4 Polariserat ljus. För linjärt polariserat ljus har E y och E z samma fas φ, så vi kan anta att

Transkript

1 4 Polariserat ljus Uppgift 4 Pedrotti Pedrotti 4 6 Write the equations for the electric fields of the following waves in exponential form: a A linearly polarized wave traveling in the x direction The E vector makes an angle of 3 relative to the y axis b A right elliptically polarized wave traveling in the y direction The major axis of the ellipse is in the z direction and is twice the minor axis c A linearly polarized wave traveling in the xy plane in a direction making an angle of 45 relative to the x axis The direction of polarization is the z direction lösning till uppgift 4 a Om vågen propagerar i positiva x axelns riktning, måste E vektorn ligga i yz planet Eftersom vinkeln mellan E vektorn och y axeln är θ 3, så beskrivs det elektriska fältet av E E cos θŷ + E sin θẑe ikx ωt 3E ŷ + E ẑ e ikx ωt För linjärt polariserat ljus har E y och E z samma fas φ, så vi kan anta att φ b Det generella uttrycket för en elliptiskt polariserad, högerroterande våg längs positiva y axeln är E [ ẑae iφz + ˆxBe iφx] e iky ωt Vi vet dessutom att storaxeln skall vara dubbelt så lång som lillaxeln, A B Jonesvektorn bör kunna skrivas på formen [ ] [ ] Ex A Be iɛ E z

2 För att vågen skall vara högerroterande sett från positiva y axeln måste skillnaden i fas vara ɛ ψ z ψ x +π/ Jonesvektorn måste alltså vara [ ] [ ] [ ] [ ] A i Be +iπ/ e +iπ/ i i Det elektriska fältet är alltså E E iˆx + ẑ e iky ωt c Vågen breder ut sig i xy planet med θ 45 vinkel mot x axeln Vågvektorn är alltså k kxˆx + k y ŷ k cos θˆx + k sin θŷ k ˆx + ŷ Vågen är polariserad i z riktningen, så det elektriska fältet ges av [ E E ẑ exp i ] k r iωt [ ] k E ẑ exp i ˆx + ŷ xˆx + yŷ + zẑ ωt [ ] k E ẑ exp i x + y ωt Uppgift 4 Pedrotti Pedrotti 4 Using the Jones calculus, show that the effect of a HWP on light linearly polarized at inclination angle α is to rotate the plane of polarization through an angle of α The HWP may be used in this way as a laser line rotator, allowing the plane of polarization of a laser beam to be rotated without having to rotate the laser Lösning till uppgift 4 Jonesmatrisen för en HWP med vertikal SA och Jonesvektorn för linjärt polariserat ljus med lutningen α är e iπ/ respektive cos α sin α Ljusets tillstånd efter att det passerat plattan erhålles genom multiplikation av jonesmatrisen och jonesvektorn e iπ/ cos α e iπ/ cos α e iπ/ cos α sin α sin α sin α Denna vektor beskriver linjärt polariserat ljus med vinkel α Plattan har alltså roterat det polariserade ljusets vinkel α

3 Uppgift 43 Pedrotti Pedrotti 4 3 Light linearly polarized with a horizontal transmission axis is sent through another linear polarizer with TA at 45 and then through a QWP with SA horizontal Use the Jones matrix technique to determine and describe the product light Lösning till uppgift 43 Det polariserade ljuset beskrivs av Jonesvektorn [ ] Jonesmatriserna för en linjär polarisator med 45 vinkel och en QWP med horisontell SA är [ ] respektive e iπ/4 [ i Den effektiva Jonesmatrisen erhålles genom att de två matriserna multipliceras med varandra [ ] e iπ/4 [ ] [ ] eiπ/4 i i i Den effektiva Jonesmatrisens verkan på det linjärt polariserade ljuset ges alltså av e iπ/4 [ ] [ ] [ ] eiπ/4 i i i Ljuset som passerat systemet är alltså cirkulärt polariserat och högerroterande Intensiteten hos ljuset var initialt + Efter att ljuset passerat systemet har intensiteten sjunkit till / + / / dvs hälften Uppgift 44 Pedrotti Pedrotti 4 4 A light beam passes consecutively through a linear polarizer with TA at 45 clockwise from vertical, a QWP with SA vertical, 3 a linear polarizer with TA horizontal, 4 a HWP with FA horizontal, 5 a linear polarizer with TA vertical what is the nature of the product light? ] 3

4 Lösning till uppgift 44 Efter att ljuset passerat den första plattan erhålles en Jonesvektor cos 45 sin 45 Effekten av de andra plattorna på Jonesvektorn är i tur och ordning: e iπ/4 e iπ/4, i i e iπ/4 i e iπ/4, e iπ/ e iπ/4 e i3π/4 och, e i3π/4 Inget ljus kommer således ut ur systemet [ ] i Uppgift 45 Pedrotti Pedrotti 4 7 show that the matrix i represents a right circular polarizer, converting any incident polarized light into right circularly polarized light What is the proper matrix to represent a left circular polarizer? Lösning till uppgift 45 Låt oss undersöka hur Jonesmatrisen påverkar den mest allmänna Jonesvektorn i A A C + ib D + ib i B + ic A Ci + B Di + B D + B D ib D + B i D + B D ib i Matrisen ger så ledes en högerpolariserad Jonesvektor vilket skulle visas På samma sätt går det att visa att matrisen i i ger vänsterpolariserat ljus 4

5 Uppgift 46 Pedrotti Pedrotti 5 Initially unpolarized light passes in turn through three linear polarizers with transmission axes at, 3, and 6, respectively, relative to the horizontal What is the irradiance of the product light, expressed as a percentage of the unpolarized light irradiance? Lösning till uppgift 46 Det ingående ljuset är opolariserat Antag att dess intensitet är I Efter den första polarisatorn är intensiteten fortfarande I Intensiteten efter den andra och tredje polarisatorn kan vi beräkna med hjälp av Malus lag I I cos θ, där θ är vinkeln mellan transmissionsaxlarna för två på varandra följande polarisatorer Ljusets intensitet efter att det passerat den andra polarisatorn är alltså I I cos 3 I I Den tredje polarisatorn är vinklad 3 i förhållande till den andra och dess intensiteten ges därför av I 3I 8 cos I I Intensiteten efter den tredje polarisatorn är alltså 9/3 av den ursprungliga De tre polarisatorerna släppte med andra ord igenom 8% av det opolariserade ljuset Uppgift 47 Pedrotti Pedrotti 5 At what angles will light, externally and internally reflected from a diamond air interface, be completly linearly polarized? For diamond, n 4 Lösning till uppgift 47 då Det reflekterade ljuset blir fullständigt polariserat θ r + θ p 9, 5

6 där θ r och θ p betecknar ljusets vinkel efter att det brutits respektive den polariserande vinkeln eller Brewstervinkeln Låt n och n beteckna brytningsindexen för de två olika medierna Enligt Snells lag gäller att n sin θ p n sin θ r n sin 9 θ p n cos θ p tan θ p n n För externt reflekterat ljus, dvs ljuset går från luft in i diamant, är Brewstervinkeln 4 θ p tan 675 Brewstervinkeln för internt reflekterat ljus däremot är θ p tan 5 4 Uppgift 48 Pedrotti Pedrotti 5 4 How thick should a half wave plate of mica be in an application where laser light of 638 nm is being used? Appropriate refractive indices for mica are 599 and 594 Lösning till uppgift 48 Fasskillnaden skall vara π mellan komponenter av ljuset som kommer in respektive med glimmerplattans optiska axel Den optiska vägskillnaden är n n d och fasskillnaden ges av Plattans tjocklek d ges alltså av φ π λ n n d d λ φ π n n Eftersom φ π för en halvvågsplatta, så måste glimmerplattans tjocklek vara d λ π π n n m Uppgift 49 Pedrotti Pedrotti 5 7 A number of dichroic polarizers are available, each of which can be assumed perfect, that is, each passes 5% of the incident unpolarized light Let the irradiance of the incident light on the first polariser be I 6

7 a Using a sketch, show that if the polarizers have their transmission axes set at an angle θ apart, the light transmitted by the pair is given by I I cos θ b What percentage of the incident light energy is transmitted by the pair when their transmission axes are set at and 9, respectively? c Five additional polarizers of this type are placed between the two described above, with their transmission axes set at 5, 3, 45, 6, and 75, in that order, with the 5 angle polarizer adjacent to the polarizer, and so on Now what percentage of the incident light energy is transmitted? Lösning till uppgift 49 a Antag att E vektorn ligger i xy planet och att y axeln är TA för den första polarisatorn Efter att det opolariserade ljuset passerat polarisatorn sjunker ljusets intensitet till I I / Om den andra polarisatorns TA bildar en vinkel θ mot y axeln, ges det elektriska fältets amplitud A av projektionen A A cos θ, där A betecknar fältets amplitud innan ljuset passerat polarisatorn Intensiteten hos ljuset I är proportionell mot det elektriska fältets amplitud i kvadrat, I A cos θ Ljusets intensitet efter att det passerat de två polarisatorerna är således I I cos θ b För polarisatorn med transmissionsaxel α 9 kommer inget ljus igenom plattan eftersom cos 9 7

8 c Låt oss nu undersöka hur mycket ljus som passerar en uppställning av polarisatorer vilkas transmissionsaxel är vinklade,, 5, 3, 45 och 75 i förhålande till y axeln Den första polarisatorn släpper igenom I I / Varje annan polarisator har sin transmissionsaxel vriden 5 i förhållande till den föregående Ljusets intensitet efter att det passrerat systemet av polarisatorer ges därför av I cos 5 6 I cos 5 I I En tredjedel av ljusets släpps alltså igenom systemet av polarisatorer Uppgift 4 Pedrotti Pedrotti 5 9 Determine the angle of deviation between the two emerging beams of a Wollaston prism constructed of calcit and with wedge angle of 45 Assume sodium light Lösning till uppgift 4 Kalcit CaCO 3 är dubbelbrytande och har för Natriumljus brytningsindexen n 4864 och n 6584 För kalcit gäller alltså att n > n Låt oss följa en stråle av ljus som faller vinkelrät mot prismat Brytningsvinkeln blir noll då strålen går från luft till kalcit Då ljuset bryts mellan kilarna av kalcit kommer ljuset brytas olika beroende på ljusets polarisation Låt oss först betrakta ljus vars polarisationsriktning är parallell med optiska axeln OA i den första kilen Brytningsvinkeln α då ljuset bryts mellan kalcitkilarna ges av Snells lag n sin 45 n sin α sin α n 4864 n , 8

9 vilket implicerar att α 3933 Brytningsvinkeln för ljuset som lämnar prismat ges återigen av Snells lag n sin γ sin β, där vinkeln γ 45 α 567 kan erhållas ur figuren Vinkeln β ges alltså av sin β 6584 sin β 943 Låt oss nu betrakta ljus vars polarisationsriktning är vinkelrät med optiska axeln OA i den första kilen Brytningsvinkeln α då ljuset bryts mellan kalcitkilarna beräknas med Snells lag n sin 45 n sin α α 59 Då ljuset lämnar prismat ges brytningsvinkeln av n sin γ sin β, där γ α kan erhållas ur figuren Vinkeln β ges alltså av sin β 4864 sin β 57 Prismats deviation är således δ β + β Uppgift 4 Pedrotti Pedrotti 5 A beam of linearly polarized light is changed into circularly polarized light by passing it through a slice of crystal 3 cm thick Calculate the difference in the refractive indices for the two rays in the crystal, assuming this to be the minimum thickness showing the efect for a wavelength of 6 nm Skecth the arrangement, showing the OA of the crystal, and explain why it occurs 9

10 Lösning till uppgift 4 För att linjärt polariserat ljus ska bli cirkulärt polariserat måste det passera en Phase retarder som allmänt kan beskrivas av en Jonesmatris [ ] e iɛ x e iɛy Låt oss studera effekten av en QWP på linjärt polariserat ljus med E x E y ] ] [ ] eiπ/4 e iπ/4 [ i [ Om linjärt polariserat ljus passerar en QWP erhålles alltså cirkulärt polariserat ljus För en QWP är fasskillnaden φ π/ Fasskilnaden för plattan ges av π φ n n d, λ d är plattans tjocklek och λ ljusets våglängd Skillnaden mellan brytningsindexen är alltså n λ φ πd 6 9 π/ π Uppgift 4 Pedrotti Pedrotti 5 Light is incident on a water surface at such an angle that the reflected light is completly linearly polarized a What is the angle of incidence? b The light refracted into the water is intercepted by the top flat surface of a block of glass with index of 5 The light reflected from the glass is completly linearly polarized What is the angle between the glass and water surfaces? Sketch the arrangement, showing the polarization of the light at each stage i Lösning till uppgift 4 a Den polariserande vinkeln eller Brewstervinkeln ges av θ p tan nvatten 33 tan 53 n luft

11 b Brewstervinkeln för ljuset som polariseras av reflektionen mot glasblocket i vattnet är θ p tan nglas 5 tan 484 n vatten 33 Vi söker vinkeln α mellan vattenytan och glasets yta Vid Brewsterspridning gäller villkoret att θ r + θ p 9, vilket innebär att vinkeln efter att ljuset brutits i vattenytan är θ r 9 θ p Det gäller dessutom att α + γ 9 och γ + θ p + θ p 8, vilket medför att α θ p + θ p 9 5 Uppgift 43 Pedrotti Pedrotti 5 6 a A thin plate of calcite is cut with its OA parallel to the plane of the plate What minimum thickness is required to produce a quarter wave path difference for sodium light of 589 nm? b What color will be transmitted by a zircon plate, 8 mm thick, when placed in a 45 orientation between crossed polarizers? Lösning till uppgift 43 a För en QWP ska den optiska vägskillnaden vara d n n λ 4,

12 där λ betcknar ljusets våglängd För CaCO 3 är brytningsindexen n 6584 och n 4864 Den minsta tjocklek som plattan kan ha är således d λ 4 n n nm b För att ljus skall gå igenom zirkonplattan måste den vara en halvvågsplatta, dvs rotera polariserat ljus 9 Villkoret för HWP är d n n λ + mλ, där m,,, De våglängder som plattan släpper igenom ges av λ d n n m m m + 89 m + nm Våglängderna motsvarande m, och är 638 respektive 546 och 38 nm Endast 546 nm är synligt ljus, nämligen grönt