Skrivning i multivariata metoder lördagen den 30 augusti 2003

Transkript

1 LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL STA102:4 Skrivning i multivariata metoder lördagen den 30 augusti 2003 Förutom Körners tabell- och formelsamling och miniräknare är även läroboken: Marcoulides-Hershberger, Multivariate Statistical Methods, tillåtet hjälpmedel. 1. Betrakta följande matriser: A= ` och B= a) Bestäm A*B och B*A! b) Bestäm egenvärden och egenvektorer till A! Visa också att de två egenvektorerna är ortogonala! 2. Vi har 5 observationer på slumpvektorn X =(X 1,X 2,X 3 ): (1, 5, 2), (1, 3, 3), (5, 6, 7), (6, 7, 9), (4, 8, 9). Beräkna medelvärdesvektorn, kovariansmatrisen, den totala SSCP-matrisen och korrelationsmatrisen! 3. Slumpvektorn X =(X 1,X 2,X 3 ) är 3-dimensionellt N(μ, Σ), `6 3 2 där μ =(5, 2, 6) och Σ = Vad är sannolikhetsfördelningarna för ( X 2, X 3 ), ( X 1, X 2 ), X 1 respektive X 2?

2 4. Från ett stickprov om 60 observationer på slumpvektorn X 1 =(X 11,X 12 ), som är 2-dimensionellt N(μ 1, Σ) fås x 1 =( 10, 9 ) och S 1 = ` Från ett oberoende stickprov om 40 observationer på slumpvektorn X 2 =(X 21,X 22 ), som är 2-dimensionellt N(μ 2, Σ) fås x 2 =( 14, 13 ) och S 2 = ` Från ett oberoende stickprov om 30 observationer på slumpvektorn X 3 =(X 31,X 32 ), som är 2-dimensionellt N(μ 3, Σ) fås x 3 =( 34, 46 ) och S 3 = ` a) Skatta μ 1, μ 2, μ 3 och Σ! b) Antag att H 0 : μ 1 =μ 2 =μ 3 = μ är sann. Hur skattas μ? Och vilken sannolikhetsfördelning har då ˆμ? c) Bestäm SSCP-matriserna T, B och W! 5. För ett stickprov om 100 bankanställda mättes de fyra bakgrundsvariablerna Y 1 = EDUC (utbildning, i antal år), Y 2 = AGE (ålder), Y 3 = EXPER (antal år med relevant arbetslivserfarenhet vid anställningen) och Y 4 = SENIOR (nivå på bank-anställningen). Vidare mättes två lönevariabler, X 1 =LCURRENT=ln(nuvarande lön) och X 2 = LSTART= ln(begynnelselön). I appendix finns resultatet från en kanonisk korrelationsanalys mellan bakgrundsvariablerna och lönevariablerna. a) Redovisa kortfattat resultatet av den kanoniska korrelations-analysen! b) Försök att tolka resultatet av den kanoniska korrelationsanalysen! 6. Fortsättning av uppgift 5: Bestäm för de tre variablerna AGE (ålder), EDUC (utbildning) och EXPER (arbetslivserfarenhet) för de 100 bankanställda, om det finns någon skillnad mellan kön! Datautskrifter från proc ANOVA finns i Appendix. Individerna indelades i två grupper efter variabeln SEX (kön), vilken antar två värden, 0= man och 1= kvinna.

3 amerikanska studenter testades på 8 variabler: ABILITY1 = allmän intelligens, ABILITY2 = medelbetyg sista skolåret, ABILITY3 = medelbetyg första högskoleåret, MOTIVN1 = poäng för motivation att prestera 1, MOTIVN2 = poäng för motivation att prestera 2, MOTIVN3 = poäng för motivation att prestera 3, ASPIRN1 = poäng på en allmän utbildningsaspiration och ASPIRN2 = poäng på en allmän yrkesaspiration. Tolka resultatet av en explorativ faktoranalys på dessa variabler och ange de skattade parametrarna! Datautskrifter från proc FACTOR finns i Appendix. 8. Fortsättning på uppgift 7: Under antagandet att en trefaktormodell är lämplig, vill man pröva om faktorladdningarna följer följande mönster: ABILITY1, ABILITY2 och ABILITY3 laddar högt enbart på faktor 1, medan MOTIVN1, MOTIVN2 och MOTIVN3 laddar högt enbart på faktor 2 samt att ASPIRN1 och ASPIRN2 laddar högt enbart på faktor 3! a) Rita den antagna modellen som ett pathdiagram! b) Skriv den antagna modellen som ett ekvationssystem! c) Förklara antalet frihetsgrader i chitvåtestet! d) Dra slutsatser om den antagna modellen (hypotesen) från LISREL-outputen (i Appendix)!

4 Appendix Uppgift 5 The CANCORR Procedure VAR Variables 2 WITH Variables 4 Observations 100 Means and Standard Deviations Standard Variable Mean Deviation Label x LCURRENT x LSTART y EDUC y AGE y EXPER y SENIOR The CANCORR Procedure Correlations Among the Original Variables Correlations Among the VAR Variables x1 x2 x x Correlations Among the WITH Variables y1 y2 y3 y4 y y y y Correlations Between the VAR Variables and the WITH Variables y1 y2 y3 y4 x x The CANCORR Procedure Canonical Correlation Analysis Adjusted Approximate Squared Canonical Canonical Standard Canonical Correlation Correlation Error Correlation Test of H0: The canonical correlations in Eigenvalues of Inv(E)*H the current row and all that follow are zero = CanRsq/(1-CanRsq) Likelihood Approximate Eigenvalue Difference Proportion Cumulative Ratio F Value Num DF Den DF Pr > F <

5 Multivariate Statistics and F Approximations S=2 M=0.5 N=46 Statistic Value F Value Num DF Den DF Pr > F Wilks' Lambda <.0001 Pillai's Trace <.0001 Hotelling-Lawley Trace <.0001 Roy's Greatest Root <.0001 NOTE: F Statistic for Roy's Greatest Root is an upper bound. NOTE: F Statistic for Wilks' Lambda is exact. The CANCORR Procedure Canonical Correlation Analysis Raw Canonical Coefficients for the VAR Variables bakgrund1 bakgrund2 x1 LCURRENT x2 LSTART Raw Canonical Coefficients for the WITH Variables salary1 salary2 y1 EDUC y2 AGE y3 EXPER y4 SENIOR The CANCORR Procedure Canonical Correlation Analysis Standardized Canonical Coefficients for the VAR Variables bakgrund1 bakgrund2 x1 LCURRENT x2 LSTART Standardized Canonical Coefficients for the WITH Variables salary1 salary2 y1 EDUC y2 AGE y3 EXPER y4 SENIOR The CANCORR Procedure Canonical Structure Correlations Between the VAR Variables and Their Canonical Variables bakgrund1 bakgrund2 x1 LCURRENT x2 LSTART

6 Variables Correlations Between the WITH Variables and Their Canonical salary1 salary2 y1 EDUC y2 AGE y3 EXPER y4 SENIOR Correlations Between the VAR Variables and the Canonical Variables of the WITH Variables salary1 salary2 x1 LCURRENT x2 LSTART Correlations Between the WITH Variables and the Canonical Variables of the VAR Variables bakgrund1 bakgrund2 y1 EDUC y2 AGE y3 EXPER y4 SENIOR The CANCORR Procedure Canonical Redundancy Analysis Raw Variance of the VAR Variables Explained by Their Own The Opposite Canonical Variables Canonical Variables Canonical Variable Cumulative Canonical Cumulative Number Proportion Proportion R-Square Proportion Proportion Raw Variance of the WITH Variables Explained by Their Own The Opposite Canonical Variables Canonical Variables Canonical Variable Cumulative Canonical Cumulative Number Proportion Proportion R-Square Proportion Proportion The CANCORR Procedure Canonical Redundancy Analysis Standardized Variance of the VAR Variables Explained by Their Own The Opposite Canonical Variables Canonical Variables Canonical Variable Cumulative Canonical Cumulative Number Proportion Proportion R-Square Proportion Proportion Standardized Variance of the WITH Variables Explained by Their Own The Opposite Canonical Variables Canonical Variables

7 Canonical Variable Cumulative Canonical Cumulative Number Proportion Proportion R-Square Proportion Proportion The CANCORR Procedure Canonical Redundancy Analysis Squared Multiple Correlations Between the VAR Variables and the First M Canonical Variables of the WITH Variables M 1 2 x1 LCURRENT x2 LSTART Squared Multiple Correlations Between the WITH Variables and the First M Canonical Variables of the VAR Variables M 1 2 y1 EDUC y2 AGE y3 EXPER y4 SENIOR Uppgift 6 The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values x Number of observations 100 Dependent Variable: y1 EDUC Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE y1 Mean Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F x The ANOVA Procedure Dependent Variable: y2 AGE Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F

8 Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE y2 Mean Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F x Dependent Variable: y3 EXPER Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE y3 Mean Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F x The ANOVA Procedure Bonferroni (Dunn) t Tests for y1 Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 98 Error Mean Square Critical Value of t Minimum Significant Difference Harmonic Mean of Cell Sizes NOTE: Cell sizes are not equal. Means with the same letter are not significantly different. Bon Grouping Mean N x3 A A A The ANOVA Procedure Bonferroni (Dunn) t Tests for y2 Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 98 Error Mean Square Critical Value of t Minimum Significant Difference Harmonic Mean of Cell Sizes 48.72

9 NOTE: Cell sizes are not equal. Means with the same letter are not significantly different. Bon Grouping Mean N x3 A A A The ANOVA Procedure Bonferroni (Dunn) t Tests for y3 Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 98 Error Mean Square Critical Value of t Minimum Significant Difference Harmonic Mean of Cell Sizes NOTE: Cell sizes are not equal. Means with the same letter are not significantly different. Bon Grouping Mean N x3 A B The ANOVA Procedure Multivariate Analysis of Variance Characteristic Roots and Vectors of: E Inverse * H, where H = Anova SSCP Matrix for x3 E = Error SSCP Matrix Characteristic Characteristic Vector V'EV=1 Root Percent y1 y2 y MANOVA Test Criteria and Exact F Statistics for the Hypothesis of No Overall x3 Effect H = Anova SSCP Matrix for x3 E = Error SSCP Matrix S=1 M=0.5 N=47 Statistic Value F Value Num DF Den DF Pr > F Wilks' Lambda <.0001 Pillai's Trace <.0001 Hotelling-Lawley Trace <.0001 Roy's Greatest Root <.0001

10 TABELL 1, RAYKOV-MARCOULIDES The FACTOR Procedure Initial Factor Method: Principal Components Prior Communality Estimates: ONE Eigenvalues of the Covariance Matrix: Total = 4.48 Average = 0.56 Eigenvalue Difference Proportion Cumulative factors will be retained by the MINEIGEN criterion. The FACTOR Procedure Initial Factor Method: Principal Components Scree Plot of Eigenvalues 2.5 ˆ ˆ E i g 1.5 ˆ e n v a l u e 1.0 ˆ s ˆ ˆ Šƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒ Number The FACTOR Procedure

11 Initial Factor Method: Principal Components Factor Pattern Factor1 Factor2 ABIL ABIL ABIL MOTIV MOTIV MOTIV ASP ASP Variance Explained by Each Factor Factor Weighted Unweighted Factor Factor Final Communality Estimates and Variable Weights Total Communality: Weighted = Unweighted = Variable Communality Weight ABIL ABIL ABIL MOTIV MOTIV MOTIV ASP ASP The FACTOR Procedure Initial Factor Method: Maximum Likelihood Prior Communality Estimates: SMC ABIL1 ABIL2 ABIL3 MOTIV1 MOTIV2 MOTIV3 ASP1 ASP Preliminary Eigenvalues: Total = Average = Eigenvalue Difference Proportion Cumulative factors will be retained by the NFACTOR criterion. Iteration Criterion Ridge Change Communalities

12 Convergence criterion satisfied. Significance Tests Based on 250 Observations Pr > Test DF Chi-Square ChiSq H0: No common factors <.0001 HA: At least one common factor The FACTOR Procedure Initial Factor Method: Maximum Likelihood Significance Tests Based on 250 Observations Pr > Test DF Chi-Square ChiSq H0: 2 Factors are sufficient <.0001 HA: More factors are needed Chi-Square without Bartlett's Correction Akaike's Information Criterion Schwarz's Bayesian Criterion Tucker and Lewis's Reliability Coefficient Squared Canonical Correlations Factor1 Factor Eigenvalues of the Weighted Reduced Correlation Matrix: Total = Average = Eigenvalue Difference Proportion Cumulative Factor Pattern Factor1 Factor2 ABIL ABIL ABIL MOTIV MOTIV MOTIV ASP ASP The FACTOR Procedure Initial Factor Method: Maximum Likelihood Variance Explained by Each Factor Factor Weighted Unweighted Factor Factor Final Communality Estimates and Variable Weights Total Communality: Weighted = Unweighted =

13 Variable Communality Weight ABIL ABIL ABIL MOTIV MOTIV MOTIV ASP ASP The FACTOR Procedure Rotation Method: Varimax Orthogonal Transformation Matrix Rotated Factor Pattern Factor1 Factor2 ABIL ABIL ABIL MOTIV MOTIV MOTIV ASP ASP Variance Explained by Each Factor Factor Weighted Unweighted Factor Factor Final Communality Estimates and Variable Weights Total Communality: Weighted = Unweighted = Variable Communality Weight ABIL ABIL ABIL MOTIV MOTIV MOTIV ASP ASP The FACTOR Procedure Initial Factor Method: Maximum Likelihood Prior Communality Estimates: SMC ABIL1 ABIL2 ABIL3 MOTIV1 MOTIV2 MOTIV3 ASP1 ASP Preliminary Eigenvalues: Total = Average = Eigenvalue Difference Proportion Cumulative

14 factors will be retained by the NFACTOR criterion. Iteration Criterion Ridge Change Communalities Convergence criterion satisfied. Significance Tests Based on 250 Observations Pr > Test DF Chi-Square ChiSq H0: No common factors <.0001 HA: At least one common factor H0: 3 Factors are sufficient HA: More factors are needed The FACTOR Procedure Initial Factor Method: Maximum Likelihood Chi-Square without Bartlett's Correction Akaike's Information Criterion Schwarz's Bayesian Criterion Tucker and Lewis's Reliability Coefficient Squared Canonical Correlations Factor1 Factor2 Factor Eigenvalues of the Weighted Reduced Correlation Matrix: Total = Average = Eigenvalue Difference Proportion Cumulative 1 Infty Infty Factor Pattern Factor1 Factor2 Factor3 ABIL ABIL ABIL MOTIV MOTIV MOTIV ASP ASP

15 Variance Explained by Each Factor Factor Weighted Unweighted Factor Factor Factor The FACTOR Procedure Initial Factor Method: Maximum Likelihood Final Communality Estimates and Variable Weights Total Communality: Weighted = Unweighted = Variable Communality Weight ABIL ABIL ABIL MOTIV MOTIV MOTIV ASP ASP Infty The FACTOR Procedure Rotation Method: Varimax Orthogonal Transformation Matrix Rotated Factor Pattern Factor1 Factor2 Factor3 ABIL ABIL ABIL MOTIV MOTIV MOTIV ASP ASP Variance Explained by Each Factor Factor Weighted Unweighted Factor Factor Factor Final Communality Estimates and Variable Weights Total Communality: Weighted = Unweighted = Variable Communality Weight ABIL ABIL ABIL MOTIV MOTIV MOTIV ASP ASP Infty

16 L I S R E L 8.51 BY Karl G. J reskog & Dag S rbom The following lines were read from file C:\DATA\SK\mult\03augu8.LS8: TABELL 1, RAYKOV-MARCOULIDES, MED LISREL DA NI=8 NO=250 LA ABILITY1 ABILITY2 ABILITY3 MOTIVN1 MOTIVN2 MOTIVN3 ASPIRN1 ASPIRN2 CM MO NX=8 NK=3 LX=FU,FI TD=DI,FREE PH=SY,FREE LK ABILITY MOTIVATN ASPIRATN VA 1.00 PH(1,1) PH(2,2) PH(3,3) FREE LX(1,1) LX(2,1) LX(3,1) FREE LX(4,2) LX(5,2) LX(6,2) LX(7,3) LX(8,3) PATH DIAGRAM OU ND=4 MI TABELL 1, RAYKOV-MARCOULIDES, MED LISREL Number of Input Variables 8 Number of Y - Variables 0 Number of X - Variables 8 Number of ETA - Variables 0 Number of KSI - Variables 3 Number of Observations 250 TABELL 1, RAYKOV-MARCOULIDES, MED LISREL Covariance Matrix ABILITY1 ABILITY2 ABILITY3 MOTIVN1 MOTIVN2 MOTIVN ABILITY ABILITY ABILITY MOTIVN MOTIVN MOTIVN ASPIRN ASPIRN Covariance Matrix ASPIRN1 ASPIRN

17 ASPIRN ASPIRN TABELL 1, RAYKOV-MARCOULIDES, MED LISREL Parameter Specifications LAMBDA-X ABILITY MOTIVATN ASPIRATN ABILITY ABILITY ABILITY MOTIVN MOTIVN MOTIVN ASPIRN ASPIRN PHI ABILITY MOTIVATN ASPIRATN ABILITY 0 MOTIVATN 9 0 ASPIRATN THETA-DELTA ABILITY1 ABILITY2 ABILITY3 MOTIVN1 MOTIVN2 MOTIVN THETA-DELTA ASPIRN1 ASPIRN TABELL 1, RAYKOV-MARCOULIDES, MED LISREL Number of Iterations = 5 LISREL Estimates (Maximum Likelihood) LAMBDA-X ABILITY MOTIVATN ASPIRATN ABILITY (0.0388) ABILITY (0.0425) ABILITY (0.0387)

18 MOTIVN (0.0451) MOTIVN (0.0486) MOTIVN (0.0462) ASPIRN (0.0489) ASPIRN (0.0506) PHI ABILITY MOTIVATN ASPIRATN ABILITY MOTIVATN (0.0545) ASPIRATN (0.0735) (0.0541) THETA-DELTA ABILITY1 ABILITY2 ABILITY3 MOTIVN1 MOTIVN2 MOTIVN (0.0228) (0.0273) (0.0227) (0.0322) (0.0368) (0.0330) THETA-DELTA ASPIRN1 ASPIRN (0.0397) (0.0424) Squared Multiple Correlations for X - Variables ABILITY1 ABILITY2 ABILITY3 MOTIVN1 MOTIVN2 MOTIVN Squared Multiple Correlations for X - Variables ASPIRN1 ASPIRN

19 Goodness of Fit Statistics Degrees of Freedom = 17 Minimum Fit Function Chi-Square = (P = ) Normal Theory Weighted Least Squares Chi-Square = (P = ) Estimated Non-centrality Parameter (NCP) = Percent Confidence Interval for NCP = (0.0 ; ) Minimum Fit Function Value = Population Discrepancy Function Value (F0) = Percent Confidence Interval for F0 = (0.0 ; ) Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA) = Percent Confidence Interval for RMSEA = (0.0 ; ) P-Value for Test of Close Fit (RMSEA < 0.05) = Expected Cross-Validation Index (ECVI) = Percent Confidence Interval for ECVI = ( ; ) ECVI for Saturated Model = ECVI for Independence Model = Chi-Square for Independence Model with 28 Degrees of Freedom = Independence AIC = Model AIC = Saturated AIC = Independence CAIC = Model CAIC = Saturated CAIC = Normed Fit Index (NFI) = Non-Normed Fit Index (NNFI) = Parsimony Normed Fit Index (PNFI) = Comparative Fit Index (CFI) = Incremental Fit Index (IFI) = Relative Fit Index (RFI) = Critical N (CN) = Root Mean Square Residual (RMR) = Standardized RMR = Goodness of Fit Index (GFI) = Adjusted Goodness of Fit Index (AGFI) = Parsimony Goodness of Fit Index (PGFI) = TABELL 1, RAYKOV-MARCOULIDES, MED LISREL Modification Indices and Expected Change Modification Indices for LAMBDA-X ABILITY MOTIVATN ASPIRATN ABILITY ABILITY ABILITY MOTIVN MOTIVN MOTIVN ASPIRN ASPIRN

20 Expected Change for LAMBDA-X ABILITY MOTIVATN ASPIRATN ABILITY ABILITY ABILITY MOTIVN MOTIVN MOTIVN ASPIRN ASPIRN No Non-Zero Modification Indices for PHI Modification Indices for THETA-DELTA ABILITY1 ABILITY2 ABILITY3 MOTIVN1 MOTIVN2 MOTIVN ABILITY1 - - ABILITY ABILITY MOTIVN MOTIVN MOTIVN ASPIRN ASPIRN Modification Indices for THETA-DELTA ASPIRN1 ASPIRN ASPIRN1 - - ASPIRN Expected Change for THETA-DELTA ABILITY1 ABILITY2 ABILITY3 MOTIVN1 MOTIVN2 MOTIVN ABILITY1 - - ABILITY ABILITY MOTIVN MOTIVN MOTIVN ASPIRN ASPIRN Expected Change for THETA-DELTA ASPIRN1 ASPIRN ASPIRN1 - - ASPIRN Maximum Modification Index is 7.48 for Element ( 7, 6) of THETA-DELTA

21 Svar till skrivning i multivariata metoder.den 30 augusti 2003: ) a) B*A är inte definerad; A*B = b) Egenvärden är 18 och 6. Egenvektorer är respektivive ) Medelvärdesvektorn blir 5.8, kovariansmatrisen och korrelationsmatrisen , T=(n-1)S= ) Bivariat eller tvådimensionellt normalfördelad med väntevärdesvektor 6 och kovariansmatris ; bivariat eller tvådimensionellt normalfördelad med väntevärdesvektor 2 och kovariansmatris 3 10 ; X 1 är N(5, 6 ) och X 2 är N(2, 10 ). 10 4)a) 9, respektive 46 och b) ˆμ är N(, Σ ( + + )) =N(, Σ 0.15) c) W = ( ni 1) Si = , B= ni( xi x)( xi x) = nixixi ( nixi)( nix i ) = i= 1 n i= 1 i= och slutligen T=B+W=

22 5) H 0 : P 12 =0 förkastas ty P<0.001 i testen. Det finns 2 signifikanta kanoniska korrelationskoefficienter, R 1 * = och R 2 * = Dessa två förklarar 55.9% respektive 14.2% av variationen i R 12. Tillhörande kanoniska variabelpar har koefficienter a 1 =(0.979, 1.496), b 1 =(0.271, , 0.053, ) respektive a 2 =(-4.842, 5.259), b 2 =(0.066, 0.048, 0.016, ). Motsvarande standardiserade storheter blir a 1 =(0.433, 0.596), b 1 =(0.913, , 0.537, ) respektive a 2 =(-2.139, 2.010), b 2 =(0.233, 0.589, 0.163, ). Vi ser också att de kanoniska variablernas korrelationer med respektive X- och Y-variabler är (0.962, 0.980), (0.689, , , )och (-0.279, 0.198), (-0.013, 0.222, 0.206, ). Så en enkel tolkning av den standardiserade U 1 är att den är approximativt lika med summan av X 1 och X 2, dvs. lönenivå, medan en enkel tolkning av den standardiserade U 2 är att den är approximativt lika med differensen mellan X 2 och X 1, dvs. lönehöjning. Vi ser också att den standardiserade V 1 har positivt tecken för Y 1 och Y 3 men negativt tecken för Y 2 dvs. lönenivån beror positivt av utbildning och erfarenhet men negativt av åldern. Medan den standardiserade V 2 har positivt tecken för Y 2 men negativt tecken för Y 4, dvs. lönehöjning beror positivt av åldern men negativt av en högre ställning. 6) H 0 : 1 = 2 förkastas ty P<0.001 i alla 4 multivariata testen. Univariat finner vi att P= för Y 1 =EDUC, P= för Y 2 =AGE och P= för Y 3 =EXPER. Så det finns signifikant skillnad mellan män och kvinnor, men endast i erfarenhet. Skillnaden utgörs av att männen har större erfarenhet än kvinnorna, 13.5 respektive ) Scree-plott ger att lämpligt antal faktorer är tre. Dock ger egenvärdeskriteriet två faktorer, men med två faktorer blir den roterade lösningen svår att tolka. Vi ser också att H 0 : 3 faktorer räcker har P-värde De roterade faktorladdningarna för trefaktorlösningen är , dvs. den 1:a faktorn definieras av X 1 -X 3,. medan den 2:a faktorn definieras av X 4 - X 6 och 3:e faktorn av X 7 och X 8. Så här har vi ett exempel på simple structure. Kommunaliterna blir 0.61, 0.67, 0.61, 0.47, 0.57, 0.55, 0.49 respektive 1.00, dvs. högst för X 1 -X 3, mer måttliga för X 4 -X 7 och väl högt för X 8.

23 8) a) Se diagram i läroboken! b) y 1 = λ 11 η 1 + ε 1 y 2 = λ 21 η 1 + ε 2 y 3 = λ 31 η 1 + ε 3 y 4 = λ 42 η 2 + ε 4 y 5 = λ 52 η 2 + ε 5 y 6 = λ 62 η 2 + ε 6 y 7 = λ 73 η 3 + ε 7 y 8 = λ 83 η 3 + ε 8 c) Antalet element i S=p*(p+1)/2=8*9/2=36 och antalet parametrar = antal faktorladdningar + antal specifika varianser + antal faktorkorrelationer = = 19 så antalet fg = = 17 d) Chitvå = med 17 frihetsgrader, vilket ger P = 0.335, så hypotesen förkastas inte på 5 %-nivån. Även andra anpassningsmått såsom RMSEA, NFI och GFI är hyfsade enligt de vanliga tumreglerna i boken. Vi ser att det största modifikationsindexet är 7.48 ( för TD(7,6) ), vilket inte är så stort.