TVÄRSNITTSDATA (CROSS-SECTIONAL DATA)
|
|
- Ove Mattsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 1 / 44 TVÄRSNITTSDATA (CROSS-SECTIONAL DATA) En mätning per individ/subjekt (blodtryck för individ i) Mätningen kan vara fler-dimensionell (blodtryck och kroppstemperatur för individ i) De olika mätvariablerna (blocktryck och temp) kan vara beroende/korrelerade Ingen tidsdimension Kan jämföra olika delpopulationer som råkar ha skilda åldrar, men ingen info om hur en given individ utvecklas över tiden Mellan-individ effekter, men inga inom-individ effekter Oparat t-test Vanlig modell: regression MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 3 / 44 MOMENTETS INNEHÅLL Introduktion till longitudinella data Modeller för väntevärdesprofiler Modeller för kovariansmatriser Modeller med fixed och random effects R-paket för analys av longitudinella data MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA / 44 EXEMPEL LUNGFUNKTION MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 4 / 44
2 TIDSSERIEDATA En mätvariabel som observeras över tid Oftast många mätningar över tiden (lång tidsserie med > 100 observationer) Beroende mellan mätningar vid olika tidpunkter Starkast beroende mellan närliggande tidpunkter Mätvariabeln kan vara fler-dimensionell Vanlig modell: ARIMA eller state-space modeller MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 5 / 44 LONGITUDINELLA DATA Samma individer observeras vid flera olika tidpunkter Ger information om en individs förändring över tiden Tänk parat t-test Kombo av tvärsnitts- och tidsseriedata Ofta få mätningar per individ (5-0 st) Longitudinella data är i princip korta tidsserier, men har egna modeller och metoder Mätningar mellan olika individer antas ofta vara oberoende Mätningarna för en individ tenderar att vara beroende Autokorrelation MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 7 / 44 EXEMPEL LUNGFUNKTION MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 6 / 44 EXEMPEL LUNGFUNKTION MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 8 / 44
3 VARFÖR ÄR DEN LONGITUDINELLA ASPEKTEN VIKTIG? MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 9 / 44 VARFÖR ÄR DEN LONGITUDINELLA ASPEKTEN VIKTIG? MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 11 / 44 VARFÖR ÄR DEN LONGITUDINELLA ASPEKTEN VIKTIG? MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 10 / 44 LONGITUDINELLA DATA, FORTS Egenskaper för autokorrelation i longitudinella data: Positiv Minskar med tidsavståndet mellan två observationer Korrelation mellan mycket långa tidsavstånd är ofta skild från noll Korrelation mellan mycket korta tidsavstånd är sällan nära ett Vanligt med missing data: Saknade mättillfällen Drop-outs Överlevare Besläktade datatyper: hierarkiska data (skolor med skolklasser med elever) spatiala (rumsliga) data (huspriser i olika städer, miljödata) tempo-spatiala data (månatliga mätningar av huspriser i olika städer) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 1 / 44
4 HUR MAN ORGANISERAR LONGITUDINELLA DATA fev <- readtable("/data/lungfunctiongrowthdat", header = TRUE) fev[1:18, ] ID Height Age InitialHeight InitialAge LogFEV MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 13 / 44 BLYMÄNGDER HOS SMÅ BARN - BEHANDLINGSGRUPP MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 15 / 44 BLYMÄNGDER HOS SMÅ BARN - KONTROLLGRUPP MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 14 / 44 LONGITUDINELLA DATA ÄR MULTIVARIATA DATA Yi ni 1 = Yi1 Yi, i = 1,,, N Yini Kan modelleras med multivariate normalfördelning, och multivariat regression Blymängder, kontrollgrupp: Corr(Y ) = MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 16 / 44
5 LONGITUDINELLA DATA ÄR MULTIVARIATA DATA MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 17 / 44 AUTOKORRELERADE MÄTNINGAR ÄR BRA Intresse: förändringen mellan två tidpunkter θ = µ µ1 Modell för tidpunkt 1 och Y1 N(µ1, σ 1 ) Y N(µ, σ ) Notera: E (Y Y1) = µ µ1 Var(Y Y1) = σ 1 + σ ρ1σ1σ Estimator av förändringen mellan tidpunkterna: ˆθ = 1 N N (Yi Yi1) i=1 Samplingvarians för ˆθ Var( ˆθ) = σ 1 + σ ρ 1σ1σ N MATTIAS vilken VILLANI är (STATISTIK, liten vid LIU) stark positiv LONGITUDINELLA (auto)korrelation DATA 19 / 44 PROBLEM MED DIREKT MULTIVARIAT ANALYS Cov(Y ) innehåller T (T + 1)/ fria parametrar, dvs många parametrar när T är stort Missing data och drop-outs Y1 = Y11 Y1 Y13 Y14, Y = Y1 NA NA NA, Y3 = Y31 Y3 NA Y34 Olika individer kan observeras vid olika tidpunkter MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 18 / 44 MODELL FÖR VÄNTEVÄRDESPROFILER Väntevärdesprofilen, mean response profile, över tiden för individ i: E (Yij) = β0 + β1 tij + β t ij, i = 1,, N och j = 1,, ni Andra parametriska kurvor går också bra, t ex splines Vi kan även ha en annan förklarande variabel X1som är konstant över tiden (tidsinvariant): E (Yij Xi ) = β0 + β1 tij + β t ij + β3 Xi,1 Och vi kan ha en förklarande variabel som varierar över tid (tidsvariant) E (Yij Xi ) = β0 + β1 tij + β t ij + β3 Xi,1 + β4 Xij, MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 0 / 44
6 HUR MAN ORGANISERAR LONGITUDINELLA DATA fev <- readtable("/data/lungfunctiongrowthdat", header = TRUE) fev[1:18, ] ID Height Age InitialHeight InitialAge LogFEV MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 1 / 44 VÄNTEVÄRDESPROFILER MED TVÅ GRUPPER Kontrollgruppens väntevärdesprofil E (yij xi ) = β0 + β1 t + β t Behandlingsgruppens väntevärdesprofil: E (yij xi ) = (β0 + β3) + (β1 + β4) t + (β + β5) t Testa om behandlingen har någon som helst effekt: H0: β3 = β4 = β5 = 0 Vanligt F-test MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 3 / 44 MODELLER FÖR VÄNTEVÄRDESPROFILER, FORTS Vi kan skriva modellen in matrisform för Yi = (Yi1, Yi,, Yin) E (Yi Xi ) = µi = Xi β Exempel: för modellen E (yij x) = β0 + β1 t + β t + β3 x1,i + β4 x,ij har vi Xi = 1 ti1 t i1 x1,i x,i1 1 ti t i x1,i x,i1 1 tini t ini x1,i x,ini Notera: multivariat regression (multivariat respons) = Multipel regression (en respons, flera förklarande variabler) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA / 44 VÄNTEVÄRDESPROFILER MED TVÅ GRUPPER, FORTS Datamatris Första personen kontroll, andra personen behandlad 1 t11 t t1 t Xi = 1 t1n1 t i1n t1 t 1 1 t1 t 1 1 t t 1 t t 1 tn t 1 n tn t n MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 4 / 44
7 VÄNTEVÄRDESPROFILER MED TVÅ GRUPPER, FORTS R sätter upp Xi åt oss utifrån följande datamatris 1 Y11 t11 T 1 Y1 t1 T Data = 1 Y1n1 t1n1 T Y1 t1 C Y t C Yn tn C där den första kolumnen indikerar individ och sista kolumnen är en faktor-variabel som indikerar behandling (T) eller kontroll (C) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 5 / 44 FUNKTIONEN GLS I R-PAKETET NLME - ALLMÄN # Fitting quadratic mean response profiles with GLS model using different # covariance structures Child lead data - GLS library(nlme) # Reading data from file leaddata <- readtable("/data/leaddatapp") # General symmetric covariance structure modelsym <- gls(lead ~ 1 + time * group + I(time^) * group, data = leaddata, correlation = corsymm(form = ~1 id)) summary(modelsym) Generalized least squares fit by REML Model: lead ~ 1 + time * group + I(time^) * group Data: leaddata AIC BIC loglik Correlation Structure: General Formula: ~1 id Parameter estimate(s): Correlation: Coefficients: Value StdError t-value p-value (Intercept) time groupp MATTIAS I(time^) VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 7 / 44 time:groupp groupp:i(time^) ESTIMATION Modell Yi ni 1 = Xi ni p β p 1 + ɛi ni 1 där ɛi iid N(0, R i ) Antag att Ri är kända Generalized Least Squares (GLS) ˆβ = [ N i=1 X i R i 1 Xi ] 1 N i=1 (X i R i 1 yi ) Notera: att ni kan variera över individerna X i R 1 i Xi är alltid en p p matris ocjh X i R 1 i yi är en p dimensional vektor När Ri är okänd kan den ersättas med en skattning Fortfarande konsistent skattning av β Vi kan faktiskt sätta Ri = σ I och ändå få konsistenta skattningar Men standardfelen för ˆβ blir inte rätt Sandwich MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 6 / 44 FUNKTIONEN GLS I R-PAKETET NLME - EQUI # Fitting quadratic mean response profiles with GLS model using different # covariance structures Child lead data - GLS library(nlme) # Reading data from file leaddata <- readtable("/data/leaddatapp") # General symmetric covariance structure modelsym <- gls(lead ~ 1 + time * group + I(time^) * group, data = leaddata, correlation = corcompsymm(form = ~1 id)) summary(modelsym) Generalized least squares fit by REML Model: lead ~ 1 + time * group + I(time^) * group Data: leaddata AIC BIC loglik Correlation Structure: Compound symmetry Formula: ~1 id Parameter estimate(s): Rho Coefficients: Value StdError t-value p-value (Intercept) time groupp I(time^) time:groupp groupp:i(time^) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 8 / 44 Correlation: (Intr) time groupp I(t^) tm:grp
8 FUNKTIONEN GLS I R-PAKETET NLME - AR1 # Fitting quadratic mean response profiles with GLS model using different # covariance structures Child lead data - GLS library(nlme) # Reading data from file leaddata <- readtable("/data/leaddatapp") # General symmetric covariance structure modelsym <- gls(lead ~ 1 + time * group + I(time^) * group, data = leaddata, correlation = corar1(form = ~1 id)) summary(modelsym) Generalized least squares fit by REML Model: lead ~ 1 + time * group + I(time^) * group Data: leaddata AIC BIC loglik Correlation Structure: AR(1) Formula: ~1 id Parameter estimate(s): Phi Coefficients: Value StdError t-value p-value (Intercept) time groupp I(time^) time:groupp groupp:i(time^) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 9 / 44 Correlation: (Intr) time groupp I(t^) tm:grp time groupp I(time^) time:groupp groupp:i(time^) BLYMÄNGDER HOS SMÅ BARN - KONTROLLGRUPP Standardized residuals: Min Q1 Med Q3 Max Residual standard error: 6886 Degrees of freedom: 400 total; 394 residual MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 31 / 44 BLYMÄNGDER - FITTED VALUES FRÅN GLS EQUICORR MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 30 / 44 BLYMÄNGDER HOS SMÅ BARN - BEHANDLINGSGRUPP MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 3 / 44
9 MODELLER FÖR KOVARIANSMATRISEN Ri = σ i I n Oberoende observationer med olika varians för varje individ Specialfall: σi = σ för alla i Equikorrelationsmodell R = σ 1 ρσ1σ ρσ1σn σ ρσ1σ ρσσn ρσ1σn ρσσn σ n med korrelationsmatris P = 1 ρ ρ ρ 1 ρ ρ ρ 1 MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 33 / 44 VARIOGRAM Variogram beskriver det temporala beroendet för en stokastisk process med oregelbundna observationstider γ(u) = 1 E {[Y (t) Y (t u)] }, u 0 Om processen är stationär gäller följande relation mellan variogram och autokorrelationsfunktion γ(u) = σ [1 ρ(u)], där σ är variansen för Y (t) Sample variogram anpassar en mjuk kurva genom punkterna vijk = 1 (e ij eik) där eij är residualen vid tidpunkt tij och uijk = tij tik Funktionen Variogram i R-paketet nlme beräknar variogrammet på gls-objekt och lme-objekt MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 35 / 44 MODELLER FÖR KOVARIANSMATRISEN, FORTS Autoregressiv struktur P = ρ 1 1 ρ n 1 ρ 1 ρ n 1 ρ n 1 ρ n 1 där autokorrelationen avtar med tidsavståndet, t ex Corr(Yi1, Yi4) = ρ 3 Autoregressiv struktur för data med olika tid mellan observationstillfällen: Corr(Yij, Yik) = ρ t ij t ik MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 34 / 44 FIXED EFFECTS OCH RANDOM EFFECTS Den vanliga linjära modellen (Fixed effects) Yij = β0 + β1xij + ɛij Random intercept model: Yij = (β0 + bi ) + β1xij + ɛij där bi N(0, σ b ) är den individ-specifika delen av interceptet Slumpmässigt Marginell väntevärdesprofil E (Yij Xij) = β0 + β1xij Betingad väntevärdesprofil E (Yij Xij, bi ) = (β0 + bi ) + β1xij MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 36 / 44
10 KOVARIANSSTRUKTUR FRÅN RANDOM INTERCEPT Kovariansen för en random intercept modell är Cov(Yi ) = σ σ σ b σ b b σ b b σ b σ b σ b σ b + Ri Om Ri = σ In ger detta en ekvi-korrelationsmatris med korrelationskoefficienten ρ = σ b σ +σ b Ett slumpmässigt intercept ger varje individ dess eget intercept innebär: observationerna är oberoende kring den betingade väntevärdesprofilen (β0 + b i ) + β1x ij observationerna för en individ är beroende kring det marginella väntevärdet β0 + β1x ij Autokorrelation genom random intercept MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 37 / 44 VÄNTEVÄRDE OCH COVARIANS - GLMM Marginell väntevärdesprofil E (Yi Xij) = Xi β Betingad väntevärdesprofil E (Yi Xi, bi ) = Xi β + Zibi Kovariansmatris Σ 1 = Cov(Yi ) = ZiGZ i + Ri Notera 1: Cov(Yi ) visar tydligt att variationen i data kan delas upp i mellan-individsvariation (Z i GZ i ) och inom-individsvariation (R i ) Notera : varianser och kovarianser för Yi kan nu bero på förklarande variabler (Zi) Linjär tidstrend i Zi ger kvadratisk tidstrend i variansen Notera 3: variablerna i Zi bör även ingå i Xi Notera 4: Ri kan parametriseras som tidigare, t ex via equi-korrelationmatris eller autoregressive struktur MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 39 / 44 FIXED EFFECTS OCH RANDOM EFFECTS Random slope Yij = (β0 + b0i ) + (β1 + b1i )Xij + ɛij där (b0i, b1i ) N(0, D) är den individ-specifika delen Slumpmässigt General Linear Mixed Model (GLMM) Yi = Xi β + Zibi + ɛi bi iid N q(0, D) εi iid N p(0, Ri ) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 38 / 44 KRYMPNING - LÅNA STYRKA GLMM modellen: Yi = Xi β + Zibi + ɛi Responsprofilen för den ite individen är Ŷi = Wi (Xi ˆβ) + (I Wi ) Yi där ˆβ är GLS skattning på populationsnivå och viktmatrisen Wi är Wi p p = ˆRi (ZiĜZ i + ˆRi ) 1 Intuition: Ŷi = Vikt Populationsprofil + (1-Vikt) Observerad profil Variation inom individ Vikt = Variation mellan individer + Variation inom individ Individer med svaga observationer (stort Ri) lånar styrka från populationen MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 40 / 44
11 MODELLVAL Hur väljer man bland modeller? vilken modell för vänteväntevärdesprofilen? vilken struktur på kovariansmatrisen? Fixed eller random effects? Vilka förklarande variabler? etc etc Strategi: välj den modell som minimerar ett informationskriterium AIC: MaxLogLik + (#antal parametrar i modellen) BIC MaxLogLik + ln N (#antal parametrar i modellen) där MaxLogLik är log-likelihoodfunktionens maximum (ln L( ˆθ)) MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 41 / 44 EXEMPEL - LONGITUDINELL ANALYS MED NLME # installpackages('nlme') # install package uncomment if not installed library(nlme) # load package fev <- readtable("/data/lungfunctiongrowthdat", header = TRUE) modelrandomslopear1 <- lme(fixed = LogFEV1 ~ 1 + Age + log(height) + InitialAge + log(initialheight), random = ~1 + Age ID, data = fev, correlation = corar1()) summary(modelrandomslopear1) Linear mixed-effects model fit by REML Data: fev AIC BIC loglik Random effects: Formula: ~1 + Age ID Structure: General positive-definite, Log-Cholesky parametrization StdDev Corr (Intercept) (Intr) Age Residual Correlation Structure: AR(1) Formula: ~1 ID Parameter estimate(s): Phi Fixed effects: LogFEV1 ~ 1 + Age + log(height) + InitialAge + log(initialheight) Value StdError DF t-value p-value (Intercept) Age log(height) InitialAge log(initialheight) MATTIAS Correlation: VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 43 / 44 (Intr) Age lg(hg) IntlAg Age 0041 LONGITUDINELL ANALYS I R Flera paket att välja på, framförallt: nlme och lme4 nlme kan skatta linear mixed models med normalfördelade störningar (ɛ) och normalfördelade random effects (bi) Många options, t ex olika strukturer på Ri = Cov(ɛij) och D = Cov(bi ) T o m heteroscedastiska modeller för variansen är möjliga lme4 liknar nlme, men har inte lika många kovarianstrukturer att välja på Men lme4 kan skatta linear mixed models för data där responsen t ex är räknedata eller binär lme4 kan alltså skatta en logistisk regression med fixed och random effects SAS har PROC MIXED Se Lindas föreläsningar om hierarkiska data MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 4 / 44 BLYMÄNGD - RANDOM INTERCEPT MODELL # installpackages('nlme') # install package uncomment if not installed library(nlme) # load package leaddata <- readtable("/data/leaddatapp") # Fitting a random intercept model modelrandomintercept <- lme(fixed = lead ~ 1 + time * group + I(time^) * group, random = ~1 id, data = leaddata, correlation = NULL) modelrandomintercept$coef$fixed (Intercept) time groupp I(time^) time:groupp groupp:i(time^) var(modelrandomintercept$coef$random[[1]]) (Intercept) (Intercept) 1997 MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 44 / 44
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) LONGITUDINELLA DATA 1 / 44 MOMENTETS
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 9 December Linda Wänström (Linköpings universitet) LONGITUDINELLA DATA 9 December 1 / 43 Longitudinella data
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA HIERARKISKA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 25 November Wänström (Linköpings universitet) HIERARKISKA DATA 25 November 1 / 53 Regressionsmodell för icke-hierarkiska
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Linda Wänström Linköpings universitet Linda Wänström (Linköpings universitet) LONGITUDINELLA DATA 1 / 56 Longitudinella data Tvärsnittsdata Flera
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 12 December Linda Wänström (Linköpings universitet) LONGITUDINELLA DATA 12 December 1 / 12 Explorativ Faktoranalys
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs merStokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012
Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 22 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig
Läs merBayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp
Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp Moment 2 - Linjär regressionsanalys Bertil Wegmann STIMA, IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 1 / 29 Översikt moment 2: linjär
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Linda Wänström Linköpings universitet Linda Wänström (Linköpings universitet) LONGITUDINELLA DATA 1 / 66 Longitudinella data Tvärsnittsdata Flera
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA HIERARKISKA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 14-15 November Wänström (Linköpings universitet) HIERARKISKA DATA 14-15 November 1 / 59 Hierarkiska data Hierarkiska
Läs merEn rät linje ett enkelt samband. En rät linje + slumpbrus. Observationspar (X i,y i ) MSG Staffan Nilsson, Chalmers 1.
En rät linje ett enkelt samband Y β 1 Lutning (slope) β 0 Skärning (intercept) 1 Y= β 0 + β 1 X X En rät linje + slumpbrus Y Y= β 0 + β 1 X + brus brus ~ N(0,σ) X Observationspar (X i,y i ) Y Ökar/minskar
Läs merKossor, tallsteklar och sockerärter Statistik vid Sveriges Lantbruksuniversitet
Kossor, tallsteklar och sockerärter Statistik vid Sveriges Lantbruksuniversitet Mikael Andersson Franko Universitetslektor i matematisk statistik Enheten för tillämpad statistik och matematik SLU i hela
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2017-08-15 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merStokastiska processer med diskret tid
Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna
Läs merAnvändning. Fixed & Random. Centrering. Multilevel Modeling (MLM) Var sak på sin nivå
Användning Multilevel Modeling (MLM) Var sak på sin nivå Kimmo Sorjonen Sektionen för Psykologi Karolinska Institutet Kärt barn har många namn: (1) Random coefficient models; () Mixed effect models; (3)
Läs merTRE TYPER AV SPATIALA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 1 / 21 TRE TYPER AV SPATIALA
Läs merFinansiell statistik. Multipel regression. 4 maj 2011
Finansiell statistik Föreläsning 4 Multipel regression Jörgen Säve-Söderbergh 4 maj 2011 Samband mellan variabler Vi människor misstänker ofta att det finns många variabler som påverkar den variabel vi
Läs merFöreläsning 12: Linjär regression
Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera
Läs mer2. Lära sig skatta en multipel linjär regressionsmodell samt plotta variablerna. 4. Lära sig skatta en linjär regressionsmodell med interaktionstermer
Datorövning 2 Regressions- och tidsserieanalys Syfte 1. Lära sig skapa en korrelationsmatris 2. Lära sig skatta en multipel linjär regressionsmodell samt plotta variablerna mot varandra 3. Lära sig beräkna
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 4. Bertil Wegmann. November 11, IDA, Linköpings universitet
732G71 Statistik B Föreläsning 4 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet November 11, 2016 Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B November 11, 2016 1 / 34 Kap. 5.1, korrelationsmatris En korrelationsmatris
Läs merSkrivning i ekonometri lördagen den 25 augusti 2007
LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL STA10:3 Skrivning i ekonometri lördagen den 5 augusti 007 1. Vi vill undersöka hur variationen i ölförsäljningen i ett bryggeri i en stad i USA
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F7
Regressions- och Tidsserieanalys - F7 Tidsserieregression, kap 6.1-6.4 Linda Wänström Linköpings universitet November 25 Wänström (Linköpings universitet) F7 November 25 1 / 28 Tidsserieregressionsanalys
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2017-06-01 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-05-31 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merStokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 1 / 28 MOMENTETS INNEHÅLL
Läs merAnvändning. Fixed & Random. Centrering. Multilevel Modeling (MLM) Var sak på sin nivå
Användning Multilevel Modeling (MLM) Var sak på sin nivå Kimmo Sorjonen Sektionen för Psykologi Karolinska Institutet Kärt barn har många namn: (1) Random coefficient models; (2) Mixed effect models; (3)
Läs merStatistisk analys av komplexa data
Statistisk analys av komplexa data Trunkerade data och Tobitregression Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 10, 2015 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Trunkerade data
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-10-12 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs mer1. Lära sig plotta en beroende variabel mot en oberoende variabel. 2. Lära sig skatta en enkel linjär regressionsmodell
Datorövning 1 Regressions- och tidsserieanalys Syfte 1. Lära sig plotta en beroende variabel mot en oberoende variabel 2. Lära sig skatta en enkel linjär regressionsmodell 3. Lära sig beräkna en skattning
Läs merVi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ.
P-värde P=probability Sannolikhetsvärde som är resultat av en statistisk test. Anger sannolikheten för att göra den observation vi har gjort eller ett sämre / mer extremt utfall om H 0 är sann. Vi har
Läs mer4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler
Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Stokastiskavariabler Stokastisk variabel (eng: random variable) En variabel vars värde
Läs merGrundläggande Statistik och Försöksplanering Provmoment: TEN1 & TEN2 Ladokkod: TT2311 Tentamen ges för: Bt2, En2, Bt4, En4.
Grundläggande Statistik och Försöksplanering Provmoment: TEN1 & TEN2 Ladokkod: TT2311 Tentamen ges för: Bt2, En2, Bt4, En4 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student)
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 augusti 2008 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus
Läs mer3 Maximum Likelihoodestimering
Lund Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 Parameterestimation och linjär tidsserieanalys Denna laborationen ger en introduktion till
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 7. Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 29
732G71 Statistik B Föreläsning 7 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 29 Detaljhandelns försäljning (fasta priser, kalenderkorrigerat) Bertil Wegmann
Läs merStokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
Läs merFormler och tabeller till kursen MSG830
Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merFöreläsning 7: Stokastiska vektorer
Föreläsning 7: Stokastiska vektorer Johan Thim johanthim@liuse oktober 8 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX = µ X, V X = σx, EY = µ Y samt V Y = σy Kovariansen CX, Y definieras
Läs mer7.5 Experiment with a single factor having more than two levels
7.5 Experiment with a single factor having more than two levels Exempel: Antag att vi vill jämföra dragstyrkan i en syntetisk fiber som blandats ut med bomull. Man vet att inblandningen påverkar dragstyrkan
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 14
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska
Läs mer1/23 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet
1/23 REGRESSIONSANALYS F4 Linda Wänström Statistiska institutionen, Stockholms universitet 2/23 Multipel regressionsanalys Multipel regressionsanalys kan ses som en utvidgning av enkel linjär regressionsanalys.
Läs mer10.1 Enkel linjär regression
Exempel: Hur mycket dragkraft behövs för att en halvledare skall lossna från sin sockel vid olika längder på halvledarens ben. De halvledare vi betraktar är av samma storlek (bortsett benlängden). 70 Scatterplot
Läs merKurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version
Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 5 June 217, 14:-18: Examiner: Zhenxia Liu (Tel: 7 89528). Please answer in ENGLISH if you can. a. You are allowed to use a calculator, the formula and
Läs merInstuderingsfrågor till avsnittet om statistik, kursen Statistik och Metod, Psykologprogrammet på KI, T8
1 Instuderingsfrågor till avsnittet om statistik, kursen Statistik och Metod, Psykologprogrammet på KI, T8 Dessa instuderingsfrågor är främst tänkta att stämma överens med innehållet i föreläsningarna,
Läs merHärledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen
Härledning av Black-Littermans formel mha allmänna linjära modellen Ett sätt att få fram Black-Littermans formel är att formulera problemet att hitta lämpliga justerade avkastningar som ett skattningsproblem
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merF13 Regression och problemlösning
1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merFöreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar
Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merLUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL. Skrivning i ekonometri onsdagen den 1 juni 2011
LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL STAB2 Skrivning i ekonometri onsdagen den 1 juni 211 1. Vi vill undersöka hur variationen i försäljningspriset för ett hus (i en liten stad i USA
Läs merFöreläsning 13: Multipel Regression
Föreläsning 13: Multipel Regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 9, 2017 Enkel linjär regression Vi har gjort mätningar av en responsvariabel Y för fixerade värden på
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE30 Sannolikhet, statistik och risk 207-08-5 kl. 8:30-3:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 03-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merTentamen MVE302 Sannolikhet och statistik
Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik 2019-06-05 kl. 8:30-12:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Oskar Allerbo, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x
Läs merJesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik för STS vt 2014
Föreläsning 11. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik för STS vt 2014 Old Faithful Old Faithful Eruption times 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE31 Sannolikhet, statistik och risk 218-5-31 kl. 8:3-13:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent
Läs merTentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.
Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, HT2013 2014-02-07 Skrivtid: 13.00-18.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F1
Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Kap 3: Enkel linjär regression Linda Wänström Linköpings universitet November 4, 2013 Wänström (Linköpings universitet) F1 November 4, 2013 1 / 25 Statistik B, 8 hp
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F1
Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Kap 3: Enkel linjär regression Linda Wänström Linköpings universitet May 4, 2015 Wänström (Linköpings universitet) F1 May 4, 2015 1 / 25 Regressions- och tidsserieanalys,
Läs merFöreläsning 8. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 8 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Enkel linjär regression (kap 17.1 17.5) o Skatta regressionslinje (kap 17.2) o Signifikant lutning? (kap 17.3, 17.5a) o Förklaringsgrad
Läs merTRE TYPER AV SPATIALA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 1 / 28 TRE TYPER AV SPATIALA
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merPaneldata och instrumentvariabler/2sls
Extra anteckningar om paneldata; Paneldata och instrumentvariabler/2sls Oavsett REM, FEM eller poolad OLS så görs antagandet att Corr(x,u) = 0, dvs att vi har svagt exogena regressorer. Om detta inte gäller
Läs merPoolade data över tiden och över tvärsnittet. Oberoende poolade tvärsnittsdatamängder från olika tidpunkter.
PANELDATA Poolade data över tiden och över tvärsnittet Alternativ 1: Oberoende poolade tvärsnittsdatamängder från olika tidpunkter. Oberoende stickprov dragna från stora populationer vid olika tidpunkter.
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merMetod och teori. Statistik för naturvetare Umeå universitet
Statistik för naturvetare -6-8 Metod och teori Uppgift Uppgiften är att undersöka hur hjärtfrekvensen hos en person påverkas av dennes kroppstemperatur. Detta görs genom enkel linjär regression. Låt signifikansnivån
Läs merAutokorrelation och Durbin-Watson testet. Patrik Zetterberg. 17 december 2012
Föreläsning 6 Autokorrelation och Durbin-Watson testet Patrik Zetterberg 17 december 2012 1 / 14 Korrelation och autokorrelation På tidigare föreläsningar har vi analyserat korrelationer för stickprov
Läs merViktiga dimensioner vid val av test (och även val av deskriptiv statistik) Biostatistik II - Hypotesprövning i teori och praktik.
Viktiga dimensioner vid val av test (och även val av deskriptiv statistik) Biostatistik II - Hypotesprövning i teori och praktik Urvalsstorlek Mätnivå/skaltyp Fördelning av data Studiedesign Frida Eek
Läs merKapitel 22: KLUSTRADE SAMPEL OCH PANELDATA
Kapitel 22: KLUSTRADE SAMPEL OCH PANELDATA Statistiska tester bygger alltid på vissa antaganden. Är feltermen homoskedastisk? Är den normalfördelad? Dessa antaganden är faktiskt aldrig uppfyllda i praktiken,
Läs merTidsserier och Prognoser
Tidsserier och Prognoser Mattias Villani Sveriges Riksbank och Stockholms Universitet Stockholm, Oktober 2008 Mattias Villani () Tidsserier och Prognoser Stockholm, Oktober 2008 1 / 16 Översikt Tidsserier,
Läs merS0005M. Stokastiska variabler. Notes. Notes. Notes. Stokastisk variabel (slumpvariabel) (eng: random variable) Mykola Shykula
Mykola Shykula LTU Mykola Shykula (LTU) 1 / 18 Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Mykola Shykula (LTU) 2 / 18 Stokastiska
Läs merSkrivning i ekonometri lördagen den 29 mars 2008
LUNDS UNIVERSITET STATISTISKA INSTITUTIONEN MATS HAGNELL STAB, Ekonometri Skrivning i ekonometri lördagen den 9 mars 8.Vi vill undersöka hur variationen i antal arbetande timmar för gifta kvinnor i Michigan
Läs mer7.5 Experiment with a single factor having more than two levels
Exempel: Antag att vi vill jämföra dragstyrkan i en syntetisk fiber som blandats ut med bomull. Man vet att inblandningen påverkar dragstyrkan och att en inblandning mellan 10% och 40% är bra. För att
Läs merFöreläsning 7. Statistikens grunder.
Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merFör logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: (= exp(z)/(1+ exp(z))
Logitmodellen För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: F(z) = e z /(1 + e z ) (= exp(z)/(1+ exp(z)) Funktionen motsvarar den kumulativa fördelningsfunktionen för en standardiserad logistiskt
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F4
Regressions- och Tidsserieanalys - F4 Modellbygge och residualanalys. Kap 5.1-5.4 (t.o.m. halva s 257), ej C-statistic s 23. Linda Wänström Linköpings universitet Wänström (Linköpings universitet) F4 1
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA SPATIALA DATA Mattias Villani Statistik Institutionen för Datavetenskap Linköpings Universitet MATTIAS VILLANI (STATISTIK, LIU) SPATIALA DATA 1 / 36 MOMENTETS INNEHÅLL
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 7. Multipel regression. (LLL Kap 15) Multipel Regressionsmodellen
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 8) Föreläsning 7 Multipel regression (LLL Kap 5) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course,
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 27 oktober
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 27 oktober 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 7
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel
Läs mer1/31 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet
1/31 REGRESSIONSANALYS F1 Linda Wänström Statistiska institutionen, Stockholms universitet 2/31 Kap 4: Introduktion till regressionsanalys. Introduktion Regressionsanalys är en statistisk teknik för att
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk
Läs merHöftledsdysplasi hos dansk-svensk gårdshund
Höftledsdysplasi hos dansk-svensk gårdshund Sjö A Sjö B Förekomst av parasitdrabbad öring i olika sjöar Sjö C Jämföra medelvärden hos kopplade stickprov Tio elitlöpare springer samma sträcka i en för dem
Läs merFör logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: (= exp(z)/(1+ exp(z))
Logitmodellen För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: F(z) = e z /(1 + e z ) (= exp(z)/(1+ exp(z)) Funktionen motsvarar den kumulativa fördelningsfunktionen för en standardiserad logistiskt
Läs merNågot om val mellan olika metoder
Något om val mellan olika metoder Givet är en observerad tidsserie: y 1 y 2 y n Säsonger? Ja Nej Trend? Tidsserieregression Nej ARMA-modeller Enkel exponentiell utjämning Tidsserieregression ARIMA-modeller
Läs mer1. För tiden mellan två besök gäller. V(X i ) = 1 λ 2 = 25. X i Exp (λ) E(X i ) = 1 λ = 5s λ = 1 5
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tentamen: 29 7 kl 8 3 Matematikcentrum FMSF45 Matematisk statistik AK för D,I,Pi,F, 9 h Lunds universitet MASB3 Matematisk statistik AK för fysiker, 9 h. För tiden mellan
Läs merTentamen MVE302 Sannolikhet och statistik
Tentamen MVE32 Sannolikhet och statistik 219-6-5 kl. 8:3-12:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Oskar Allerbo, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merS0005M, Föreläsning 2
S0005M, Föreläsning 2 Mykola Shykula LTU Mykola Shykula (LTU) S0005M, Föreläsning 2 1 / 18 Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE31 Sannolikhet, statistik och risk 218-1-12 kl. 8:3-13:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 1, kap Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 20
732G71 Statistik B Föreläsning 1, kap. 3.1-3.7 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 20 Exempel, enkel linjär regressionsanalys Ett företag vill veta
Läs mer