Realistisk simulering och visualisering av uider

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Realistisk simulering och visualisering av uider"

Transkript

1 Realistisk simulering och visualisering av uider Linköpings Universitet 9-- ITN, VT9 TNM85 Modelleringsprojekt Mihai Aldén, Lam Chan, Marcus Olsson & Max Popescu &

2 Sammanfattning I dagens Hollywood-produktioner används ofta vattensimuleringar då det är svårt att hantera riktigt vatten under inspelning. Framförallt är det inte kontrollerbart. I många fall är det helt enkelt omöjligt att få vatten att uppföra sig som manus kräver. Under projektets gång har vi har lyckats göra en realistisk simulering av vatten med hjälp av Navier-Stokes-ekvationerna, level set-metoden, voxelklassiciering och implicita ytor för att denera uidvolymen. För att visualisera uidvolymens yta används en metod som heter Marching Cubes. Metoden triangulerar mellan uidvoxlar för att generera punkter som denerar de polygoner som bygger upp ytan. Sedan exporteras den geometriska ytan, för varje tidssteg i simulationen, till objekt ler (.obj) för vidare behandling i Autodesk D Studio Max.

3 Förord Detta är ett projekt i kursen TNM85 Modelleringsprojekt som pågått under sju veckor. Civilingenjörsprogrammet i Medieteknik, tredje året, Linköpings Universitet. Vi vill tacka Ola Nilsson (LiU Graphics Group) för utmärkt handledning, tålamod och en perfekt beskrivning av både Navier-Stokes ekvationerna och level set metoden i sin helhet.

4 Innehållsförteckning Inledning. Syfte Metod. Beteckningar Voxlar och voxelrymden Fluidvolymen Tidssteget Navier-Stokes-ekvationerna 4. Yttre krafter Advektion Diusion Projektion Dirichlet gränsvillkor Level set-metoder 4. Implicita ytor Logiska operatorer Advektion Utvidgning av hastighetsfältet Dissipation Implementering 4 5. Simuleringen Export Postproduktion Resultat 5 7 Diskussion 6 7. Förbättringar Litteraturförteckning 7 A Simuleringsprogrammet 8

5 Figurer. Voxlar och voxelrymden Illustration av advektionssteget Illustration av öde mellan voxlar Illustration av öde vid solida voxlar Innan applikation av Dirichlet gränsvillkor Applikation av Dirichlets gränsvillkor Explicit representation av en cirkel Implicit representation av en cirkel Logiska operatorer Simulering till lm Vatten i glastank A. DFluidSim

6 Kapitel Inledning Fluidsimuleringar är ett område som det har lagts mycket tid och energi på att förstå och visualisera på ett visuellt tillfredsställande sätt. Trots det nns det många problem som fortfarande saknar bra lösningar. I det här projektet undersöker vi de mest grundläggande koncepten för visualisering av uidsimuleringar och vilka problem som existerar. Att modellera vattenpartiklar för hand är i princip omöjligt pågrund av komplexiteten av ett vattenöde. Det behövs alltså en metod för att simulera vatten på ett trovärdigt och eektfullt sätt, som samtidigt är kontrollerbart till en väldigt hög grad.. Syfte Detta arbete ger en inblick i hur man representerar en verklighetstrogen vätska med hjälp av fysikaliska samband och modeller tillsammans med dagens visualiseringstekniker.

7 Kapitel Metod. Beteckningar I rapporten betecknas vektorer i fetstil, vektorfält med versaler och fetstil och skalärer med gemener.. Voxlar och voxelrymden För att kunna representera diskreta värden i tre dimensioner måste vi först deniera ett rum som vi kan använda i vår simulering. Ett tredimensionellt rutnät hjälper oss att diskretisera rummet genom att dela upp rummet i lika stora volymelement. Volymelementen kallar vi för voxlar och det hela diskretiserade rummet för voxelrymd, se gur.. DimY En voxel DimZ DimX y Voxelrymd z x Figur.: Voxlar och voxelrymden Beroende på hur vi denierar voxelrymden är det möjligt att ge voxlarna olika sidlängder. I vår simulering räknar vi på voxlar som kuber med sidlängden, ( x = y = z = ).

8 En högre voxelrymdsupplösning resulterar i en mer detaljerad simulering men det ökar även antalet beräkningar.. Fluidvolymen I vår voxelrymd denierar vi uidvolymen med level set-metoden (se kapitel ). Fluidvolymen deformeras och rör sig enligt hastighetsfältet V som beräknas vid diskreta tidpunkter t i voxelrymden med Navier-Stokes-ekvationer (se kapitel ). Hastighetsfältet uppdateras enligt följande steg, som förklaras i detalj i senare kapitel externa krafter advektion V V utvidgning av hastigheter V 5 V V t. diffusion V dirichlet villkor projektion V 4 V 4 dirichlet villkor.4 Tidssteget Många partiella dierentialekvationer (PDE) löses explicit i vår metod, därför är de inte stabila för alla tidssteg. På grund av detta måste vi räkna ut ett stabilt tidssteg t enligt Courant Friedrichs Lewy-villkoret (CFL). CFL säger att t ska vara tillräckligt liten för att den största föryttningen i hastighetsfältet ska vara mindre än sidlängden av en voxel, enligt ekvation (.). t = C x max V (.) där C är en konstant som skalar om CFL-tidssteget för att simulera mindre förändringar. I vår simulering har vi funnit att ett bra värde på C ligger mellan.5 och.7. t kommer att minska för stora hastigheter vilket resulterar i att vi inte missar små förändringar i hastighetsfältet.

9 Kapitel Navier-Stokes-ekvationerna Målet med vår simulering är att få en fysikaliskt korrekt modell av hur en uid rör sig och interagerar med andra solida objekt eller andra uider. Den allmänt vedertagna metoden för att simulera uider är med hjälp av Navier-Stokes-ekvationerna (.) som beskriver uidens hastighetsfält för godtyckliga tidpunkter. V t = (V ) V p ρ + v V + F (.) I ekvation (.) är V ett vektorfält som representerar hastighetsfältet för vår uid, p är ett skalärfält som representerar trycket, koecienten υ är uidens viskositet och F är ett vektorfält som representerar de externa krafter som verkar på uiden. är nablaoperatorn som är denierat enligt = (δ/δx, δ/δy, δ/δz) och Laplaceoperatorn = = (δ /δx, δ /δy, δ /δz ). Vi förenklar problemet genom att anta att vår vätskevolym är inkompressibel, det vill säga att den har en konstant densitet genom hela simuleringen. I verkligheten är inte detta riktigt sant eftersom alla uider (även vatten) ändrar sin volym. Annars skulle vi till exempel inte kunna höra under vatten. Men eftersom dessa förändringar sker på ett mikroskopiskt nivå, kommer det inte att resultera i någon visuell märkbar förändring. För att uppfylla detta krav måste vi komplettera Navier-Stokes-ekvationerna med villkoret (.). V = (.) Ekvation (.) säger att hastighetsfältets divergens måste vara noll. För uidvolymen betyder detta att förändringen i volym alltid är noll. För att bättre förstå hur Navier-Stokes-ekvationerna fungerar delar vi upp systemet i mindre delar och tittar på varje del för sig. För en mer detaljerad genomgång av Navier- Stokes-ekvationerna refererar vi till [].. Yttre krafter Vi börjar med den enklaste delen av Navier-Stokes-ekvationen, yttre krafter. Vi skalar ett fält F, innehållandes de externa krafterna, med ett tidssteg och adderar fältet på vårt 4

10 hastighetsfält V enligt ekvation (.). V n+ = V n + t F (.). Advektion Den första termen i ekvationen (.) kallas för advektionen. Advektion kan lättast beskrivas som det sätt en vätska föryttar sig själv. Denna term är nödvändig för att behålla uidens rörelse, se ekvation (.4). V n+ t = (V n ) V n (.4) Detta steg skulle kunna lösas genom en explicit Euler-integration. Problemet med att integrera explicit är att metoden blir instabil vid stora tidssteg. För att undvika instabilitet går det istället att beräkna var den nuvarande partikeln befann sig i förra tidssteget. Denna metod kallas för implicit Euler-integration och kommer vara villkorslöst stabil för godtyckliga tidssteg. Vi kan formulera ekvationen (.5) där x är den nuvarande partikelns position och t är tiden. V (x, t + δt) = V (x V (x, t) t, t) (.5) När man räknat ut vart partikeln befann sig förut är det sällan den ligger exakt på en punkt i rutnätet. Därför måste man interpolera fram en ny hastighet från de närliggande cellerna. Då vi förutsätter att läsaren har redan har kunskap om interpolation, kommer vi inte ta upp det i vår rapport. För en bra introduktion av interpolation i tre dimensioner rekommenderas []. Figur.: Illustration av advektionssteget. 5

11 . Diusion I alla uider nns det en inre friktion som påverkar hur trögytande uiden blir. Denna friktion kallas för viskositet och motverkar ödet i uiden, vilket medför att hastigheten i uidens öde utjämnas till medelvärdet i omgivningen. Ju högre viskositet desto mer trögytande blir uiden. Sirap är mer trögytande än vatten, det vill säga sirap har högre viskositet än vatten. Den tredje termen i Navier-Stokes-ekvationen är den del av ekvationen som får vår uid att bete sig efter detta fysiska fenomen. Denna term i Navier- Stokes-ekvation bestämmer hur trögytande uiden blir och kallas för viskositetstermen eller diusionstermen, se ekvation (.6). V t = υ V (.6) I ekvation (.6) är det koecienten υ som bestämmer hur trögytande uiden blir. Viskositeten i en uid blir mer trögytande om υ har ett högre värde. Det nns många olika numeriska metoder som löser denna ekvation. Foster och Metaxas [] använde sig av ett explicit Eulersteg efter att först ha diskretiserat Laplaceoperatorn. Denna metod är dock instabil för hög viskositet. I Stam [4] beskrivs en stabil metod för diusion av densitet. Metoden går ut på att, efter diusion, kunna återgå till den densitet man hade från början då diusion sker bakåt i tiden istället. Den sökta densiteten bildar ett linjärt ekvationssystem som går att lösa genom att hitta matrisinversen till systemet. Istället används en iterativ metod, Gauss-Seidels relaxationsalgoritm, till att invertera matrisen..4 Projektion Sista steget i Navier-Stokes-algoritmen är projektionen. För att bevara uidens volym måste ekvation (.) upprätthållas, den säger att uiden är inkompressibel, det vill säga att hastighetsfältet måste vara divergensfritt. För att lösa detta använder vi Helmholtz- Hodge-dekompositionsteorem [5] som säger att ett vektorfält kan delas upp i två delar, en virvelfri del, q, som har divergens och en divergensfri del, u. Vi vill lösa ut den virvelfria delen q från hastighetsfältet V genom: V = u + p (.7) V = u + q (.8) V = p (.9) Ekvation (.9) är en Poisson-ekvation som ger den virvelfria delen q av hastighetsfältet. För att lösa ekvationen måste vi diskretisera ekvationen. Vi börjar med divergensen i vänsterledet, ekvation (.). V i,j,k = u i+,j,k u i,j,k x + u i,j+,k u i,j,k y + u i,j,k+ u i,j,k+ z (.) där u, v, och w är hastighetskomponenterna i, x-, y- och z-led eftersom våra voxlar är 6

12 likformiga ( x = y = z) kan vi skriva om ekvationen enligt ekvation (.). V i,j,k = x (u i+,j,k u i,j,k + u i,j+,k u i,j,k + u i,j,k+ u i,j,k+ ) (.) I högerledet har vi Laplaceoperatorn som är applicerat på ett skalärfält q, där q kan ses som trycket i varje voxel. Ekvationen kan tolkas som divergensen av skalärfältets gradient och beskriver utbytet av öde mellan voxlarna där mängden som utbyts bestäms av divergensen i fältet q (se gur.). i,j+,k i-,j,k i,j,k i+,j,k i,j-,k Index Flöde Figur.: Illustration av öde mellan voxlar. Vi diskretiserar Laplaceoperatorn enligt följande: q i,j,k = ( x) (q i+,j,k + q i,j,k + q i,j+,k q i,j,k + q i,j,k+ + q i,j,k+ 6q i,j,k ) (.) Efter diskretiseringen kan ekvation (.9) skrivas om till ett linjärt ekvationssystem som har en lösning för varje voxel. Ax = b (.) där A-matrisen är Laplaceoperatorn, x = q och b = hastighetsfältets gradient. A-matrisen innehåller en rad och en kolumn för varje uidvoxel, detta resulterar i en gigantisk matris. Tack vare av diskretiseringen kommer dock varje rad i A maximalt innehålla 7 element skilda från noll. Ett element för varje intilliggande voxel i x-, y- och z-led plus ett som representerar den voxel man bener sig i. Detta går att utnyttja när man räknar fram inversen med conjugate-gradient-metoden [6]. A-matrisen är den diskreta representationen av Laplaceoperatorn. För att lösa ekvationsystemet måste vi bygga upp A-matrisen på ett speciellt sätt för att öden mellan uidvoxlar och solida voxlar inte ska tillåtas. Detta för att uiden inte ska öda in i solida voxlar. Vi skriver om ekvation (.) på vektorform för att enklare se hur en 7

13 Luft voxlar Fluidvoxlar i,j-,k i,j,k i,j-,k Solida voxlar Figur.: Illustration av öde vid solida voxlar. rad i A-matrisen ser ut då alla intilliggande voxlar är uidvoxlar, se ekvation (.4). q i+,j,k q i,j,k q i,j,k = [ ] q i,j+,k 6 ( x) q i,j,k (.4) q i,j,k q i,j,k+ q i,j,k Här nns det inga solida voxlar i närheten och utbyte av öde tillåts med alla intilliggande voxlar. Men om vi benner oss i en voxel X i,j,k (se gur.) som har solida voxlar runt sig, måste vi se till att uiden inte ödar in i de voxlarna. Eftersom voxel X i,j,k och X i,j,k är solida, stoppar vi ödet dit genom att ta bort de komponenter i Laplaceoperatorn som står för ödet i de riktningarna. Vi gör det genom att sätta q i,j,k q i,j,k = och q i,j,k q i,j,k =, vilket resulterar i följande rad i A- matrisen, ekvation (.5). q i,j,k = [ ] 4 ( x) q i+,j,k q i,j,k q i,j+,k q i,j,k q i,j,k q i,j,k+ q i,j,k (.5) Då summan av alla komponenter på en rad måste vara noll ändrar vi 6 till 4. Om vi benner oss intill en luftvoxel måste vi tillåta att uiden ödar i den riktningen därför gör vi ingenting med Laplaceoperatorns komponenter för den riktningen. 8

14 .5 Dirichlet gränsvillkor Dirichlet gränsvillkor är en operation som ser till att det inte nns några vektorer i hastighetsfältet som pekar mot en intilliggande solid voxel. Operationen körs både före och efter anropet till projektionen, detta för att se till att eventuella vektorer med riktningskomponenter som pekar i icke tillåtna riktningar justeras. Dirichlet gränsvillkor uppfyller ekvation (.6). V n = (.6) där n är normal till den yta som ligger emot voxeln vi benner oss i. För att uppfylla villkoret går vi igenom varje uidvoxel och kontrollerar om någon av de intilliggande voxlarna är en solid. Om detta är sant tar vi bort den hastighetskomponent som pekar i den riktningen, se gur.4. och.5. Fluidvoxlar Solida voxlar Figur.4: Innan applikation av Dirichlet gränsvillkor. Fluidvoxlar Solida voxlar Figur.5: Applikation av Dirichlets gränsvillkor. 9

15 Kapitel 4 Level set-metoder En level set-metod representerar en implicit yta som går att deformera på olika sätt genom att lösa en uppsättning partiella dierentialekvationer. Anledningarna till att man väljer att representera geometriska objekt implicit är många. En implicit yta är väldigt lätt att använda när man utför datorsimuleringar då den ger en sorts fysikalisk garanti att ytan kan skapas. Implicita ytor kan ses som en sluten volym som inte kan överlappa sig själv, vilket är en bra egenskap för uidsimuleringar. För en grundlig genomgång av level set-metoden rekommenderas [7]. 4. Implicita ytor Representationen av implicita ytor kan ses som ett indirekt sätt att representera ytor på. Till skillnad från explicita ytor, där till exempel polygoner eller vertex denierar själva ytan, denieras en implicit yta istället av ett skalärfält som representerar avståndet till ytan. För att enklare förstå skillnaden tar vi och tittar på en hur en cirkel med radien R representeras analytiskt, först explicit (4.) och sedan implicit (4.). x = ± R y (4.) Det vi kan se i 4. är att för varje värde på y, där y tillhör intervallet [ R, R], kommer ekvationens x-värden att medföra att punkterna [x, y] och [ x, y] alltid ligger på cirkel. Som vi ser i gur 4. kan vi ta reda på var cirkeln är men vi kan inte säga något om en godtycklig punkt i planet. Det nns ingen matematisk koppling som beskriver om punkten är innanför eller utanför cirkeln.

16 y?? x Figur 4.: Explicit representation av en cirkel. Om vi istället kollar på den implicita beskrivningen av samma cirkel, ser det ut som ekvation 4.: φ(x, y) = x + y (4.) där funktionen φ(x, y) placerar ut variabler x och y i ett skalärfält. Det vill säga att den tilldelar en skalär till varje punkt i (x, y)-planet. För att kunna hitta vår cirkel måste vi kolla på ett specikt isometrisk värde h i skalärfältet. Genom att välja alla värden i skalärfältet där φ(x, y) = h kan vi skära ut en delmängd S av hela (x, y)-planet. Denna delmängd kallas för ett level set av den implicita funktionen φ(x, y, R) och kan då denieras enligt 4.: S = { x, y R : φ(x, y) = h } (4.) Isometriska värdet h representerar alltså den implicita ytans yta. Oftast vill man sätta ytans värde till (h = ). Detta för att enkelt kunna deniera vilka punkter som är innanför eller utanför den implicita ytan. Vi kan nu enkelt klassicera en godtycklig punkt x(t) vid tidpunkten t som innanför eller utanför den implicita ytan med hjälp av (4.4) och (4.5) S inne = { x(t) R : φ(x(t)) <= } (4.4) S ute = { x(t) R : φ(x(t)) > } (4.5) Man kan också se det som att den implicita ytan är ett gränssnitt som separerar vårt skalärfält i två regioner, en utsida och en insida där varje skalärvärde representerar avståndet till närmaste punkt på cirkeln, se gur 4..

17 y x Figur 4.: Implicit representation av en cirkel. 4. Logiska operatorer För att konstruera mer komplicerade geometriska objekt används logiska operatorer för att kombinera era implicita ytor. Dessa kan klassiceras som tre huvudtyper: union, snitt och dierens. I gur 4. har vi illustrerat två implicita cirklar A och B, som deformeras med de logiska operatorerna. Union Differens (A-B) A B + - Snitt Figur 4.: Logiska operatorer. 4. Advektion För att få den implicita ytan att röra sig, måste vi tillämpa ett advektionssteg. Teorin är densamma som hos advektion för hastighetsfältet men istället för att förytta hastigheter i ett vektorfält, ändrar vi värden i ett skalärfält. Ekvation (4.6) svarar för denna transport. δφ δt = V φ (4.6) där φ är en kontinuerlig implicit funktion och V är ett hastighetsfält. Det som skiljer det här advektionssteget från advektionen i Navier-Stokes-ekvationen (.) är diskretiseringen. När man diskretiserar ekvation (4.6) måste man ta hänsyn till hastighetsfältets

18 riktning vid deriveringen, detta för att inte derivera med avseende på punkter som uiden inte har rört än. Ekvationssystemet (4.7) visar hur diskretiseringen ser ut för x-komponenten. För att beräkna gradienten φ i+,j,k måste varje dimensions komponent x, y och z deriveras på samma sätt. δφ δx = { φ + x = (φ i+,j,k φ i,j,k )/ x om V x < φ x = (φ i,j,k φ i,j,k )/ x om V x > (4.7) Efter att man har räknat ut gradienten φ i,j,k för en voxel i den implicita ytan, måste förändringshastigheten beräknas genom att beräkna skalärprodukten av hastighetsvektorn V i,j,k och gradienten φ i,j,k.till sist kan en explicit Euler-integration (4.8) användas för att ytta den implicita ytan. δφ δt φn+ φ n t (4.8) 4.4 Utvidgning av hastighetsfältet Eftersom hastighetsfältet V endast är denierat i uidvoxlarna som är klassicerade som de voxlar som nns inuti den implicita ytan, kommer den implicita ytan att stå stilla. Detta för att det inte nns några hastigheter utanför ytan som den kan förytta sig längs med. För att lösa detta måste vi utvidga hastigheterna precis innanför ytan till voxlarna utanför. Utvidgningen av hastigheterna sker i riktningen av ytans normal och ser till att det alltid nns en hastighet precis utanför ytan, vi löser detta med ekvation (4.9). δv δt = N V (4.9) där N är ett vektorfält som innehåller alla ytnormaler. Diskretiseringen sker enligt samma principer som level set advektionen. 4.5 Dissipation Som ett resultat av alla approximationer som används vid de olika diskretiseringsstegen kommer uiden att förlora en del volym. Det nns många olika lösningar för att lösa detta. En metod som löser dissipationen nästan helt är 'hybridmetoden' som använder level set-metoden i kombination med ett partikel system, se [] för mer information. Vi löste problemet med ett enklare sätt. Vid initieringen beräknar vi istället initialvolymen för uiden och räknar sedan ut den resterande volymen efter varje steg. Därefter kan man återinföra lite volym överallt i uiden för att bevara den totala volymen. För att återinföra volym i uiden kan man manipulera Poisson ekvationen (.9) genom att minska divergensen V. Detta medför att det ödar ut mer ur varje cell.

19 Kapitel 5 Implementering 5. Simuleringen Simuleringsprogrammet är skrivet i C++. För visualisering har använder vi ramverken OpenGL och GLUT för att koden ska vara plattformsoberoende. Vi kompilerar programmet för Apple OSX och Microsoft Windows. 5. Export För att visualisera den implicita volymens yta använder vi en metod som heter cubes, marching se [8, 9]. Metoden triangulerar mellan uidvoxlar för att generera punkter som de nierar de polygoner som bygger upp ytan. Sedan exporterar vi ut den geometriska ytan för varje tidssteg i simuleringen till objekt ler (.obj). 5. Postproduktion För att få en mer realistisk visualisering väljer vi att använda Autodesk D Studio Max. Ds Max innehåller avancerade metoder för ljussättning, material och rendering som ger ett realistisk resultat. Till Ds max importerar vi de objekt ler som simuleringsprogrammet exporterar för att rendera ut realistiska lmer och bilder. Figur 5. visar alla produktionssteg. D FLUID SIMULATION Menu Start simulation OFF Export image OFF Export objects ON OBJ Mihai Aldén, Lam Chan, Marcus Olsson & Max Popescu bildruta bildruta DFluidSim. OBJ. Simulering Autodesk Ds Max. Objekt filer 4. Rendering Figur 5.: Simulering till lm. 4 Publicering

20 Kapitel 6 Resultat Efter simulering, export och efterbehandling i D-program är resultatet en realistisk uid, i vårt fall vatten i en glastank, se gur A.. Ray-tracing, ambient occlusion samt subscattering surfaces används i bildbehandlingen. Figur 6.: Vatten i glastank. 5

21 Kapitel 7 Diskussion Innan projektet hade vi bara ögon på hur vi skulle få Navier-Stokes-ekvationerna att fungera. Det fanns mycket information om just uidsimuleringar i artiklar och uidsimuleringen var därmed relativt smärtfri att genomföra. När vi sedan skulle ta steget från en fungerande visualisering av hastighetsfältet till en vattenrepresentation med hjälp av level set-metoden, insåg vi att det var mycket mer omfattande än vad vi ursprungligen räknat med. Teorin bakom level set-metoden är väldokumenterad men det var betydligt mer komplicerat att implementera metoden. Vi började med att tillämpa Stams [, 4] metod men den visade sig snart vara olämplig för vår vätskesimulering. Metoden vi använde oss av istället, var betydligt mer komplicerad då den krävde att vi implementerade Navier-Stokes och level set parallellt. Vårt simuleringsprogram kan användas till att simulera olika situationer. Vår uid kan initieras vid olika höjder och falla under påverkan av gravitationen. Solida objekt kan denieras som vår uid kan interagera med. 7. Förbättringar I vår simulering har vi löst problemet med volymförlusten genom att öka ödet ur voxlarna. Detta är egentligen en ologisk lösning och ansträngningar välkomnas att lösa det på ett bättre sätt. Fedkiw [] presenterade en hybridmetod där man hittar ytan med hjälp av både level set och en partikelbaserad lösning. Metoden löser dock inte volymförlusten helt och hållet men minskar den avsevärt. Inte nog med att vi förlorar volym, vi förlorar även energi i vår simulering. Så kallad "vorticity connementlöser detta genom att lägga till den förlorade energin tillbaka i ödet. Resultatet blir en bättre bevaring av virvlar. I den nuvarande simuleringen görs beräkningar över hela rymden som kan eektiviseras genom att implementera en datastruktur som delar upp beräkningarna mer lokalt. Octrees och KD-trees är exempel på sådana lösningar. Beräkningstiden hade också kunnat sänkas drastiskt om tunga beräkningar hade gjorts på datorns GPU istället. För att implementera Navier-Stokes på GPU rekommenderas []. 6

22 Litteraturförteckning [] Gunnar Johansson, Ola Nillson och Andreas Söderström. Modeling and Animation TNM79, Lab 6: Fluid simulation. Linköpings universitet; 9. [] Wikipedia. Trilinear interpolation. Wikipedia [www]; 9. org/wiki/trilinear_interpolation. Senast hämtad: 9--. [] Nick Foster och Dimitri Metaxas NF. Realistic Animation of Liquids. Artikel, Stanford University; %Foster.pdf. Senast hämtad: 9--. [4] Stam J. Real-Time Fluid Dynamics for Games. Artikel, University of Toronto;. pdf/gdc.pdf. Senast hämtad: 9--. [5] Wikipedia. Helmholtz decomposition. [www]; 9. wiki/helmholtz_decomposition. Senast hämtad: 9--. [6] Wikipedia. Conjugate gradient method. Wikipedia [www]; 9. wikipedia.org/wiki/conjugate_gradient. Senast hämtad: 9--. [7] Gunnar Johansson ONoAS. Modeling and Animation TNM79, Lab 5: Level set methods. Linköpings universitet; 9. [8] Wikipedia. Marching cubes. [www]; 9. Marching_cubes. Senast hämtad: 9--. [9] Bourke P. Polygonising A Scalar Field. [www]; au/~pbourke/geometry/polygonise/. Senast hämtad: 9--. [] Stam J. Stable Fluids. Artikel, University of Toronto; toronto.edu/people/stam/reality/research/pdf/ns.pdf. Senast hämtad: [] Nick Foster och Ronald Fedkiw. Practical Animation of Liquids. Artikel, Stanford University;. stanford-.pdf. Senast hämtad: 9--. [] Fast Fluid Dynamics Simulation on the GPU. Artikel, University of North Carolina at Chapel Hill; 4. ch8.html. Senast hämtad:

23 Bilaga A Simuleringsprogrammet Figur A.: DFluidSim Körinstruktioner. Börja med att välja en simulering. Tryck F6 för att simulera en uid som faller i en glastank. Tryck F7 för att simulera hur en uid interagerar med en solid och sedan en annan uid.. Välj visualisering och export metod. Tryck F för att visa hastighetsfältet. Tryck F4 för att exportera bilder för varje simulationssteg. Tryck F5 för att exportera geometrin till.obj ler.. Starta/Stoppa simualtionen med F. 4. Under simuleringen. Tryck för att lägga till en uidsfär Tryck för att starta en sänka (tömmer vattentanken). Tryck för att aktivera den horisontella vinden. Använd piltangenterna för att ändra vindens riktning. 4. Avsluta programmet med F.

TERMODYNAMIK? materialteknik, bioteknik, biologi, meteorologi, astronomi,... Ch. 1-2 Termodynamik C. Norberg, LTH

TERMODYNAMIK? materialteknik, bioteknik, biologi, meteorologi, astronomi,... Ch. 1-2 Termodynamik C. Norberg, LTH TERMODYNAMIK? Termodynamik är den vetenskap som behandlar värme och arbete samt de tillståndsförändringar som är förknippade med dessa energiutbyten. Centrala tillståndsstorheter är temperatur, inre energi,

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation

ANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden 824 17. MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER 20 15 10 5 0-5 10 20 40 50 60 70 80-10 Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl

Läs mer

CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg. TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16

CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg. TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16 CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Tillämpad mekanik 412 96 Göteborg TME055 Strömningsmekanik 2015-01-16 Tentamen fredagen den 16 januari 2015 kl 14:00-18:00 Ansvarig lärare: Henrik Ström Ansvarig lärare besöker

Läs mer

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in. Dugga i Elektromagnetisk fältteori F. för F2. EEF031 2005-11-19 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform.

Idealgasens begränsningar märks bäst vid högt tryck då molekyler växelverkar mera eller går över i vätskeform. Van der Waals gas Introduktion Idealgaslagen är praktisk i teorin men i praktiken är inga gaser idealgaser Den lättaste och vanligaste modellen för en reell gas är Van der Waals gas Van der Waals modell

Läs mer

Objektorienterad programmering Föreläsning 4

Objektorienterad programmering Föreläsning 4 Objektorienterad programmering Föreläsning 4 Copyright Mahmud Al Hakim mahmud@dynamicos.se www.webbacademy.se Agenda Introduktion till objektorientering Klasser och Objekt Instansvariabler Metoder Introduktion

Läs mer

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och...

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och... Allt du behöver veta om MATLAB: Industristandard för numeriska beräkningar och simulationer. Används som ett steg i utvecklingen (rapid prototyping) Har ett syntax Ett teleskopord för «matrix laboratory»

Läs mer

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning ::

Datorlaboration :: 1 Problembeskrivning :: Datorlaboration :: Ett hyrbilsföretags problem Laborationen går ut på att lösa Labbuppgift 1 till 5. Laborationen redovisas individuellt genom att skicka laborationens Mathematicafil till Mikael Forsberg

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Beräkningsvetenskap föreläsning 2

Beräkningsvetenskap föreläsning 2 Beräkningsvetenskap föreläsning 2 19/01 2010 - Per Wahlund if-satser if x > 0 y = 2 + log(x); else y = -1 If-satsen skall alltid ha ett villkor, samt en då det som skall hända är skrivet. Mellan dessa

Läs mer

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra TEN4 Datum:

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

1 Den Speciella Relativitetsteorin

1 Den Speciella Relativitetsteorin 1 Den Speciella Relativitetsteorin På tidigare lektioner har vi studerat rotationer i två dimensioner samt hur vi kan beskriva föremål som roterar rent fysikaliskt. Att från detta gå över till den speciella

Läs mer

Graärgning och kromatiska formler

Graärgning och kromatiska formler Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela

Läs mer

Högskoleprovet Kvantitativ del

Högskoleprovet Kvantitativ del Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Strukturdynamiska simuleringar och PDE

Strukturdynamiska simuleringar och PDE Strukturdynamiska simuleringar och PDE Staffan Häglund 4 november 2014 Staffan Häglund Strukturdynamiska simuleringar och PDE 4 november 2014 1 / 16 Struktur Struktur Om FS Dynamics Exempel, vad kan man

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut Frågeställning Av en cirkulär pappersskiva kan en cirkelsektor med en viss vinkel klippas bort. Med den resterande sektorn går

Läs mer

Inlämningsuppgift : Finn. 2D1418 Språkteknologi. Christoffer Sabel E-post: csabel@kth.se 1

Inlämningsuppgift : Finn. 2D1418 Språkteknologi. Christoffer Sabel E-post: csabel@kth.se 1 Inlämningsuppgift : Finn 2D1418 Språkteknologi Christoffer Sabel E-post: csabel@kth.se 1 1. Inledning...3 2. Teori...3 2.1 Termdokumentmatrisen...3 2.2 Finn...4 3. Implementation...4 3.1 Databasen...4

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Sammanfattning. Projekt: Interaktiv visualisering för byggbranschen

Sammanfattning. Projekt: Interaktiv visualisering för byggbranschen Sammanfattning Interaktiv visualisering innebär att man själv agerar och bestämmer vart man vill gå i en digital modell. Under en 20-års period har utvecklingen av intelligenta projekteringsverktyg för

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? stefan@it.uu.se. Informationsteknologi. Informationsteknologi Beräkningsvetenskap stefan@it.uu.se Finns några olika namn för ungefär samma sak Numerisk analys (NA) Klassisk NA ligger nära matematiken: sats bevis, sats bevis, mer teori Tekniska beräkningar Mer ingenjörsmässigt,

Läs mer

Högskoleprovet. Block 5. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter.

Högskoleprovet. Block 5. Anvisningar. Övningsexempel. Delprovet innehåller 22 uppgifter. Block 5 2008-04-05 Högskoleprovet Svarshäfte nr. DELPROV 9 NOGf Delprovet innehåller 22 uppgifter. Anvisningar Varje uppgift innehåller en fråga markerad med fet stil. Uppgiften kan även innehålla viss

Läs mer

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet

Stokastisk geometri. Lennart Råde. Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Stokastisk geometri Lennart Råde Chalmers Tekniska Högskola och Göteborgs Universitet Inledning. I geometrin studerar man geometriska objekt och deras inbördes relationer. Exempel på geometriska objekt

Läs mer

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).

r 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0). 1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas

Läs mer

På en dataskärm går det inte att rita

På en dataskärm går det inte att rita gunilla borgefors Räta linjer på dataskärmen En illustration av rekursivitet På en dataskärm är alla linjer prickade eftersom bilden byggs upp av små lysande punkter. Artikeln beskriver problematiken med

Läs mer

Innehållsförteckning

Innehållsförteckning Innehållsförteckning Innehållsförteckning... 3 Om bokförfattaren och Rita med SketchUp... 8 Rita och redigera... 9 Förena två linjer:... 9 Tänja en linje:... 9 Ange ny totallängd på en linje:... 10 Förlänga

Läs mer

NpMa2b Muntlig del vt 2012

NpMa2b Muntlig del vt 2012 Till eleven - Information inför den muntliga provdelen Du kommer att få en uppgift som du ska lösa skriftligt och sedan ska du presentera din lösning muntligt. Om du behöver får du ta hjälp av dina klasskamrater

Läs mer

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition.

Eulercykel. Kinesiska brevbärarproblemet. Kinesiska brevbärarproblemet: Metod. Kinesiska brevbärarproblemet: Modell. Definition. Definition. Eulercykel Definition En Eulercykel är en cykel som använder varje båge exakt en gång. Definition En nods valens är antalet bågar som ansluter till noden. Kinesiska brevbärarproblemet En brevbärartur är

Läs mer

FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum

FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Johan Helsing, 20 februari 2007 FMN140 VT07: Beräkningsprogrammering Numerisk Analys, Matematikcentrum Projektuppgift Syfte: att träna på att skriva ett lite större Matlabprogram med relevans för byggnadsmekanik.

Läs mer

Jämförelse av ventilsystems dynamiska egenskaper

Jämförelse av ventilsystems dynamiska egenskaper Jämförelse av ventilsystems dynamiska egenskaper Bo R. ndersson Fluida och Mekatroniska System, Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling, Linköping, Sverige E-mail: bo.andersson@liu.se Sammanfattning

Läs mer

NYHETER I INVENTOR 2012

NYHETER I INVENTOR 2012 NYHETER I INVENTOR 2012 NYHETER I INVENTOR 2012 Här nedan följer en kort beskrivning av de flesta nyheterna och förbättringarna i Autodesk Inventor 2012 jämfört med Autodesk Inventor 2011. AUTODESK INVENTOR

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Grunder. Grafiktyper. Vektorgrafik

Grunder. Grafiktyper. Vektorgrafik 2 Grunder All vår början bliver svår eller hur det nu brukar heta, och detta är något som gäller även Flash. För den som är ovan vid Flash gäller det säkert extra mycket, då det kan vara knepigt att förstå

Läs mer

Introduktion till Word och Excel. 14 september 2008

Introduktion till Word och Excel. 14 september 2008 Introduktion till Word och Excel 14 september 2008 1 Innehåll 1 Inledning 3 2 Word 3 2.1 Uppgift................................ 3 2.2 Instruktioner............................. 3 2.2.1 Hämta hem ler.......................

Läs mer

En introduktion till och första övning i @Risk5 for Excel

En introduktion till och första övning i @Risk5 for Excel LUNDS UNIVERSITET 1(6) STATISTISKA INSTITUTIONEN Per-Erik Isberg / Lars Wahlgren VT2012 En introduktion till och första övning i @Risk5 for Excel Vi har redan under kursen stiftat bekantskap med Minitab

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,

Läs mer

Mätning av fokallängd hos okänd lins

Mätning av fokallängd hos okänd lins Mätning av fokallängd hos okänd lins Syfte Labbens syfte är i första hand att lära sig hantera mätfel och uppnå god noggrannhet, även med systematiska fel. I andra hand är syftet att hantera linser och

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill kunna avbilda genom alla ytor direkt.

Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill kunna avbilda genom alla ytor direkt. Föreläsning 9 0 Huvudplan Önskan: Tänk om alla optiska system vore tunna linser så att alltid gällde! Att räkna med mellanbilder genom ett system med många linser och gränsytor blir krångligt. Vi vill

Läs mer

Nationella prov i verkligheten

Nationella prov i verkligheten Nationella prov i verkligheten: Sida 1 Nationella prov i verkligheten Övningsprov Matte 1C (2012) Vad används matematiken till? Vad gör en matematiker? 2 Räkning med procent förekommer i prisberäkningar

Läs mer

Labbrapport. Isingmodel

Labbrapport. Isingmodel Labbrapport Auhtor: Mesut Ogur, 842-879 E-mail: salako s@hotmail.com Author: Monica Lundemo, 8524-663 E-mail: m lundemo2@hotmail.com Handledare: Bo Hellsing Göteborgs Universitet Göteborg, Sverige, 27--

Läs mer

DIGITAL KOMMUNIKATION

DIGITAL KOMMUNIKATION EN KOR SAMMANFANING AV EORIN INOM DIGIAL KOMMUNIKAION Linjär kod En binär linjär kod kännetecknas av att summan av två kodord också är ett kodord. Ett specialfall är summan av ett kodord med sig själv

Läs mer

Dynamic Review for Models ProjectWise Navigator

Dynamic Review for Models ProjectWise Navigator Dynamic Review for Models ProjectWise Navigator Magnus Cullberg Application Engineer, Bentley Systems Arbetsflöde för Dynamiskt Samarbete Arbete pågår Ordna & Publisera Granska, Analysera Förbättra Bentley

Läs mer

Linköpings tekniska högskola IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 8. strömningslära, miniräknare.

Linköpings tekniska högskola IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 8. strömningslära, miniräknare. Linköpings tekniska högskola IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära Tentamen Joakim Wren Exempeltentamen 8 Tillåtna hjälpmedel: Allmänt: Formelsamling i Mekanisk värmeteori och strömningslära, miniräknare.

Läs mer

design & layout Distansskolan 1

design & layout Distansskolan 1 design & layout Distansskolan 1 Grundelementen Varje komposition är summan av dess grundelement. Om du tittar på en annons eller broschyr kommer du hitta både enkla och komplexa kompositioner. En del kompositioner

Läs mer

SF1901: Övningshäfte

SF1901: Övningshäfte SF1901: Övningshäfte 24 september 2013 Uppgifterna under rubriken Övning kommer att gås igenom under övningstillfällena. Uppgifterna under rubriken Hemtal är starkt rekommenderade och motsvarar nivån på

Läs mer

Checklista för export från Revit/ArchiCAD till IDA ICE

Checklista för export från Revit/ArchiCAD till IDA ICE SBUF-projekt: Effektivisering av energianalyser med stöd av BIM 1(5) 2011-07-07 Checklista för export från Revit/rchiCD till ID ICE Syftet med detta dokument är att fungera som checklista för avstämning

Läs mer

Krafter och moment. mm F G (1.1)

Krafter och moment. mm F G (1.1) 1 Krafter och moment 1.1 Inledning örståelsen för hur olika typer av krafter påverkar strukturer i vår omgivning är grundläggande för ingenjörsvetenskapen inom byggnadskonsten. Gravitationskraften är en

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Känguru 2014 Student sida 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3)

Känguru 2014 Student sida 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) Känguru 2014 Student sida 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Felaktigt svar ger minus 1/4 poäng av uppgiftens totala poängantal.

Läs mer

Tor Sterner-Johansson Thomas Johansson Daniel Henriksson

Tor Sterner-Johansson Thomas Johansson Daniel Henriksson Lab 4: Anti Tower Defence Oskar Mothander Alan Mendez Larsson dit06omr dit06mln Lärare: Handledare: Johan Eliasson Johan Granberg Tor Sterner-Johansson Thomas Johansson Daniel Henriksson Innehåll 1. Problemspecifikation...

Läs mer

SolidWork Composer competence

SolidWork Composer competence SolidWork Composer competence Kiwanotech AB är företaget som erbjuder en helhetslösning från idé till färdig produkt. Vi på Kiwanotech AB arbetar ständigt för att bredda vår kunskap och effektivisera oss

Läs mer

Visualisering av data energitrender

Visualisering av data energitrender Visualisering av data energitrender Innehåll: Dynamiska diagram - ett relativt nytt sätt att åskådliggöra tidsberoende datamaterial Presentation av det interaktiva visualiseringsverktyget Gapminder Några

Läs mer

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare

Praktisk beräkning av SPICE-parametrar för halvledare SPICE-parametrar för halvledare IH1611 Halvledarkomponenter Ammar Elyas Fredrik Lundgren Joel Nilsson elyas at kth.se flundg at kth.se joelni at kth.se Martin Axelsson maxels at kth.se Shaho Moulodi moulodi

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Tentamen i Kemisk reaktionsteknik för Kf3, K3 (KKR 100) Onsdag den 22 augusti 2012 kl 8:30-13:30 i V. Examinator: Bitr. Prof.

Tentamen i Kemisk reaktionsteknik för Kf3, K3 (KKR 100) Onsdag den 22 augusti 2012 kl 8:30-13:30 i V. Examinator: Bitr. Prof. Tentamen i Kemisk reaktionsteknik för Kf3, K3 (KKR 100) Onsdag den 22 augusti 2012 kl 8:30-13:30 i V Examinator: Bitr. Prof. Louise Olsson Louise Olsson (031-722 4390) kommer att besöka tentamenslokalen

Läs mer

Lite om felhantering och Exceptions Mer om variabler och parametrar Fält (eng array) och klassen ArrayList.

Lite om felhantering och Exceptions Mer om variabler och parametrar Fält (eng array) och klassen ArrayList. Institutionen för Datavetenskap Göteborgs universitet HT2009 DIT011 Objektorienterad programvaruutveckling GU (DIT011) Föreläsning 3 Innehåll Lite om felhantering och Exceptions Mer om variabler och parametrar

Läs mer

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 7 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 7. strömningslära, miniräknare.

Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 7 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 7. strömningslära, miniräknare. Linköpings tekniska högskola Exempeltentamen 7 IEI / Mekanisk värmeteori och strömningslära Joakim Wren Exempeltentamen 7 Tillåtna hjälpmedel: Allmänt: Formelsamling i Mekanisk värmeteori och strömningslära,

Läs mer

Slutrapport för Internetfonden

Slutrapport för Internetfonden Slutrapport för Internetfonden Webbprogrammering i matematik och fysikundervisning Mikael Tylmad mikael@roboro.se Fredrik Atmer fredrik.atmer@gmail.com Ella Kai-Larsen e@k-l.se 10 april 2014 http://www.profyma.se/

Läs mer

Kort om klasser och objekt En introduktion till GUI-programmering i Java

Kort om klasser och objekt En introduktion till GUI-programmering i Java Kort om klasser och objekt En introduktion till GUI-programmering i Java Klasser En klass är en mall för hur man ska beskriva på något. Antag att vi har en klass, Bil. Den klassen innehåller en lista på

Läs mer

Kapitel Grafer för koniska sektioner

Kapitel Grafer för koniska sektioner Kapitel 14 Grafer för koniska sektioner Det går att rita en graf över följande koniska sektioner med hjälp av räknarens inbyggda funktioner. Parabelgraf Cirkelgraf Elliptisk graf Hyperbelgraf 14-1 Före

Läs mer

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Frågeställning Svar 1. Vi förväntades ta reda på olika metoder för att beräkna en superellips eller en ellips omkrets. o Givet var ellipsens ekvation:. (Källa

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Fö relä sning 1, Kö system 2015

Fö relä sning 1, Kö system 2015 Fö relä sning 1, Kö system 2015 Här följer en kort sammanfattning av det viktigaste i Föreläsning 1. Kolla kursens hemsida minst en gång per vecka. Övningar kommer att läggas ut där, skriv ut dem och ha

Läs mer

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in Övningstenta i Elektromagnetisk fältteori, 2014-11-29 kl. 8.30-12.30 Kurskod EEF031 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori. Valfri kalkylator, minnet måste

Läs mer

Beräkningsvetenskap I. Exempel på tillämpningar: Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi

Beräkningsvetenskap I. Exempel på tillämpningar: Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi Beräkningsvetenskap I Jarmo Rantakokko Josefin Ahlkrona Kristoffer Virta Katarina Gustavsson Vårterminen 2011 Beräkningsvetenskap: Hur man med datorer utför beräkningar och simuleringar baserade på matematiska

Läs mer

Beräkning med ord. -hur en dator hanterar perception. Linköpings universitet Artificiell intelligens 2 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692

Beräkning med ord. -hur en dator hanterar perception. Linköpings universitet Artificiell intelligens 2 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692 Beräkning med ord -hur en dator hanterar perception 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692 Innehåll Inledning... 3 Syfte... 3 Kan datorer hantera perception?... 4 Naturligt språk... 4 Fuzzy Granulation...

Läs mer

Ch. 2-1/2/4 Termodynamik C. Norberg, LTH

Ch. 2-1/2/4 Termodynamik C. Norberg, LTH GRUNDLÄGGANDE BEGREPP System (slutet system) = en viss förutbestämd och identifierbar massa m. System Systemgräns Omgivning. Kontrollvolym (öppet system) = en volym som avgränsar ett visst område. Massa

Läs mer

Föreläsning 15: Repetition DVGA02

Föreläsning 15: Repetition DVGA02 Föreläsning 15: Repetition DVGA02 Vad handlar kursen om? Kursen kan i grova drag delas upp i tre delar: 1. Objekt-orienterad programmering 2. Grafiska användargränssnitt 3. Datastrukturer Dessutom genomsyras

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

TDDC30 Programmering i Java, Datastrukturer och Algoritmer Lektion 5. Laboration 4 Lådplanering Exempel på grafik, ett avancerat program Frågor

TDDC30 Programmering i Java, Datastrukturer och Algoritmer Lektion 5. Laboration 4 Lådplanering Exempel på grafik, ett avancerat program Frågor TDDC30 Programmering i Java, Datastrukturer och Algoritmer Lektion 5 Laboration 4 Lådplanering Exempel på grafik, ett avancerat program Frågor 1 Laboration 4 - Introduktion Syfte: Öva på självständig problemlösning

Läs mer

Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen

Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen Optimering av depåpositioner för den minimala bensinförbrukningen i öknen Frågeställning: En jeep kan sammanlagt ha 200 liter bensin i tanken samt i lösa dunkar. Jeepen kommer 2,5 km på 1 liter bensin.

Läs mer

Användarmanual. Fakturaspecifikation. Trafikverkets system för fakturaspecifikation. Version 1.4, 2010-12-20

Användarmanual. Fakturaspecifikation. Trafikverkets system för fakturaspecifikation. Version 1.4, 2010-12-20 Användarmanual Fakturaspecifikation Trafikverkets system för fakturaspecifikation Version 1.4, 2010-12-20 0 Utgivare: Trafikverket Kontakt: fakturering.jarnvag@trafikverket.se Distributör: Trafikverket,

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

Strömning och varmetransport/ varmeoverføring

Strömning och varmetransport/ varmeoverføring Lektion 7: Värmetransport TKP4100/TMT4206 Strömning och varmetransport/ varmeoverføring Reynolds tal är ett dimensionslöst tal som beskriver flödesegenskaperna hos en fluid. Ett lågt värde på Reynolds

Läs mer

AD-DA-omvandlare. Mätteknik. Ville Jalkanen. ville.jalkanen@tfe.umu.se 1

AD-DA-omvandlare. Mätteknik. Ville Jalkanen. ville.jalkanen@tfe.umu.se 1 AD-DA-omvandlare Mätteknik Ville Jalkanen ville.jalkanen@tfe.umu.se Inledning Analog-digital (AD)-omvandling Digital-analog (DA)-omvandling Varför AD-omvandling? analog, tidskontinuerlig signal Givare/

Läs mer

Systemskiss. Michael Andersson Version 1.0: 2012-09-24. Status. Platooning 2012-09-24. Granskad DOK, PL 2012-09-19 Godkänd Erik Frisk 2012-09-24

Systemskiss. Michael Andersson Version 1.0: 2012-09-24. Status. Platooning 2012-09-24. Granskad DOK, PL 2012-09-19 Godkänd Erik Frisk 2012-09-24 2012-09-24 Systemskiss Michael Andersson Version 1.0: 2012-09-24 Status Granskad DOK, PL 2012-09-19 Godkänd Erik Frisk 2012-09-24 Systemskiss i 2012-09-24 Projektidentitet, TSRT10, HT2012, Tekniska högskolan

Läs mer

Prissättning av optioner

Prissättning av optioner TDB,projektpresentation Niklas Burvall Hua Dong Mikael Laaksonen Peter Malmqvist Daniel Nibon Sammanfattning Optioner är en typ av finansiella derivat. Detta dokument behandlar prissättningen av dessa

Läs mer

Grafisk Teknik. Rastrering. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2013)

Grafisk Teknik. Rastrering. Övningar med lösningar/svar. Sasan Gooran (HT 2013) Grafisk Teknik Rastrering Övningar med lösningar/svar Det här lilla häftet innehåller ett antal räkneuppgifter med svar och i vissa fall med fullständiga lösningar. Uppgifterna är för det mesta hämtade

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Innehåll. Förord...11. Del 1 Inledning och Bakgrund. Del 2 Teorin om Allt en Ny modell: GET. GrundEnergiTeorin

Innehåll. Förord...11. Del 1 Inledning och Bakgrund. Del 2 Teorin om Allt en Ny modell: GET. GrundEnergiTeorin Innehåll Förord...11 Del 1 Inledning och Bakgrund 1.01 Vem var Martinus?... 17 1.02 Martinus och naturvetenskapen...18 1.03 Martinus världsbild skulle inte kunna förstås utan naturvetenskapen och tvärtom.......................

Läs mer

Databasdesign. E-R-modellen

Databasdesign. E-R-modellen Databasdesign Kapitel 6 Databasdesign E-R-modellen sid Modellering och design av databaser 1 E-R-modellen 3 Grundläggande begrepp 4 Begränsningar 10 E-R-diagram 14 E-R-design 16 Svaga entitetsmängder 19

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00

Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00 EOREISK FYSIK KH Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den juni 1 kl. 14. - 19. Examinator: Olle Edholm, tel. 5537 8168, epost oed(a)kth.se. Komplettering:

Läs mer

Programmering B PHP. Specialiseringen mot PHP medför att kursens kod i betygshanteringen heter PPHP1408.

Programmering B PHP. Specialiseringen mot PHP medför att kursens kod i betygshanteringen heter PPHP1408. Programmering B PHP DTR1208 - Programmering B 50 poäng Specialiseringen mot PHP medför att kursens kod i betygshanteringen heter PPHP1408. Mål Mål för kursen (Skolverket) Kursen skall ge fördjupade teoretiska

Läs mer

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS,

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, TORSDAGEN DEN 7 JUNI 2012 KL 14.00 19.00 Examinator:Gunnar Englund, 073 3213745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Zeemaneffekt. Projektlaboration, Experimentell kvantfysik, FK5013

Zeemaneffekt. Projektlaboration, Experimentell kvantfysik, FK5013 Zeemaneffekt Projektlaboration, Experimentell kvantfysik, FK5013 Introduktion En del energinivåer i en atom kan ha samma energi, d.v.s. energinivåerna är degenererade. Degenereringen kan brytas genom att

Läs mer