INNEHÅLLSFÖRTECKNING
|
|
- Hanna Olofsson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Majid Gorbani CT3620 Mälardalens Högskola 13 oktober,
2 SAMMANFATTNING Under 700- och 800-talet nådde den islamiska kulturen sin höjdpunkt efter det arabiska anfallet som täckte Persien, Kina och en del av södra Europa. De områden som intogs bildade en ganska enhetlig blandkultur. De samlade in all kunskap länder kunde erbjuda. Från Indien hämtades det mesta av siffersystemet. De ägnade sig åt naturvetenskap och blev framstående inom astronomi, matematik, kemi och medicin. Det rika kulturarvet gick förlorat i Västeuropa men levde kvar och utvecklades i den arabiska världen. Det var från de här områdena som den västeuropeiska kulturen hämtade nya impulser. Det är inget tvivel om att Al-khwarizmi spelade en viktig roll inom modern matematik och datavetenskap. Han är en viktig länk för matematikens utveckling och räknekonst som har rötter från bland annat gamla Indien, Persien och Grekland. Han skrev många böcker och introducerade de aritmetiska beräkningar. En av hans viktiga böcker var Al -Jabr Va almuqabala som vi känner för (Algebra). Han införde regler på hur man löser matematiska problem som andragradsekvationer. Efter Al-Khwarizmis död ungefär 400 år senare, utvecklade Omar Khayyam hans arbete, Khayyam införde ytterligare nya ekvationer och introducerade regler för att lösa tredjegradsekvationer. 2
3 INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1 Introduktion Vetenskap, Religion och Makt Bagdad Europa, en isolerat kontinent Al-Khwarizmi Aritmetisk Al-Khwarizmis algebra Omar Khayyam SLUTSATS REFERENSER
4 1 Introduktion År 622, då profeten Muhammed flydde från Mecka till Medina, startade ett nytt skede inom arabvärden. Redan under tiden profeten levde, inleddes en snabb utvidgning från den arabiska halvön och senare under hans närmaste efterträdare kaliferna Abu-Bakr och Umar, erövrades nästan hela orienten. Araberna i början av 700-talet nådde ända ner till Spanien. Södra delen av Persien efter många år motstånd besegrades mot den arabiska invasionen och i nordöstra av Persien (Khwarizm) genomfördes nu betydligt mer brutalt och till slut det persiska imperiet föll. År 715 möttes den arabiska och Kinesiska trupper vid slaget i Talas (nu Uzbekistan), det var där slutligen sattes stopp på den arabiska expansionen. Samtidigt ledde spänningarna inom Centralasien och nordöstra Persien till ett uppror mot araberna, som slutade med ett blodbad och massaker. De få efterlevande flydde så långt bort de kunde. Till slut en ny arabisk ätt kom till makten Abbasiderna i staden Bagdad. Det var där allt vetenskap kom att ha sitt blomstrande tider som blev en mötesplats för olika befolkning och dess kultur och kunskap, de var bland annat araber, syrier, perser, och indier [Johansson04] 2 Vetenskap, Religion och Makt 2.1 Bagdad Staden Bagdad, inte långt från det forna persiska centrat Ctesiphon (uttalas Tisfon), grundlades år 762, och kalifen (ledare) al-mansur förlade huvudstaden dit. Detta innebar att centrum för det arabiska väldet nu låg i det forna persiska området. Även makteliten hade starka persiska band. Abbasidernas släkt kom från Iran. Därefter blev det officiella språket arabiska och det var till detta språk (och inledningsvis också till syriska) som översättningarna av de grekiska och indiska verken kom att uträttas. Att använda termen arabiska matematik för den matematiska vetenskapen behöver inte betyda att författarna var araber, framför allt under senare perioden var många av de var bland annat från Persien och några arbeten skrevs också på persiska [Johansson04]. Den snabba expansionen av imperiet var avslutad och den nya härskande ätten hade stor behov av nya kunskaper inom alla områden. De vetenskapliga områdena var främst inom medicin, alkemi, astrologi och matematik. 2.2 Europa, en isolerat kontinent Efter när Romariket föll med undantag av några få storstadscentra, i ett barbari som man kunde tro att 1200 års romerskt styre skulle ha civiliserat bort för alltid. Under kyrkans ledning hamnade europierna i en primitiv fundamentalism med återföljande intolerans och fientlighet mot sekulariserat vetande. Bibeln auktoritet och den absoluta tilltron till ett fåtal favoriserade hedningar som Aristoteles förkvävde inte bara all ny kunskap som tycktes strida mot den uppenbarade sanningen utan också själva forskarandan, människornas intellektuella nyfikenhet [Johansson04]. 4
5 Men däremot i arabvärden med sitt hela utsträckta välde inrättades bibliotek, observatorier och forskningsinstitutioner. Med utgångspunkt i Koranens ord: Han har skapat himmel och jord för att uppenbara sin sanning [McLeish91] föresatte sig de arabiska vetenskapsmännen att registrera allt vetande som människorna hade samlat och själva utveckla det vidare. De gjorde upp omfattande program för publicering av sina egna vetenskapliga och matematiska verk och för översättning av skrifter från persika, kinesiska och grekiska och andra språk. 3 Al-Khwarizmi Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi ( ), persisk matematiker och Astrolog, han var ursprungligen från Khwarizm (nordöstra Persien). Den latinska stavningen av hans namn varierar: Al-Khwarazmi, Al-Khwarizmi, Al-Khowarizmi, Al-Chorezmi. [wiki01] Under kalifen al-mamuns herravälde var han bosatt i staden Bagdad. Det var där han skrev sina böcker och utförde sina astronomiska upptäckter. [wiki01] Det finns inte så mycket skriven om Al-Khwarizmis liv, han är mest känd via de verk som finns kvar från honom. Bland dessa verk kan man bland annat se två aritmetiska arbeten, ett berömt verk om algebra och ett trigonometriskt arbete. I västvärden är han mest för att vara grundare till "algoritm", benämningen algoritm kommer från hans namn Al-Khwarizmi. Algoritm kan definieras som en systematisk procedur som beskriver hur man genom ett begränsat antal steg utför en beräkning eller löser ett problem. Algoritmen tillämpas främst inom matematik och datavetenskap. [wiki02] Al-Khwarizmis insatser fick utomordentligt stor betydelse för matematikens utveckling. Hans bok om aritmetik introducerade exempelvis de arabiska siffror i Europa och inledde en process som slutade med att de nio arabiska siffrorna och tecknet för noll blev ett utvecklade ämnet. Hans verk omfattar bland annat två aritmetiska arbeten (varav ett finns bevarat i latinska översättningar), ett berömt verk om algebra och ett trigonometriskt arbete. [McLeish91] För att nämna några böcker som han har författat: Hesabolhend: som förklarar det indiska beräkningssystemet, översattes av Edgar Bath för första gången till latin, översättningen av denna skrift heter Algorithmi de Numero Indorium. Sedan översatte Rosen denna bok från latin till engelska, år Den engelska versionen bevaras idag i Oxfords bibliotek, det arabiska originalet är dock försvunnet. Al -Jabr Va al-muqabala: En annan bok, som västerländerna känner via dess översättning till latin algebra, är "al Jabr va moghabelah". Till skillnad från "Hesabolhend" är originalet till "al Jabr va moghabeleh" inte förkommet. Zidj: är historiens äldsta arabiska bok om astronomi som är bevarad till sin helhet, de astronomiska tabellerna i denna bok är till stor del påverkad av Batlamis astronomiska tabeller. Sorat-ol-arz: boken om Aritmetiskt beräkningar. 5
6 3.1 Aritmetisk Aritmetik är en gren inom matematiken som innefattar elementära egenskaper hos speciella aritmetiska operationer på tal. De traditionella operatorerna är addition, division, multiplikation, och subtraktion; även om mera avancerade operatorer, såsom exponenter och kvadratrötter. [wiki03] Det finns två manuskripten om aritmetisk som brukar kallas Dixit algorizmi som betyder på latinsk algorizmi har sagt, ena av verket är bevarat i Cambridge och den andra som nyligen påträffats i New York. Både är utgivna och finns i översättning från latinskt till tyska (Folkerts & Kunitzsch 1997) som är troligen är kopierats under 1200 talet från en nu okänd 1100-talsöversättning. Det arabiska verket finns inte kvar. Dixit algoritm behandlar det decimala positionssystemet. I New York manuskriptet finns alla siffror utskrivna. [Johansson04] I Cambridge manuskriptet förekommer de indiska siffrorna bara mycket sporadiskt 1, 2, 3, 5 och 0. I New York-manuskriptet finns däremot alla siffror utskrivna. Vi kan se ett exempel av Al-Khwarizmis manuskriptet på bilden nedan: (Övers. efter Folkets & Kunitzsch 1997) [Johansson04] Al-khwarizmi har sagt: Låt oss lovprisa Gud, vår Herre och vårt bistånd, [---] Att han leder oss på den rätta vägen och på sanningens väg och att han hjälper oss i vår goda avsikt i det som vi har beslutat framlägga och förklara om indiernas räknesätt med ix skrivtecken, genom vilka de på grund av sin enkelhet och korthet framställa samtliga tal, på det att detta arbete må göra det lättare för den som bemödar si om aritmetiken, det vill säga om såväl mycket stora som mycket små tal och allt det som uppträder bland dess vid multiplikation och division, men också om sammanräkning och fråndragning et cetera. Sedan presteras siffrorna: Det gjorda ix skrivtecken, vars former är dessa: 9 [ ] 1. Bild 1: Ett exempel på hur Al-Khwarizmi skrev sina verk Manuskriptet i helhet är delad i olika kapitel som bland annat behandlar: Utvidgning och för minskning (Capitulum augmentationis) Hur man bör fördubbla eller halvera ett tal Multiplikation (Capitulum in Multiplicatione) Division (Capitulum division) Bråk (fractiones) 6
7 3.2 Al-Khwarizmis algebra Al-Khwarizmis berömda algebra under 800-talet kom att få en enorm genomslagskraft i den arabiska matematiken. Hans andra bok hette Kitab al-mukhatasar fi alhisab al-jabr va almuqabala (Kort Bok om Beräkning med Återställande och Reduktion). Denna bok finns idag kvar i några arabiska och persiska handskrifter (en från 1342 finns i Oxford) samt i handskrifter som går tillbaka på latinska översättningar av Robert av Chester (1145) eller av (troligen) Gerad av Cermona (mitten av 1100-talet)[Johansson04]. Det är i detta verk för första gången möter man termen algebra, som ungefär betyder att återställa termerna i en ekvation. Redan ganska tidigt har termen gradvis fått den generella innebörd som den har idag. [Johansson04] Boken inleds med ett avsnitt som behandlar lösning av ekvationer. Det är här vi finner det algebraiska innehållet. Här introduceras de grundläggande termerna, som sedan återkommer i alla följande algebraiska verk. Därefter följer lösningsregler för sex typer av ekvationer som jag ska visa lite längre ner i rapporten. Det största avsnitt i hela arbetet som behandlar problem i anslutning som till exempel uppdelningen av arvtagarna bland släktet efter barnens kön och ålder enligt den islamiska regeln! Andra användningsområde var exempelvis så som avtal, friköpta slavar med mera, allt som sagt enligt den tidens arabiska regler. Att använda termen algebra al-jabr, menade Al-Khwarizmi att återställa eller komplettera ekvationernas både sidor, så att negativa termer återställs. Se exempel nedan: X^2 7 = 3 X^2 + 4X = 10 Termen al-mugqabala används för en slags förenkling eller reduktion av en ekvation som innebär att en term som finns med i båda sidor av en ekvation kan elimineras, se i exemplet nedan: [Johansson04] X^2 + 7X= 3X + 5 X^2 + 4X = 5 Och när jag betraktade vad människorna önskar av räknekonsten, fann jag att det alltid är ett tal. Och jag fann att varje tal är uppbyggt av enheten och att enheten ingår i alla tal. [---] Och jag fann att de tal som man behöver i beräkning med återställande och reduktion är av tre slag. De är RÖTTER och KVADRATER och ENKLA TAL inte relaterad till ROT och inte KVADRAT. Och ROT är det ting som ska multipliceras med sig själv, och består av enheten eller av det som är över Den av talen eller det som är under den av bråken. Och KVADRATEN är allt det som förenas av ROTEN multiplicerad med sig själv. Och det ENKLA TALET är allt det som kan uttalas av tal utan referens till ROT eller KVADRAT. Bild 2: Ett exempel på hur Al-Khwarizmi skrev sina verk Med bråk i texten ovan menade Al-Khwarizmi att det finns tal som är mindre än 1 som var ett nytt begrepp. Rot är den obekanta tal i ekvationen som senare i Europa betecknades som x. 7
8 Al-khwarizmi med denna begreppsapparatur urskiljer sex huvudtyper av ekvationer och formulerar för var och en av dem en Algoritm som ger lösningar för varje enskild matematiska problem. 1. kvadrat är lika med rötter, ax^2 = bx 2. kvadrater är lika med tal, ax^2=c 3. rötter är lika med tal, bx = c 4. rötter och kvadrater är lika med tal, ax^2 + bx = c 5. kvadrater och tal är lika med rötter, ax^2 +c = bx 6. rötter och tal är lika med kvadrater, bx + c = ax^2 Regel nummer 1 är en förstagrads ekvation och nummer 6 är en andragradsekvation! [McLeish91] I allmänhet dessa både operationer, al-jabr och al-muqabala, var de första stegen i den algoritm som al-khwarizmi utvecklade för lösningen i andragradsekvation. Exemplet nedan visar en matta med okänd bredd som har längden 10 enheter, skärs av ett stycke eller område med arean (21). Vi vill veta hur bred mattan är [se bild 3]. Alltså, den obekanta storheten är bredden. Han kallade den för Roten. Al-Khwarizmi säger: Vi har nu en andragradsekvation i en av de former för vilka vi har utarbetat en lösningsmetod. Den är typen av 5: kvadrater (B*B) och tal (21) lika med rötter (10B) B^2+21=10B kvadratenheter Problemet definieras som följande: B gånger B plus 21 är lika med 10 gånger B B B Bild 3: en matta med okänd bredden 4 Omar Khayyam Omar Khayyam matematiker, poet, astronom föddes 1048 i staden Nishapur/Iran och dog i samma stad året En stor del av sitt liv var han på resande fot, innan han fyllde 26, arbetat han i observationerna i städer som Samarkand, Isfahan (Iran), Rei (Iran), Merv (Iran), och andra centralasiatiska städer. Han utnämndes till hovens astronom hos sultanen Alp 8
9 Arsalan och senare under återstoden av sitt liv stanna hemma i sin födelsestad och ägna sig åt astronomi, matematik och poesi. Khayyam skrev en bok om algebra som påminde mycket om Al-Khwarizmis arbete. Senare skrev han en kommentar till Euklides och en avhandling om metoder för beräkning av kvadratrötter och andra talrötter. [Johansson04] Trots att al-khwarizmis bok om algebra redan var omkring 400 år gammal när Khayyam började sitt arbete, hade man ännu inte dragit någon klar gräns mellan aritmetik och algebra. Med andra ord båda var hjälpmedel för att finna värdena på obekanta tal genom at relatera dem till bekanta tal. Omar Khayyam definierade formellt algebran som användningen av ekvationer för att finna de obekanta talen med hjälp av fullständiga polynom. (Med polynom menas ett matematiskt utrycks som innehåller bokstavsbeteckningar för variabler som kan ha en eller flera potenser.) [Johansson04] Till skillnad från grekerna accepterade han även de irrationella talen (tal som inte kan uttryckas som bråk, exempelvis kvadratroten ur 2) [Johansson04]. Det unika i hans insats var emellertid att han delade in ekvationerna i 25 olika typer istället för Al-Khwarizmis 6 ekvationer [se avsnitt 4.2].14 av dessa 25 typer var förknippade med nya metoder som fick nya algoritmer som byggde på de så kallade Kägelsnitten. Kägelsnitt är skärningen mellan ett plan och en cirkulär konisk yta [wiki05]. Dessa kunde representeras av andra gradekvationer, som stod för sådana geometriska figurer som cirkeln, ellipsen, parabeln och hyperbeln eller för tredimensionella kroppar som kuben, dodekaeder och tetraeder. Det var Omar Khayyam som kunde hitta regler för att kunna lösa tredjegradekvationer. [math05] Khayyams matematiska verk blev kända mycket sent i Europa. Hans algebra översattes först under mitten av 1800-talet. Men hur kom det sig att Khayyams verk inte översatte till latinskt under och talet? Det grundläggande skälet är kanske, att den matematiska kunskapen i Europa vid denna tidpunkt, stod på en så låg nivå, att intresset helt fokuserade på äldre och mer elementära verk, som Al-Khwarizmis algebra från 825-talet som översattes till latin under 1100-talet. [Johansson04]. Omar Khayyam är inte bara känd för sitt matematiska verk utan för sina oerhört vackra poesier som jag personligen tycker mycket om. Hans poesi som kallas för robaiyat handlar mest om liv och död, vin och kärlek. Han ställer skönheten och lyckan i nuet mot död och förintelse. Avslutningsvis ska vi njuta av Omar Khayyams vackra poesi. Drick vin, ty fyllest får du sofva under leran; Förutan tröstare och vän, kamrat och maka. Märk! Yppa denna gömda hemlighet för ingen: Den vissnade tulpanen blommar aldrig mer. När, på vårens första dag, molnet sköljer Tulpanens Kind, Så upp med dig ur sömnen! Gjut med frejdigt mod, i Bägarna Vin! Denna blomsterprakt, som idag är din ögonfägnad Skall i morgon, oförminskad, spira upp ur stoftet efter dig. Av Omar Khayyam [Johansson04] 5 SLUTSATS Östervärdens främsta bidrag till matematiken och naturvetenskaperna gjorde under islams storhet i Bagdad där alla gamla kunskapen samlades och utvecklades. Deras omfattande 9
10 program för översättning till arabiska av perser, indier, greker och egypter räddade vad som ännu fanns kvar och gjorde det tillgängligt för vetenskapen i framtiden. Denna kunskap blev grunden till en vetenskaplig revolution i Europa på och 1500-talet. [McLeish91] Bortsätt från det, kunde de också utveckla nya grenar inom matematik, till exempel algebra och trigonometri. Det har påpekats att många som hänför förtjänsten av ett märkligt framsteg inom arabiskt matematik i själva verket var perser (bland annat Al-Khwarizmi, Omar Khayyam), egypter och judar som har bidragit till allt dessa framsteg och upptäckter. Al-Khwarizmi var en av de många (kanske 100-tals vetenskapsmän) som har varit ett bidragande till utvecklingen av matematiken. Arabernas tre viktiga insatser var: [McLeish91] Uppfann och spred kunskap om decimalsystemet. De utvecklade positionsmetoden för representation av tal. Öppnade de våra ögon för att såväl bråk och heltal som alla andra slag av tal kan inordnas under samma allmänna lagar. Och presenterade de negativa talen och behandlingen av rötter och potenser. Visade att olika slag av talsystem inte bara är möjliga utan också utbytbara. Vi får samma resultat oavsett om vi använder decimalsystem eller binärtsystem Det skulle vara omöjligt utan Al-Khwarizmis enorma bidragande arbete och andra matematiker som fortsatte hans arbete som (Omar Khayyam). Bagdad, de östra och västra arabiska kalifaten [var] som de båda ändpunkterna i ett jättelikt interkontinentalt system mellan vilka den intellektuella strömmen strömmen flöt genom ett enda arabiskt språks supraledande kabel strömmen gick, om vi fullföljer liknelsen, från öster till väster därför att Orienten i allmänhet var sändaren och Västerlandet mottagare. Karl Menniger[4]. [McLeish91] 10
11 6 REFERENSER [McLeish91] John McLeish, Matematikens kulturhistoria, publisher: ScandBook AB, page , ISBN [Johansson04] Bo Göran Johansson, Matematikens historia, Publisher: Studentlitteratur, page , ISBN [wiki01] Wikipedia entry: Al-Khwarizmi, (besökt datum: ) [wiki02] Wikipedia : Algorithm, (besökt datum: ) [wikii03] Wikipedia: Aritmetik, (besökt datum: ) [wiki04] Wikipedia : Karl Meninger, (besökt datum: ) [wiki05] Wikipedia : Kägelsnitt, (besökt datum: ) [math05]matematisk institution i Stockhlom (besökt datum: ) 11
Aritmetikens och algebras utveckling. Vladimir Tkatjev, MaI, LiU, ht2013
Aritmetikens och algebras utveckling Vladimir Tkatjev, MaI, LiU, ht2013 Algebra och aritmetik Aritmetik: målet är själva räknesätt, dess utveckling och numerisk resultat. Ursprungligen ligger nära talteori.
Läs merIslams guldålder 750-1258. Vetenskap och kultur i muslimska länder under kalifen i Bagdad
Islams guldålder 750-1258 Vetenskap och kultur i muslimska länder under kalifen i Bagdad Arabernas erövringar Arabernas erövringar Syrien 636, Jerusalem 638 Mesopotamien 637 Egypten 640 644 Nordafrika
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merALGEBRAISKT TÄNKANDE EN KORT HISTORISK EXPOSÉ ÖVER BEGREPP, UTTRYCKSSÄTT OCH ANVÄNDNINGSOMRÅDEN
ALGEBRAISKT TÄNKANDE EN KORT HISTORISK EXPOSÉ ÖVER BEGREPP, UTTRYCKSSÄTT OCH ANVÄNDNINGSOMRÅDEN MEN FÖRST något om kursens algebradel och den nya läroplanens mål angående algebra. SYFTE Syftet med kursens
Läs merLivet efter döden 1. Inlednidn:
Danea Asaad Sharif Re B Livet efter döden Innehållsförteckning 1. Inledning Syfte Frågeställning Metod Källkritik 2. Bakgrund 3. Resultat på frågorna 4. Slutsats 5. Källor 1. Inlednidn: Jag har valt det
Läs merLokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning
Lokala kursplaner i Matematik Fårösunds skolområde reviderad 2005 Lokala mål Arbetssätt Underlag för bedömning Eleven skall år 1 Begrepp Jämförelse- och storleksord, t.ex. stor, större, störst. Positionssystemet
Läs merBonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144
Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på
Läs merI addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1
BEGREPP ÅR 3 Taluppfattning och tals användning ADDITION 3 + 4 = 7 term + term = summa I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 SUBTRAKTION 7-4 = 3 term term
Läs merBibeln i korthet. Christian Mölks Bibelkommentarer
Bibeln i korthet Christian Mölks Bibelkommentarer Gud är evig och har alltid funnits i Fadern, Sonen och den helige Ande. Vid en väl vald tidpunkt valde Gud att ur intet skapa universum och alla levande
Läs merEtt Liv i Lärjungaskap Del 1 - Frälsningens Mysterium
Ett Liv i Del 1 - Den som är i Kristus är alltså en ny skapelse, det gamla är förbi, något nytt har kommit. 2 Kor 5:17 Ett Liv i är en serie av korta kurser arrangerade av Hestra Cafékyrka som utforskar
Läs mer2 e Trettondedagen. Nåd vare med er och frid från Gud vår Fader och Herren Jesus Kristus. Amen.
1/5 2 e Trettondedagen Psalmer: 236, L705 (Ps89), 246, 437, L724, 259 Texter: Jes 55:1-4, Upp 22:16-17, Joh 4:5-26 Nåd vare med er och frid från Gud vår Fader och Herren Jesus Kristus. Amen. Låt oss be!
Läs merTATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2015
TATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2015 Fredrik Andersson Mikael Langer Johan Thim All kursinformation finns också på courses.mai.liu.se/gu/tatm79 Innehåll 1 Kursinnehåll 2 1.1 Reella och komplexa
Läs merVÄLKOMMEN till ett helt nytt liv! Innehåll. Dina första steg på vägen till ett liv tillsammans med Gud.
Gud i din stad! Innehåll VÄLKOMMEN till ett helt nytt liv!... 3 Dina första steg på vägen till ett liv... tillsammans med Gud... 3 Lösningen är Jesus, Guds Son... 4 Frälst?... 5 Du kan bli född på nytt:...
Läs merBEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6
BEDÖMNINGSSTÖD till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 Det här är ett BEDÖMNINGSSTÖD som hjälper dig att göra en säkrare bedömning av elevernas kunskaper inför betygssättningen i årskurs
Läs merAbstrakt algebra för gymnasister
Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler
Läs merHelande. En lärjungens identitet. Av: Johannes Djerf
Helande En lärjungens identitet Av: Johannes Djerf På en temasamling under årets tonårsläger så får ett 100-tal människor, under väldigt enkla omständigheter och under väldigt enkla och tydliga böner riktade
Läs merTunadalskyrkan 13 08 11. Det är roten som bär Dig!
1 Tunadalskyrkan 13 08 11 Det är roten som bär Dig! Visst är det spännande att göra AHA-upplevelser ibland, för de kan ge både kraft och inspiration. Häromdagen gjorde jag en sådan upplevelse när jag upptäckte
Läs merSödervångskolans mål i matematik
Södervångskolans mål i matematik Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det första skolåret beträffande tal och taluppfattning kunna läsa av en tallinje mellan 0-20 kunna läsa och ramsräka tal
Läs merIslam en livshållning Islams uppkomst
Islam Islam en livshållning Islam är en religion, men för muslimer har ordet religion en vidare innebörd än det i regel har för kristna. Muslimer anser att islam betecknar en livshållning, en grundläggande
Läs merKan man veta om Bibeln är sann? Eller HUR kan man veta om Bibeln är sann?
Kan man veta om Bibeln är sann? Eller HUR kan man veta om Bibeln är sann? För det första så måste det givetvis till en ärlig vilja att själv ta del av det som sägs om Bibelns olika böcker. Att vilja läsa
Läs merKasta ut nätet på högra sidan
Kasta ut nätet på högra sidan Predikan av pastor Göran Appelgren (Läsningar: Ps 89:12-14; Joh 21:1-14; AC 10061:1,2. Se sista sidan!) Tidigt på morgonen stod Jesus på stranden, men lärjungarna visste inte
Läs merSkolverkets förslag till kursplan i matematik i grundskolan. Matematik
Matematik Matematiken har en mångtusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den har utvecklats ur människans praktiska behov och hennes naturliga nyfikenhet och lust att utforska. Matematisk verksamhet
Läs merNär väckelsen kom till Efesos En predikoserie, hållen i Korskyrkan, Borås, av Micael Nilsson Del 4: Att ge bort det bästa man har
När väckelsen kom till Efesos En predikoserie, hållen i Korskyrkan, Borås, av Micael Nilsson Del 4: Att ge bort det bästa man har Illustration: En ung munk fick för första gången i ansvar att hålla i morgonandakten.
Läs merKonkretisering av kunskapskraven i matematik år 7-9 (Lgr11)
Konkretisering av kunskapskraven i matematik år 7-9 (Lgr11) ( www.skolverket.se) Kunskapskraven i matematik kan delas in i följande områden: problemlösning, begrepp, metod, kommunikation och resonemang.
Läs merÖga för öga, Tand för tand
Följande text är en ordagrann översättning av videoundervisningen av den Engelska titeln Eye for an Eye. Avsikten är att göra det lättare för dig att förstå sammanhanget mellan tal, text, bilder, media
Läs merEngelska... 2. Svenska... 6. Svenska som andraspråk... 7. Idrott och hälsa... 8. Musik... 9. Biologi... 10. Fysik... 11. Kemi... 11. Slöjd...
2010-08-23 Lokal kursplan år 3 Engelska... 2 Svenska... 6 Svenska som andraspråk... 7 Idrott och hälsa... 8 Musik... 9 Biologi... 10 Fysik... 11 Kemi... 11 Slöjd... 12 Geografi... 13 Historia... 13 Religion...
Läs mer8-1 Formler och uttryck. Namn:.
8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?
Läs merLärarhandledning lågstadiet
Lärarhandledning lågstadiet Kära lärare, Vi är glada över att ni kommer och besöker Tycho Brahemuseet tillsammans med er klass! Denna handledning är tänkt som ett erbjudande för dem som kan tänka sig att
Läs merMultiplikation genom århundraden
Multiplikation genom århundraden För många elever i skolan kan multiplikation upplevas som något oöverstigligt. Addition och subtraktion kan de förstå sig på men inte multiplikation. Utan förståelse för
Läs merDE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING
DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) 1. Benämn med korrekt terminologi talen som: adderas. subtraheras. multipliceras. divideras.. Addera 10 och. Dividera sedan med. Subtrahera 10 och. Multiplicera sedan med..
Läs merKyrkan Jesu Uppståndelse Och Liv
Kyrkan Jesu Uppståndelse Och Liv PREDESTINATION RLJ-1221-SE JOHN S. TORELL 17 JANUARI 2010 DEL 13: ABRAHAMS FÖRBUND TAR SLUT DET SÖDRA RIKET 344 ÅR Det Södra kungariket varade 344 år och styrdes av 20
Läs merMATEMATIK 3.5 MATEMATIK
TETIK 3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.
Läs merOch alla dessa frågor bottnar i den här, grundläggande frågan: Vad är en församling? Hur ofta försöker vi att formulera ett svar på den frågan?
Predikan Rönnekyrkan 26 januari 2014: Årshögtid Tema: Vad är en församling? Introduktion: Vad är en församling? Många här har levt med en församling i många år, i stort sett hela livet. Några har varit
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merHistorisk tidslinje & matematisk publikation
Historisk tidslinje & matematisk publikation Niels Chr. Overgaard 2016-11-07 N. Chr. Overgaard Historia 2016-11-07 logoonly 1 / 12 Översikt Vi ska idag behandla tre ämnen: Snabb överblick över matematikens
Läs merSkatter i Torahn. Bibelstudium nr 11, A. Sabbaten den 31 december 2011. Vayigash Steg fram vgæyiw"
Skatter i Torahn Bibelstudium nr 11, A Sabbaten den 31 december 2011 Vayigash Steg fram vgæyiw" Torahtext: 1 Mos 44:18 47:27 Haftarah: Hes 37:15-28 Apostoliska skrifterna: Matt 23:1 25:46 Jag tänker om
Läs merMATEMATIK. Ämnets syfte
MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation
Läs merMatematik Åk 9 Provet omfattar stickprov av det centrala innehållet i Lgr-11. 1. b) c) d)
1. b) c) d) a) Multiplikation med 100 kan förenklas med att flytta decimalerna lika många stg som antlet nollor. 00> svar 306 b) Använd kort division. Resultatet ger igen rest. Svar 108 c) Att multiplicera
Läs merFÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1
FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet Ger studiepoäng Kostnadsfritt Fortlöpande anmälan på wwwmathse Eftertryck förbjudet utan tillåtelse 2007 MATHSE
Läs mer4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..
Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman
Läs merTunadalskyrkan 13 09 01. Jag har en dröm. Amos 9:11-15
1 Tunadalskyrkan 13 09 01 Jag har en dröm Amos 9:11-15 I dagarna är det femtio år sedan Martin Luther King jr höll sitt berömda tal i Washington, där han sade I have a dream, Jag har en dröm, och som blev
Läs merLathund algebra och funktioner åk 9
Lathund algebra och funktioner åk 9 För att bli en rackare på att lösa ekvationer är det viktigt att man kan sina förutsättningar, dvs vilka matematiska regler som gäller. Prioriteringsreglerna (vilken
Läs merFörsamlingens verktygslåda del 2 Av: Johannes Djerf
Församlingens verktygslåda del 2 Av: Johannes Djerf Idag så tänkte jag fortsätta där vi slutade sist, förra söndagen, och ni som inte var här då, ja ni missade något kan man säga, vilket man alltid gör
Läs merExplorativ övning 11 GEOMETRI
Explorativ övning 11 GEOMETRI Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs mer8-4 Ekvationer. Namn:..
8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar
Läs merVilja lyckas. Rätt väg
Vilja lyckas Rätt väg Till Fadern genom Mig Predikan av pastor Göran Appelgren Läsningar: Ps 23; Joh 14:1-11; SKR 538. Och vart jag går, det vet ni. Den vägen känner ni. Thomas sade: Herre, vi vet inte
Läs merBerättelsen vi befinner oss i
Berättelsen vi befinner oss i Ola Wingbrant 2014-11-08 Introduktion Det känns roligt och inspirerande att få stå här igen. Att åter ha fått förtroendet. Jag som står här heter Ola Wingbrant och predikar
Läs merISLAM. Historia Heliga texter Heliga platser Utbredning
ISLAM Historia Heliga texter Heliga platser Utbredning FRÅGOR JAG SKA KUNNA BESVARA! Vem var Mohammed? När levde han, var levde han, vad gjorde han? Viktiga årtal? Vad hände med islam efter Mohammeds död?
Läs merMATEMATIK. Ämnets syfte
MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation
Läs merReza Eyrumlu. Modernisering och islam i Iran och Turkiet. En studie av kön, islam och modernisering under 1800-talet. Invand-Lit
Reza Eyrumlu Modernisering och islam i Iran och Turkiet En studie av kön, islam och modernisering under 1800-talet Invand-Lit Bokförlaget Invand Lit Västerslänt 91, 434 35 Angered Fax & Tel: +46 31 331
Läs merOCH VI BER ALLAH SWT ATT VÄCKA ISLAM I VÅRA HJÄRTAN OCH ÖKA OSS I KUNSKAP OCH BELÖNA OSS MED PARADISET.
FREDAGS KHOTBA 28 FEBRUARI, 2014 BISMILAH AL RAHMAN AL RAHIM ALL LOV PRIS OCH TACKSAMHET TILLKOMMER ALLAH SWT VI TACKAR ALLAH OCH BER ALLAH SWT OM SKYDD OCH VÄGLEDNING PÅ DEN RÄTTA VÄGEN. OCH VI BER ALLAH
Läs merKristendomen. Kristendomens tidiga historia
Jesus tog på sig alla människors misslyckanden och synder när han dog på korset. På så sätt befriade Jesus människorna till att kunna leva ett liv nära Gud och beroende av Gud. Kristendomen uppstod i det
Läs merHerren behöver dem. Av: Johannes Djerf
Herren behöver dem Av: Johannes Djerf Jag tänkte börja med att fråga om någon vet vilken produkt som denna logga tillhör? (bild). Karlsson Klister, det som är känt för att kunna laga allt. Det lagade mina
Läs merUnder min praktik som lärarstuderande
tomoko helmertz Problemlösning i Japan och Sverige Japansk matematikundervisning skiljer sig på många sätt från svensk. Vilka konsekvenser får det för hur elever i respektive länder löser problem? Tomoko
Läs merDe Complete 180: Andy Esche, personliga vittnesbörd Grundare av MissingPets.com 1. Mitt namn är Andy Esche, grundare av missingpets.com. 2.
De Complete 180: Andy Esche, personliga vittnesbörd Grundare av MissingPets.com 1. Mitt namn är Andy Esche, grundare av missingpets.com. 2. Under mitt liv, har Gud gett mig två visioner att hjälpa människor.
Läs merNär hon trodde att allt var för sent Predikotext: Apg 9:1-19
Predikan, Korskyrkan Borås den 15 oktober 2006, av Micael Nilsson När hon trodde att allt var för sent Predikotext: Apg 9:1-19 SARA Den är veckan har jag stämt möte med Sara. Det har inte varit så enkelt
Läs merMatematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev
Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Lite inspiration Går det att konstruera 6 kvadrater av 12 tändstickor? Hur gör man då? (Nämnaren, Nr 2, 2005) Litet klurigt kanske, bygg en kub av stickorna: Uppgift
Läs merZahak. Zahak och hans fader
Zahak Zahak och hans fader Under kung Jamshids tid, levde i Arabien en gudfruktig och folkvänlig kung vid namn Merdas. Han styrde vist och rättrådigt. Av världens rikedomar ägde han tusen hästar, tusen
Läs merDen smala vägen. Matteus 7:21 Inte alla som säger Herre, Herre till mig ska komma in i himmelriket, utan den som gör min himmelske Fars vilja.
"Följande text är en ordagrann översättning av videoundervisningen Narrow Minded. Avsikten är att göra det lättare för dig att förstå sammanhanget mellan tal, text, bilder, media och diagram och på så
Läs merNMCC Sigma 8. Täby Friskola 8 Spets
NMCC Sigma 8 Täby Friskola 8 Spets Sverige 2016 1 Innehållsförteckning Innehållsförteckning... 1 Inledning... 2 Sambandet mellan figurens nummer och antalet små kuber... 3 Metod 1... 3 Metod 2... 4 Metod
Läs merGrunden till kristendomen. Kristendomen. Vad Jesus ville förmedla. Vad Jesus ville förmedla
Kristendomen Grunden till kristendomen Fyra evangelier (budskap, goda nyheter ) som berättar Jesu liv och lära. Traditionellt säger man att tre av författarna (Markus, Matteus och Johannes) kände Jesus
Läs merGrip tag i din Gudsberättelse
Grip tag i din Gudsberättelse Gary Wilkerson April 18, 2011 Många kristna kämpar just nu med de största hindren i sina liv. I min egen församling står människor inför vad som tycks vara oöverstigliga berg.
Läs merGaussiska primtal. Christer Kiselman. Institut Mittag-Leffler & Uppsala universitet
195 Gaussiska primtal Christer Kiselman Institut Mittag-Leffler & Uppsala universitet 1. Beskrivning av uppgiften. De förslag som presenteras här kan behandlas på flera olika sätt. Ett första syfte är
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva
Läs merUtvidgad aritmetik. AU
Utvidgad aritmetik. AU Delområdet omfattar följande tio diagnoser som är grupperade i tre delar, negativa tal, potenser och närmevärden: AUn1 Negativa tal, taluppfattning AUn Negativa tal, addition och
Läs merSå får du bättre. självkänsla. Experter Frågor och svar Intervjuer Steg för steg-guider Praktiska tips SIDOR
Så får du bättre 1234 självkänsla Experter Frågor och svar Intervjuer Steg för steg-guider Praktiska tips 8 SIDOR Självkänsla Våga ta steget mot ett bättre självförtroende och ett rikare liv! En dålig
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs merKristet Sällskapande Stefan Forsbäck 2007
Kristet Sällskapande Stefan Forsbäck 2007 INLEDNING Kärlek är något underbart! Säkert det finaste vi kan uppleva! Vi längtar alla efter att vara riktigt älskade och få bli överösta av någons uppmärksamhet.
Läs merBEDÖMNINGSSTÖD till Tummen upp! SO Historia inför betygssättningen i årskurs 6
BEDÖMNINGSSTÖD till Tummen upp! SO Historia inför betygssättningen i årskurs 6 Kursplanerna i Lgr 11 är uppbyggda efter rubrikerna syfte, centralt innehåll och kunskapskrav. Syftestexten avslutas med vilka
Läs merKommentarmaterial, Skolverket 1997
Att utveckla förstf rståelse för f r hela tal Kommentarmaterial, Skolverket 1997 Att lära sig matematik handlar om att se sammanhang och att kunna föra logiska resonemang genom att känna igen, granska
Läs merDelad tro delat Ansvar
Delad tro delat Ansvar Nehemja kap.2-3 Av: Johannes Djerf Jag vet att det bara är jag som gillar detta, men eftersom jag är så otroligt nöjd med min första inköpta tröja till min och Lisas tilltänkta knodd
Läs merAtomer, molekyler, grundämnen. och kemiska föreningar. Att separera ämnen. Ämnen kan förändras. Kemins grunder
KEMINS GRUNDER -----{ 2 Keminsgrunder 1 J----- IAAeAåll-Kemi förr och nu sid.4 Atomer, molekyler, grundämnen och kemiska föreningar Ämnens egenskaper sid. 10 sid. 14 Rena ämnen och blandningar Att separera
Läs merGuds ljus leder hem. Av: Johannes Djerf
Guds ljus leder hem Av: Johannes Djerf Mitt minne är inte som det en gång var nu när man är 30 fyllda, men jag tror inte att jag har berättat här framifrån någongång om när jag och några vänner kom vilse
Läs merMaka, mor. 001 Ett stycke vardag gjorde hon till fest. Hjalmar Gullberg
001 Ett stycke vardag gjorde hon till fest. Hjalmar Gullberg 002 Din levnadsdag är slut, Din jordevandring ändad Du här har kämpat ut Och dina kära lämnat Nu vilar Du i ro och frid Hos Jesu Krist till
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs merNMAB09: Matematikens historia, projekt om kinesisk och indisk matematik
NMAB09: Matematikens historia, projekt om kinesisk och indisk matematik av Per Erik Strandberg och Jonas Dartman 3 mars 2004 Om denna text Denna rapport är ett projekt i kursen NMAB09, Matematikens historia,
Läs merProgram 097. 2.Mosebok kap. 6: 1-30. (Introd. 0:35)
Program 097. 2.Mosebok kap. 6: 1-30. (Introd. 0:35) Vi har nu kommit till det sjätte kapitlet i Andra Mosebok. Som innehåller JEHOVAs svar på Mose bön. Och Han förnyar och stadfäster Mose kallelse. Vi
Läs merVigselgudstjänst GRYTNÄS FÖRSAMLING. Vigselgudstjänst. i Grytnäs församling
Vigselgudstjänst GRYTNÄS FÖRSAMLING Vigselgudstjänst i Grytnäs församling Några ord på vägen Vi gläds mer er i era vigselplaner och vi tycker det är särskilt roligt att ni planerar att gifta er i Grytnäs
Läs merInstuderingsfrågor Kristendom och islam NV10B
Instuderingsfrågor Kristendom och islam NV10B - - - Läs sidorna 76 81 och 120 122 i läroboken (Religion1) Läs stencilerna Jesu sista vecka, Jesus skärper lagens bud och Islam Instuderingsfrågorna hittar
Läs merEn ny eld! Av: Johannes Djerf
En ny eld! Av: Johannes Djerf Vi ska idag börja med att läsa en bibeltext. Matt.21:12-17. Templet var det religiösa centrumet. Det var här Gud bodde. Det var en bestämd plats där Guds folk fick erfara
Läs mer1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det stämmer. Motivera ditt val av tecken.
Modul: Taluppfattning och tals användning. Del 3: Det didaktiska kontraktet Likhetstecknet Ingrid Olsson, fd lärarutbildare Mitthögskolan Läraraktivitet. 1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det
Läs merVid P läser präst. Vid F läser alla tillsammans. NN står för namnet/namnen.
Dop av barn Vid P läser präst. Vid F läser alla tillsammans. NN står för namnet/namnen. Präst medhjälpare kan framföra en hälsning med egna ord. Psalm Inledningsord och tackbön P I Faderns och Sonens och
Läs merUmmatun azîmatun - ett stort folk!
2002-03-02 WWW.ISLAMISKA.ORG _ Ummatun azîmatun - ett stort folk! Inledning Kära läsare, många som kritiserar islam påstår att muslimer är ett folk som har en blind tro, det vill säga att de bara ärvt
Läs mermatematik Syfte Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 1. KuRSplanER FöR KoMMunal VuxEnutBildninG på GRundläGGandE nivå 55
Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att
Läs merRäkneflyt. Multiplikation och Division. Färdighetsträning i matte. Tabeller 1-10
Räkneflyt Multiplikation och Division Tabeller 1-10 Färdighetsträning i matte Gunnel Wendick Inga-Lis Klackenmo Innehållsförteckning Introduktion 2-3 Räkneflyt är kopplat till Lgr11 och Diamant 6 Förståelse
Läs merOM GUD FINNS, VAD SKULLE DU FRÅGA HONOM?
OM GUD FINNS, VAD SKULLE DU FRÅGA HONOM? Pingstkyrkan i Södertälje presenterar: Kan man vara kristen? - en predikoserie om grunderna i kristen tro VI TÄNKTE UTFORSKA LIVETS MENING TA CHANSEN GRUNDKURS
Läs merJavisst! Uttrycken kan bli komplicerade, och för att få lite överblick över det hela så gör vi det så enkelt som möjligt för oss.
8-2 Förenkling av uttryck. Namn: eller Konsten att räkna algebra och göra livet lite enklare för sig. Inledning I föregående kapitel lärde du dig vad ett matematiskt uttryck är för någonting och hur man
Läs merRäkna med C# Inledande programmering med C# (1DV402)
Räkna med C# Upphovsrätt för detta verk Detta verk är framtaget i anslutning till kursen Inledande programmering med C# vid Linnéuniversitetet. Du får använda detta verk så här: Allt innehåll i verket
Läs merMarkus 3:29 Men den som hädar den helige Ande får aldrig någonsin förlåtelse utan är skyldig till evig synd.
"Följande text är en ordagrann översättning av videoundervisningen med den Engelska titeln Unparadonable Sin. Avsikten är att göra det lättare för dig att förstå sammanhanget mellan tal, text, bilder,
Läs merSpår Fjärde samlingen Leva enklare
Inledande bön Herre, du ger oss livet från ögonblick till ögonblick. Vi bekänner att vi hart blivit till främlingar i din skapelse. Ge oss vördnad för allt som lever, för det spirande livet, för den vackra,
Läs mer1 sankt barrind berättar för brendan om de heligas land
1 sankt barrind berättar för brendan om de heligas land Sankt Brendan, Findlugs son, ättling till Alte, föddes i släkten Eogonacht av Loch Léin i landet Munster. Det var en man känd för sin stora återhållsamhet,
Läs merRödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar
Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är utformat som ett spel som spelas av en grupp elever. En elev i taget agerar Gömmare och de andra är Gissare. Den som är gömmare lagrar (gömmer) tal i några av räknarens
Läs merStephen Hawking och Gud. Tord Wallström
Stephen Hawking och Gud Tord Wallström I en intervju för flera år sen berättade den engelske vetenskapsmannen Stephen Hawking om en audiens som han och några kolleger beviljats med påven i samband med
Läs merLev inte under Lagen!
"Följande text är en ordagrann översättning av videoundervisningen Don t Be Under the Law. Avsikten är att göra det lättare för dig att förstå sammanhanget mellan tal, text, bilder, media och diagram och
Läs merEtt brev till en vän som tror att bara vuxna kan döpas
Ett brev till en vän som tror att bara vuxna kan döpas Samtal om dopet undviks numera ofta. Det verkar som om man har gett upp när det gäller att bli enig om vad Bibeln lär om dopet. Är verkligen Bibeln
Läs merHej Björn! Först vill jag passa på att tacka för senast. Det var en trevlig "nätverksdag" tycker jag.
Från: Tommy Jansson Dp [tommy.jansson@edu.norrkoping.se] Skickat: den 15 september 2010 13:16 Till: Ämne: Bifogade filer: info@kognitivtcentrum.se Information föräldrautbildning i matematik Dyskalkyli
Läs merMissförstånd om Islam
www.islamguiden.com 1 Missförstånd om Islam ISLAM. Vår religion diskuteras nuförtiden friskt land och rike runt. I denna artikel belyses några av de vanligast förekommande missförstånden. 1: Muslimer dyrkar
Läs merEnkät rörande boende för äldre i Krokoms Kommun
Enkät rörande boende för äldre i s Kommun 2015-10-14 I din hand håller du just nu en enkät som vi vill att du skall fylla i. Enkäten är helt anonym och skall endast användas för att få fram önskemål om
Läs merINDUKTION OCH DEDUKTION
Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk
Läs merHanne Solem Görel Hydén Sätt in stöten! MATEMATIK
Hanne Solem Görel Hydén Sätt in stöten! MATEMATIK Multiplika tion Multiplikation, 5-tabellen Att multiplicera är detsamma som att addera samma tal flera gånger. Det kallar vi upprepad addition. 3 5 kan
Läs mer