Jag arbetar som matte- och NO-lärare i åk 7 9 på Eriksdalskolan i Skövde,

Transkript

1 Katarina Cederqvist Lära genom problemlösning Författaren har i ett fördjupningsarbete under en kurs i Lärarlyftet arbetat med temat problemlösning. Hon ställer frågan om man kan utgå från problemlösning vid lärandet istället för att låta problemlösning enbart vara tillämpning av redan inlärda teorier eller underhållande aktiviteter. För att få svar testade hon själv detta arbetssätt på en klass i åk 9. Jag arbetar som matte- och NO-lärare i åk 7 9 på Eriksdalskolan i Skövde, en F 9-skola med 370 elever, varav 220 på högstadiet. På högstadiet jobbar vi i tre arbetslag. Skolan präglas av en stark vilja att utvecklas och att pröva nya idéer. Däremot träffas inte ämneslärarna så ofta, så de nya ämnesprojekten stannar ofta vid drömmar och visioner. Jag har länge varit intresserad av problemlösning och har försökt få det att bli en naturlig del i undervisningen. Ibland har problemlösningen haft koppling till det aktuella arbetsområdet, men ofta har det blivit en aktivitet vid sidan av. Problemlösning har blivit mer av ett eget moment där eleverna har fått till ämpa kunskaper från många olika områden. Det jag ville pröva nu, som en vidareutveckling, var att se om det är möjligt att utgå från problemen och lära sig genom problemlösning. Arbetet lades upp kring temat volym i en åk 9. Eleverna skulle få möta några rika problem och förhoppningsvis genom dem lära sig det de behöver kunna om volym. Dessutom tänkte jag komplettera med läxor för att kontrollera om de lärt sig rutinfärdigheterna. Under hela projekttiden skrev jag loggbok med mina reflektioner kring hur uppgifterna fungerade och vilka kunskaper jag såg hos eleverna. Förberedelser För att förbereda mig läste jag ett antal böcker och artiklar om problemlösning. Synen på problemlösning verkar ha förändrats över åren, från att ha handlat om att lära sig för problemlösning, till att lära sig om problemlösning, till att lära sig genom problemlösning. Min studie verkar alltså ligga bra i tiden. Med problem menas en uppgift som en person vill eller behöver lösa, där personen ifråga inte har en på förhand given procedur för att lösa problemet och där det krävs en ansträngning av henne eller honom för att lösa problemet (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005a). Att läsa artikeln om att undervisa genom problemlösning (Lester & Lambdin, 2007) blev en aha-upplevelse. Genom att välja problem med omsorg och arbeta med dem på ett medvetet sätt kan man öka elevernas förståelse. Elevernas engagemang blir en nyckel till förståelse, och nu gällde det alltså att välja problem som engagerar. Nämnaren nr

2 Problemet ska introducera viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer. Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion som visar på olika strategier, representationer och matematiska idéer. Problemet ska kunna fungera som en brobyggare mellan olika matematiska områden. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem. Men det allra viktigaste med ett problem enligt Lester och Lambdin är att den matematik som ska behandlas måste vara inbakad i problemet. Det räcker inte att det är ett roligt problem, man ska ha ett syfte med att man väljer just det problemet just nu. Lärarens roll är oerhört viktig hur man introducerar problemet, hur mycket tid som ges, vilken kommunikation som sker i klassrummet, och vilka aspekter som lyfts fram i redovisningen. Rika matematiska problem har varit en stor inspirationskälla. Enligt Hagland, Hedrén och Taflin (2005a) är ett problem rikt om det uppfyller kriterierna i rutan här intill. Genom att arbeta med att lära genom problemlösning kommer man en bra bit på väg mot strävansmålen. I kursplanen (Skolverket, 2000) står att skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer, utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande, utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen, utvecklar sin förmåga att använda enkla matematiska modeller samt kritiskt granska modellernas förutsättningar, begränsningar och användning. Praktiskt genomförande 21 elever i åk 9 skulle arbeta med volym under totalt elva lektioner. Jag hade förberett ett antal problem, som åtminstone till viss del uppfyllde kriterierna för rika problem. Jag hade hittat ganska många roliga problem, som jag analyserade med avseende på matematiskt innehåll och valde ut några som kunde visa på olika viktiga aspekter av volymbegreppet. Vilka problem som jag sedan valde att använda styrdes till viss del av eleverna och vilka kunskaper och missuppfattningar de visade upp. Eleverna jobbade i grupper, fyra grupper med fyra elever och en grupp med fem elever, delvis beroende på vilka de sa sig jobba bra med. Efter första och tredje problemet fick eleverna ett par läxor, där de fick träna rutinfärdigheter som att beräkna vissa volymer och göra enhetsbyten. Under hela avsnittet hade eleverna tillgång till formelblad (samma som till de nationella proven). Efter varje lektion skrev jag ner mina reflektioner i en loggbok. Från början var syftet att göra minnesanteckningar så jag sedan skulle kunna skriva denna artikel, men jag upptäckte snart att den blev ett instrument 10 Nämnaren nr

3 för mig att reflektera över min undervisning, över vad som hände i klassrummet, och över vilka kunskapskvalitéer som jag såg. Kubikdecimetern Det första problemet som eleverna fick jobba med var kubikdecimetern. Det är en utveckling av en uppgift jag fick av en kollega på en annan skola i Skövde vid en SMaL-träff för några år sedan. 1. Bygg något som rymmer en kubikdecimeter (med färgat papper och tejp). 2. Bygg något mer som rymmer en kubikdecimeter, men som inte ser likadant ut. (Här enades vi om att det inte räckte att byta färg på pappret.) 3. Bygg ytterligare något som rymmer en kubikdecimeter, men som skiljer sig från de två första. 4. Bygg något som rymmer en halv kubikdecimeter. Hur kan du visa att din modell rymmer exakt 1 kubikdecimeter? Uppgiften löpte över flera lektioner, och eleverna byggde flera olika rätblock, och även prisman och cylindrar. Det blev många diskussioner i grupperna när man skulle ta fram måtten för de nya modellerna. Och uppgiften engagerade. Alla kom igång snabbt. Alla grupper började bygga en kub, de kopplade namnet kubikdecimeter kub. Och alla hade en idé om att sidan på kuben skulle vara 10 cm. Ingen reflekterade över namnet kubikdecimeter, alla mätte i centimeter. Gruppernas arbete I Grupp 1 vill Tobias bygga rätblock där botten har måtten 5 x15 cm. Han tänker 2-dimensionellt, ritar bara rektangel i skissen. Omkretsen av 5 x 15 = omkretsen av 10 x 10. Martina säger att det är arean av rektanglarna, inte omkretsen, som ska vara lika. När de tittar på sin färdiga kub och delar och bygger om bygger de 10 x 20 x 5. Grupp 2 bygger ett tresidigt prisma. Funderar på måtten och bestämmer sig för att göra prismat 10 cm långt (ser prismat som ett tält). Triangeln gör de likbent med basen 10 och höjden 20 cm. På kuben tar man ju alla sidor gånger varandra, men här måste vi räkna med höjden delat med två, för triangeln är en halv rektangel, så höjden måste vara dubbelt så stor, alltså 20 cm. De konstruerar triangeln geometriskt och ritar basen 10 cm. Höjden 20 cm drar de vinkelrätt mot mittpunkten på basen. Jag ställer frågan om de kan räkna ut Nämnaren nr

4 sidans längd, inte bara rita och på så sätt få fram den. När jag kommer tillbaka en stund senare har de använt Pythagoras sats och fått fram sidan, och det stämmer väl överens med det de ritat. Grupp 3 bygger en cylinder med höjden 10 cm. De visar att arean ska vara 100 cm 2, och de har prövat sig fram till att radien då blir 5,6 cm. Jag frågar: Kan ni räkna ut radien? Grupp 4 har just sagt att det borde gå att räkna baklänges. Tror ni att det går? De får hjälp att ställa upp r 2 π = 100. Efter lite funderande klarar Arvid av att lösa ekvationen. De flesta verkar tänka bildmässigt. De utgår från kuben de redan byggt och tänker sig att de delar och bygger om den när de gör rätblock och prismor. Det hann bli några modeller av 1/2 kubikdecimeter. Jag hade byggt ett par, som tur var, för ingen gjorde fel och byggde 5 x 5 x 5. Det verkar som att de fått en känsla för en kubikdecimeter nu, särskilt genom att bygga flera olika former med samma volym. Jag som lärare känner att jag hinner stanna ganska länge hos varje grupp, hinner lyssna till hela resonemang och ställa utmanande frågor. Jag känner mindre stress än vid vanliga lektioner, trots att det flyger några pappersplan i klassrummet. När några elever ska bevisa att deras andra modell rymmer lika mycket som den första påstår de att vi använde lika mycket papper, alltså måste de vara lika stora. Även om inte alla i gruppen håller med inser jag att här finns en missuppfattning som måste utmanas. Det får bli i den tredje uppgiften! Eleverna räknar hela tiden på 1000 cm 3. Vi tar en hel lektion till att faktorisera Vilka rätblock med sidor i hela centimeter kan du bygga, där volymen är 1000 cm 3? Ju längre tid vi arbetar med kubikdecimetern, desto mer matematik hittar jag i uppgiften. Jag tycker att den här uppgiften uppfyller alla kriterier för ett rikt problem. Duschen Som andrauppgift fick eleverna en hemuppgift. Den har vi själva tagit fram på skolan, och använt tidigare år i en lite annorlunda version. 1. Hur mycket vatten går det åt när du duschar? 2. Hur lite vatten går det åt när du eko-duschar? 3. Om du inte har några avlopp och låter duschen rinna som vid en vanlig duschning, hur lång tid tar det innan vattnet börjar rinna ut genom fönstren? Som vanligt när man ger en hemuppgift blir det ett visst bortfall, alla genomför inte uppgiften. Men de flesta kunde redogöra muntligt både för metod och resultat. Vi använde en hel lektion till att följa upp uppgiften. Ett viktigt moment var när jag försökte få eleverna att reflektera över vad de lärt sig av uppgiften. De flesta tyckte inte att de lärt sig så mycket, men de gick med på att de övat på en hel del: area, volym av rätblock, mätning och byta enheter för tid och volym. Vid redovisningen övade de även på medelvärde och median. Eleverna hade inte själva ord för att de arbetat med proportionalitet, men alla hade räknat vattenflödet antingen i liter per sekund eller sekunder per liter. Trots att vi inte har pratat om att en liter är en kubikdecimeter så hade ingen elev upplevt problem med den enhetsomvandlingen. De som inte kunde hade tagit reda på det på något sätt, t ex genom att kolla i boken. 12 Nämnaren nr

5 Vi diskuterade vad skillnaderna i resultaten kan bero på (olika stora hus, fönster högt eller lågt, högt eller lågt tryck i duschen mm). Eleverna hade idéer om hur de förenklat villkoren när de skapat sin modell, t ex struntat i att ta hänsyn till möbler, rätat ut rum som hade svår form, tagit mått från ritning. Vi diskuterade även hur noggrant man kan svara beroende på vilka antaganden man gjort. Det blev en övning i matematisk modellering. Alla grupper redovisade sina resultat på tavlan, och trots skillnaderna i storlek på hus blev de flesta resultaten förvånansvärt samstämmiga. De som hade extremvärden började självmant fundera på orsaker, leta efter fel i tanke eller genomförande och det ledde till att några värden korrigerades. Efter den här lektionen kom en elev fram och sa spontant att det här var en kul uppgift, kul att få göra något praktiskt och inte bara sitta och skriva. Kanske för mycket problemlösning? Sedan tyckte jag att var det dags att på allvar utmana idén lika stor area lika stor volym. De fick rulla samman ett pappersark med sidorna 10 x 20 cm på två olika sätt, och frågan var då om dessa två rör inneslöt lika stor volym. När de kommit fram till ett svar fick de fortsätta genom att göra röret plattare och plattare för att hitta ett mönster. Intressant är att flera elever i sitt resonemang återknyter till det de gjort tidigare. En elev säger att volymen borde inte bli samma. När vi byggde en kubikdecimeter gick det ju åt olika mycket material. Det de har gjort praktiskt kommer de ihåg! Men nu började eleverna tröttna så smått på att jobba med problemlösning. Kan vi inte få jobba i boken snart? Det kan finnas flera tänkbara orsaker till detta, kanske behov av variation, kanske för att det är enklare att se vad man har gjort, se att man kommer framåt, kanske bekvämlighet. En orsak kan vara att det snart är prov och då vill man ha provat på att lösa vanliga uppgifter också. För att behålla engagemanget tillmötesgick jag elevernas önskemål. Jag valde ut bra uppgifter ur läroboken. Jag hade en problemlösningsuppgift kvar, och eleverna fick välja mellan den och läroboken. Dessutom presenterade jag en volymuppgift från ett gammalt nationellt prov. Eleverna löste den i grupp, och vi jämförde och diskuterade bedömning. Hur kan man visa MVG-kvalité när man löser den uppgiften? Under det här arbetet har jag lyckats med att låta läroboken vara ett komplement och inte det som styr undervisningen. Det som har legat till grund för min planering har varit strävansmålen och min tolkning av vad eleverna behöver kunna om volym. Avsnittet avslutades med ett individuellt prov. Alla klasser på skolan genomförde samma prov. Det gick inte direkt att jämföra de olika klassernas resultat för att se om mitt sätt att jobba på var mer effektivt. Men min grupp presterade i alla fall inte sämre än man kunde ha förväntat sig. Provet var lite annorlunda mot vad eleverna är vana vid. Det bestod bara av fem uppgifter, alla plockade från gamla NP. Eftersom eleverna fick använda formelbladet så fick uppgifterna en annan karaktär, det blev inga rutinuppgifter. De flesta klarade det bra, men en av grupperna hade inte fungerat så bra under hela arbetsområdet, och det var också eleverna i den gruppen som inte klarade provet. När de fick en chans att visa sina kunskaper praktiskt så visade de ändå att de klarade av det mest grundläggande, att lösa rutinuppgifter. Att tillämpa sina kunskaper i nya situationer gick däremot inte så bra. Nämnaren nr

6 Mina reflektioner De flesta eleverna var bra på att söka information. Det krävdes ingen genomgång av hur man beräknar volym av rätblock, de som inte kunde tog reda på det på något sätt, t ex i boken eller på formelbladet. Däremot blev det många små genomgångar i grupperna, där vi resonerade kring deras eget material. Uppgifterna var sådana att det blev en naturlig individualisering. De var så enkla att förstå att alla kunde påbörja uppgifterna, och ändå fanns det utmaningar för dem som behövde det. Det här är en typ av individualisering som jag tror på. Alla håller på med samma innehåll, och vid gemensamma redovisningar och diskussioner finns det gott om möjligheter för elever att byta upp sig till en annan strategi. I vardagen finns det sällan tid och tillfälle att reflektera över undervisningen tillsammans med kollegor. Att skriva loggbok blev för mig ett tillfälle att reflektera. När jag satte ord på vad jag sett blev det tydligare för mig. Dessutom fick jag med en hel del bedömning av elever i loggboken. När eleverna jobbade i grupp och jag hade tid att gå runt och lyssna på dem hann jag också se en hel del VG- och MVG-kvalitéer. Det känns lättare att hinna med att gå runt och lyssna på fem grupper än att hinna med 21 elever som jobbar individuellt. I grupp hör jag dem dessutom resonera med varandra och argumentera för sitt sätt att lösa uppgiften. I min loggbok har jag bokfört vad jag har sett och hört. Jag tycker att det har underlättat min betygssättning att jobba på det här sättet. Jag har t ex sett hur eleverna: använder matematiska begrepp och metoder för att formulera och lösa problem, följer och förstår matematiska resonemang, gör matematiska tolkningar av vardagliga händelser eller situationer, genomför och redovisar med logiska resonemang sitt arbete såväl muntligt som skriftligt, använder ord, bilder och matematiska konventioner på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck, visar säkerhet i sitt problemlösningsarbete och använder olika metoder och tillvägagångssätt (Skolverket, 2000). Provet var egentligen inte nödvändigt för att bedöma vilka elever som visade VG- och MVG-kvalitéer. Däremot blev det en bra kontrollstation för att se om alla elever nådde upp till G-nivån. Provresultatet stämde väl överens med det jag sett på lektionerna och noterat i loggboken. Utvärdering Eleverna fick göra en skriftlig utvärdering efteråt. De fick skriva fritt om vad de hade tyckt om att arbeta på det här sättet. De allra flesta var övervägande positiva och det negativa de lyfte fram var ungefär detsamma som jag sett. Några citat: Det var roligare än att jobba i boken och jag tror att det gav mera. 14 Nämnaren nr

7 Jobba i grupp var roligt för då kunde man lyssna på någon annan ifall man tänkte fel. Sen lärde man sig mer tyckte jag. Det var mycket roligare än vanligt. Man lärde sig att använda formlerna i verkligheten. Man behövde inte titta i någon tråkig mattebok och vara tvungen att hinna till någon diagnos. Det var friare. Vi lärde oss hur man räknade ut svåra uppgifter och problem, det blev enkelt mot slutet så det var bra. Däremot gick vi inte igenom så mycket av grunderna ur boken, det gjorde att de enkla uppgifterna blev svårare och de gick inte att svara på utan att tänka. Det var lättare att visa det man kunde när vi arbetade som vi gjorde. Det var bra därför att man inte bara räknade i boken, utan att man fick se på riktigt att det verkligen stämde. Man lärde sig mycket på kort tid. Men jag kände efter ett tag att det blev för mycket att bara jobba med problem. Det kunde varit lite mer i boken. Det var ett roligt sätt att lära sig på. Och det är bra att jobba i grupp, för då hör man hur andra tänker också (om dom hjälper till). Att utveckla Det som är avgörande för vad eleverna lär sig är enligt Taflin (2007) att det finns en avslutande redovisningsfas under lektionen, där man kan jämföra och diskutera olika lösningar. Jag är inte helt nöjd med de avslutande redovisningarna och diskussionerna. Det tar alltid längre tid än jag tror när flera elever eller grupper ska redovisa, även om jag bara valt ut några intressanta elevlösningar. Det är även svårt att hålla eleverna engagerade om man jämför för många olika lösningar. Men även om jag inte vid varje tillfälle lyckats få en bra helklassdiskussion har varje grupp redovisat för mig, och de har fått diskutera, argumentera och byta upp sig till smartare strategier inom sin grupp. Jag lät eleverna göra ett par skriftliga inlämningar och jag tycker att kvalitén på deras egen dokumentation av vad de lärt sig var för låg. Att skriva och reflektera är inte lika populärt som att arbeta praktiskt, men ändå nödvändigt för att befästa kunskapen. Eleverna behöver nog hjälp med hur man kan skriva, och vi kanske kunde ha gjort en gemensam skriftlig dokumentation efter att de redovisat muntligt. I fortsättningen kommer jag inte att ha så många problem, jag tror att det är viktigt med variation i arbetssätt. 1 3 problem per avsnitt tror jag kan vara lagom. I RIMA-projektet (Rika problem i matematikundervisningen) mötte eleverna bara 3 4 rika problem per år (Hedrén, Taflin & Hagland, 2005b). Många elever har helt klart gynnats av att utgå från problemen, men några elever har även missgynnats. De hade behövt en struktur som inte blivit synlig för dem i det här arbetssättet. De har haft svårt att själva se vad de har lärt sig och jag själv behöver bli ännu bättre på att lyfta fram matematiken i varje enskild uppgift, att visa på vad de har lärt sig. Enligt Taflin (2007) är det lärarens ansvar att eleverna efter problemlösningstillfället inser vad de har lärt sig. Jag lyckades bra med det efter duschuppgiften, men inte lika bra i de andra uppgifterna. Ändå sammanfattade vi muntligt efter varje uppgift. Några elever antecknade, men det hade nog alla behövt göra. Nämnaren nr

8 Jag tycker också att fyra elever per grupp var för mycket. Dels kan det vara svårt att få alla delaktiga i det praktiska arbetet, dels tar inte alla lika stort ansvar i en stor grupp. Jag tror att det fungerar bättre att vara 2 3 elever per grupp, även om det blir sårbart om en elev är borta. Jag har ingen bra lösning på hur man gör med elever som har varit borta från ett antal lektioner. Undervisningen bygger ju mycket på diskussion i klassrummet. Hur kan de ta igen det? Blir de tvungna att göra vanliga läroboksuppgifter? Hur kan man väva in fler matematiska områden i samma uppgift? Jag fick på ett naturligt sätt in faktorisering när eleverna byggde sina kubikdecimetrar. Kan man få in det mesta av taluppfattning i problemlösning, så man slipper jobba med ett avsnitt om tal som kan kännas konstruerat och tråkigt? Med en tydlig plan och bra uppgifter kanske det är möjligt. Sammanfattning Ja, det går att lära genom problemlösning! Med genomtänkta problem, uppföljande redovisningar och diskussioner och om läraren och eleverna gemensamt lyfter fram vad man lärt sig, så tror jag att det är ett bra sätt att lära sig matematik. Men jag tror på variation, så en blandning mellan problemlösning och andra arbetssätt är nog det som fungerar bäst. Litteratur Hagland, K., Hedrén, R. & Taflin, E. (2005a). Rika matematiska problem inspiration till variation. Stockholm: Liber. Hedrén, R., Taflin, E. & Hagland, K. (2004). Problem med stenplattor. Nämnaren, 31(3), Hedrén, R., Taflin, E. & Hagland, K. (2005b). Vad menar vi med rika problem och vad är de bra till? Nämnaren, 32 (1), Hedrén, R., Taflin, E. & Hagland, K. (2005c). Lärares tankar vid arbete med rika problem. Nämnaren, 32 (2), Lester, F. K. (1996). Problemlösningens natur. I R. Ahlström m fl (red), Matematik ett kommunikationsämne (NämnarenTEMA) (85 91). NCM, Göteborgs universitet. Lester, F. K & Lambdin, D. V. (2007) Undervisa genom problemlösning. I J. Boesen, G. Emanuelsson, A. Wallby, K. Wallby (red), Lära och undervisa matematik internationella perspektiv. NCM, Göteborgs universitet. Skolverket (2000). Grundskolan Kursplaner och betygskriterier Stockholm: Skolverket. Taflin, E. (2007). Matematikproblem i skolan för att skapa tillfällen till lärande (doktorsavhandling). Institutionen för matematik och matematisk statistik, Umeå universitet. Tillgänglig på diva/getdocument?urn_nbn_se_umu_diva fulltext.pdf. 16 Nämnaren nr