b) Calculate the dispersion in the vicinity of the Fraunhofer D line for each glass, using the Cauchy relation.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "b) Calculate the dispersion in the vicinity of the Fraunhofer D line for each glass, using the Cauchy relation."

Maria Bergström
för 7 år sedan
Visningar:

1 3 Optiska instrument Uppgift 3. (Pedrotti 3 3 8) a) Approximate the Cauchy constants A and B for crown and flint glasses, using data for the C and F Fraunhofer lines from Table 3. Using these constants and the Cauchy relation approximated by two terms, calculate the refractive index of the D Fraunhofer line for each case. Compare your answers with the values given in the table. b) Calculate the dispersion in the vicinity of the Fraunhofer D line for each glass, using the Cauchy relation. c) Calculate the chromatic resolving power of crown and flint prisms in the vicinity of the Fraunhofer D line, if each prism base is 75 mm in length. Also calculate the minimum resolvable wavelength interval in this region. Lösning till uppgift 3. a) Dispersionen han approximeras med Cauchys relation n λ = A + B/λ 2. Konstanterna A och B i relationen kan bestämmas med hjälp av data för Fraunhoferlinjerna. Följande ekvationssystem erhålles för F och C linjerna { nf = A + B/λ 2 F n C = A + B/λ 2 C. Differensen mellan de två ekvationerna ger ett uttryck för B ( n F n c = B λ 2 ) F λ 2 B = n F n c C λ 2 C λ 2 λ2 F λ 2 C. F Konstanten A är följaktligen A = n F B λ 2 F = n F n F n C λ 2 C λ 2 C. λ2 F Fraunhoferlinjerna F och C motsvarar våglängderna 486. nm respektive nm. Kronglas brytningsindex för F och C linjerna är n F =.5286 och n C = Konstanterna i Cauchys relation är således A =.5 och B = 4240 nm 2. Brytningsindexet för D linjen (589.2 nm) är enligt den empiriska formeln.523. Motsvarande beräkningar för flintglas ger; A =.677, B = 390 nm 2 och n D =.75. b) Dispersionen kan med hjälp av Cauchys relation approximeras med dn/dλ = 2B/λ 3. Dispersionen kring D linjen (λ=589.2 nm) är således nm och nm för kron respektive flintglas.

2 c) Upplösningen hos ett instrument kan beskrivas med R = λ ( λ) min = b dn dλ, där λ är den minsta våglängdsskillnad som instrumentet kan upplösa och b betecknar prismats baslängd. För prismor av kron och flintglas med baslängden 75 mm erhålles R = 30 respektive R = Där Cauchys relation använts för att beräkna dn/dλ. Det minsta våglägdsintervall som prismorna kan upplösa ges av ( λ) min = λ/r och är, kring D linjen,.9 respektive 0.6 Å för kron och flintglas. Uppgift 3.2 (Pedrotti 3 3 9) An equilateral prism of dense barium crown glass is used in a spectroscope. Its refractive index varies with wavelength, as given in the table: nm n a) Determine the minimum angle of deviation for sodium light of nm. b) Determine the dispersive power of the prism. c) Determine the Cauchy constants A and B in the long wavelength region; from the Cauchy relation, find the dispersion of the prism at nm. d) Determine the minimum base length of the prism if it is to resolve the hydrogen doublet at and nm wavelengths. Is the project practical? Lösning till uppgift 3.2 a) Följande samband gäller mellan brytningsindex n och minimideviationen δ i ett prisma sin [(A + δ)/2] n = sin A, 2 där A = 60 för ett liksidigt prisma. Vi kan göra en uppskattning av δ genom att, med ledning av Fraunhoferlinjerna givna i uppgiften, anta att n.638 för ljus med våglängden nm. Minimideviationen för denna våglängd ges av sin (30 + δ/2) =.6380 sin 30, vilket implicerar att δ/2 = Minimideviationen för prismat är alltså 50. 2

3 b) Kvoten mellan dispersion och deviation, = n F n C n D, kallas på engelska för dispersive power. Indexen F, C och D betecknar Fraunhoferlinjerna. För detta glas gäller alltså att c) Cauchys relation, = = n λ = A + B λ 2 + C λ 4 +, är en empirisk formel för dispersionen hos ett prisma. Med hjälp av data för Fraunhoferlinjerna givna i uppgiften kan konstanterna i Cauchys relation beräknas. Vi nöjjer oss dock med att bestämma de två första konstanterna A och B. Uppgifterna om de två första linjerna ger oss följande ekvationssystem {.6346 = A + B = A + B Differensen mellan den andra och den första raden ger oss B( ) = B = nm 2. Genom insättning av B i första eller andra ekvationen erhålles A = Glasets brytningsindex som funktion av våglängden ges alltså av n(λ) = λ 2. d) Den minsta våglängdsskillnad som prismat kan upplösa ges av ( λ) min = λ b(dn/dλ), där b betecknar prismats baslinje. Derivatan av brytningsindex med avseende på våg längden erhålles ur Cauchys relation, dn/dλ = 2B/λ 3. Den minimala baslängd som prismat måste ha för att vätedubbletten ska kunna upplösas är alltså λ λ dn b = dλ = = nm =.2 m. λ4 2B λ = ( ) För att upplösa de två linjerna krävs ett prisma med mer än m baslängd. Att konstruera ett sådant prisma verkar vara en svår uppgift. 3

4 Uppgift 3.3 (Pedrotti 3 3 6) A telephoto lens consists of a combination of two thin lenses having focal lengths of +20 cm and 8 cm, respectively. The lenses are separated by a distance of 5 cm. Determine the focal length of the combination, distance from negative lens to film plane, and image size of a distant object subtendig an angle of 2 at the camera. Lösning till uppgift 3.3 Antag att en ljusstråle kommer från oändligheten och först passerar linsen med positivt fokalavstånd (f = 20). Ljusstrålens bildavstånd blir då f enligt linsekvationen. Objektavståndet b för den andra linsen (f 2 = 8) ges av linsekvationen 5 + b = 8 b = 40 3 cm. Avståndet mellan den negativa linsen och filmplanet är alltså 40/3 cm. Låt L och f beteckna avståndet mellan linserna respektive linssystemets fokalavstånd. Följande samband gäller mellan storleken hos objektet h och bilden h h h = h h = f f f L ( + f 2 f L Om de två sambanden kombineras erhålles ( f + ) = f f 2 f L f L f = f ( L + ) = f L +. f f 2 f L f f 2 f Linssystemets fokalavstånd ges alltså av ). f = + L = f f 2 f f ( 8) = 60 3 cm. Om ett avlägset objekt upptar en vinkel θ = 2 ges bildens storlek h av tan θ = h f h = tan =.86 cm. Uppgift 3.4 (Pedrotti ) A homemade compound microscope has, as objective and eyepiece, thin lenses of focal lengths cm and 3 cm, respectively. An object is situated at a distance of.20 cm from the objective. If the virtual image produced by the eyepiece is 25 cm from the eye compute a) the magnifying power of the microscope and b) the separation of the lenses. 4

5 Lösning till uppgift 3.4 a) Avståndet mellan objektivet (f = cm) och den imaginära bilden b kan beräknas med linsekvationen.20 + b = b = = 6 cm. Den förstoring av objektet som objektivet ger upphov till är således M = b.2 = 6.2. Avståndet mellan okularet (f = 3 cm) och den imaginära bilden a kan också beräknas med linsekvationen a 25 = 3 a = cm. Okularets förstoring av den imaginära bilden är Mikroskopets förstoring är alltså M 2 = 25 75/28 = M = M M 2 = 6 28 = b) Avståndet mellan objektiv och okular är a + b = /28 = 8.68 cm. 5

6 Uppgift 3.5 (Pedrotti ) The moon subtends an angle of 0.5 at the objective lens of a terrestial telescope. The focal lengths of the objective and ocular lenses are 20 cm and 5 cm, respectively. Find the diameter of the image of the moon viewed through the telescope at near point of 25 cm. Lösning till uppgift 3.5 Den virtuella bilden av månen skall synas på 25 cm avstånd från okularet. Okularets bildavstånd är med andra ord 25 cm. Objektavståndet a ges av linsekvationen a + 25 = 5 a = 25 6 cm. Om vi antar att månen ligger oändligt långt borta så gäller att objektivets objektavstånd är samma som linsens fokalavstånd, f = +20 cm. Om månens dimension betecknas med h gäller således följande samband h f = tan α h = f tan α, där α är den vinkel som månen upptar på okularet. Dessutom gäller följande samband mellan den imaginära bildens höjd h och h h h = 25 a h = h 25 a. Ur de två ekvationerna ovan kan månens dimension ellimineras h = f tan α 25 a 25 = 20 tan 0.5 =.047 cm. 25/6 Bilden av månen vid närpunkten är således.05 cm. 6

7 Uppgift 3.6 (Pedrotti ) An opera glass uses an objective and eyepiece with focal lengths of +2 cm and 4.0 cm, respectively. Determine the length (lens separation) of the instrument and its magnifying power for a viewer whos eyes are focused a) for infinty and b) for a near point of 30 cm. Lösning till uppgift 3.6 a) Först ska vi bestämma vilket avstånd L mellan de två linserna som kikaren måste vara inställd på för att den virtuella bilden av ett objekt ska hamna oändligt långt borta. För okularet gäller att bildavståndet är b = och objektavståndet a ges av linsekvationen a + b = 4 a = 4 cm. Att objektavståndet är negativt innebär att okularets objekt är virtuellt. Avståndet mellan de två linserna skall alltså vara L = f objektiv a = 2 4 = 8 cm för att kikaren ska ge en virtuell bild oändligt långt bort. Kikarens förstoring ges av tan θ tan α = h/f okular h/f objektiv = f objektiv f okular = 2 4 = 3, där θ och α betecknar den vinkel objektet, vars storlek betecknas h, upptar på ögat utan respektive med kikaren. b) Låt oss anta att den positiva linsen är placerad till vänster om den negativa linsen. Om den negativa linsen skjuts till vänster mot den positiva linsen så att strålarna divergerar litet, kommer den virtuella bilden inte längre hamna oändligt långt bort utan 30 cm till vänster om den negativa linsen. Objektavståndet a till den negativa linsen ges av linsekvationen a + 30 = 4 a = 60 = 4.62 cm. 3 7

8 Avståndet mellan de två linserna är i detta fall således L = f objektiv a = = 7.38 cm. Förstoringen av bilden ges i detta fall av tan θ tan α = h /30 tan α = h/4.6 = 2 h/f objektiv 4.6 = 2.6, där θ och h betecknar den vinkel som bilden upptar på ögat respektive bildens storlek på ögat. 8

Relevanta dokument

Problem och lösningar

Problem och lösningar i vågrörelselära J Jönsson Allmän vågrörelselära och vågekvationer Uppgift. Antag att f(u) och g(u) är två deriverbara funktioner. Om ψ = Af(x ± vt) + Bg(x ± vt) visa att 2 ψ = v