att få en uppfattning om vad väntevärde är för något, tänkte vi inleda med ett exempel. Exempel Ett välgjort mynt singlas en gång och en person får fem kronor om klave dyker upp, annars får personen en krona. Det erhållna beloppet är en stokastisk variabel X, som antar värdena fem och ett. För att beräkna väntevärdet av X multipliceras varje möjligt utfall med respektive sannolikhet, därefter adderas produkterna. Vi får då: = 3. Alltså är det förväntade antalet kronor man kommer vinna, 3 kronor per kast. Denition Väntevärdet för den diskreta stokastiska variabeln X de- nieras av E(X) = kp X (k) k [3]. 14

17 4.2 Om Markov-kedjor Vi skulle återigen vilja inleda med ett exempel från [1] för att få en uppfattning om vad Markov-kedjor är för något. Exempel En biluthyrningsrma har tre uthyrningsställen som betecknas A, B och C. En kund kan hyra en bil från något av dessa tre ställen och även lämna tillbaka bilen till valfritt ställe. Chefen på biluthyrningsrman upptäcker att kunderna lämnar tillbaka bilen till de olika ställena med olika sannolikheter, enligt tabell: Återlämnad till läge Hyrd från läge A B C A 0,8 0,1 0,1 B 0,3 0,2 0,5 C 0,2 0,6 0,2 Matrisen beskriver övergången från ett läge till ett annat och kan ses som en Markov-kedja. Från matrisen kan man utläsa att sannolikheten är 0,6 att den som hyr en bil från läge C återlämnar den till läge B och sannolikheten är 0,8 att den som hyr en bil från läge A återlämnar den till läge A, osv. Markov-kedjor beskriver alltså sannolikheten att vara i ett visst läge och hamna i ett annat. Det är heller ingen slump att raderna i exemplet ovan kan summeras till ett, vilket är en förutsättning för att vara en Markov-kedja. På liknande sätt har vi beräknat väntevärdena för de olika kategorierna, där vi utgår från ett specikt läge och beräknar med vilken sannolikhet vi kan benna oss i ett annat. Om vi benner oss i läge x 0 och kan hamna i läge x 0, x 1,..., x n, så beräknas väntevärdet i läge x 0 genom att man multiplicerar respektive läges väntevärde med sannolikheten att hamna i det läget i nästa kast. Därefter adderas produkterna för lägena x 0, x 1,..., x n. Exempel Vad blir väntevärdet i kategorin Yatzy, när vi benner oss i ett läge där vi har tre stycken sparade tärningar av samma valör, och ett kast återstår? Väntevärdet kan beräknas med hjälp av en Markov-matris: Antal tärningar vi kan få Antal sparade tärningar /36 10/36 1/ /6 1/

18 Därefter multiplicerar vi vår matris med en startvektor som anger sannolikheterna för respektive tillstånd innan vi slår tärningarna. Vi väljer v = [ ] eftersom vi är intresserade av väntevärdet givet att vi helt säkert börjar i 3-läget. Hade vi varit intresserade av väntevärdet i 4-läget hade startvektorn sett ut såhär: u = [ ] Efter vi multiplicerat vår vektor v med övergångsmatrisen får vi en ny vektor w, enligt följande: [ ] 25/36 10/36 1/ /6 5/6 1/6 = [ 25/36 10/36 1/36 ] = w Denna vektor anger sannolikheterna för respektive tillstånd efter vi slagit tärningarna. Därefter multiplicerar vi vår nya vektor w med vår poängvektor, där poängsvektorn beskriver de poäng man får efter sista kastet i respektive läge: [ ] 0 25/36 10/36 1/36 0 = 1,

19 Kapitel 5 Väntevärdesberäkningar När vi väljer vilken strategi vi ska använda oss av så är det väntevärdena som avgör. Vi vill därför beräkna väntevärdena och för att göra detta behöver vi ta hjälp av Markov-kedjor. För att beskriva tillvägagångssättet är det lämpligt att börja med det rent strukturella. Vi har under uträkningarna av de olika kategorierna tänkt oss att varje kategori har fem tomma lådor (p.g.a. att det nns fem tärningar). När en tärning visar en önskad valör lägger vi denna tärning i en tom låda. Varje låda kan innehålla en tärning och beroende på hur många lådor som är fyllda så varierar väntevärdet. Exempel I kategorin liten stege har vi på andra kastet fått utfallet 1, 2, 5, 6, 6. Tre av dessa tärningar är önskvärda och vi lägger dessa i tre av de fem tomma lådorna. Vi betecknar detta som ett s.k. 3-läge. Önskvärda tärningar: [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] Fyllda lådor: X X X Om vi nu vill gå vidare med själva beräkningen av väntevärdet efter det andra kastet kan vi utifrån exempelvis ett 3-läge hamna i något av följande tre lägen: Vi kan vara kvar i samma läge, vi kan hamna i ett 4-läge eller så kan vi hamna i ett 5-läge. Väntevärdet för 3-läget när ett kast återstår beräknas således av: E(3-läget) E(4-läget) + 2 E(5-läget) 0,8333, 36 där E(3-läget) = E(4-läget) = 0 ty 3-läget precis som 4-läget genererar noll i väntevärde efter sista kastet. Endast E(5-läget) ger 15 i väntevärde eftersom det krävs att alla fem lådor är fyllda i denna kategori för att få poäng. Med liknande metod har vi gjort väntevärdestabeller för alla kategorier i samtliga tänkbara utfall (se bilagor). Vi tänkte dock ge en mer omfattande beräkning av Yatzy, då det bl.a. i denna kategori nns några specialfall värda att titta närmare på. 17

20 5.1 Beräkning av väntevärden i kategorin Yatzy Efter det tredje kastet När tre kast är gjorda är det endast om vi benner oss i ett 5-läge som vi får femtio poäng, övriga fall genererar noll poäng. Efter det andra kastet När vi har ett kast kvar så kan vi hamna i något av följande lägen: 5-läget medför väntevärde läget medför väntevärde 8,3333 p.g.a. att det är 5/6 chans att hamna i samma läge och 1/6 chans att hamna i 5-läget, så väntevärdet blir då , läget medför väntevärde 1,3889 p.g.a. att det är 25/36 chans att hamna i samma läge, 10/36 chans att hamna i 4-läget och 1/36 att hamna i 5-läget, så väntevärdet blir då , läget medför väntevärde 0,2315 p.g.a. att det är 125/216 chans att hamna i samma läge, 75/216 chans att hamna i 3-läget, 15/216 att hamna i 4-läget och 1/216 att hamna i 5-läget. Men vi får i två fall ett par undantag. Det nns nämligen ytterligare en möjlighet att gå från 2-läget till 3-läget genom att få tre tärningar med en annan valör än den vi spara på. Därför får vi lägga till sannolikheten 5/216 på 3-läget samt dra bort 5/216 från 2-läget. Så väntevärdet blir då , läget medför väntevärde 0,0386, vilket kan beräknas med samma metod som för 2-läget, men här får man ta hänsyn till ytterligare några lägen som kan uppnås med en annan valör. Vi sammanfattar alla dessa väntevärden med hjälp av en övergångsmatris. 120/ / / /1296 1/ , /216 80/216 15/216 1/ /36 10/36 1/ /6 1/6 0 = 0,2315 1,3889 8, Eftersom denna vektor beskriver vad varje läge är värt då vi har ett kast kvar kommer vi kunna nyttja denna då vi har två kast kvar. 18

21 Efter det första kastet Väntevärdena efter det första kastet beräknas genom att ta sannolikheten att man hamnar i ett visst läge efter det andra kastet, multiplicerat med det nya lägets väntevärde. Sannolikheterna för de olika lägena kommer alltså kvarstå, men väntevärdena efter det första kastet kommer givetvis skilja sig från väntevärdena efter det andra. För att spara tid lät vi därför ett dataprogram som heter Matlab räkna ut resterande värden. Matlab är ett program framtaget för att kunna programera matematiska uträkningar som i vårt fall skulle ta för lång tid att utföra på egen hand. Efter det första kastet kommer väntevärdet i 4-läget vara 15,2778 till skillnad från 4-läget efter de andra kastet, som vi såg var 8,3333. Detta nya tal kommer från att man kan få Yatzy på era sätt. Man kan vara i 4-läget och hamna direkt i 5-läget efter andra kastet. Man kan också vara kvar i 4-läget efter andra kastet men fortfarande ha möjligheten att hamna i 5-läget efter det tredje kastet. Så om man i första kastet får fyra stycken tärningar av samma valör beräknas väntevärdet enligt följande: ( ) 50 = , Vi kan på liknande sätt beräkna de olika lägenas väntevärden då två kast återstår genom att denna gång multiplicera vår matris med vektorn som innehåller alla väntevärden då ett kast återstår. Vår beräkning ges då av följande: 120/ / / /1296 1/1296 0, /216 80/216 15/216 1/216 0, /36 10/36 1/36 1,3889 = /6 1/6 8, ,3616 1,4532 4, , Som vi ser ger detta alltså då exakt samma beräkning och värde som i ovanstående exempel i 4-läget, som vi såg var 15,2778. Vi skulle även kunna beräkna detta genom att ta vår övergångsmatris i kvadrat och sedan multiplicera med poängvektorn som vi använde efter det andra kastet [1], eftersom x (1) = P x (0) x (2) = P x (1) = P 2 x (0) x (3) = P x (2) = P 3 x (0). x (n) = P x (n 1) = P n x (0) 19

22 Innan det första kastet Innan vi slagit någon tärning nns ett väntevärde för Yatzy som räknas ut precis som tidigare men med undantaget att vi enbart är intresserade av fallet där vi inte har någon sparad tärning, d.v.s. 0-läget. Dock existerar inte detta läge efter första, andra eller tredje kastet eftersom det är omöjligt att inte ha minst en tärning av någon valör. Men att vara i 0-läget är precis samma som att vara i 1-läget eftersom vi lika gärna skulle kunna ta en valfri tärning, lägga på bordet och sedan hoppas på att de fyra övriga tärningarna har samma valör som den sparade tärningen på bordet, (se beräkningar/yatzy). Väntevärdet för Yatzy beräknas således i 1-läget och är 2,3014 innan det första kastet. Vilket skulle kunna illustreras med ytterligare en övergångsmatris som vi denna gång istället multiplicerar med vektorn som innehåller väntevärdena då två kast återstår. Skillnaden denna gång är dock att endast väntevärdet i 1-läget blir intressant eftersom detta utgör väntevärdet för hela kategorin. 120/ / / /1296 1/ /216 80/216 15/216 1/ /36 10/36 1/ /6 1/ ,3616 1,4532 4, , ,3014 = Vi kan därmed beräkna sannolikheten för att få Yatzy genom att ta väntevärdet innan första kastet och dividera med väntevärdet i 5-läget efter det tredje kastet. Sannolikheten att inom tre kast få Yatzy beräknas således av 2,3014 0, Beräkning av väntevärden i övriga kategorier Metoden för beräkningar av övriga kategorier påminner till stora delar om beräkningen för Yatzy. Dock nns det några kategorier som skiljer sig ganska kraftigt åt till skillnad från övriga. Vi skulle därför vilja nämna dessa lite kort. 20

23 5.2.1 Kåk och två par Vid beräkning av kategorierna kåk och två par har vi tagit hjälp av samma program som tidigare (Matlab). I stora drag gjordes tre steg, där det första steget var att lista alla tänkbara utfall med fem tärningar. Dock togs det inte någon hänsyn till vilken ordningföljd tärningarna hade. Exempelvis är utfallet 1, 2, 3, 4, 5 samma utfall som 5, 4, 3, 2, 1 eller 5, 3, 4, 1, 2 etc. Därmed minskade antalet utfall från 7776 till 252. Steg två var sedan att utifrån dessa 252 fall lista vilka fall som genererade poäng, d.v.s vilka som var kåkar och två par. Steg tre var att sedan räkna ut vilka sparade tärningar som gav högst väntevärde. Exempelvis har vi utfallet 1, 1, 2, 2, 3. Datorn testade då att spara alla möjliga kombinationer av dessa och valde sedan den kombinationen som gav högst väntevärde Chans Chans används oftast som vi har sagt tidigare enbart som en räddare i nöden, då man inte lyckas uppnå någon annan kategori. Dock kan ju situationen uppstå att man bara har chans kvar och vi vill därför presentera hur man då går tillväga för att få så höga poäng som möjligt. Efter det andra kastet När två kast är gjorda ska man spara på fyror, femmor och sexor. Detta beror på att väntevärdet på en tärning är 3,5 och därför sparas allt som överstiger detta. Efter det första kastet När endast ett kast har gjorts skall enbart femmor och sexor sparas. Väntevärdet på en tärning är som bekant 3,5 men nu har vi era kast som återstår. Därmed är sannolikheten förändrad för hur stor chans det är att man på resterande två kast får högre än fyra. Sannolikheten att man under nästa kast enbart kommer att få ettor, tvåor, treor blir 1 2 och sannolikheten att man får fyror, femmor eller sexor är också 1 2. Får vi då etta, tvåa eller trea slår vi helt enkelt om tärningen/tärningarna som visar detta. Får vi däremot fyror, femmor eller sexor behåller vi dessa. Därmed är väntevärdet när två kast återstår 1 2 3, = 1,75 + 2,5 = 4,25 vilket överstiger fyra och därmed skall fyror slås om, om de fås på första kastet för optimal spelstrategi. Detta innebär att väntevärdet för chans när man bara har ett kast på sig blir 17,5, har vi däremot tre kast på oss blir väntevärdet 23,3333. Med samma metod kan vi därför räkna ut väntevärdena då er kast återstår och det är inte förrän vid sex kast som vi enbart hade sparat sexorna efter det första kastet Bonus Bonus är i detta fall beräknad när man går i ordningsföljd och poängen som behöver nås för bonus är alltså 42. För att beräkna bonus så måste 21

24 vi för det första veta vad väntevärdet är för dessa sex kategorier. För att räkna ut väntevärdet så har vi har på liknande sätt som tidigare använt oss av metoden där vi ska försöka fylla tomma lådor och vi ck då fram att väntevärdet för de första sex kategorierna när vi går i ordningsföljd är ungefär 44,24 poäng. Vi behövde som bekant 42 poäng för att få bonus men hur ofta inträar det under förutsättning att väntevärdet är 44,24? För att beräkna den sannolikheten kan vi som tur är använda oss av Centrala gränsvärdessatsen som i korta drag beskriver att alla fördelningar är ungefär normalfördelade bara antalet komponenter i summan är tillräckligt stort. Sats (Centrala gränsvärdessatsen [3]). Om X 1, X 2,... är en oändlig följd av oberoende likafördelade stokastiska variabler med väntevärdet µ och standardavvikelsen σ > 0, så gäller för Y n = X X n att ( P a < Y ) n nµ σ n b Φ(b) Φ(a) då n. I vårt fall har vi oberoende men inte likafördelade stokastiska variabler. Centrala gränsvärdessatsen gäller dock under mycket allmännare fall än de som anges här, så vi kan anta att om X 1, X 2,... är en följd av oberoende stokastiska variabler med såpass likartad fördelning som är aktuell här och Y n = X X n, så kommer P (a < Y n E(Y n ) D(Y n ) b) att approximeras väl av Φ(b) Φ(a) för någorlunda stora n. För att få en approximation måste vi beräkna väntevärde och standardavvikelse. Den första är redan känd och den senare ges i vårt fall av D(Y n ) = 6 D(X n ) n=1 som kan beräknas genom att ta V (Y n ), där V (Y n ) = 6 E(X 2 n ) E(X n ) 2. n=1 Vi får därmed vår standardavvikelse till ungefär 10,53 och vi har nu all information vi behöver och med halvkorrektion ges vår beräkning av följande: ( ) ( ) 44,24 41,5 44,24 P (41 < Y ) Φ Φ 10,53 10,53 1 Φ( 0,26) = Φ(0,26) 0,6. Sannolikheten att då få bonus när man går i ordning blir alltså ungefär 60 procent. 22

25 Kapitel 6 Pascals triangel och sållprincipen Vi behöver i kapitel 7 använda oss av två satser för att kunna göra en analys av dubbla kategoriers väntevärde. Vi börjar med att presentera Pascals triangel. 6.1 Pascals triangel Pascals triangel är den tvådimensionella motsvarigheten till en talföljd som innehåller binomialkoecienterna Figur 6.1: Pascals triangel med pilar som indikerar expansionen [2]. 23

26 Pascals triangel, som är uppkallad efter den franska matematikern och fysikern Blaise Pascal, beskriver alltså hur binomialkoecenterna är uppbyggda. ( Vi kan på ett väldigt enkelt sätt utläsa av triangeln vad exempelvis 5 ) 2 är, genom att räkna raderna uppifrån och ner, och sedan kolumnerna från vänster till höger. Observera att vi börjar räkna varje rad och kolumn från noll. Vi kan då utläsa på rad fem, kolumn två att ( 5 2) = Principen om inklusion och exklusion (sållprincipen) Sats (Principen om inklusion och exklusion, n mängder, där A = antal element i A, [2]). För godtyckliga mängder A 1,..., A n gäller n n A i = ( 1) m+1 m A ij i=1 m=1 1 i 1 < <i m n det vill säga A 1 A n = A 1 + A 2 + A n j=1 ( A 1 A 2 + A 1 A A n 1 A n ) + ( A 1 A 2 A A n 2 A n 1 A n ) ( A 1 A 2 A 3 A 4 + ). +( 1) n+1 A 1 A 2 A n För att förstå sats kan det vara lämpligt att vi börjar med att utgå från det allra enklaste fallet där vi har två mängder A och B. Skulle det vara så att mängderna är disjunkta så har vi inte heller något snitt att ta hänsyn till och slutsatsen blir trivial och vi får A B = A + B. Har vi däremot icke disjunkta mängder får vi subtrahera A B eftersom vi annars kommer räkna snittet av mängderna två gånger. När vi har tre mängder så kommer uträkningen att vara snarlik men vi får era snitt att ta hänsyn till, se exempel

27 Exempel Bestäm A 1 A 2 A 3 där A 1 = {1, 2, 3, 6}, A 2 = {3, 4, 5, 6} och A 3 = {2, 3, 5, 7}. A 1 A 2 A 3 = ( ) + 1 = 7 Vi ser att A 1 A 2 A 3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A A 2 A 3 Figur 6.2: Venn-diagram över mängderna A 1 A 2 A 3. Vi ser här att vi först kommer att räkna mängderna A 1 A 2, A 1 A 3 och A 2 A 3 två gånger och därför får vi subtrahera med dessa snitt. Men nu har vi subtraherat bort A 1 A 2 A 3 tre gånger istället för två och för att återställa ordningen måste vi därför addera snittet mellan de tre mängderna. Om A i = A j, A i1 A i2 = A j1 A j2 osv. så förenklas sats till A 1... A n = ( ) n A1 ( ) n A1 A ( 1) n+1( n 1 2 n) A1... A n = n k=1 ( 1)k+1( n k) A1... A k. När vi sedan i beräkningarna av dubbla kategorier har använt oss av denna sats har vi räknat med komplementet av mängderna och vi får då att (A 1 A 2... A n ) = A 0 A 1... A n = n k=0 ( 1)k( n k) A0... A k, där A 0 beskriver hela utfallsrummet. Så om vi använder exemplet ovan och låter A 0 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} och vi vill räkna ut (A 1 A 2 A 3 ) får vi då beräkningen ( 3 0) 9 ( 3 1) 4 + ( 3 2) 2 ( 3 3) 1 = = 2. 25

28 Kapitel 7 Beräkningar av dubbla kategorier För att beräkna väntevärdet av två eller era kategorier tillsammans behöver vi nu använda oss av Pascals triangel och sållprincipen. Tidigare har vi denierat ett s.k. 3-läge när vi har en kategori. När vi har två kategorier denierar vi lägena som (X, Y ) där X beskriver hur många lådor som är fyllda för den första kategorin och Y beskriver den andra. Exempel Vi har kategorierna liten och stor stege och tärningarna visar 2, 3, 4, 4, 6. Vi benner oss då i ett (3, 4)-läge, där X i detta fall är liten stege och Y är stor stege. Exempel Vi har samma kategorier kvar som i exempel men tärningarna visar 2, 3, 4, 5, 5. Vi benner oss då i ett (4, 4)-läge. Exempel Vi har samma kategorier kvar som i exempel men tärningarna visar 1, 2, 3, 5, 6. Vi kommer ej att klassa detta som ett (4, 4)-läge eftersom vi då tvingas utesluta möjligheten att få någon av liten eller stor stege, om vi väljer att spara både ettan och sexan. Det är mer fördelaktigt att välja sexan framför ettan eftersom stor stege genererar tjugo poäng medan liten stege endast ger femton poäng, och vi har då istället ett (3, 4)-läge. Totalt kommer vi ha femton olika lägen: (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 2) (2, 3), (3, 3), (4, 3), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (4, 5). Även om det inte är möjligt att hamna i ett (0, 0)-läge så krävs det att den nns med för att kunna beräkna väntevärdet innan vi har gjort vårt första kast. 26

29 7.1 Beräkning av väntevärden för liten och stor stege För att inte upprepa beskrivningen av processen för hur man går tillväga för att beräkna väntevärdena i dubbla kategorier, tänkte vi ge ett mer utförligt exempel på en del av beräkningen. Exempel Vi har kategorierna liten och stor stege kvar och vill få reda på sannolikheten att man går från (1, 1)-läget till (4, 4)-läget, d.v.s. vi har redan sparat antingen en tvåa, trea, fyra eller femma och vill ha de tre tärningar som saknas för ett (4, 4)-läge. För enkelhetens skull antar vi att vi har en tvåa och vill ha en trea, fyra och en femma på de övriga fyra tärningarna. En av de fyra tärningarna måste dock vara en dublett av antingen tvåan, trean, fyran eller femman. Så beräkningen lyder som följer: Fyra tärningar kan spridas på fyra platser (enligt dragning med återläggning med hänsyn till ordning [3]) så vi har 4 4 möjligheter. Dock måste vi dra bort de möjligheter som endast involverar 2, 3, 4 2, 3, 5 2, 4, 5 Så vi drar bort möjligheter. Nackdelen är nu att vi har tagit bort 2an 3 gånger. 3an 2 gånger. 4an 2 gånger. 5an 2 gånger. Så vi får återigen lägga till fallen som endast involverar 2, 3 2, 4 2, 5 Så vi lägger till möjligheter. Nackdelen är nu att vi tillåter fallet med enbart tvåan, så vi får dra bort det fallet som blir möjligheter. 27

30 Vi får nu i enighet med Pascals triangel och sållprincipen beräkningen = Figur 7.1: Övre delen av Pascals triangel. Eftersom vi har slagit fyra tärningar medför det att vi har 6 4 = 1296 utfall. Så sannolikheten att gå från (1, 1)-läget till (4, 4)-läget blir då När man på liknande sätt har beräknat samtliga sannolikheter kan man därefter få ut väntevärdena för de olika lägena, (se bilaga D.1). 7.2 Beräkning av väntevärden för liten/stor stege och Yatzy Med i stort sett identisk beräkning som för beräkningen av liten och stor stege men vi får färre lägen som kategorierna kan ha tillsammans. 28

31 Kapitel 8 Korrelation/Synergieekter När man har era kategorier att välja mellan kan det nnas fördelar med att spara vissa grupper av kategorier framför andra. Vi har därför utformat en egen denition för hur man kan mäta denna eekt. Tanken bygger på att man utifrån de olika kategoriernas väntevärden kan jämföra hur mycket mer i väntevärde kategorierna ger när de nyttjas tillsammans. Denition C(x 1,...,x n ) = 1 E(x 1) + E(x 2 ) E(x n ) E(x 1 + x x n ) = E( x i ) E(x i ) E( x i ) där x 1, x 2,..., x n är de sparade kategorierna, E(x i ) är de sparade kategoriernas väntevärde var för sig, och E( x i ) är de sparade kategoriernas gemensamma väntevärde. Korrelationskoecienten kan anta värden så att 0 C(x 1,...,x n ) < 1, där 0 innebär ingen korrelation och 1 maximal korrelation. 8.1 Synergieektsberäkningar Liten och stor stege Väntevärdet för liten stege och stor stege är 2,9524 respektive 3,9366. Väntevärdet som liten stege och stor stege utgör när man har båda kvar är 8,3220, (se bilaga D.1). Så synergieekten beräknas enligt följande: 1 E(Liten stege) + E(Stor stege) E(Liten stege och stor stege) Liten stege och Yatzy = 1 2, ,9366 8,3220 0,17. Väntevärdet för liten stege och Yatzy är 2,9524 respektive 2,3014. Väntevärdet som liten stege och Yatzy utgör när man har båda kvar är 6,6532, (se 29

32 bilaga D.2). Så synergieekten beräknas enligt följande: 1 E(Liten stege) + E(Yatzy) E(Liten stege och Yatzy) Stor stege och Yatzy = 1 2, ,3014 6,6532 0,21. Väntevärdet för stor stege och Yatzy är 3,9366 respektive 2,3014. Väntevärdet som stor stege och Yatzy utgör när man har båda kvar är 8,3045, (se bilaga D.3). Så synergieekten beräknas enligt följande: 1 E(Stor stege) + E(Yatzy) E(Stor stege och Yatzy) = 1 3, ,3014 8,3045 0,25. Vad vi då kan utläsa av detta är att de två kategorier utav de granskade fallen som ger mest synergieekt tillsammans är stor stege och Yatzy. Går vi enbart på deras gemensamma väntevärde så ligger dock liten och stor stege snäppet ovanför stor stege och Yatzy, vilket innebär att dessa kategorier fortfarande är det bästa alternativet att satsa på men de ger inte lika mycket korrelation. Anledningen till att stor stege och liten stege inte gav så hög synergieekt kan vara att man tvingas göra tidiga val gällande spelstrategi. Exempelvis räcker det med att någon av tärningarna visar antingen en etta eller sexa så tvingas vi relativt snabbt att inrikta oss på en av dessa stegar. Det skulle också kunna vara så att liten och stor stege inte har särskilt bra väntevärden om vi exempelvis råkar få ett tretal eller ett fyrtal. När vi har kategorierna stor stege och Yatzy har vi å andra sidan kanske inte så mycket tärningar gemensamt och tvingas även här göra relativt tidiga val beroende på vilken kategori vi vill satsa på, men fördelen med dessa kategorier är att man vid ett utfall som t.ex. 1, 1, 2, 1, 1 ligger väldigt bra till för att få en Yatzy men väldigt illa till om vi hade haft de båda stegarna. Med samma denition skulle vi alltså kunna beräkna synergieekten för tre eller era kategorier, det enda som krävs är att beräkna kategoriernas gemensamma väntevärde. Det är just detta arbete som är tidskrävande men möjligheterna för framtida utökade analyser står helt öppna. Bonusen då man får hoppa mellan olika kategorier skulle kunna vara en sådan möjlighet för ett ytterligare steg mot den fullständiga analysen av Yatzy. 30

33 Bilaga A Stegar A.1 Liten stege n\k ,9524 1,3302 0, ,4373 0, ,7303 0, ,4537 0, ,5833 2, Tabell A.1: Väntevärdestabell för liten stege, där n är antalet fyllda lådor och k är antalet kast som kvarstår. A.2 Stor stege n\k ,9366 1,7735 0, ,9164 0, ,3071 0, ,2716 1, ,1111 3, Tabell A.2: Väntevärdestabell för stor stege, där n är antalet fyllda lådor och k är antalet kast som kvarstår. 31

34 Bilaga B Kategorier med n-tiplar B.1 Ettor, tvåor etc. Tabellerna för kategorin ettor, tvåor etc. avser endast väntevärden utan hänsyn till antalet tärningar i förhållande till väntevärden. n\k Tabell B.1: Väntevärdestabell för ettor, tvåor etc. när ett kast återstår, där n är antalet tärningar och k är valör på tärning. n\k Tabell B.2: Väntevärdestabell för ettor, tvåor etc. när två kast återstår, där n är antalet tärningar och k är valör på tärning. 32

35 B.2 Ett par n\k ,3925 0,7850 1,1775 1,5700 1,9624 2, ,0355 2,0710 3,1065 4,1420 5,1775 6, Tabell B.3: Väntevärdestabell för ett par när ett kast återstår, där n är antalet tärningar och k är valör på tärning. n\k ,9664 1,9327 2,8991 3,8655 4,8318 5, ,5349 3,0697 4,6046 6,1395 7,6743 9, Tabell B.4: Väntevärdestabell för ett par när två kast återstår, där n är antalet tärningar och k är valör på tärning. 33

36 B.3 Tretal n\k ,1065 0,2130 0,3194 0,4259 0,5324 0, ,3958 0,7917 1,1875 1,5833 1,9792 2, ,2639 2,5278 3,7917 5,0556 6,3194 7, Tabell B.5: Väntevärdestabell för tretal när ett kast återstår, där n är antalet tärningar och k är valör på tärning. n\k ,5115 1,0230 1,5346 2,0461 2,5576 3, ,0743 2,1487 3,2230 4,2973 5,3717 6, ,9953 3,9906 5,9859 7,9812 9, , Tabell B.6: Väntevärdestabell för tretal när två kast återstår, där n är antalet tärningar och k är valör på tärning. 34

37 B.4 Fyrtal n\k ,0134 0,0267 0,0401 0,0535 0,0669 0, ,0648 0,1296 0,1944 0,2593 0,3241 0, ,2963 0,5926 0,8889 1,1852 1,4815 1, ,2222 2,4444 3,6667 4,8889 6,1111 7, Tabell B.7: Väntevärdestabell för fyrtal när ett kast återstår, där n är antalet tärningar och k är valör på tärning. n\k ,1317 0,2634 0,3952 0,5269 0,6586 0, ,3518 0,7037 1,0555 1,4074 1,7592 2, ,8921 1,7843 2,6764 3,5686 4,4607 5, ,0710 4,1420 6,2130 8, , , Tabell B.8: Väntevärdestabell för fyrtal när två kast återstår, där n är antalet tärningar och k är valör på tärning. B.5 Yatzy n\k ,3014 0,6316 0, ,4532 0, ,6682 1, ,2778 8, Tabell B.9: Väntevärdestabell för Yatzy, där n är antalet fyllda lådor och k är antalet kast som kvarstår. 35

38 Bilaga C Kåk och två par C.1 Kåk Väntevärdestabell för kåk, där n är antalet gjorda kast och k är i vilken kolumn kåken nns, (se två par/kåk-listan). Väntevärdet för kåk innan man gjort något kast är 6,9657. n\k ,5177 3,5177 7,0000 8,0000 4,0833 4,0833 3,5177 3, ,5278 1,5278 7,0000 8,0000 1,8889 1,8889 1,5278 1, ,0000 8, Tabell C.1: Kolumn 18 n\k ,1667 4,0833 4,0833 9,0000 5,5556 6, , , ,5000 2,0000 2,0000 9,0000 3,3333 4, , , , , ,0000 Tabell C.2: Kolumn 916 n\k , ,0000 4,8356 4,8356 4,8356 3,6469 3,6469 4, , ,0000 2,2500 2,2500 2,2500 1,8333 1,8333 2, , Tabell C.3: Kolumn

39 n\k ,4444 4,4444 3,6469 3,6469 4,0028 4,4444 5,5556 4, ,3333 2,3333 1,8333 1,0880 1,3009 2,3333 3,3333 1, Tabell C.4: Kolumn 2532 n\k ,9444 5,3611 5,3611 5, ,0000 6,9444 8, , ,1667 2,8333 2,8333 2, ,0000 4,1667 5, , , ,0000 Tabell C.5: Kolumn 3340 n\k ,9444 5,2097 8,3333 9,7222 9, , ,0000 5, ,1667 1,7269 5,0000 5,8333 5, , ,0000 2, , , Tabell C.6: Kolumn 4148 n\k ,0000 5,7778 5, ,0000 5,5509 5,5509 5,7778 5, ,0000 3,0000 3, ,0000 2,6111 2,6667 3,0000 2, , , Tabell C.7: Kolumn 4956 n\k ,0278 4,0278 4,4120 4,9444 4,9444 4,0278 3,9195 4, ,1667 2,1667 2,5000 2,6667 2,6667 2,1667 1,1944 1, Tabell C.8: Kolumn 5764 n\k ,9444 5,5556 5,0880 6,9444 5,8611 5,8611 5,8611 4, ,6667 3,3333 1,6389 4,1667 3,1667 3,1667 3,1667 2, Tabell C.9: Kolumn

40 n\k ,9195 4,4120 4,9444 3,9195 3,9195 4,4120 5,0880 5, ,1944 1,4167 2,6667 1,1944 0,7978 1,4167 1,6389 1, Tabell C.10: Kolumn 7380 n\k ,8611 6,9444 5,7639 8,3333 5,7639 5,7639 9,7222 6, ,1667 4,1667 1,8611 5,0000 1,8611 1,8611 5,8333 3, Tabell C.11: Kolumn 8188 n\k ,7778 6,7778 6, ,0000 8,3333 9, ,0000 8, ,6667 3,6667 3, ,0000 5,0000 5, ,0000 5, , , Tabell C.12: Kolumn 8996 n\k ,7984 9, , , ,0000 8,3333 5,9946 9, ,9398 5,8333 6,6667 6, ,0000 5,0000 1,9398 5, , Tabell C.13: Kolumn n\k ,9946 5, , , , , , , ,9398 1,9398 6,6667 7,5000 7,5000 7, , , , ,0000 Tabell C.14: Kolumn n\k , ,0000 6,6389 6, ,0000 7,1389 7,1389 7, , ,0000 3,5000 3, ,0000 3,8333 3,8333 3, , , Tabell C.15: Kolumn

41 n\k ,0000 6,2569 6,2569 6,6389 7,1389 6,2569 4,5833 4, ,0000 2,9722 3,1667 3,5000 3,8333 2,9722 2,5000 2, , Tabell C.16: Kolumn n\k ,8657 5,5000 5,5000 4,5833 4,2014 4,8657 5,5000 5, ,5000 3,0000 3,0000 2,5000 1,3889 1,6111 3,0000 3, Tabell C.17: Kolumn n\k ,5417 6,9444 6,4167 6,4167 6,4167 4,5833 4,2014 4, ,8333 4,1667 3,5000 3,5000 3,5000 2,5000 1,3889 1, Tabell C.18: Kolumn n\k ,5000 4,2014 4,2014 4,8657 5,5417 5,5417 6,4167 6, ,0000 1,3889 0,8796 1,6111 1,8333 1,8333 3,5000 4, Tabell C.19: Kolumn n\k ,2176 8,3333 6,2176 6,2176 9,7222 7,3333 7,3333 7, ,0556 5,0000 2,0556 2,0556 5,8333 4,0000 4,0000 4, Tabell C.20: Kolumn n\k ,3333 4,5833 4,2837 4,8657 5,5000 4,2837 4,2837 4, ,0000 2,5000 1,3889 1,6111 3,0000 1,3889 0,8796 1, Tabell C.21: Kolumn

42 n\k ,5417 5,5417 6,4167 4,2837 4,2837 4,8657 4,2837 4, ,8333 1,8333 3,5000 1,3889 0,8796 1,6111 0,8796 0, Tabell C.22: Kolumn n\k ,5417 6,2176 6,2176 6,2176 7,3333 8,3333 6,8935 9, ,8333 2,0556 2,0556 2,0556 4,0000 5,0000 2,2778 5, Tabell C.23: Kolumn n\k ,8935 6, ,1111 6,8935 6,8935 6, ,5000 8, ,2778 2,2778 6,6667 2,2778 2,2778 2,2778 7,5000 4, Tabell C.24: Kolumn n\k ,2500 8,2500 8,2500 8, ,0000 9, , , ,5000 4,5000 4,5000 4, ,0000 5,8333 6, , , ,0000 Tabell C.25: Kolumn n\k ,7222 6, , , , ,0000 9,7222 6, ,8333 2,1528 6,6667 7,5000 7, ,0000 5,8333 2, , Tabell C.26: Kolumn n\k ,1111 6,6181 6, , , , , , ,6667 2,1528 2,1528 7,5000 8,3333 8,3333 8, , ,0000 Tabell C.27: Kolumn

43 n\k ,7222 7, ,1111 7,0648 7, ,5000 7,0648 7, ,8333 2,3056 6,6667 2,3056 2,3056 7,5000 2,3056 2, Tabell C.28: Kolumn n\k , , , , , , , , ,3056 8,3333 9,1667 9,1667 9,1667 9, , , , ,0000 Tabell C.29: Kolumn n\k , ,0000 7,5000 7, ,0000 8,0000 8,0000 8, , ,0000 4,0000 4, ,0000 4,3333 4,3333 4, , , Tabell C.30: Kolumn n\k ,0000 8,5556 8,5556 8,5556 8, ,0000 6,9444 7, ,0000 4,6667 4,6667 4,6667 4, ,0000 3,3333 3, , , Tabell C.31: Kolumn n\k ,5000 8,0000 8,5556 6, ,0000 4,3333 4,6667 3, Tabell C.32: Kolumn