Algebrans utveckling

Transkript

1 Algebrans utveckling Simon Josefsson Innehåll 1 Innan algebra 2 2 Egyptisk algebra 3 3 Babylonsk algebra 4 4 Kinesisk algebra 5 5 Grekisk geometri och algebra 5 6 Hindu-Indisk algebra 7 7 Arabisk algebra 7 8 Medeltida algebra 8 9 Europeisk algebra under renässansen 9 10 Abstrakt algebra Sammanfattning Källor 13 Copyright c 2004 av Simon Josefsson. Ett moment i kursen Matematikens Utveckling vid Stockholms Universitet vårterminen Elektronisk postadress: simon@josefsson.org.

2 1 Innan algebra Aritmetik, läran om hur man använder tal, var människans första bekantskap med matematik, möjligen vid sidan av geometri. Aritmetiken gav människan möjlighet att räkna. Rimligen räknades främst naturliga fenomen, exempelvis så enkla saker som antalet djur i en flock under jakt. Kommunikationen skedde med gester eller verbalt. Med introduktionen av olika skrivmetoder fick människan möjlighet att dokumentera tidigare beräkningar, för att kunna jämföra aktuella situationer med tidigare erfarenhet. De tidigaste spåren av denna icke-verbala form av matematik är ristningar på ca år gamla benbitar (se figur 1), där markeringar i grupper om fem förekommer. Faktum är att dessa spår av matematik är de första fynden som visar på mänskligt skrivspråk överhuvudtaget. Man vet inte säkert vad markeringarna på benbitarna symboliserade. Man kan hitta på hypoteser genom att resonera kring vad som skulle kunna motivera besväret att göra markeringarna, och att bära med sig benbitarna. Ett enkelt exempel kan vara antalet dygn mellan fullmåne. Figur 1: Ristningar på benbitar ca år gamla av Cro-Magnon-människor, Deutsches Museum i München. Innan människan blev bofast fanns inte något större behov av matematik utöver simpel aritmetik och geometri. Det är först när människan brukat jorden tillräckligt länge för att kunna börja försörja större populationer, som ytterligare behov uppkommer. De tidigaste spåren av utbredd matematik finns från Mesopotamien, Babylon och Egypten vid omkring 3000 f.kr. Ett talsystem, inklusive de rationella talen (tal på formen a ), och föregångarna till abakus (räkneverktyg för att utföra aritmetiska beräkningar) b finns dokumenterade. Sannolikt representerar fynden inte unika nya uppfinningar, utan bruksföremål som bygger på något äldre kunskap. Dock växte de tidigaste civilisationerna fram under den här tiden, vilket var en förutsättning för att verktygen skulle bli spridda. De resonemang som förs fram till omkring 3000 f.kr är främst muntliga, men senare börjar olika skriftspråk utvecklas. I den här artikeln kommer vi att se hur dessa skriftspråk utvecklas, först genom att de retoriska konstruktionerna förkortas (ca första årtusendet e.kr) och sedan att en symbolisk notation införs (först på allvar ca år 1600 e.kr, i samband med renässansen). Vi kommer också att se att förbättringarna av notation leder till den moderna algebran, eller den abstrakta algebran, som vi kommer in på i slutet av artikeln. 2

3 De främsta metoderna inom aritmetik är simpel addition och multiplikation. Som exempel, har du två stenbitar som är 4 meter respektive 6 meter höga kan du forma en vägg som är = 10 meter hög. Har du mätt upp att du behöver 15 hinkar lera för att mura en vägg, behöver du 4 15 = 60 hinkar lera för ett rum med fyra väggar. Tankesteget från aritmetik till den klassiska algebran, som består av ekvationslösning, är inte långt. I stora drag går den ut på hitta ett tal som uppfyller vissa villkor. För våra exempel ska vi ta klivet från aritmetik till algebra. Anta att vi har hittat en sten som är 4 meter hög, hur hög måste en annan sten vara, om de tillsammans ska bilda en vägg i det 10 meter höga rummet? Om vi har gjort av med 37 hinkar lera, hur många fler hinkar måste vi hämta för att få klart rummet med fyra väggar? Dessa frågor hör till dem som algebran kan svara på. Se figur 2 för en modern tolkning av dessa algebraiska frågor. 4 + x = x = 4 15 Figur 2: Modern formulering av de två algebraiska exemplen i texten. Vi har sett att en bekantskap med aritmetik och tal leder vidare till frågor som Vilket tal passar in i det här uttrycket?. Dessa frågor är den klassiska algebrans område. I moderna termer handlar det huvudsakligen om enkel ekvationslösning. Vi är nu redo att följa algebrans utveckling vidare i historien. 2 Egyptisk algebra Vår kunskap om tidig egyptisk matematik baserar sig nästan uteslutande på Rhindpapyrusrullen samt Moskva-rullen (se figur 3), nedskrivna ca 1650 f.kr och antagligen kopierade eller sammanställda från andra källor. Rhind-rullen innehåller bl.a. 84 aritmetiska problem och lösningar, i en form av matematisk kokbok, dvs beskrivningar steg-för-steg utan någon motivation till varför lösningarna är korrekta. Alla problem löstes retoriskt, dvs ett problem beskrevs och löstes med ord. Figur 3: Utdrag från Rhind-rullen (vänster) och Moskva-rullen (höger), skriven ca år 1650 f.kr, British Museum resp Moscow Museum of Fine Arts. 3

4 Vi nämner två problem ur Rhind-rullen, först problem 3 som är ren aritmetik: Dela 6 brödbitar mellan 10 män. Ett senare problem är Dela 100 brödbitar mellan 10 män, varav en skeppare, en förman och en vakt alla ska få dubbla portioner. Hur mycket ska var och en få?. (Se figur 4 för modern formulering.) Vi ser återigen hur naturlig kopplingen från aritmetik till klassisk algebra är. Användningsområdet för matematik på den här tiden är tydligt i problemformuleringarna; många problem relateras till matproduktion och matdistribution. x = x + 3y = 100 y = 2x Figur 4: Modern formulering av två problem ur Rhind-papyrusen. Lösningsmetoden för många av de linjära ekvationer, och system av ekvationer, som uppstod var inte som idag ren symbolisk manipulation. Istället används ofta en metod, där man gissar en lösning, och jämför den med problemet varefter man justerar gissningen uppåt eller nedåt beroende på felet i jämförelsen, och så upprepas metoden. Det är lätt att dra paralleller med det i övrigt pragmatiska samhället: de studerar inte matematik för dess egen skönhets skull utan att lösa praktiska problem. Att gissa en lösning och korrigera den allteftersom är ett praktiskt synsätt, men är svårt att hantera formellt. Ur Kairo-papyrusen från omkring 300 f.kr ser vi att egyptierna då utvecklat sin matematik till att kunna lösa vissa ekvationssystem med två okända variabler av andra graden. Det är också tydligt att vidare utveckling av deras algebra begränsas av deras krångliga representation av rationella tal. 3 Babylonsk algebra Riket kring Babylon (omkring f.kr, se figur 5) använde talbas 60 (till skillnad från egyptierna som använde talbas 10), och det underlättade deras algebra, speciellt med avseende på rationella tal 1. Figur 5: Karta över riket kring Babylon. Babylonerna kunde lösa andragradsekvationer, men erkände bara en positiv rot, med i princip den formel vi använder idag. De behandlade ekvationssystem med flera okända variabler, och även högre ordningens ekvationer. 1 Ty 60 har fler heltalsdelare än 10, nämligen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 jämfört med bara 1, 2 och 5 för 10. 4

5 Liksom egyptierna använde de ett minimum av symboler, istället var deras algebra retorisk och utan förklaringar eller motivation till lösningarna. En utveckling var att de kunde finna approximationer till ekvationer som saknar rationella lösningar. I likhet med egyptierna var användningsområdet av matematik i huvudsak matproduktion och matdistribution. 4 Kinesisk algebra Den kinesiska texten Nio kapitel om konsten i matematik av Jiuzhang Suanshu, från omkring 200 f.kr, intresserar sig, liksom egyptierna och babylonerna tidigare, för linjära ekvationer och (små) ekvationsystem. De använde sig av liknande lösningsmetoder; dvs ansätter en lösning och korrigerar den. I texten löstes bl.a. system av två linjära ekvationer med två okända variabler, tyvärr utan förklaringar, på samma sätt som Arabiska matematiker skulle beskriva i mer detalj först ett millenium senare. Kineserna var tidigt intresserade av modulär aritmetik, exemplifierade av Sun Tzu 400 e.kr i problemet Vi har ett antal saker, men vet inte exakt hur många. Räknar vi dem tre och tre, så är de två över. Räknar vi dem fem och fem, är de tre över. Om vi räknar dem sju och sju, har vi två över. Hur många saker har vi?. (Se figur 6 för en modern formulering av problemet.) Även om mindre är känt om hur matematik användes i samhället, pekar problemformuleringarna (inte oväntat) på att matproduktion och matdistribution är huvudsyftet, även om byggnadskonstruktion (broar och vägar) och astrologi finns med. x 2 mod 3 x 3 mod 5 x 2 mod 7 Figur 6: Modern formulering av ett kinesiskt problem inom modulär aritmetik från Sun Tzu (400 e.kr). 5 Grekisk geometri och algebra Grekernas direkta bidrag till algebran var få, främst beroende på att grekerna intresserade sig mer för geometri och logik. Till skillnad från egyptierna och babylonerna byggde inte grekerna stora administrationer för att hantera matproduktion, vilket förklarar att de problem som uppstod tidigare inte var lika viktiga för grekerna. Istället var grekerna duktigare på handel, teknisk konstruktion och erövring, samt att de organiserade sin civilisation i mindre stadsstäder, styrda av en politisk och filosofisk elit. Detta kräver argumentation och logisk deduktion, mer än ekvationslösning för att fördela bröd mellan undersåtar. Grekerna löste med geometri en del av samma problem som babylonerna och egyptierna löst tidigare. Det råder en dispyt bland historiker om grekerna lärde sig ekvationslösning från egyptierna och babylonerna, och formulerade dem i geometri, eller om de oberoende arbetade fram samma metoder ur en strikt geometrisk grund. Med tanke på att den geometriska algebran hos grekerna inte tillförde något nytt substansiellt algebraiskt resultat, samt att de resultat som arbetades fram inte var nödvändiga för andra områden som grekerna primärt var intresserade av, och vid beaktande av grekernas omfattande 5

6 handel och resande, lutar den här artikelförfattaren åt att hålla med de som anser att grekerna importerade ekvationslösning men formulerade den geometriskt. Man kan tänka sig att de ansåg att de bara ville visa att även ekvationslösning kan studeras inom geometri, som om de ville argumentera att det räcker att studera geometri för att nå alla sanningar. Generellt får det nog sägas att grekernas intresse för geometri och logik kortsiktigt inverkade negativt på algebrans utveckling. Utvecklingen stannade av, och skulle inte se många nya framsteg förrän renäsansen, jämfört med den nivå den befann sig på efter egyptierna och babylonerna. Grekerna gav dock ett mycket viktigt bidrag, i form av Euklides Elementa (300 f.kr) som införde ett deduktivt tänkande inom vetenskaperna. Detta byggde en helt ny grund och synsätt på vetenskapligt arbete. Möjligen var det så att det skulle krävas närmare 2000 år (från Euklides tid fram till renäsansen) att återuppfinna algebran, med de resultat som var kända tidigare, men formulerade i den deduktiva form Euklides föreskrivit. Dessutom är det möjligen så, att detta återuppfinnande av algebran i ny form var nödvändigt för att komma vidare med nya resultat. En sengrekisk algebraiker värd att nämna är dock Diophantos, ca 250 e.kr, som tillhörde slutet av en algebraisk skola som inte byggde på geometri. Hans huvudbidrag var att införa ett förkortat skrivsätt, jämfört med de långa verbala algebraiska lösningar som använts tidigare. Diophantos huvudverk, Arithmetika (se figur 7), beskriver ekvationslösning, men inför även ekvationssystem med två eller flera ekvationer med många okända variabler som har ett oändligt antal rationella lösningar. I likhet med egyptisk och babylonsk algebra var det en kokbok, i det att han inte gav några motiveringar till lösningarna. Också i likhet med tidigare algebra så accepterades bara positiva rationella lösningar, och för andragradsekvationer fann han bara en rot. Poängen vi vill peka på är dock att det matematiska skrivspråket började förkortas (se figur 8), vilket senare kommer leda till ett rent symboliskt språk. Diophantos Namn Modern Y Dynamis x 2 κ Y Kubos x 3 κ Y Dynamo-Kubos x 5 Figur 7: Titelblad ur Diophantos bok Arithmetika (ca 250 e.kr), här i en utgåva kommenterad av Fermat. Figur 8: Ett par exempel på symbolism, eller snarare förkortningar, som användes av Diophantos, samt dess moderna motsvarighet. 6

7 Kort efter Diophantos försvann dock grekernas kunskap, i och med Romerska rikets intåg, som uttryckligen motsatte sig studier av matematik, illustrerade av en formulering av Cicero: Grekerna [...] utvecklade en briljant geometri, men vi har sätt gränser för nyttan av matematik till mätning och räkning. Man kan fundera över om inte Romerska riket hade kommit att intressera sig mer för matematik, och vilka följder de hade fått, om de ägnat sig mindre åt att försöka civilisera barbarerna norrut i Europa. 6 Hindu-Indisk algebra Den kronologiska efterföljaren till grekerna inom utvecklingen av algebra var Hinduer i Indien. Den indiska matematiken bär spår från omkring 800 f.kr men blev inte signifikant förrän efter Diophantos och tidigare grekisk matematik blev känd. Den praktiska motivationen var astronomi och astrologi. Vid omkring 600 e.kr använde de ett positionssystem, använde talet 0 som kunde adderas och multipliceras på samma sätt som andra tal, och betraktade negativa tal som skuld. Dagens västerländska siffror, talsystem och aritmetiska algoritmer härrör från den här tiden. Hinduernas bidrag till algebran var en något ökande symbolism (dvs användandet av symboler för algebraiska operationer) jämfört med Diophantos förkortade skrivsätt. De upptäckte att de irrationella talen samt att kvadratiska ekvationer har två rötter, men de kunde inte lösa kvadratiska ekvationer med lösningar som är rötter av negativa tal. De utvecklade också den moderna metoden att hitta heltalslösningar till de s.k. diofantiska ekvationerna. 7 Arabisk algebra Muhammad enade de Arabiska länder med start omkring år 600, från Indien över nordafrika till Spanien. Fram till omkring år 1300 var det huvudsakligen de Persiska, Kristna och Judiska folken, under det Arabiska riket, som låg bakom de vetenskapliga framstegen. Inom algebrans område såg Araberna till att tidigare källor, från flera olika kulturer, samlades, bevarades och översattes, kommenterades och förbättrades. Allmänt så fortsatte de att räkna med irrationella lösningar, men tog ett steg tillbaka jämfört med Indierna genom att förkasta negativa lösningar. Figur 9: al-kharizmi, från vars huvudverk ordet algebra kommer. 7

8 En binomiell ekvation x 3 = d Sex trinomiella x 3 + cx = d, x 3 + d = cx, ekvationer x 3 = cx + d, x 3 + bx 2 = d, x 3 + d = bx 2, x 3 = bx 2 + d Sju tetranomiella x 3 + bx 2 + cx = d, x 3 + bx 2 + d = cx, ekvationer x 3 + cx + d = bx 2, x 3 = bx 2 + cx + d, x 3 + bx 2 = cx + d, x 3 + cx = bx 2 + d, x 3 + d = bx 2 + cx Figur 10: Alla fall av tredjegradsekvationer, när man inte använder negativa tal (jämför den enklare figur 11 som dock kräver negativa tal). Omar Khayyam ( ) löste varje fall geometriskt med koniska snitt. Ordet algebra kommer från den här tiden och en bok i området, Hisab al-jabr w al Muqabala (ungefär Omskrivning och förenkling ) skriven ca år 830 av astronomen, och en av de inflytelserikaste Arabiska matematikerna, Abu Abdullah Mohammed ibn Musa al-khawarizmi al-magusi (se figur 9). En tidigare bok av samme författare, om aritmetik, skulle komma att introducera för väst de Indiska talsymbolerna, positionssystemet och de algoritmer för elementär räkning vi använder än idag. Som kuriosa kan nämnas att ordet algoritm är en förvanskning av al-khawirzmi s namn. Fortfarande var resonemangen i huvudsak rent verbala, utan någon större symbolism. Araberna kunder lösa kvadratiska ekvationer med två möjligen irrationella lösningar, men förkastade som sagt negativa lösningar. De förde vidare Diophantos och Indiska arbeten om ekvationer med oändligt många lösningar. Ett större algebraiskt framsteg gavs av poeten, filosofen och matematikern Omar Khayyam ( ) från Iran. Khayyam systematiserade tredjegradsekvationerna och löste dem fall för fall (se figur 10) med geometriska metoder som bygger på koniska snitt. Sammanfattningsvis kan sägas att Arabernas arbete, under den här tiden, med att ta upp arbeten från flera kulturer, sammanfatta, översätta och förbättra dem lade grunden till den vetenskapliga revolutionen i väst i och med renässansen. 8 Medeltida algebra En grundläggande metod inom algebraiska bevis är induktionsbegreppet, som introducerades och beskrevs relativt utförligt av Levi ben Gerson (publicerat år 1321). Arbetet påminner om renässansens och senare matematiska arbeten genom ett axiomatiskt tänkande, med definitioner, satser och bevis. Arbetet var före sin tid, och kunde inte uppskattas förrän långt senare. Ett för väst inflytelserikt arbete i algebra var Leonardo av Pisa s (också känd som Fibonacci) bok Liber Abbaci (början av 1200-talet). De bygger på de tidiga arabiska kunskaperna, men återupprepar dem och gör dem tillgängliga för lärda i väst. 8

9 9 Europeisk algebra under renässansen Matematiken under och efter renässansen kännetecknas av en återkomst av ren algebra, jämfört med det tunga geometriska arvet från grekerna. Innan 1500-talet var man fortfarande osäker på begrepp som negativa och irrationella tal. Alla resonemang var retoriska, och skrivsättet var i bästa fall något förkortat. Ett erkännande av negativa och irrationella tal, samt framförallt införandet av ett symbolspråk, skulle vara de främsta frukterna av renässansen, för algebrans del. ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 Figur 11: Modern formulering de generella tredje- och fjärdegradsekvationerna. Rent tekniskt var lösandet av den generella tredje- och fjärdegradsekvationer med algebraiska metoder det viktigaste resultatet under den här perioden, och kanske det största framsteget inom algebrans område sedan egyptierna och babylonerna löste system med andragradsekvationer omkring 2500 år tidigare. Dessa resultat publicerades 1545 i boken Ars Magna av Cardano, från Italien, som dock inte hade upptäckt resultaten själv. Detta anges ofta som startpunkten för den moderna matematiken. Fortsatta försök att lösa generella femtegradsekvationer ledde till mycket intressant matematik, men inga konkreta resultat. (Det senare var inte oväntat, ett par hundra år senare skulle Niels Abel visa att det är omöjligt att med algebraiska metoder lösa femtegradsekvationer.) Cardano var den främsta algebraiker vid den här tiden, men resonemangen var fortfarande retoriska. Många framsteg gjordes för att generalisera de kokboksprinciper som tidigare används för att lösa algebraiska problem. Man började se en möjlighet att ge beskrivningar av lösningar som täckte in alla tänkbara möjligheter, istället för att lösa varje enskild uppgift individuellt men likartat vilket alla algebraiska texter dittills bestått av. Figur 12: François Viète (fransman, andra halvan av 1500-talet) började införa symbolspråk i algebra, använde vokaler för okända och konsonanter för kända enheter. Figur 13: Sida ur Whetstone of Witte av Robert Recorde där den moderna symbolen för likhet introducerades. 9

10 Det viktigaste framsteget för symbolismen gavs av Viète ( ) från Frankrike (se figur 12), som använde bokstäver för att representera kända konstanter. Detta gjorde att man kunde betrakta ekvationer som beskriver klasser av problem, istället för att bara kunna betrakta ekvationer som beskriver de tal man har givna i en enda uppgift. Dock var Viète s algebra fortfarande förkortad, snarare än rent symbolisk. Ett exempel på en symbol som introducerades vid den här tiden är dagens symbol för likamed: =. Den introducerades 1557 av den brittiske matematikern Robert Recorde i boken Whetstone of Witte. Intressant är att notera att hans verk skrevs på Engelska, istället för på Latin eller Hebreiska. Som kuriosa kan nämnas att i en tidigare bok av Recorde, Pathway of Knowledge, används ordet algebra för första gången på engelska. Symbolspråket plockades upp snabbt av tidens matematiker, och kan betraktas som fullt utvecklad i och med Descartes bok La Géométrie från 1637 (se figur 14). Den boken innehöll även början till en syntes av algebra och geometri, oberoende utvecklad även av Fermat vid samma tid. Algebraisk geometri är än idag ett stort forskningsområde. Figur 14: René Descartes (fransman, första halvan av 1600-talet) med sida ur hans bok La Geometrie (1637). Han byggde bl.a. vidare på symbolspråket inom algebra hos Viète men använde bokstäver i slutet på (det latinska) alfabetet som okända och bokstäver i början av alfabetet som kända. Även om symbolspråket mot slutet av 1600-talet hade slagit igenom, hade man ännu ingen logisk grund att stå på inom algebra. Jämför med Euklides verk från den tidiga grekiska perioden, som gav en axiomatisk grund till geometri. Algebrans resultat var ännu i form av kokbok med många färdiga resultat som kan användas vid behov. Under 1700-talet mognade kunskaperna från renässansen. De olika inriktningar inom matematik började betraktas som separata områden. Framsteg inom algebra kunde användas av Bernoulli-familjen (kombinatorik, sannolikhetslära), Euler (talteori, algebraisk geometri, topologi), osv. Lagrange började studera polynomekvationer (se figur 15), vilket skulle påverka Gauss och andra under 1800-talet då den abstrakta algebran börjar ta form. Dock skulle 1700-talet bli den matematiska analysens århundrade, med namn som Newton m.fl. 10

11 p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 Figur 15: Den generella polynomekvationen, studerades av Lagrange. 10 Abstrakt algebra Nästa stora framsteg inom algebra, efter lösningen av de generella tredje- och fjärdegradsekvationerna och symbolismens intåg, skulle komma under 1800-talet. Det matematiska skrivspråket hade mognat. Matematiker började se mönster inom olika delar av matematiken, som man försökte studera med hjälp av algebra. Huvudsakligen skulle det vara centraleuropeiska matematiker från England, Tyskland och Frankrike, som skulle komma med de stora resultaten under den här tiden. Slutpunkten av fokuset på ekvationslösning inom algebra kan sägas komma i och med studierna av komplexa tal (se figur 16) av Gauss ( ). Detta ledde till formuleringen av algebrans fundamentalsats (1799): En polynomekvation har lika många (komplexa) lösningar som dess gradtal. Dessa tankar var inspirerade av arbeten av Bombelli och Girard m.fl, från slutet av 1500-talet och början på 1600-talet, men det var acceptansen av komplexa tal som var nyckeln till den slutliga formuleringen. Jämför utvidgningen från enbart positiva tal till både positiva och negativa tal, som förenklade ekvationslösning (jämför figur 10 med 11), med utvidgningen till komplexa tal. a + bi Z där a, b R 4 + 5i i πi Figur 16: Generella komplexa tal, samt några exempel. Används i algebrans fundamentalsats av Gauss ( ). Under 1800-talet fortsatte matematiker med att generalisera tal, utöver de komplexa talen, men man började också studera de strukturer som dök upp på flera ställen inom matematiken. Ett viktigt arbete var att axiomatisera algebran, likt Euklides gjorde för geometri. Den brittiska matematikern Peacock ( ) kallas ibland Algebrans Euklides, ett kanske något överdrivet epitet. Han försökte rationalisera användningen av positiva och negativa tal genom att dela upp algebra i Aritmetisk algebra och Symbolisk algebra. Han kunde betrakta ekvationen a b = c på två sätt, dels som ett aritmetiskt uttryck som bara var meningsfullt när a b, och dels som ett symboliskt uttryck som inte begränsas av de ingående symbolernas representation. Augustus de Morgan ( , född i den dåvarande Brittiska kolonin Indien) arbetade huvudsakligen som pedagog och förenklade presentationen av många andras arbeten. Han insåg att Peacock s algebra kan definieras utan grund i aritmetik, och definerade en algebra med godtyckliga symboler med bestämda, abstrakta, lagar för hur operationer kunde användes på dessa symboler. Dock skiljde sig lagarna för operationerna inte från de regler som gäller inom aritmetik. William Hamilton ( , irländsk) visade hur de komplexa talen kan beskrivas inom Peacock och de Morgan s system. Han arbetade dessutom med att utöka talen utöver de komplexa, och experimenterade med tripletter (dvs tal på formen a + bi + cj där a, b, c är 11

12 tal och i, j symboler). Det skulle ta närmare 15 år innan han istället definierade (1843) kvaternioner, fyrtuppler (se figur 17), som uppfyllde alla lagar som de Morgan formulerat utom den kommutativa egenskapen (dvs a b = b a). (Att göra detsamma för tripletter visade sig vara omöjligt.) Att visa att en algebra, som inte uppfyller reglerna som gäller för vanlig aritmetik, kan existera var det stora framsteget. Framsteget kan liknas med acceptansen av icke-euklidiska geometrier. Dåtidens fysiker, bland andra Maxwell, argumenterade för användandet av kvaternioner inom fysiken, för tredimensionell geometri. En senare fysiker, amerikanen Gibbs, insåg att inte alla de lagar som låg bakom kvaternioner behövdes inom fysik, och utvecklade en algebra för vektorer. Idag har vektoralgebra helt ersatt kvaternioner inom fysiken. Ytterligare en viktig algebra, även den icke-kommutativ likt kvaternioner, utvecklades av Cayley (britt, ) och byggde på matriser av tal som kunde adderas och multipliceras. a + bi + cj + dk där a, b, c, d R Figur 17: William Hamilton ( ) definierade kvaternioner som fyrtuppler av tal. Matematiska objekt (exempelvis vanliga tal, kvaternioner, vektorer, eller matriser), tillsammans med de operationer som opererar på objekten (exempelvis addition eller multiplikation), kallas sammanslaget för en algebra. Varje algebra har en mängd symbol (ändlig eller oändlig, uppräknelig eller över-uppräknelig) och en eller flera operationer som följer vissa lagar. Man hade kommit förbi tankesättet som gäller för den klassiska algebran, som utgår från de reella talen och operationerna addition samt multiplikation. Matematikerna kunde börja koncentrera sig på själva strukturerna, istället för talen eller symboler som representerade talen. Figur 18: Evariste Galois ( ) definierade det matematiska konceptet grupp och formulerade en metod för att avgöra när en ekvation kan lösas algebraiskt. Dog i en duell vid 21 års ålder. Dessa tankar preciserades av flera matematiker, men de kanske viktigaste stegen gav den franske matematikern Galois (se figur 18). Han definierade konceptet grupp inom algebran, till att vara en mängd symboler med en operation som uppfyller tre axiom. Med detta som verktyg kunde han lösa problemet med att avgöra när en polynom-ekvation har 12

13 algebraiska lösningar. Galois teori ledde även till bevis för att de tre klassiska grekiska geometriska problemen var omöjliga att lösa. 11 Sammanfattning De första resultaten inom algebra kommer från rikena kring Babylon ca år f.kr. Man kunde då lösa ett par varianter av linjära ekvationer, och mindre system av ekvationer, även av andra ordningen. Efter att algebran blivit något undanskymd av geometri, följde en lång mognadsprocess för den allmänna matematiken. Negativa och irrationella tal, modulär aritmetik, diofantiska ekvationer, induktion, och talserier är alla exempel på nytt tänkande som gradvis blev mer välkänt. Först vid renässansen, ca 1500 e.kr, kunde man komma vidare med nya algebraiska resultat av vikt. Under en kort tid gjordes flera stora genombrott. De allmänna tredje- och fjärdegradsekvationerna löstes algebraiskt av Cardano m.fl. Ett symbolspråk istället för retoriska eller förkortade resonemang infördes av Viète m.fl. En axiomatisk grund för algebra, likt den för geometri från Euklides, skulle dröja fram till Peacock och de Morgan m.fl i mitten av 1800-talet. Parallellt med, och influerat av, det axiomatiska tänkandet, så generaliserades algebraiska begrepp. Galois m.fl definerade de grundläggande koncepten inom abstrakt algebra, t.ex. grupper och fält. Man kunde använda den abstrakta algebran för att visa när polynomekvationer gick att lösa algebraiskt. Man kunde bevisade också att tre klassiska grekiska geometriska problem, samt den generella femtegradsekvationen (och högre ordningens ekvationer) inte gick att lösa algebraiskt. En syntes av algebra och geometri hade även börjat utformas. Algebra inom den modulära aritmetiken vidareutvecklades inom talteori. 12 Källor Victor J. Katz: A history of mathematics. John McLeish: Number. From ancient civilisations to the computer. Diverse författare, Internet: