Cake-cutting. att fördela resurser på ett rättvist sätt. Ebba Lindström

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Cake-cutting. att fördela resurser på ett rättvist sätt. Ebba Lindström"

Transkript

1 Cake-cutting att fördela resurser på ett rättvist sätt Ebba Lindström

2 Innehållsförteckning Inledning 3 Utility Theory 3 Orderability 4 Transitivity 4 Continuity 4 Monotonicity 5 Decomposability 5 Cake-cutting 5 Modellen 6 Normalisering 6 Delbarhet 6 Icke-negativitet 7 Additivitet 7 Vad är rättvisa? 7 Proportionalitet 7 Envy-freeness 8 Equitability 8 Algoritmer 9 Cut and choose 9 Dubins-Spanier 10 Selfridge-Conway 10 Avslutning 11 Litteraturförteckning 13 Bildkällor 13

3 Inledning Denna rapport kommer att gå in på konceptet cake-cutting. Den kommer att ta upp utility theory samt cake-cutting, vad cake-cutting innebär, och vilka olika algoritmer det finns för detta. Utility Theory Utility theory beskriver hur en agent fattar beslut i världar med osäkerhet och flera olika måltillstånd som kan skapa konflikter gentemot varandra. Detta är något som exempelvis målbaserade agenter inte klarar av. Den beslutsteoretiska agenten (eng. decision-theoretic agent) fattar ett beslut baserat på hur den uppfattar världen och hur mycket nytta olika handlingar i den situationen skulle kunna ge agenten. Den väljer sedan den handling som ger den störst uppskattad nytta. (Russel & Norvig, 2014) För att räkna ut detta används maximum expected utility (MEU). Denna bygger på den förväntade nyttan (eng. Expected utility) som kan skrivas på följande sätt:!" # $ = &(()*+,- # = * #, $)"(* ) 2 Result(a) är i detta fall resultatet då handlingen a utförs. Nyttofunktionen U(s ) är den funktion som räknar ut hur stor nytta agenten skulle få av att uppnå tillståndet s. Genom att sedan räkna ut den genomsnittliga nyttan av att handlingen a utförs, givet de evidens e som agenten vet om, fås den förväntade nyttan fram. För att sedan hitta MEU beräknar agenten den förväntade nyttan för alla olika handlingar som kan utföras och MEU är sedan den handling som returnerar den största förväntade nyttan. Denna handling utför då agenten. (Russel & Norvig, 2014)

4 Man kan tänka sig varje handling som agenten kan utföra som ett lotteri. Varje handling som kan utföras kan leda till olika resultat och sannolikheten för varje specifikt resultat kan räknas ut med hjälp av nyttofunktionen U. Man kan då tänka sig att varje handling är en lott i lotteriet. Om lotteriet L har de olika resultaten S1,,Sn och att sannolikheten att de sker är p1,,pn så kan det skrivas: L = [p1,s1;p2,s2, p3,s3]. Notationen för att beskriva en agents preferenser är följande: A B : Agenten föredrar A framför B. A ~ B : Agenten värderar A och B som likvärdiga och det spelar ingen roll för denne vilken som väljs. För att en agent ska handla rationellt måste den följa ett antal axiom: Orderability Orderability innebär att agenten måste föredra ett alternativ före det andra eller värdera de båda alternativen som likvärdiga. En agent kan alltså inte undvika att värdera alternativen. Transitivity Transitivity innebär att ifall agenten föredrar A framför B, och B framför C, så föredrar den även A framför C. Continuity Continuity innebär att om ett lotteri B värderas av agenten att ligga mellan lotterierna A och C i preferens så att A B C, så finns det en sannolikhet p sådan att agenten kommer värdera lotteri B likvärdigt med sannolikheten p att få lotteri A, eller att få lotteri C med sannolikheten 1 p. Alltså, vid en viss sannolikhet p värderar agenten att det är likvärdigt att garanterat få lotteri B med risken att få det mindre prefererade lotteri C till sannolikheten 1 p och chansen att få det prefererade lotteriet A till sannolikheten p.

5 Monotonicity Ebba Lindström Monotonicity innebär att en agent kommer välja det lotteri som har störst sannolikhet att få ett prefererat resultat ifall de båda har exakt samma möjliga resultat. Det vill säga, ifall två olika lotterier har resultaten S 1, S 2, S 3 och S 4, och det prefererade resultatet för agenten är S 2 så kommer den att välja det lotteri som har störst sannolikhet att få resultatet S 2. Decomposability Decomposability innebär att ifall det är flera lotterier i följd så kan alla dessa lotterier reduceras till endast ett lotteri med hjälp av regler inom sannolikhetslära. Dessa axiom kan tyckas vara intuitiva, men det är viktigt att de efterföljs. Ifall agenten inte följer axiomen kommer den att handla irrationellt. Genom axiomen kan man även säga något om nyttofunktionen U. Om axiomen följs måste det finnas en nyttofunktion sådan att U(A) > U(B) om agenten föredrar A framför B. Det gäller även att U(A )= U(B) om det är så att agenten anser A och B vara likvärdiga varandra. (Russel & Norvig, 2014) Cake-cutting Cake-cutting handlar om att fördela resurser över två eller flera parter och hur detta ska göras på ett sätt som parterna anser vara rättvist. Man kan tänka sig en tårta med flera olika toppings och dekorationer på. Någon kanske allra helst vill ha chokladströsslet, någon vill ha jordgubbarna och den tredje parten kanske endast bryr sig om att få så stor del som möjligt. Att fördela en så kallad heterogen, fördelbar, resurs på detta sätt kan beskrivas genom cakecutting. Tårtan i detta fall är alltså endast en metafor, den finns inte på riktigt (Procaccia, 2013). Ett exempel då cake-cutting kan vara användbart kan vara då ett kollektiv ska dela upp hyran på en lägenhet beroende på hur bra rum de olika personerna har. Ett annat exempel kan vara uppdelningen av ett arv mellan olika släktingar där arvet består av mer än bara pengar, där olika saker kan ha ett sentimentalt värde för olika släktingar.

6 Bild 1. En bild av den metaforiska tårtan och hur den kan delas upp mellan fyra olika agenter. Modellen Modellen över denna tårta innehåller först och främst ett antal agenter som resurserna ska fördelas emellan, N = {1,..., n}. Själva tårtan kan beskrivas som intervallet [0,1], som är heterogent, alltså inte en tårta som ser exakt likadan ut överallt. Varje agent i Î N har sin egen evalueringsfunktion V i som beräknar dess värde för en del av tårtan sådant att det intervallet I är en del av hela tårtan, alltså I Í [0,1]. För evalueringsfunktionen V i (x,y) finns det vissa antaganden som måste stämma: Normalisering Värdena som evalueringsfunktionen returnerar måste vara normaliserade, alltså mellan 0 och 1. Hela tårtan ska alltså ha värdet 1, tårtan kan aldrig värderas som större än 100%. Likaså evaluerar funktionen att ifall den inte får något alls av tårtan returnerar funktionen 0. V i (0,1) = 1 Delbarhet Delbarhet innebär att för varje intervall [x, y] så finns det ett värde λ så att 0 λ 1 som gör att evalueringsfunktionen för ett delintervall [x, z], alltså där z Î [x, y] av intervallet [x, y] blir likvärdigt med intervallet [x, y] multiplicerat med faktorn λ. V i (x, z) = λv i (x, y)

7 Icke-negativitet Evalueringsfunktionen får inte returnera ett negativt värde, den kan alltså aldrig värdera en bit av tårtan som negativ. V i (I ) ³ 0 Additivitet Då tårtan består av delbara resurser kan olika bitar av tårtan sättas ihop till en slutgiltig bit som en agent får. Evalueringsfunktionen för den tårtbiten är densamma om man adderar värdena från alla funktioner separat som ifall alla intervall adderas först för att sedan evalueras. För de två intervallen I och I gäller alltså att Vi(I) + Vi(I ) = Vi(I I ) (Procaccia, 2016) Vad är rättvisa? När något ska delas så att alla agenter blir nöjda är det viktigt att alla parter anser det vara rättvist. Det finns olika tillstånd som bör uppfyllas för att detta ska uppnås. Proportionalitet Proportionalitet innebär att alla agenter anser att de har fått en proportionellt rättvis del av hela tårtan. Ifall det finns n stycken agenter som ska dela på något så vill varje agent ha 1/n stor del av tårtan, eller mer, enligt de evalueringsfunktioner som varje agent har. Då anser varje agent att den har blivit tilldelad en tillräckligt stor del. Ifall någon värderar sin del som mindre än 1/n så kommer denne att anse att den inte har fått en tillräckligt stor del, denne kommer då anse att fördelningen är orättvis. Alltså, för varje agent i gäller att i N, V i (A i ) ³ 1/n Proportionalitet är oftast relativt lätt att uppnå, men behöver inte betyda att alla agenter

8 anser fördelningen vara rättvis bara för att den har fått en proportionellt tillräckligt stor del. (Procaccia, 2016) Envy-freeness Envy-freeness innebär att ingen av parterna ska känna sig avundsjuk av den delen av tårtan som någon av de andra agenterna har fått. Alltså, ingen ska vilja byta sin egen del av tårtan mot någon annans del. Alltså, för alla agenter i,j N, V i (A i ) ³ V i (A j ) Ifall en uppdelning uppfyller envy-freeness så implicerar det att uppdelningen även uppfyller proportionalitet, även om det motsatta fallet inte gäller. Det är detta som gör att även om uppdelningen är proportionerlig kan agenterna uppfatta den som orättvis. Även om agenten värderar sin egen bit som 1/n kanske den värderar någon annans bit som 2/n, agenten skulle då hellre vilja ha denna bit än sin egen och uppdelningen uppfyller inte envy-freeness. Envyfreeness är inte lika lätt att uppnå som proportionalitet. Dock finns det alltid en lösning, även om den kan vara svår att hitta. (Procaccia, 2016) Equitability Equitability uppnås då alla agenter värderar sin bit som exakt lika stor som alla andra agenter värderar sin bit. Alltså, för alla agenter i, j N, V i (A i ) = V j (A j ) Detta kan tyckas vara rättvist, då det är lika för alla. Dock kan det vara ett sämre mått än de andra två, till exempel kan två agenter som ska dela på tårtan värdera sin egen bit till 1/3, vilket inte är proportionellt då de skulle vilja ha åtminstone ½ bit. Det leder inte heller till envy-freeness, då båda agenterna i detta fall skulle värdera den andras bit till 2/3, vilket gör att de hellre skulle vilja ha den biten än den som de har. Dock uppfyller fallet equitability. (Procaccia, 2016)

9 Det kan alltså inte endast leda till att alla är lika exakt lika nöjda, utan också till att alla är exakt lika missnöjda. Algoritmer De resultat man har fått fram för att uppnå proportionalitet eller envy-freeness brukar falla in under en av fyra kategorier: existensteorem, moving-knife solutions, algoritmer samt protokoll. Existensteorem beskriver hur rättvisa bör uppnås, exempelvis genom att alla får 1/n bit av tårtan. Deras stora nackdel är att de sällan ger en konkret lösning till hur detta ska uppnås utan mest beskriver hur resultatet bör vara. Ett exempel på moving-knife solutions finns nedan (se Dubins-Spanier ). Protokoll liknar algoritmer, de består av instruktioner som de olika agenterna ska genomföra för att uppnå proportionalitet och envy-freeness. Dock utgår protokoll från att agenterna inte behöver göra rätt och exempelvis alltid välja bitar som är 1/n. Om protokollet dock efterföljs korrekt kan både proportionalitet och envyfreeness uppnås med vissa protokoll. (Brams & Taylor, 1995) Det finns flera olika algoritmer som på maskinell väg försöker att hitta en så rättvis lösning som möjligt. Nedan finns tre olika algoritmer. Cut and choose Den enklaste algoritmen är cut and choose. Denna kan endast användas då det är två agenter som ska dela på tårtan. Den går ut på att agent 1 får dela upp tårtan i två delar som den anser är likvärdiga, sedan får agent 2 välja vilken av delarna denne vill ha. Eftersom agent 1 har värderat de två bitarna som likvärdiga, alltså exakt ½ var, förekommer det proportionalitet. Detta då även agent 2 får välja vilken bit denne föredrar, alltså kommer den att värdera sin bit som ½ eller mer. Den kan inte heller vara avundsjuka på den andras bit, då agent 1 tycker de är likvärdiga och inte bryr sig om vilken av bitarna denne får och agent 2 får välja biten som den tycker bäst om. Därför förkommer både proportionalitet och envy-freeness när cut and choose används. (Procaccia, 2013)

10 Dubins-Spanier Ebba Lindström Dubins-Spanier kan användas när det är fler än två personer som ska dela på tårtan, den fungerar för n antal personer. Med Dubins-Spanier så kan man tänka sig att det finns en kniv som ska skära i tårtan. Den kommer att placeras allra längst till vänster vid tårtans vänstra kant och sedan långsamt förflytta sig mot den högra kanten av tårtan. Agenterna som ska dela på tårtan använder sin evalueringsfunktion för att avgöra hur mycket de värderar den del av tårtan som är till vänster om kniven. När någon av agenterna anser att delen är värd exakt 1/n så säger denna stopp och får den tårtbiten. Sedan fortsätter kniven att förflytta sig och agenterna fortsätter att säga stopp när de har värderat biten till 1/n och antalet agenter som evaluerar blir succesivt färre. När det endast finns en agent kvar får denne den tårtbit som finns kvar. Denna algoritm garanterar proportionalitet, då alla agenter säger stopp när de anser att de har fått exakt 1/n. Även den sista agenten får åtminstone 1/n av biten, då den har evaluerat alla bitar innan som mindre än 1/n och därför evaluerar den sista biten som 1/n eller större. Alltså, den sista agenten anser att dennes bit är V i (A i ) ³ 1 (n 1)/n = 1/n. Trots att Dubins-Spanier är proportionerlig så innebär det inte alltid envy-freeness. En agent vill aldrig byta bit med någon som är tidigare än den själv, då hade den helt enkelt sagt stopp innan den agenten hade gjort det och därigenom fått den biten. Dock kan den värdera en bit senare som mer värdefull än sin egen bit som endast är 1/n. Därför garanterar den inte envy-freeness. (Procaccia, 2016) Selfridge-Conway Selfridge-Conway kan användas när tre agenter ska dela på något, alltså då n = 3. Algoritmen består av ett antal steg. Agent 1 börjar med att dela tårtan i tre delar som denne anser vara likvärdiga. Sedan väljer agent 2 ut de två bitar som denne anser är bäst. Sedan trimmar agent 2 den bit som den

11 anser är allra bäst så att den får samma evalueringsvärde som den andra biten den valde. Den borttrimmade delen tas bort för tillfället. Av de andra tre bitarna väljer agent 3 den bit som denne anser är bäst. Ifall agent 3 inte valde den biten som blivit trimmad får agent 2 den biten, annars får agent 2 välja vilken bit denne vill ha. Till slut får agent 1 biten som blir kvar. Den av agenterna 2 och 3 som fick den tårtbit som inte blivit trimmad tidigare får sedan trimma den biten som lades åt sidan, denna delas då upp i tre delar som agenten anser likvärdiga. Sedan får den av agenterna 2 och 3 som inte delade biten välja, sedan agent 1 och till sist får den tredje agenten välja en bit. Denna algoritm uppfyller både proportionalitet och envy-freeness. Agent 3 får välja den första biten, så denne väljer självklart den bit den anser vara bäst. Eftersom agent 2 får den trimmade biten ifall agent 3 inte valde den och får välja annars leder det till att agent 2 får någon av de två bitar som denne anser vara bäst. Agent 1 får inte den trimmade biten, då agent 2 eller 3 kommer ha fått den, och då agent 1 värderade bitarna denne skar upp i början som likvärdiga kommer agent 1 att få en bit som denne värderar till exakt 1/3. Av den bortskurna biten får den agent som väljer först givetvis biten denne värderar som bäst. Agenten som delade upp bitarna värderar alla som likvärdiga och blir också nöjd. Agent 1 blir också nöjd, då den agent som fick den trimmade biten i första valet väljer först. Då agent 1 värderar de tre bitarna den skar upp i början som likvärdiga kan den valda biten + den trimmade biten aldrig komma upp i totalt värde som agent 1 anser att dennes första bit har. (Procaccia, 2016) Avslutning Både Utility theory och cake-cutting handlar om agenter som ska uppskatta värden som sedan ska gynna agenten. Nyttofunktionen U(s ) kan liknas vid evalueringsfunktionen V i (A i ), då båda dessa uppskattar den nytta som en agent skulle få av en viss handling (när det kommer till nyttofunktionen) eller resurs (när det kommer till evalueringsfunktionen).

12 Cake-cutting är otroligt relevant inom AI:n idag, och trots att problemet samt många av lösningarna och teoremen är över 50 år gamla så finns det fortfarande inte algoritmer som alltid fungerar då agenterna blir för många och preferenserna blir för komplexa. Därför tycker jag, precis som Procaccia (2013), att cake-cutting är ett mycket relevant område som skulle behöva mer forskning., och att vi i framtiden kommer att ha effektivare algoritmer för cake-cutting.

13 Litteraturförteckning Brams, S. J., & Taylor, A. D. (Januari 1995). An envy-free cake division protocol. The american matemathical monthly, 102. Procaccia, A. (Juli 2013). Cake-cutting: not just child s play. Communications of the ACM(7). Procaccia, A. (2016). Cake-cutting algorithms. i F. Brandt, V. Conitzer, U. Endris, J. Lang, & A. Procaccia, Handbook of computational social choice. New York: Cambridge university press. Russel, S., & Norvig, P. (2014). Artificial intelligence - A modern approach (3:e uppl.). Edinburgh Gate: Pearson. Bildkällor Framsida: Bild 1:

Sammanfattning Avslut Litteraturförteckning... 19

Sammanfattning Avslut Litteraturförteckning... 19 ATT DELA EN TÅRTA SAMMANFATTNING För att nå rättvisa kan man använda olika algoritmer för att dela upp tårtan mellan olika agenter utifrån egenskaper som implicerar rättvisa. Linnea Bergsten Artificiell

Läs mer

Laboration 2. Artificiell Intelligens, Ht 2004 2004-10-19 Lärare: Christina Olsén Handledare: Therese Edvall Daniel Ölvebrink

Laboration 2. Artificiell Intelligens, Ht 2004 2004-10-19 Lärare: Christina Olsén Handledare: Therese Edvall Daniel Ölvebrink Artificiell Intelligens, Ht 2004 2004-10-19 Lärare: Christina Olsén Handledare: Therese Edvall Daniel Ölvebrink Laboration 2 Laboranter: Johan Bystedt (dit02lbt) Alexander Pettersson (dit02apn) Stefan

Läs mer

Resträkning och ekvationer

Resträkning och ekvationer 64 Resträkning och ekvationer Torsten Ekedahl Stockholms Universitet Beskrivning av uppgiften. Specialarbetet består i att sätta sig in i hur man räknar med rester vid division med primtal, hur man löser

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

Föreläsning 4: Beslut och nytta, paradoxer

Föreläsning 4: Beslut och nytta, paradoxer Föreläsning 4: Beslut och nytta, paradoxer Litteratur: Hansson, Introduction to Decision Theory, kap 5-7 och 11 Resnik, Choices, kap 4 1# S:t Petersburg-paradoxen (Daniel Bernoulli, 1713; Nicolas Bernoulli,

Läs mer

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till

Läs mer

Neurala nätverk och språkigenkänning. Henrik Linnarsson. Linköping University

Neurala nätverk och språkigenkänning. Henrik Linnarsson. Linköping University Neurala nätverk och språk Henli807!1 Neurala nätverk och språkigenkänning Henrik Linnarsson Linköping University Neurala nätverk och språk Henli807!2 RNN, LSTM och språkigenkänning Inledning Idag är språkigenkänning

Läs mer

Antag att följande träd genereras i ett spelförande program om vi applicerar evalueringsfunktionen

Antag att följande träd genereras i ett spelförande program om vi applicerar evalueringsfunktionen 1. Komplexiteten hos en agent beror mycket på vilken omgivning den skall verka i. Vad innebär det att en omgivning är stokastisk, episodisk och dynamisk? Ge exempel på en omgivning som är stokastisk, episodisk

Läs mer

Algoritmer, datastrukturer och komplexitet

Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 4 oktober 2017 1 Idag Algoritmkonstruktion (lite blandat) Redovisning och inlämning av labbteori 3 2 Uppgifter Uppgift

Läs mer

Stokastiska processer och simulering I 24 augusti

Stokastiska processer och simulering I 24 augusti STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd Matematisk statistik 24 augusti 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 augusti 2016

Läs mer

MESI-Protokollet. Richard Elvhammar. Lund Universitet 4/12-16

MESI-Protokollet. Richard Elvhammar. Lund Universitet 4/12-16 MESI-Protokollet Richard Elvhammar Lund Universitet 4/12-16 Abstract För att ett system snabbt ska kunna hantera information så används, å sidan åt primärminnet och sekundärminnet, ett cacheminne. I modern

Läs mer

Föreläsning 6: Spelteori II

Föreläsning 6: Spelteori II Föreläsning 6: Spelteori II Litteratur: Resnik, Choices, kap. 5 1# Viktiga begrepp Först lite allmänt om spelteori: Spelteorin har främst utvecklats inom matematiken och nationalekonomin, och är fortfarande

Läs mer

TMV206: Linjär algebra

TMV206: Linjär algebra Matematiska vetenskaper Lösningsförslag till tentamen Chalmers tekniska högskola 2018-06-07, 14:00 18:00 TMV206: Linjär algera Uppgift 1 Linjerna skär varandra om det finns någon punkt (x,y, z) som uppfyller

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE

FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE FULLSTäNDIGHETSAXIOMET, SATSEN OM MELLANLIGGANDE VäRDE OCH SATSEN OM STöRSTA OCH MINSTA VäRDE JAN-FREDRIK OLSEN I detta dokumentet ämnar vi bevisa följande två satser: Sats 1 (Satsen om mellanliggande

Läs mer

Algoritmer, datastrukturer och komplexitet

Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 9 oktober 2015 Anton Grensjö ADK Övning 6 9 oktober 2015 1 / 23 Översikt Kursplanering Ö5: Grafalgoritmer och undre

Läs mer

Talmängder. Målet med första föreläsningen:

Talmängder. Målet med första föreläsningen: Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt

Läs mer

Förfluten tid Nu Framtiden. Bedömning Värdering Kunskaper Integration Konsekvenser Beslut Genomförande

Förfluten tid Nu Framtiden. Bedömning Värdering Kunskaper Integration Konsekvenser Beslut Genomförande Beslutsfattandets psykologi ht 2010: Översikt och kort historik Val (eng. choice) Beslutsfattande (eng. decision making) Vad handlar beslutsfattande och bedömningar om? Beslutsfattande : beslutsprocessen

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

tidskrift för politisk filosofi nr årgång 9

tidskrift för politisk filosofi nr årgång 9 tidskrift för politisk filosofi nr 1 2005 årgång 9 Bokförlaget thales om den personliga egalitarismen om den personliga egalitarismen replik till rabinowicz Jonas Gren, Niklas Juth och Ragnar Francén i

Läs mer

NOG-provet Provansvarig: Anders Lexelius Provtid: 50 min Högskoleverket

NOG-provet Provansvarig: Anders Lexelius Provtid: 50 min Högskoleverket NOG-provet 2001-04-07 Provansvarig: Anders Lexelius Provtid: 50 min Högskoleverket 1. A, B, C och D skar var sin bit ur en tårta. A tog en tredjedel av tårtan. Hur stor del av tårtan var kvar sedan alla

Läs mer

GRIDWORLD OCH MDP PROJEKTRAPPORT 729G43 MICHAEL JONASSON

GRIDWORLD OCH MDP PROJEKTRAPPORT 729G43 MICHAEL JONASSON 2018 GRIDWORLD OCH MDP PROJEKTRAPPORT 729G43 MICHAEL JONASSON Innehåll Inledning & Bakgrund... 2 Förstärkt inlärning... 2 MDP... 2 Gridworld... 3 Nytta och policy... 4 Värdefunktion och Bellmanekvationer...

Läs mer

Hare Del II (Metod) kunskap om hur det skulle vara för mig att befinna mig i deras. "reflektionsprincipen" (dock ej av H). Den säger följande: för att

Hare Del II (Metod) kunskap om hur det skulle vara för mig att befinna mig i deras. reflektionsprincipen (dock ej av H). Den säger följande: för att Syftet med denna del är att utveckla och försvara en form av preferensutilitarism, vilken kan identifieras med kritiskt tänkande. Den huvudsakliga framställningen är i kap. 5-6. En senare kort sammanfattning

Läs mer

Tal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal

Tal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal Tal i bråkform Kapitlet behandlar Test Användning av hälften och fjärdedel 2 Representation i bråkform av del av antal och av del av helhet 3, Bråkform i vardagssituationer Stambråk, bråkuttryck med 1

Läs mer

Regler för: getsmart Grön

Regler för: getsmart Grön -6 Regler för: getsmart Grön 8 Hele tall 3 4 Hele tall -6-6 3-6 3 Hele tall 8 Hele tall 3 4 Det rekommenderas att man börjar med att se på powerpoint-reglerna när man ska lära sig olika spel med kortleken!

Läs mer

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab Uppfödning av kyckling och fiskleveroljor Statistiska jämförelser: parvisa observationer och oberoende stickprov Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson vt 2012 Fiskleverolja tillsätts

Läs mer

Lektion 1. Förenklingar. Valentina Chapovalova. vårterminen IT-Gymnasiet. Valentina Chapovalova Lektion 1

Lektion 1. Förenklingar. Valentina Chapovalova. vårterminen IT-Gymnasiet. Valentina Chapovalova Lektion 1 Lektion 1 Förenklingar Valentina Chapovalova IT-Gymnasiet vårterminen 2011 Valentina Har magisterexamen i matematik Undervisar på mattekollo varje sommar Tycker om brädspel Matematiken förenklar Matematikens

Läs mer

Prioritering Frågor och svar Rev

Prioritering Frågor och svar Rev Prioritering Frågor och svar Rev. 2017-09-07 Varför heter det inte lottning längre utan prioritering? Strängt taget var lottning en felaktig beteckning även tidigare då det fanns sådant som företräde för

Läs mer

Probabilistisk logik 1

Probabilistisk logik 1 729G43 Artificiell intelligens / 2016 Probabilistisk logik 1 Marco Kuhlmann Institutionen för datavetenskap Osäkerhet 1.01 Osäkerhet Agenter måste kunna hantera osäkerhet. Agentens miljö är ofta endast

Läs mer

Numeriska metoder för ODE: Teori

Numeriska metoder för ODE: Teori Numeriska metoder för ODE: Teori Lokalt trunkeringsfel och noggrannhetsordning Definition: Det lokala trunkeringsfelet är det fel man gör med en numerisk metod när man utgår från det exakta värdet vid

Läs mer

Förenklad förklaring i anslutning till kompedieavsnitten 6.3 och 6.4

Förenklad förklaring i anslutning till kompedieavsnitten 6.3 och 6.4 Ext-6 (Ver 2010-08-09) 1(5) Förenklad förklaring i anslutning till kompedieavsnitten 6.3 och 6.4 Tecken-beloppsrepresentation av heltal Hur skall man kunna räkna med negativa tal i ett digitalt system,

Läs mer

Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN

Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN Kapitel 4: SAMBANDET MELLAN VARIABLER: REGRESSIONSLINJEN Spridningsdiagrammen nedan representerar samma korrelationskoefficient, r = 0,8. 80 80 60 60 40 40 20 20 0 0 20 40 0 0 20 40 Det finns dock två

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer

Graärgning och kromatiska formler

Graärgning och kromatiska formler Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela

Läs mer

Postprint.

Postprint. http://www.diva-portal.org Postprint This is the accepted version of a paper published in Filosofisk Tidskrift. This paper has been peerreviewed but does not include the final publisher proof-corrections

Läs mer

Improved-MOESI Cache koherens Protokoll

Improved-MOESI Cache koherens Protokoll Improved-MOESI Cache koherens Protokoll Abstrakt I en multicore, flerkärninga processor med delat minne kan koherens problem förekomma. En lösning till detta är att implementera cache koherens protokoll.

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att

Läs mer

Föreläsning 12+13: Approximationsalgoritmer

Föreläsning 12+13: Approximationsalgoritmer Föreläsning 12+13: Approximationsalgoritmer Många av de NP-fullständiga problemen är från början optimeringsproblem: TSP, Graph Coloring, Vertex Cover etc. Man tror att P NP och att det alltså inte går

Läs mer

NMCC Sigma 8. Täby Friskola 8 Spets

NMCC Sigma 8. Täby Friskola 8 Spets NMCC Sigma 8 Täby Friskola 8 Spets Sverige 2016 1 Innehållsförteckning Innehållsförteckning... 1 Inledning... 2 Sambandet mellan figurens nummer och antalet små kuber... 3 Metod 1... 3 Metod 2... 4 Metod

Läs mer

Ansiktsigenkänning med MATLAB

Ansiktsigenkänning med MATLAB Ansiktsigenkänning med MATLAB Avancerad bildbehandling Christoffer Dahl, Johannes Dahlgren, Semone Kallin Clarke, Michaela Ulvhammar 12/2/2012 Sammanfattning Uppgiften som gavs var att skapa ett system

Läs mer

KAPITEL 5 etiska och sociala aspekter

KAPITEL 5 etiska och sociala aspekter 5. Etiska och sociala aspekter En etisk utgångspunkt i all vård är att vårdpersonal ska göra gott. Normalt gestaltas denna etiska hållning genom att vårdaren med god evidensbaserad kunskap och inom rimliga

Läs mer

Beskrivande statistik

Beskrivande statistik Beskrivande statistik Tabellen ovan visar antalet allvarliga olyckor på en vägsträcka under 15 år. år Antal olyckor 1995 36 1996 20 1997 18 1998 26 1999 30 2000 20 2001 30 2002 27 2003 19 2004 24 2005

Läs mer

Växande och avtagande

Växande och avtagande Växande och avtagande Innehåll 1 Växande och avtagande 1 Andraderivatan.1 Andraderivatan och acceleration................... Andrederivatans tecken.........................1 Andraderivatans nollställen:

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I HALMSTAD. En rapport från Fastighetsägarna GFR

FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I HALMSTAD. En rapport från Fastighetsägarna GFR FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I HALMSTAD En rapport från Fastighetsägarna GFR INLEDNING OCH SYFTE En väl fungerande bostadsmarknad är en förutsättning för ett väl fungerande samhälle. I Sverige bor nästan

Läs mer

getsmart Gul Regler för:

getsmart Gul Regler för: Regler för: getsmart Gul 6 Diagram 4 Brøk Diagram 6 Brøk 4 Det rekommenderas att man börjar med att se på powerpoint-reglerna när man ska lära sig olika spel med kortleken! Kolla in hemsidan för fler powerpoint

Läs mer

FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I GÖTEBORG. En rapport från Fastighetsägarna GFR

FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I GÖTEBORG. En rapport från Fastighetsägarna GFR FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I GÖTEBORG En rapport från Fastighetsägarna GFR INLEDNING OCH SYFTE En väl fungerande bostadsmarknad är en förutsättning för ett väl fungerande samhälle. I Sverige bor nästan

Läs mer

FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I VARBERG. En rapport från Fastighetsägarna GFR

FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I VARBERG. En rapport från Fastighetsägarna GFR FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I VARBERG En rapport från Fastighetsägarna GFR INLEDNING OCH SYFTE En väl fungerande bostadsmarknad är en förutsättning för ett väl fungerande samhälle. I Sverige bor nästan

Läs mer

En föräldramanual om läxläsning

En föräldramanual om läxläsning En föräldramanual om läxläsning Martin Karlberg Carola Alm Anja Åhman Carola Åstrand Institutionen för didaktik, Uppsala universitet Denna manual riktar sig till föräldrar som vill ha hjälp med att få

Läs mer

15SK Prefekt

15SK Prefekt Kursplan Utbildning på forskarnivå Politisk teori, 7,5 högskolepoäng Political Theory, 7,5 credits Kurskod 15SK072 Forskarutbildningsämne Statskunskap Institutionen för humaniora, utbildnings- och Institution/motsvarande

Läs mer

Lektion 1, Envariabelanalys den 8 september ε < 1 < ε för alla x > N. ( ) I vårt exempel är f(x) = 1/x, så vi ska alltså ta fram ett N så att

Lektion 1, Envariabelanalys den 8 september ε < 1 < ε för alla x > N. ( ) I vårt exempel är f(x) = 1/x, så vi ska alltså ta fram ett N så att Lektion, Envariabelanals den 8 september 999 = 0 Låt oss rita ut alla punkter i talplanet som har -koordinat nära det förmodade gränsvärdet 0 Vi får då en mängd som i figuren till höger Med nära 0 menar

Läs mer

Föreläsning 8: Aritmetik och stora heltal

Föreläsning 8: Aritmetik och stora heltal 2D1458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 8: Aritmetik och stora heltal Datum: 2006-11-06 Skribent(er): Elias Freider och Ulf Lundström Föreläsare: Per Austrin Den här föreläsningen

Läs mer

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal

Läs mer

Shannon-Fano-Elias-kodning

Shannon-Fano-Elias-kodning Datakompression fö 5 p.1 Shannon-Fano-Elias-kodning Antag att vi har en minnesfri källa X i som tar värden i {1, 2,...,L}. Antag att sannolikheterna för alla symboler är strikt positiva: p(i) > 0, i. Fördelningsfunktionen

Läs mer

Fuzzy Logic. När oskarpa definitioner blir kristallklara. Åsa Svensson. Linköpings Universitet. Linköping

Fuzzy Logic. När oskarpa definitioner blir kristallklara. Åsa Svensson. Linköpings Universitet. Linköping Fuzzy Logic När oskarpa definitioner blir kristallklara Linköpings Universitet Linköping Sammanfattning I denna fördjupningsuppgift har jag fokuserat på Fuzzy Logic och försökt att beskriva det på ett

Läs mer

Tentamen 2016-01-13. Marco Kuhlmann

Tentamen 2016-01-13. Marco Kuhlmann TDDD02 Språkteknologi för informationssökning (2015) Tentamen 2016-01-13 Marco Kuhlmann Denna tentamen består av 10 frågor. Frågorna 8 10 ligger på en högre kunskapsnivå än de övriga och kräver utförliga

Läs mer

Relativ närhet - på fel och rätt sätt ETT DETALJERAT EXEMPEL

Relativ närhet - på fel och rätt sätt ETT DETALJERAT EXEMPEL Relativ närhet - på fel och rätt sätt ETT DETALJERAT EXEMPEL Sammanfattning Vid skolplaceringar till kommunala skolor används ofta en princip som kallas relativ närhet. Relativ närhet är tänkt att säkerställa

Läs mer

Medelvärde, median och standardavvikelse

Medelvärde, median och standardavvikelse Medelvärde, median och standardavvikelse Detta är en enkel aktivitet där vi på ett dynamiskt sätt ska titta på hur de statistiska måtten, t.ex. median och medelvärde ändras när man ändar ett värde i en

Läs mer

Svar till ÖVNING 4. SVAR

Svar till ÖVNING 4. SVAR Svar till ÖVNING 4. 1. Förklara varför en lagstiftning om att arbetsgivaren inte får fråga en arbetssökande om dennes eventuella föräldraledighet torde vara meningslös. SVAR: Arbetsgivaren vill hellre

Läs mer

Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att

Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att Egensystem Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner Potens av matris 2 6 Ex Givet matrisen A =, vad är A 2? Det är komplicerat att beräkna högre

Läs mer

Fixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x).

Fixpunktsiteration. Kapitel Fixpunktsekvation. 1. f(x) = x = g(x). Kapitel 5 Fixpunktsiteration 5.1 Fixpunktsekvation En algebraisk ekvation kan skrivas på följande två ekvivalenta sätt (vilket innebär att lösningarna är desamma). 1. f(x) = 0. En lösning x kallas en rot

Läs mer

ATT FÅ BESTÄMMA SJÄLV AUTONOMI INOM ÄLDREOMSORGEN. Lars Sandman. Praktisk filosof Lektor, Fil Dr

ATT FÅ BESTÄMMA SJÄLV AUTONOMI INOM ÄLDREOMSORGEN. Lars Sandman. Praktisk filosof Lektor, Fil Dr ATT FÅ BESTÄMMA SJÄLV AUTONOMI INOM ÄLDREOMSORGEN Lars Sandman Praktisk filosof Lektor, Fil Dr 2005-08-17 Allt material på dessa sidor är upphovsrättsligt skyddade och får inte användas i kommersiellt

Läs mer

LMA201/LMA521: Faktorförsök

LMA201/LMA521: Faktorförsök Föreläsning 1 Innehåll Försöksplanering Faktorförsök med två nivåer Skattning av eekterna. Diagram för huvudeekter Diagram för samspelseekter Paretodiagram Den här veckan kommer tillägnas faktorförsök.

Läs mer

SF2715 Tillämpad kombinatorik, 6hp

SF2715 Tillämpad kombinatorik, 6hp SF75 Tillämpad kombinatorik, 6hp Fortsättningskurs i matematik 7 mars 7 maj 009 Kursledare: Jakob Jonsson Upplägg 6 hp = p enligt gamla systemet 8 dubbeltimmar med teori och problemlösning Kursbok och

Läs mer

Reflektion efter tillverkande av skalenlig modell

Reflektion efter tillverkande av skalenlig modell Reflektion efter tillverkande av skalenlig modell De förkunskaper som krävs vid tillverkandet av en skalenlig modell är först och främst vad som definierar begreppet skala. Hela objektet ska förändras

Läs mer

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten

Läs mer

Kort om mätosäkerhet

Kort om mätosäkerhet Kort om mätosäkerhet Henrik Åkerstedt 14 oktober 2014 Introduktion När man gör en mätning, oavsett hur noggrann man är, så får man inte exakt rätt värde. Alla mätningar har en viss osäkerhet. Detta kan

Läs mer

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.) Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

Bråk. Introduktion. Omvandlingar

Bråk. Introduktion. Omvandlingar Bråk Introduktion Figuren till höger föreställer en tårta som är delad i sex lika stora bitar Varje tårtbit utgör därmed en sjättedel av hela tårtan I nästa figur är två av sjättedelarna markerade Det

Läs mer

Project Specification: Analysis of voting algorithms

Project Specification: Analysis of voting algorithms Project Specification: Analysis of voting algorithms Mikael Falgard Jon Nilsson Computer Science Royal Institute of Technology 12 februari 2012 Introduktion Det är av stor betydelse för demokratin hur

Läs mer

KALLE ANKA CUP Matchskola

KALLE ANKA CUP Matchskola KALLE ANKA CUP Matchskola Kalle Anka Cup matchskola är uppdelad i fem avsnitt Sida Så ser tennisbanan ut 2 Så räknar du 4 Så spelar du singel 5 Så spelar du dubbel 7 Första matchen 8 Sida 1 av 10 Så ser

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

Risk- och sårbarhetsanalyser Utmaningar och möjligheter

Risk- och sårbarhetsanalyser Utmaningar och möjligheter Risk- och sårbarhetsanalyser Utmaningar och möjligheter Henrik Tehler Avdelningen för Riskhantering och Samhällssäkerhet Utgångspunkt Presentationen tar utgångspunkt i den riskforskning som har bedrivits

Läs mer

Lösningsförslag till Matematisk statistik LKT325 Tentamen

Lösningsförslag till Matematisk statistik LKT325 Tentamen Lösningsförslag till Matematisk statistik LKT325 Tentamen 20190115 Kursansvarig: Reimond Emanuelsson Betygsgränser: för betyg 3 krävs minst 20 poäng, för betyg 4 krävs minst 30 poäng, för betyg 5 krävs

Läs mer

Ontologier. Cassandra Svensson 2014-01-09

Ontologier. Cassandra Svensson 2014-01-09 Ontologier Cassandra Svensson 2014-01-09 Sammanfattning Jag har läst Annika Flycht-Ericssons avhandling Design and Use of Ontoligies in information-providing Dialogue Systems. Med Annikas text som utgångspunkt

Läs mer

Uppgift 1a (Aktiekurser utan poster)

Uppgift 1a (Aktiekurser utan poster) Uppgift 1a (Aktiekurser utan poster) Vi har lite olika upplägg i de kurser vi håller och i vissa kurser finns det med något som vi kallar "poster" (eng. "record"). I andra har vi inte med detta. Vi har

Läs mer

Programmering II (ID1019) :00-12:00

Programmering II (ID1019) :00-12:00 ID1019 Johan Montelius Programmering II (ID1019) 2015-03-13 09:00-12:00 Instruktioner Du får inte ha något materiel med dig förutom skrivmateriel. Mobiler etc, skall lämnas till tentamensvakten. Svaren

Läs mer

FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I LIDKÖPING. En rapport från Fastighetsägarna GFR

FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I LIDKÖPING. En rapport från Fastighetsägarna GFR FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I LIDKÖPING En rapport från Fastighetsägarna GFR INLEDNING OCH SYFTE En väl fungerande bostadsmarknad är en förutsättning för ett väl fungerande samhälle. I Sverige bor

Läs mer

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition. Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är

Läs mer

Inlämningsuppgift-VT lösningar

Inlämningsuppgift-VT lösningar Inlämningsuppgift-VT lösningar A 1. En van Oddset-spelare har under lång tid studerat hur många mål ett visst lag gör i ishockeymatcher och vet att sannolikheterna beskrivs av följande tabell: Mål 0 1

Läs mer

Lösningsforslag till tentamen i SF1624 den 22/ e x e y e z = 5e x 10e z = 5(1, 0, 2). 1 1 a a + 2 2a 4

Lösningsforslag till tentamen i SF1624 den 22/ e x e y e z = 5e x 10e z = 5(1, 0, 2). 1 1 a a + 2 2a 4 Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin Lösningsforslag till tentamen i SF64 den /0 007 Eftersom planet går genom punkten (,, 0, det har ekvation a(x + b(y + + cz = 0, där a, b, c är koefficienter

Läs mer

Lärande genom interaktion

Lärande genom interaktion Lärande genom interaktion Förstärk inlärning, specifikt Q-learning Ebba Algvere 729G43 Artificiell Intelligens Linköpings Universitet 2017 Abstract This report will provide the reader with an understanding

Läs mer

Ekvivalensrelationer

Ekvivalensrelationer Abstrakt datatyp för disjunkta mängder Vi skall presentera en abstrakt datatyp för att representera disjunkta mängder Kan bl.a. användas för att lösa ekvivalensproblemet avgör om två godtyckliga element

Läs mer

Grafer och grannmatriser

Grafer och grannmatriser Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Inkomstfördelning: En konfliktfråga.

Inkomstfördelning: En konfliktfråga. Martine Barikore Polkand 3 Politisk Teori Grupp B Hemtenta Inkomstfördelning: En konfliktfråga. Inledning Idag är inkomstfördelningen en fråga som diskuteras ganska mycket på den politiska arenan. Vad

Läs mer

Bildbehandling, del 1

Bildbehandling, del 1 Bildbehandling, del Andreas Fhager Kapitelhänvisningar till: Image Processing, Analysis and Machine Vision, 3rd ed. by Sonka, Hlavac and Boyle Representation av en bild Så här kan vi plotta en bild tex

Läs mer

Algoritmer, datastrukturer och komplexitet

Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 10 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 9 november 2017 1 Idag En konstruktionsreduktion Fler bevis av NP-fullständighet 2 Teori Repetition Ett problem tillhör

Läs mer

FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I MOTALA. En rapport från Fastighetsägarna GFR

FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I MOTALA. En rapport från Fastighetsägarna GFR FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I MOTALA En rapport från Fastighetsägarna GFR INLEDNING OCH SYFTE En väl fungerande bostadsmarknad är en förutsättning för ett väl fungerande samhälle. I Sverige bor nästan

Läs mer

FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I VÄSTERVIK. En rapport från Fastighetsägarna GFR

FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I VÄSTERVIK. En rapport från Fastighetsägarna GFR FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I VÄSTERVIK En rapport från Fastighetsägarna GFR INLEDNING OCH SYFTE En väl fungerande bostadsmarknad är en förutsättning för ett väl fungerande samhälle. I Sverige bor

Läs mer

Så sparar svenskarna Spargap mellan män och kvinnor insikter och råd från Folksam

Så sparar svenskarna Spargap mellan män och kvinnor insikter och råd från Folksam Så sparar svenskarna Spargap mellan män och kvinnor insikter och råd från Folksam S40094 19-03 En årslön mindre Att kvinnor får mindre i pension än män vet vi. Men det finns stora skillnader mellan kvinnor

Läs mer

Vad behövs för att skapa en tillståndsrymd?

Vad behövs för att skapa en tillståndsrymd? OBS! För flervalsfrågorna gäller att ett, flera eller inget alternativ kan vara korrekt. På flervarlsfrågorna ges 1 poäng för korrekt svar och 0,5 poäng om skillnaden mellan antalet korrekta svar och antalet

Läs mer

Hantering av hazards i pipelines

Hantering av hazards i pipelines Datorarkitektur med operativsystem Hantering av hazards i pipelines Lisa Arvidsson IDA2 Inlämningsdatum: 2018-12-05 Abstract En processor som använder pipelining kan exekvera ett flertal instruktioner

Läs mer

Hemtentamen: Politisk Teori 2

Hemtentamen: Politisk Teori 2 733G36: Politisk Teori 2 2014-03-10 Hemtentamen: Politisk Teori 2 Caroline Liljegren (920513-4266) Del 1 Legalisering av aktiv dödshjälp Dödshjälp än mera känt som barmhärtighetsdöden eller eutanasi vilket

Läs mer

FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I SKÖVDE. En rapport från Fastighetsägarna GFR

FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I SKÖVDE. En rapport från Fastighetsägarna GFR FASTIGHETS- FÖRETAGAR- KLIMATET I SKÖVDE En rapport från Fastighetsägarna GFR INLEDNING OCH SYFTE En väl fungerande bostadsmarknad är en förutsättning för ett väl fungerande samhälle. I Sverige bor nästan

Läs mer